Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Trigonometri

         Blog Koma - Setelah mempelajari artikel "asimtot tegak dan mendatar fungsi aljabar" dan "asimtot miring fungsi", pada artikel ini kita akan lanjutkan pembahasan materi Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Trigonometri. Seperti yang telah kita ketahui bersama, asimtot adalah sebuah garis lurus yang akan didekati (tidak bersentuhan) oleh sebuah kurva di titik jauh tak hingga. Ada tiga jenis asimtot yaitu asimtot tegak, asimtot mendatar, dan asimtot miring. Nah, yang akan kita bahas khusus dua asimtot pertama yaitu tegak dan mendatar khusus fungsi trigonometri. Untuk menggambar grafik fungsi trigonometri memang tidaklah mudah, namun tenang saja teman-teman, kita tidak perlu menggambar kurva fungsi trigonometrinya, kita langsung gunakan analisa aljabar untuk mencari Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Trigonometri.

         Untuk mempermudah mempelajari materi Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Trigonometri ini, sebaiknya teman-teman menguasai materi "Penyelesaian Persamaan Trigonometri ", "limit fungsi trigonometri", dan "limit tak hingga fungsi trigonometri". Tentu yang lebih ditekankan di sini adalah penguasaan materi limitnya.

Asimtot Tegak Fungsi Trigonometri
       Fungsi $ y = f(x) $ memiliki asimtot tegak misalkan $ x = a $ jika terpenuhi $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = +\infty $ atau $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = -\infty $ . Artinya terdapat $ x = a $ yang jika kita cari nilai limit mendakati $ a $ akan menghasilkan nilai $ +\infty $ atau $ -\infty $ (dimana $ a \neq \infty $) .

       Fungsi $ y = \frac{f(x)}{g(x)} $ memiliki asimtot $ x = a $ jika $ g(a) = 0 $ dan $ f(a) \neq 0 $, artinya $ x = a $ adalah akar dari $ g(x) $ yang sebagai penyebutnya dan berbeda dengan akar pembilangnya (INGAT : suatu bilangan dibagi $ 0 $ pada limit hasilnya $ \infty$). Suatu fungsi Trigonometri bisa memiliki lebih dari satu asimtot tegak.
Asimtot Mendatar Fungsi Trigonometri
       Fungsi Trigonometri $ y = f(x) $ memiliki asimtot mendatar misalkan $ y = b $ jika terpenuhi $ \displaystyle \lim_{x \to +\infty } f(x) = b $ atau $ \displaystyle \lim_{x \to -\infty } f(x) = b $ dengan $ b \neq +\infty $ atau $ b \neq -\infty$. Artinya untuk $ x $ mendekati $ +\infty $ atau $ -\infty $ maka nilai fungsinya akan mendekati nilai konstanta tertentu yaitu $ b $. Agar memiliki asimtot mendatar, biasanya fungsinya berbentuk pecahan.
Catatan asimtot mendatar :
Cukup terpenuhi salah satu saja yaitu $ \displaystyle \lim_{x \to +\infty } f(x) = b $ atau $ \displaystyle \lim_{x \to -\infty } f(x) = b $, maka $ y = b $ sudah bisa dikatakan sebagai persamaan asimtot mendatar fungsi $ y = f(x) $.

Contoh Soal Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Trigonometri :

1). Tentukan persamaan asimtot tegak dari fungsi trigonometri $ f(x) = \tan x $!
Penyelesaian :
*). Penyelesaian bentuk : $ \cos x = \cos \theta $ adalah
$ x = \pm \theta + k.2\pi $
*). Menentukan Asimtot tegaknya :
Fungsi $ f(x) = \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $ , dengan penyebut $ \cos x $ akan bernilai $ 0 $ ketika :
$ \begin{align} \cos x & = 0 \\ \cos x & = \cos \frac{\pi}{2} \\ x & = \pm \frac{\pi}{2} + k.2\pi \end{align} $
Artinya persamaan asimtot tegaknya adalah $ x = \pm \frac{\pi}{2} + k.2\pi $ untuk $ k $ bilangan bulat, karena $ \displaystyle \lim_{x \to \pm \frac{\pi}{2} + k.2\pi } \, \tan x = \pm \infty $.

Catatan :
Untuk memudahkan dalam menentukan persamaan asimtot tegak fungsi trigonometri, kita harus benar-benar menguasai materi persamaan trigonometri yang bisa teman-teman baca pada artikel "penyelesaian persamaan trigonometri".

2). Tentukan persamaan asimtot tegak dari fungsi trigonometri $ f(x) = \frac{1 - \sin x }{2\sin x + 1} $!
Penyelesaian :
*). Penyelesaian bentuk : $ \sin x = \sin \theta $ adalah
$ x = \theta + k.2\pi \, $ dan $ x = (\pi - \theta ) + k.2\pi $
*). Menentukan Asimtot tegaknya :
Fungsi $ f(x) = \frac{1 - \sin x }{2\sin x + 1} $, dengan penyebut $ 2\sin x + 1 $ akan bernilai $ 0 $ ketika :
$ \begin{align} 2\sin x + 1 & = 0 \\ 2\sin x & = -1 \\ \sin x & = - \frac{1}{2} \\ \sin x & = \sin \frac{7\pi}{6} \end{align} $
Solusinya adalah $ x = \frac{7\pi}{6} + k.2\pi \, $ atau
$ x = (\pi - \frac{7\pi}{6} ) + k.2\pi = -\frac{1}{6}\pi + k.2\pi = (2k - \frac{1}{6})\pi $ .
Artinya persamaan asimtot tegaknya adalah $ x = \frac{7\pi}{6} + k.2\pi \, $ dan $ x = (2k - \frac{1}{6})\pi $ untuk $ k $ bilangan bulat.

3). Tentukan persamaan asimtot mendatar dari fungsi trigonometri $ f(x) = x . \tan \frac{1}{x} $ !
Penyelesaian :
Misalkan $ \frac{1}{x} = y $ , sehingga $ x = \frac{1}{y} $ .
Untuk $ x $ mendekati $ \infty $ maka $ y $ mendekati $ 0 $.
*). Menyelesaikan limitnya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, x \tan \frac{1}{x} & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{1}{y} \tan y \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{ \tan y }{y} \\ & = 1 \end{align} $
Artinya persamaan asimtot mendatarnya adalah $ y = 1 $.

4). Tentukan persamaan asimtot mendatar dari fungsi trigonometri $ f(x) = \tan \frac{5}{x} . \csc \frac{2}{x} $ !
Penyelesaian :
Misalkan $ \frac{1}{x} = y $ , dan $ \csc y = \frac{1}{\sin y} $ .
Untuk $ x $ mendekati $ \infty $ maka $ y $ mendekati $ 0 $.
*). Menyelesaikan limitnya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \tan \frac{5}{x} . \csc \frac{2}{x} & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \tan 5y . \csc 2y \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \tan 5y . \frac{1}{\sin 2y} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{\tan 5y}{\sin 2y} \\ & = \frac{5}{2} \end{align} $
Artinya persamaan asimtot mendatarnya adalah $ y = \frac{5}{2} $.

5). Tentukan persamaan asimtot mendatar dari fungsi trigonometri $ f(x) = \frac{\cot \frac{1}{2x}}{\csc \frac{3}{x}} $ !
Penyelesaian :
Misalkan $ \frac{1}{x} = y $ , dan $ \csc y = \frac{1}{\sin y} $ .
Untuk $ x $ mendekati $ \infty $ maka $ y $ mendekati $ 0 $.
*). Menyelesaikan limitnya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{\cot \frac{1}{2x}}{\csc \frac{3}{x}} & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{\cot \frac{1}{2}y}{\csc 3y} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{\frac{1}{\tan \frac{1}{2}y}}{\frac{1}{\sin 3y}} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{\sin 3y}{\tan \frac{1}{2}y} \\ & = \frac{3}{ \frac{1}{2} } = 6 \end{align} $
Artinya persamaan asimtot mendatarnya adalah $ y = 6 $.

Catatan :
Untuk mempermudah dalam menentukan persamaan asimtot mendatar suatu bentuk fungsi trigonometri, teman-teman harus menguasai materi limit tak hingga fungsi trigonometri yang bisa dibaca pada artikel "limit tak hingga fungsi trigonometri".

       Demikian pembahasan materi Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Trigonometri dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "Asimtot miring Fungsi Aljabar" serta "Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Aljabar".

2 komentar:

  1. Jazakumullahu khairan katsiran atas ilmunya

    BalasHapus
    Balasan
    1. Hallow @Enna,

      Terimakasih untuk kunjungannya ke blog koma ini.

      Semoga terus bisa membantu.

      Hapus