Regangan dan Gusuran pada Transformasi

         Blog Koma - Selain membahas empat jenis transformasi geometri, ada dua lagi jenis transformasi yang akan kita bahasan yang merupakan materi pengayaan (materi tidak wajib diajarkan dan hanya sebagai tambahan saja) di tingkat SMA yaitu Regangan dan Gusuran pada Transformasi. Adapun empat jenis transformasi yang sudah kita bayas yaitu : translasi, dilatasi, rotasi, dan refleksi.

         Pada materi Regangan dan Gusuran pada Transformasi juga melibatkan matriks transformasi geometri dalam melakukan penghitungannya yaitu menggunakan rumus umum transformasi. Sehingga untuk memudahkan mempelajari materi regangan dan gusuran ini teman-teman harus menguasai materi operasi hitung pada matriks dan sifat invers matriks.

         Regangan pada transformasi sebenarnya lebih mirip dengan dilatasi, hanya saja yang mengalami perbesaran atau perkecilan pada salah satu bagian yaitu absisnya saja ($x$) atau ordinatnya saja ($y$), sementara kalau dilatasi keduanya berubah ($x,y$). Gusuran pada transformasi lebih mirip dengan translasi (pergeseran) dimana translasi digeser kedua arah yaitu searah sumbu X dan searah sumbu Y, sementara untuk gusuran hanya digeser kesalah satu arah saja yaitu serah sumbu X saja atau searah sumbu Y saja.

Sifat-sifat Regangan dan Gusuran pada Transformasi
       Adapun sifat-sifat bayangan hasil dari transformasi berupa Regangan atau Gusuran yaitu :
1). Regangan atau Gusuran mengakibatkan bentuk dan ukuran bangun semula berubah.
2). Regangan atau Gusuran mengakibatkan posisi bangun semua berubah.
Regangan pada Transformasi Geometri
       Berikut cara menghitung mencari bayangan oleh transformasi berupa Regangan :
*). Perubahan bagian absis ($x$) :
       Misalkan titik $A(x,y)$ mengalami Regangan searah sumbu X dengan faktor skala $ k $ (faktor pengubahnya), maka bayangannya diperoleh dengan cara :
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} k & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) $
*). Perubahan bagian ordinat ($y$) :
       Misalkan titik $A(x,y)$ mengalami Regangan searah sumbu Y dengan faktor skala $ k $ (faktor pengubahnya), maka bayangannya diperoleh dengan cara :
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & k \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) $
Contoh Soal Regangan pada Transformasi :
1). Tentukan bayangan titik P(-3,2) jika mengalami peregangan terhadap sumbu X dengan faktor skala 5?

Penyelesaian :
*). Menentukan bayangan titik P yang mengalami peregangan searah sumbu X :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} k & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 5 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} -3 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -15 \\ 2 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik P adalah $ P^\prime (-15, 2) . \, \heartsuit $.

2). Tentukan bayangan titik A(1,4) jika mengalami peregangan terhadap sumbu Y dengan faktor skala -2?

Penyelesaian :
*). Menentukan bayangan titik A yang mengalami peregangan searah sumbu Y :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & k \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -2 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 \\ 4 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 \\ -8 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik A adalah $ A^\prime (1,-8) . \, \heartsuit $.

3). Persamaan $ 2x - 3y = 1 $ mengalami peregangan terhadap sumbu X dengan faktor skala 4. Tentukan bayangan persamaan tersebut?

Penyelesaian :
*). Menentukan hubungan $(x,y)$ dan $(x^\prime , y^\prime )$ :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} k & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 4 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 4x \\ y \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh :
$ x^\prime = 4x \rightarrow x = \frac{1}{4} x^\prime $
$ y^\prime = y \rightarrow y = y^\prime $.
*). Substitusikan bentuk $ x = \frac{1}{4} x^\prime $ dan $ y = y^\prime $ ke persamaan awal sehingga kita peroleh persamaan bayangannya :
$ \begin{align} 2x - 3y & = 1 \\ 2.\frac{1}{4} x^\prime - 3y^\prime & = 1 \\ \frac{1}{2} x^\prime - 3y^\prime & = 1 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ x^\prime - 6y^\prime & = 2 \end{align} $
sehingga bayangannya adalah $ x^\prime - 6y^\prime = 2 $ atau $ x - 6y = 2 $.
Jadi, bayangan persamaannya adalah $ x - 6y = 2 . \, \heartsuit $.

Gusuran pada Transformasi Geometri
       Berikut cara menghitung mencari bayangan oleh transformasi berupa Gusuran :
*). Perubahan searah sumbu X :
       Misalkan titik $A(x,y)$ mengalami Gusuran searah sumbu X dengan faktor skala $ k $ (faktor pengubahnya), maka bayangannya diperoleh dengan cara :
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) $
*). Perubahan searah sumbu Y :
       Misalkan titik $A(x,y)$ mengalami Gusuran searah sumbu Y dengan faktor skala $ k $ (faktor pengubahnya), maka bayangannya diperoleh dengan cara :
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ k & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) $
4). Bayangan titik B(-1,2) yang mengalami gusuran yang searah sumbu X dengan faktor skala 3 adalah ....?

Penyelesaian :
*). Menentukan bayangan titik B yang mengalami gusuran searah sumbu X :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} -1 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -1 + 6 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik B adalah $ B^\prime (5, 2) . \, \heartsuit $.

5). Bayangan titik C(-3,-1) yang mengalami gusuran yang searah sumbu Y dengan faktor skala -2 adalah ....?

Penyelesaian :
*). Menentukan bayangan titik C yang mengalami gusuran searah sumbu Y :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ k & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} -3 \\ -1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -3 \\ 6 + (-1) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -3 \\ 5 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik C adalah $ C^\prime (-3,5) . \, \heartsuit $.

6). Persamaan $ -2x + 5y + 1 = 0 $ mengalami gusuran searah sumbu X dengan faktor skala 3. Tentukan bayangan persamaan tersebut?

Penyelesaian :
Cara I : Menggunakan sifat invers Matriks :
$ A = B.X \rightarrow X = B^{-1} . A $
dengan $ B^{-1} \, $ adalah invers dari matriks B.
*). Menentukan hubungan $(x,y)$ dan $(x^\prime , y^\prime )$ :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right)^{-1} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \frac{1}{1.1 - 3.0} \left( \begin{matrix} 1 & -3 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \frac{1}{1 - 0} \left( \begin{matrix} 1 . x^\prime + -3y^\prime \\ 0 . x^\prime + 1 . y^\prime \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x^\prime -3y^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh : $ x = x^\prime -3y^\prime \, $ dan $ y = y^\prime $
*). Substitusikan bentuk $ x = x^\prime -3y^\prime \, $ dan $ y = y^\prime $ ke persamaan awal sehingga kita peroleh persamaan bayangannya :
$ \begin{align} -2x + 5y + 1 & = 0 \\ -2(x^\prime -3y^\prime ) + 5. y^\prime + 1 & = 0 \\ -2x^\prime + 6y^\prime + 5 y^\prime + 1 & = 0 \\ -2x^\prime + 11y^\prime + 1 & = 0 \end{align} $
sehingga bayangannya adalah $ -2x^\prime + 11y^\prime + 1 = 0 $ atau $ -2x + 11y + 1 = 0 $.
Jadi, bayangan persamaannya adalah $ -2x + 11y + 1 = 0 . \, \heartsuit $.

Cara II : Jika salah satu entri (isi matriks) matriksnya ada yang bernilai nol, maka bisa langsung dikalikan saja.
*). Menentukan hubungan $(x,y)$ dan $(x^\prime , y^\prime )$ :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x + 3y \\ y \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh :
$ y^\prime = y $ atau $ y = y^\prime $
$ x^\prime = x + 3y \rightarrow x^\prime = x + 3y^\prime \rightarrow x = x^\prime - 3y^\prime $.
*). Substitusikan bentuk $ x = x^\prime -3y^\prime \, $ dan $ y = y^\prime $ ke persamaan awal sehingga kita peroleh persamaan bayangannya :
$ \begin{align} -2x + 5y + 1 & = 0 \\ -2(x^\prime -3y^\prime ) + 5. y^\prime + 1 & = 0 \\ -2x^\prime + 6y^\prime + 5 y^\prime + 1 & = 0 \\ -2x^\prime + 11y^\prime + 1 & = 0 \end{align} $
sehingga bayangannya adalah $ -2x^\prime + 11y^\prime + 1 = 0 $ atau $ -2x + 11y + 1 = 0 $.
Jadi, bayangan persamaannya adalah $ -2x + 11y + 1 = 0 . \, \heartsuit $.

7). Suatu persamaan garis mengalami gusuran searah sumbu Y dengan faktor skala $ - 3 $ menghasilkan bayangan $ -10x-5y+2 = 0 $. Tentukan persamaan awalnya?

Penyelesaian :
*).Diketahui pada soal :
Persamaan bayangannya : $ -10x-5y+2 = 0 $ atau $ -10x^\prime -5y^\prime +2 = 0 $
Yang ditanyakan adalah persamaan awalnya?
*). Menentukan hubungan $(x,y)$ dan $(x^\prime , y^\prime )$ :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ k & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ -3 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ -3x + y \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh :
$ x^\prime = x $ dan $ y^\prime = -3x + y $
*). Substitusikan bentuk $ x^\prime = x $ dan $ y^\prime = -3x + y $ ke persamaan bayangan sehingga kita peroleh persamaan awalnya :
$ \begin{align} -10x^\prime -5y^\prime +2 & = 0 \\ -10x -5(-3x + y) +2 & = 0 \\ -10x + 15x -5y + 2 & = 0 \\ 5x -5y + 2 & = 0 \end{align} $
Jadi, bayangan awalnya adalah $ 5x -5y + 2 = 0 . \, \heartsuit $.

       Demikian pembahasan materi Regangan dan Gusuran pada Transformasi dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan transformasi geometri.

Tidak ada komentar:

Posting Komentar