Transformasi Geometri Luas Bangun datar

         Blog Koma - Hallow teman-teman, bagaimana kabarnya? Mudah-mudahan baik-baik saja. Pada artikel ini kita akan kembali membahas artikel yang terkait dengan "Transformasi geometri" yaitu dengan jugul Transformasi Geometri Luas Bangun datar. Materi terkait Transformasi Geometri Luas Bangun datar ini perlu kita bahas karena baik di ujian tingkat sekolah seperti ulangan harian, ulangan semesteran atau ujian nasional, serta tingkat seleksi masuk perguruan tinggi juga sering dikeluarkan soal-soalnya.

         Untuk mempermudah dalam mempelajari materi Transformasi Geometri Luas Bangun datar ini, silahkan teman-teman kuasai terlebih dahulu transformasi secara umum dan jenis-jenis transformasi (seperti translasi, dilatasi, rotasi, dan refleksi), serta komposisi transformasi. Selain itu juga teman-teman harus menguasai operasi pada matriks terutama perkalian.

         Transformasi geometri pada titik dan pada "persamaan kurva", kita harus mengerjakan semua jenis transformasi yang disediakan pada soal. Nah, apakah pada Transformasi Geometri Luas Bangun datar perlu kita lakukan hal yang sama yaitu mengerjakan semua jenis transformasi yang disediakan oleh soal? jawabannya tidak, karena berdasarkan sifat-sifat masing-masing jenis transformasi hanya dilatasi yang menyebabkan perubahan luas suatu bangaun datar. Artinya kita tidak perlu menghitung semua, cukup kerjakan yang dilatasi saja. Sebagai ilustrasi perhatikan gambar Transformasi Geometri Luas Bangun datar segitiga ABC berikut.

         Perlu diperhatikan, jika titik pada bangun datar saja yang ditransformasi, maka Transformasi Geometri Luas Bangun datar harus melibatkan semua jenis transformasi yang ada pada soal karena bukan luas bayangan yang kita cari akan tetapi bayangan dari titik-titik sudutnya sehingga ini termasuk transformasi titik bukan luas.

Transformasi Geometri Luas Bangun datar
       Langkah-langkah dalam mengerjakan Transformasi Geometri Luas Bangun datar yaitu :
1). Jika yang ditanyakan luas bayangannya, maka cukup kerjakan yang ada dilatasinya saja. Jika pada soal tidak ada dilatasinya, maka luas bayangannya sama dengan luas awalnya.
2). Jika pada soal langsung diketahui matriks transformasinya (bukan translasi atau rotasi atau refleksi), maka wajib kita hitung luas bayangannya menggunakan matriks tersebut digabungkan dengan dilatasi jika ada.
3). Jika yang ditanyakan bayangan dari titik-titik sudutnya, maka semua jenis transformasi yang ada pada soal kita kerjakan.

$\spadesuit $ Cara menghitung luas bayangan :
       Luas bayangan = $|MT| \times $ Luas awal.
dimana $ |MT| = \, $ determinan matriksnya.
Cara Menghitung Luas Segitiga
$\spadesuit $ Luas Segitiga ABC
       Misalkan segitiga ABC dengan koordinatnya $A(a_1,a_2) , B(b_1,b_2) $ dan $ C(c_1,c_2)$, Luasnya :
Luas $ = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 & a_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & a_2 \end{matrix} \right| $
Luas $ = \frac{1}{2} [(a_1b_2+b_1c_2+c_1a_2)-(b_1a_2+c_1b_2+a_1c_2)] $
Catatan :
Bentuk penghitungan luas seperti di atas mirip determinan pada matriks dengan mengulang titik yang paling kiri diletakkan kembali di paling kanan. Untuk lebih mendalam tentang cara menghitung luas bangun datar yang diketahui koordinatnya, silahkan baca artikel "Luas Bangun Datar Diketahui Koordinatnya".

Contoh Soal Transformasi Geometri Luas Bangun datar :

1). Segitiga ABC dengan koordinat titik-titik sudutnya yaitu $A(-1,2) , B(2,3) $ dan $ C(1,5) $ ditransformasi oleh matriks $ \left( \begin{matrix} 3 & -1 \\ 2 & 4 \end{matrix} \right) $. Tentukan :
a). bayangan titik-titik sudut segitiga ABC,
b). luas bayangan segitiga ABC.

Penyelesaian :
a). Menentukan bayangan titik-titik sudutnya :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} A^\prime & B^\prime & C^\prime \end{matrix} \right) & = (MT). \left( \begin{matrix} A & B & C \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 & -1 \\ 2 & 4 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} -1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -5 & 3 & -2 \\ 6 & 16 & 22 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi bayangan titik sudutnya adalah :
$ A^\prime (-5,6), \, B^\prime (3,16), $ dan $ (-2, 22) $.

b). Menentukan luas bayangan segitga ABC dengan bayangan titik-titik sudutnya sudah kita peroleh di bagian (a) di atas.
Luas bayangannya :
$\begin{align} \text{Luas bayangan } & = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 & a_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & a_2 \end{matrix} \right| \\ & = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} -5 & 3 & -2 & -5 \\ 6 & 16 & 22 & 6 \end{matrix} \right| \\ & = \frac{1}{2} [(-5.16+3.22+-2.6)-(3.6+-2.16+-5.22)] \\ & = \frac{1}{2} [(-80+66-12)-(18-32-110)] \\ & = \frac{1}{2} [(-26)-(-124)] \\ & = \frac{1}{2} [98] = 49 \end{align} $
Jadi, luas bayangannya adalah 49 satuan luas$. \, \heartsuit $

Cara 2 : bagian (b),
*). Luas awal segitiga ABC :
$\begin{align} \text{Luas awal } & = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 & a_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & a_2 \end{matrix} \right| \\ & = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} -1 & 2 & 1 & -1 \\ 2 & 3 & 5 & 2 \end{matrix} \right| \\ & = \frac{1}{2} [(-3 + 10 +2)-(4 + 3 -5)] \\ & = \frac{1}{2} [7] = \frac{7}{2} \end{align} $
*). Luas bayangannya :
$\begin{align} \text{Luas bayangan } & = |MT| \times \text{Luas awal} \\ & = \left| \begin{matrix} 3 & -1 \\ 2 & 4 \end{matrix} \right| \times \frac{7}{2} \\ & = (3.4-(2.(-1)) \times \frac{7}{2} \\ & = 14 \times \frac{7}{2} = 49 \end{align} $

2). Segitiga ABC dengan koordinat $A(1,2), B(3,-1), $ dan $ C(4,1) $ ditranslasi $ \left( \begin{matrix} 5 \\ -1 \end{matrix} \right) $, kemudian dilanjutkan lagi dengan pencerminan terhadap sumbu X, setelah itu didilatasi dengan faktor skala 2 dan titik pusat $(-1,3)$, setelah itu dilanjutkan lagi dengan rotasi sejauh $ 90^\circ $ belawanan jarum jam dengan titik pusat $(2,1) $. Tentukan luas bayangan segitiga ABC!

Penyelesaian :
Cara I : Menentukan bayangan titik segitiganya
*). Pertama : Translasi ,
$ \left( \begin{matrix} A^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 5 \\ -1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 6 \\ 1 \end{matrix} \right) $
$ \left( \begin{matrix} B^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 3 \\ -1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 5 \\ -1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 8 \\ -2 \end{matrix} \right) $
$ \left( \begin{matrix} C^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 5 \\ -1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 9 \\ 0 \end{matrix} \right) $
*). Kedua : Pencerminan sumbu X, MT $ = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) $
$ \left( \begin{matrix} A^{\prime \prime } \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 6 \\ 1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 6 \\ -1 \end{matrix} \right) $
$ \left( \begin{matrix} B^{\prime \prime } \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 8 \\ -2 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 8 \\ 2 \end{matrix} \right) $
$ \left( \begin{matrix} C^{\prime \prime } \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 9 \\ 0 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 9 \\ 0 \end{matrix} \right) $
*). Ketiga: dilatasi, MT $ = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) $ dengan $(a,b)=(-1,3)$
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} A^{\prime \prime \prime} \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 6 - (-1) \\ -1 - 3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 7 \\ -4 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 14 \\ -8 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 13 \\ -5 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} B^{\prime \prime \prime} \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 8 - (-1) \\ 2 - 3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 9 \\ -1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 18 \\ -2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 17 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} C^{\prime \prime \prime} \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 9 - (-1) \\ 0 - 3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 10 \\ -3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 20 \\ -6 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 19 \\ -3 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Keempat: rotasi, MT $ = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) $ dengan $(a,b)=(2,1)$
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} A^{\prime \prime \prime \prime} \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 13 - 2 \\ -5 - 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 11 \\ -6 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 6 \\ 11 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 8 \\ 12 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} B^{\prime \prime \prime \prime} \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 17 - 2 \\ 1 - 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 15 \\ 0 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 \\ 15 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 2 \\ 16 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} C^{\prime \prime \prime \prime} \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 19 - 2 \\ -3 - 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 17 \\ -4 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4 \\ 17 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 6 \\ 18 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Koordinat bayangan titik-titik sudut segitiga adalah :
$A^{\prime \prime \prime \prime}(8,12), B^{\prime \prime \prime \prime}(2,16) $ dan $ C^{\prime \prime \prime \prime}(6, 18 )$.
*). Menentukan luas bayangannya :
$\begin{align} \text{Luas bayangan } & = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 & a_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & a_2 \end{matrix} \right| \\ & = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} 8 & 2 & 6 & 8 \\ 12 & 16 & 18 & 12 \end{matrix} \right| \\ & = \frac{1}{2} [(128 + 36 + 72)-(24 + 96 + 144)] \\ & = \frac{1}{2} [-28] = -14 = 14 \end{align} $
(Luasan selalu bernilai positif).
Jadi, luas bayangannya adalah 14 satuan luas$. \, \heartsuit $

Cara 2 : Hanya memperhatikan bentuk dilatasi saja.
*). Pada dilatasi, berapapun titik pusatnya tidak berpengaruh pada luas, artinya luas hanya ditentukan oleh faktor skala saja.
*). Luas awal segitiga ABC :
$\begin{align} \text{Luas awal } & = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 & a_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & a_2 \end{matrix} \right| \\ & = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} 1 & 3 & 4 & 1 \\ 2 & -1 & 1 & 2 \end{matrix} \right| \\ & = \frac{1}{2} [(-1 + 3 + 8)-(6 - 4 + 1)] \\ & = \frac{1}{2} [7] = \frac{7}{2} \end{align} $
*). Luas bayangannya : dilatasi dengan $ k = 2 $
$\begin{align} \text{Luas bayangan } & = |MT| \times \text{Luas awal} \\ & = \left| \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right| \times \frac{7}{2} \\ & = (2.2-0.0) \times \frac{7}{2} \\ & = 4 \times \frac{7}{2} = 14 \end{align} $
Jadi, luas bayangannya adalah 14 satuan luas, sama dengan cara I.

3). Lingkaran dengan persamaan $(x-1)^2 + (y + 3)^2 = 5 $ dirotasi sejauh $ 135^\circ $ searah jarum jam, kemudian dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis $ y = x + 6 $, setelah itu dilanjutkan dengan translasi sejauh $ \left( \begin{matrix} 12 \\ -10 \end{matrix} \right) $ . Tentukan luas bayangan lingkaran tersebut!

Penyelesaian :
*). Luas akan berubah jika dilakukan dilatasi pada lingkaran tersebut.
*). Karena tidak ada dilatasi, maka luas bayangan tetap yaitu sama dengan luas awal.
*). Lingkaran $ (x-1)^2 + (y + 3)^2 = 5 $ memiliki $ r = \sqrt{5} $.
*). Luas bayangannya :
$\begin{align} \text{Luas bayangan } & = \text{Luas awal} \\ & = \pi r^2 \\ & = \pi (\sqrt{5})^2 = 5\pi \end{align} $
Jadi, luas bayangannya adalah $ 5\pi $ satuan luas $. \, \heartsuit $

4). Sebuah segiempat ABCD memiliki koordinat A(1,2), B(2,5), C(3, 7) dan D(5,4) dilakukan transformasi yaitu pertama didilatasi dengan faktor skala 3 dan titik pusat $(-1,2)$, dilanjutkan dengan rotasi sejauh $ 180^\circ $ dengan pusat $(0,0)$, dilanjutkan kembali translasi sejauh $ \left( \begin{matrix} -3 \\ 1 \end{matrix} \right) $. Tentukan perbandingan luas bayangan dan luas awalnya!

Penyelesaian :
*). Pada soal ini, yang berpengaruh hanya dilatasi dengan $ k = 3 $, sehingga :
$\begin{align} \text{Luas bayangan } & = |MT| \times \text{Luas awal} \\ \frac{\text{Luas bayangan } }{\text{Luas awal } } & = |MT| \\ & = \left| \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right| \\ & = 3.3 - 0.0 \\ & = 9 = \frac{9}{1} \end{align} $
Jadi, perbandingan luas bayangan dan luas awalnya adalah $ 9 : 1 . \, \heartsuit $.

       Demikian pembahasan materi Transformasi Geometri Luas Bangun datar dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan transformasi geometri.

4 komentar:

  1. kak informasinya bagus. tapi tolong webnya dibenerin lagi kak, saya pusing bacanya...

    BalasHapus
    Balasan
    1. Hallow @Fabian,

      terimakasih untuk kunjungannya ke blog koma ini.

      terimakasih untuk masukannya juga.

      semoga terus bisa membantu.

      Hapus
    2. Mas putu, saya ada pertanyaan tentang irisan kubus. Apa saja aksi yang tidak boleh dilakukan dalam membuat irisan kubus ? seperti apakah boleh memproyeksikan titik ke sembarang garis/sisi kubus ? saya juga searching di google boleh juga membuat garis sejajar, tapi kapan boleh buat garis sejajar dan kapan tidak boleh ? bagaimana kalau tidak ada satupun titik yang sebidang dan ketiganya berada di luar kubus ? Contoh nya ada di link dibawah ini :
      https://imgur.com/JKHCTT6

      Hapus
    3. Hallow @Ridho,

      terimakasih untuk kunjungannya ke blog koma ini.

      terimakasih juga untuk pertanyaanya.
      Menurut saya, apapun boleh kita lakukan asalkan tujuannya untuk memperluas bidang yang diketahui sehingga bisa mengiris kubus tersebut secara keseluruhan sehingga terbentuk bidang irisan. Di blog koma ini memang saya belum menyertakan analisis lebih jauh untuk irisan bidang datar, hanya menampilkan bentuk-bentuk yang familiar saja. Mungkin kalau ada waktu, saya akan coba untuk menyusun materinya. Namun untuk tingkat SMA, saya kira cukup dengan tiga cara yang sudah ada dalam membuat irisan bidang datar.

      Semoga bisa membantu.

      Hapus