Asimtot Miring Fungsi Aljabar

         Blog Koma - Setelah memebahas "asimtot tegak dan mendatar fungsi aljabar", nah pada artikel ini kita lanjutkan dengan pembahasan materi Asimtot Miring Fungsi Aljabar. Seperti penjelasan sebelumnya, asimtot adalah sebuah garis lurus yang didekati oleh sebuah kurva pada titik jauh tak hingga (jaraknya semakin dekat antara garis dan kurva yang mendekati nol). Asimtot dibagi menjadi tiga yaitu asimtot tegak, asimtot mendatar, dan asimtot miring. Asimtot miring biasanya dimiliki oleh kurva dengan fungsinya berbentuk pecahan, namun asimtot miring juga dimiliki oleh kurva hiperbola yang akan kita bahas dilain kesempatan. Pada pembahasan ini kita hanya fokus pada persamaan asimtot miring suatu fungsi aljabar yang berbentuk pecahan.

         Untuk memudahkan dalam mempelajari materi Asimtot Miring Fungsi Aljabar ini, kita harus menguasai beberapa materi terlebih dahulu yaitu "persamaan garis lurus",  "operasi pembagian suku banyak dengan cara bersusun" dan "penyelesaian limit tak hingga".

Menentukan Asimtot Miring Fungsi Aljabar

       Suatu fungsi $ y = \frac{f(x)}{g(x)} $ kemungkinan akan memiliki asimtot miring jika pangkat tertinggi pembilangnya harus lebih besar dari pangkat tertinggi penyebutnya. Hasil bagi $ f(x) $ dengan $ g(x) $ disebut sebagai persamaan asimtotnya dengan syarat hasil bagi tersebut harus berderajat satu (fungsi linier). Artinya dapat disimpulkan pangkat tertinggi pembilangnya harus lebih satu dari pangkat tertinggi penyebutnya.

       Langkah-langkah dalam menentukan persamaan asimtot miring fungsi $ y = \frac{f(x)}{g(x)} $ yaitu kita bagi dulu $ f(x) $ dengan $ g(x) $, misalkan hasil baginya $ H(x) = ax + b $, dan sisanya $ S(x) $, dapat kita tuliskan :
$ \begin{align} \frac{f(x)}{g(x)} & = H(x) + \frac{S(x)}{g(x)} \\ \frac{f(x)}{g(x)} & = (ax + b) + \frac{S(x)}{g(x)} \end{align} $
maka persamaan asimtot miringnya adalah $ y = ax + b $.

Catatan :
Untuk menentukan hasil dan sisa pembagian, kita gunakan cara bersusun yang bisa teman-teman pelajari kembali pada artikel : "Operasi pembagian suku banyak".

Contoh soal Asimtot Miring Fungsi Aljabar :

1). Tentukan persamaan asimtot miring dari fungsi $ f(x) = \frac{2x^2-3x+5}{x+2} $!
Penyelesaian :
*). Kita tentukan hasil dan sisa pembagian dari pembilang dan penyebutnya.
$ \begin{align} f(x) & = \frac{2x^2-3x+5}{x+2} = (2x - 7) + \frac{19}{x+2} \end{align} $
*). Untuk $ x $ mendekati $ \infty $, maka $ \frac{19}{x+2} $ hasilnya mendekati nol, sehingga persamaan asimtot miringnya adalah $ y = 2x - 7 $.
Jadi, persamaan asimtot miringnya adalah $ y = 2x - 7 . \, \heartsuit $

2). Tentukan persamaan asimtot miring dari fungsi $ f(x) = 4x - 1 + \frac{3x+5}{x-7} $!
Penyelesaian :
*). Kita tentukan hasil dan sisa pembagian dari pembilang dan penyebutnya.
$ \begin{align} f(x) & = 4x - 1 + \frac{3x+5}{x-7} \\ f(x) & = 4x - 1 + \left( 3 + \frac{26}{x-7} \right) \\ f(x) & = 4x + 2 + \frac{26}{x-7} \end{align} $
*). Untuk $ x $ mendekati $ \infty $, maka $ \frac{26}{x-7} $ hasilnya mendekati nol, sehingga persamaan asimtot miringnya adalah $ y = 4x + 2 $.
Jadi, persamaan asimtot miringnya adalah $ y = 4x + 2 . \, \heartsuit $

3). Tentukan persamaan asimtot miring dari fungsi $ f(x) = \frac{3x^3 + 2x + 1}{2x^3 + x^2 - 3x + 5} $!
Penyelesaian :
*). Karena pangkat tertinggi pembilang dan penyebutnya sama yaitu 3, maka fungsi ini tidak memiliki asimtot miring.

4). Tentukan persamaan asimtot miring dari fungsi $ f(x) = \frac{2x + 1}{x^2 + 6x - 5} $!
Penyelesaian :
*). Karena pangkat tertinggi pembilang lebih kecil dari penyebutnya, maka fungsi ini tidak memiliki asimtot miring.

5). Tentukan persamaan asimtot miring dari fungsi $ f(x) = \frac{5x^3+x-5}{x^2+3x+1} $!
Penyelesaian :
*). Kita tentukan hasil dan sisa pembagian dari pembilang dan penyebutnya.
$ \begin{align} f(x) & = \frac{5x^3+x-5}{x^2+3x+1} \\ f(x) & = 5x - 15 + \frac{41x+10}{x^2+3x+1} \end{align} $
*). Untuk $ x $ mendekati $ \infty $, maka $ \frac{41x+10}{x^2+3x+1} $ hasilnya mendekati nol, sehingga persamaan asimtot miringnya adalah $ y = 5x - 15 $.
Jadi, persamaan asimtot miringnya adalah $ y = 5x - 15 . \, \heartsuit $

6). Tentukan persamaan asimtot miring dari fungsi $ f(x) = \frac{x^3 - 2x^2 + x - 3}{x + 5} $!
Penyelesaian :
*). Karena selisih pangkat tertinggi pembilang dan penyebutnya tidak satu (selsisihnya 2) mengakibatkan hasil pembagiaannya tidak fungsi linear lagi, sehingga fungsi ini tidak memiliki asimtot miring.

7). Tentukan persamaan asimtot miring dari fungsi $ f(x) = \frac{-2x^\frac{5}{2} + x + 3}{x^\frac{3}{2} + 2} $!
Penyelesaian :
*). Kita tentukan hasil dan sisa pembagian dari pembilang dan penyebutnya.
$ \begin{align} f(x) & = \frac{-2x^\frac{5}{2} + x + 3}{x^\frac{3}{2} + 2} \\ f(x) & = -2x + \frac{5x + 3}{x^\frac{3}{2} + 2} \end{align} $
*). Untuk $ x $ mendekati $ \infty $, maka $ \frac{5x + 3}{x^\frac{3}{2} + 2} $ hasilnya mendekati nol, sehingga persamaan asimtot miringnya adalah $ y = -2x $.
Jadi, persamaan asimtot miringnya adalah $ y = -2x . \, \heartsuit $

       Demikian pembahasan materi Asimtot Miring Fungsi Aljabar dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan asimtot sautu fungsi. Kami selalu berharap ada masukan guna perbaikan teori dan contoh-contoh pada semua artikel yang ada di blog koma ini. Terima kasih.