Translasi pada transformasi geometri adalah perpindahan dengan cara menggeser suatu benda (biasanya berupa titik, kurva, bangun datar, dan lainnya) menurut jarak dan arah tertentu. Misalkan, kita ingin memindahkan suatu titik dari posisi A ke posisi B, terjadi pergeseran sejauh $ a $ satuan arah horizontal dan sejauh $ b $ satuan arah vertikal. Sehingga mastriks transformasi untuk jenis translasi dapat kita tuliskan : $ T = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $ .
Untuk memudahkan dalam mempelajari materi Translasi pada Transformasi Geometri ini, kita harus menguasai materi matriks terlebih dahulu khususnya "operasi penjumlahan dan pengurangan pada matriks". Untuk penjelasan cara penghitungan pada translasi, mari kita simak langsung pembahasannya berikut ini.
Cara Penghitungan pada Translasi dan Sifat-sifat Translasi
Misalkan sembarang titik $A(x,y) $ ditranslasikan oleh matriks translasi
$ T = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $, maka kita peroleh bayangannya yaitu $ A^\prime (x^\prime , y^\prime ) $, dapat kita
tuliskan : $ A(x,y) \overset{T = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) }{ \huge \longrightarrow} A^\prime (x^\prime, y^\prime ) $
$\clubsuit $ Cara Penghitungannya :
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $
Sehingga kalau kita operasikan menjadi :
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} x + a \\ y + b \end{matrix} \right) $
$ \spadesuit $ Sifat-sifat Translasi
Berikut beberapa sifat pada translasi yaitu :
(i). Bangun yang digeser (ditranslasikan) tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran.
(ii). Bangun yang digeser (ditranslasikan) mengalami perubahan posisi.
$\clubsuit $ Cara Penghitungannya :
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $
Sehingga kalau kita operasikan menjadi :
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} x + a \\ y + b \end{matrix} \right) $
$ \spadesuit $ Sifat-sifat Translasi
Berikut beberapa sifat pada translasi yaitu :
(i). Bangun yang digeser (ditranslasikan) tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran.
(ii). Bangun yang digeser (ditranslasikan) mengalami perubahan posisi.
Contoh Soal Translasi pada transformasi geometri :
1). Tentukan bayangan titik A(2,-5) jika ditranslasikan oleh matriks $ \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right) $
Penyelesaian :
*). Menentukan bayangan titik A(2,-5) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 \\ -5 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 + (-1) \\ -5 + 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 \\ -2 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik A adalah $ A^\prime (1,-2). \, \heartsuit $
2). Suatu benda terletak pada posisi dengan koordinat ($-3,1$), kemudian benda tersebut bergerak kearah bawah secara vertikal sejauh 2 satuan dan dilanjutkan ke arah kanan secara horizontal sejauh 4 satuan. Tentukan koordinat posisi akhir dari benda tersebut!
Penyelesaian :
*). Menentukan matriks translasinya
benda bergerak :
horizontal ke kanan (4 satuan) $ \rightarrow a = 4 $
vertikal ke bawah (2 satuan) $ \rightarrow b = -2 $
Matriks translasinya : $ T = \left( \begin{matrix} 4 \\ -2 \end{matrix} \right) $
Catatan :
arah kanan dan atas bernilai positif,
arah kiri dan bawah bernilai negatif,
*). Menenetukan posisi akhir sama saja dengan menentukan bayangannya setelah ditanslasi.
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -3 \\ 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 4 \\ -2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -3 + 4 \\ 1 + (-2) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 \\ -1 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, posisi titik akhir benda tersebut adalah $ ( 1,-1). \, \heartsuit $
3). Translasi $ T = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $ memetakan titik $A(7, - 1) $ ke $ A^\prime (2, -3 )$.
a). Tentukan matriks translasinya,
b). Tentukan bayangan segitiga ABC dengan titik sudut A(1,3), B(-4,2), dan C(-1,-5) oleh translasi tersebut,
c). Tentukan Luas bayangan segitiganya.
Penyelesaian :
a). Menentukan matriks translasinya :
titik awal : A(7,-1)
bayangannya : $ A^\prime (2,-3) $.
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 2 \\ -3 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 7 \\ -1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 2 \\ -3 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} 7 \\ -1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 2 - 7 \\ -3 - (-1) \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} -5 \\ -2 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, matriks translasinya adalah $ T = \left( \begin{matrix} -5 \\ -2 \end{matrix} \right) $
b). Menentukan bayangan segitiga dengan
titik A(1,3),
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x + a \\ y + b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 + (-5) \\ 3 + (-2) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -4 \\ 1 \end{matrix} \right) \end{align} $
titik B(-4,2),
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x + a \\ y + b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -4 + (-5) \\ 2 + (-2) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -9 \\ 0 \end{matrix} \right) \end{align} $
titik C(-1,-5),
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x + a \\ y + b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -1 + (-5) \\ -5 + (-2) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -6 \\ -7 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan dari segitiga ABC adalah $A^\prime (-4,1), \, B^\prime (-9,0), \, $ dan $ C^\prime (-6,-7) $.
c). Sesuai dengan sifat (i) pada Translasi di atas, maka bentuk dan ukuran segitiganya tidak berubah, sehingga luas bayangannya sama saja dengan luas segitiga awalnya. Mari kita cek kebenarannya dengan menghitung luas awal dan luas bayangannya.
*). Luas awal segitiga ABC dengan titik sudut A(1,3), B(-4,2), dan C(-1,-5) :
$\begin{align} \text{Luas awal } & = \frac{1}{2} \begin{array}{c|ccc|c} & x_1 & x_2 & x_3 & x_1 \\ & y_1 & y_2 & y_3 & y_1 \end{array} \\ & = \frac{1}{2} \begin{array}{c|ccc|c} & 1 & -4 & -1 & 1 \\ & 3 & 2 & -5 & 3 \end{array} \\ & = \frac{1}{2}[(1.2 + (-4).(-5) + (-1).3 ) - ((-4).3 + (-1).2+1.(-5))] \\ & = \frac{1}{2}[(2 + 20 + (-3) ) - ((-12) + (-2) + (-5))] \\ & = \frac{1}{2}[(19 ) - (-19)] \\ & = \frac{1}{2}[38] \\ & = 19 \end{align} $
sehingga luas segitiga awal adalah 19 satuan luas.
*). Luas bayangan segitiga ABC dengan titik sudut $A^\prime (-4,1), \, B^\prime (-9,0), \, $ dan $ C^\prime (-6,-7) $
$\begin{align} \text{Luas awal } & = \frac{1}{2} \begin{array}{c|ccc|c} & x_1 & x_2 & x_3 & x_1 \\ & y_1 & y_2 & y_3 & y_1 \end{array} \\ & = \frac{1}{2} \begin{array}{c|ccc|c} & -4 & -9 & -6 & -4 \\ & 1 & 0 & -7 & 1 \end{array} \\ & = \frac{1}{2}[((-4).0 + (-9).(-7)+(-6).1 ) - ((-9).1+(-6).0+(-4).(-7))] \\ & = \frac{1}{2}[(0 + 63 + (-6) ) - ((-9)+0+28)] \\ & = \frac{1}{2}[( 57 ) - (19)] \\ & = \frac{1}{2}[38] \\ & = 19 \end{align} $
sehingga luas bayangan segitiga adalah 19 satuan luas.
Jadi, dapat disimpulkan benar bahwa luas bayangannya sama dengan luas awal ketika kita lakukan translasi sesuai dengan sifat (i).
4). Tentukan bayangan kurva parabola $ y = x^2 - 5x + 1 $ jika ditranslasikan oleh $ T = \left( \begin{matrix} -4 \\ 1 \end{matrix} \right) $!
Penyelesaian :
*). Karena persamaan atau fungsi ditransformasi, maka yang kita transformasikan adalah titik $(x,y)$, setelah itu kita ubah menjadi dalam bentuk $x^\prime $ dan $ y^\prime $.
*). Proses translasinya :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -4 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} -4 \\ 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime - (-4) \\ y^\prime - 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime + 4 \\ y^\prime - 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh : $ x = x^\prime + 4 \, $ dan $ y = y^\prime - 1 $.
bentuk inilah yang akan kita substitusikan ke persamaan kurva awal sehingga kita peroleh persamaan bayangannya.
*). Substitusikan bentuk $ x = x^\prime + 4 \, $ dan $ y = y^\prime - 1 $ ke persamaan awal
$ \begin{align} y & = x^2 - 5x + 1 \\ y^\prime - 1 & = (x^\prime + 4)^2 - 5(x^\prime + 4) + 1 \\ y^\prime - 1 & = {x^\prime}^2 + 8 x^\prime + 16 - 5x^\prime -20 + 1 \\ y^\prime - 1 & = {x^\prime}^2 + 3 x^\prime - 3 \\ y^\prime & = {x^\prime}^2 + 3 x^\prime - 2 \end{align} $
Sehingga kita peroleh persamaan bayangannya yaitu $ y^\prime = {x^\prime}^2 + 3 x^\prime - 2 $
Jadi, persamaan bayagannya adalah $ y = x^2 + 3x - 2 . \, \heartsuit $
5). Persamaan garis $ 2x + 3y = 5 $ ditranslasi oleh $ T = \left( \begin{matrix} a \\ 2 \end{matrix} \right) $ sehingga menghasilkan bayangan $ 2x + 3y = 9 $. Tentukan matriks translasinya!
Penyelesaian :
*). Pada soal diketahui :
persamaan awal : $ 2x + 3y = 5 $
persamaan bayangannya : $ 2x + 3y = 9 $ atau $ 2x^\prime + 3y^\prime = 9 $
*). Kita tentukan hubungan $(x,y)$ dan $(x^\prime , y^\prime )$ dari proses translasinya :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ 2 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x + a \\ y + 2 \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh : $ x^\prime = x + a $ dan $ y^\prime = y + 2 $.
*). Kita substitusikan bentuk $ x^\prime = x + a $ dan $ y^\prime = y + 2 $ ke persamaan bayangannya sehingga kita peroleh persamaan awal (bentuknya sama dengan persamaan awal).
$ \begin{align} 2x^\prime + 3y^\prime & = 9 \\ 2(x+a) + 3(y + 2) & = 9 \\ 2x + 2a + 3y + 6 & = 9 \\ 2x + 3y & = 9 - 6 - 2a \\ 2x + 3y & = 3 - 2a \end{align} $
kita peroleh persamaan awal yaitu $ 2x + 3y = 3 - 2a $ yang bentuknya sama dengan $ 2x + 3y = 5 $, sehingga haruslah :
$ 3 - 2a = 5 \rightarrow -2a = 2 \rightarrow a = -1 $.
*). Matriks translasinya adalah $ T = \left( \begin{matrix} a \\ 2 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -1 \\ 2 \end{matrix} \right) $
Jadi, matriksnya adalah $ T = \left( \begin{matrix} -1 \\ 2 \end{matrix} \right) . \, \heartsuit $
6). Fungsi kuadrat $ y = 2x^2 - x + 1 $ ditranslasikan oleh matriks $ T = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $, sehingga menghasilkan bayangan $ y = 2x^2 - 5x + 3 $. Tentukan nilai $ 2a + 3b $?
Penyelesaian :
*). Untuk menentukan nilai $ 2a + 3b$, kita harus menentukan matriks translasinya terlebih dahulu.
*). pada soal diketahui :
Persamaan awal : $ y = 2x^2 - x + 1 $
persamaan bayangannya : $ y = 2x^2 - 5x + 3 $ atau $ y^\prime = 2{x^\prime} ^2 - 5x^\prime + 3 $
*). Kita tentukan hubungan $(x,y)$ dan $(x^\prime , y^\prime )$ dari proses translasinya :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x + a \\ y + b \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh : $ x^\prime = x + a $ dan $ y^\prime = y + b $.
*). Kita substitusikan bentuk $ x^\prime = x + a $ dan $ y^\prime = y + b $ ke persamaan bayangannya sehingga kita peroleh persamaan awal (bentuknya sama dengan persamaan awal).
$ \begin{align} y^\prime & = 2{x^\prime} ^2 - 5x^\prime + 3 \\ ( y + b) & = 2( x + a) ^2 - 5( x + a) + 3 \\ ( y + b) & = 2( x^2 + 2ax + a^2) - 5x - 5 a + 3 \\ ( y + b) & = 2x^2 + 4ax + 2a^2 - 5x - 5 a + 3 \\ y & = 2x^2 + (4a - 5)x + (2a^2 - 5 a + 3 - b ) \end{align} $
kita peroleh persamaan awal yaitu $ y = 2x^2 + (4a - 5)x + (2a^2 - 5 a + 3 - b ) $ yang bentuknya sama dengan $ y = 2x^2 - x + 1 $, sehingga haruslah :
Pertama koefisien $ x $ sama yaitu :
$ 4a - 5 = -1 \rightarrow 4a = 4 \rightarrow a = 1 $.
Kedua, konstantanya sama :
$ \begin{align} (2a^2 - 5 a + 3 - b ) & = 1 \\ (2.1^2 - 5.1 + 3 - b ) & = 1 \\ (2 - 5 + 3 - b ) & = 1 \\ - b & = 1 \\ b & = -1 \end{align} $
Sehingga matriks translasinya adalah $ T = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 \\ -1 \end{matrix} \right) $
*). Menentukan nilai $ 2a + 3b $ :
$ 2a + 3b = 2.1 + 3.(-1) = 2 + (-3) = -1 $.
Jadi, nilai $ 2a + 3b = -1 . \, \heartsuit $.
7). Matriks translasi $ T = \left( \begin{matrix} 2 \\ -2 \end{matrix} \right) $ mentranslasikan persamaan $ x^2 + y^2 + 3xy + 1 = 0 $ menjadi $ x^2 + y^2 + 3xy + 2px + (p-q)y + r = 0 $. Tentukan nilai $ p + q + r $?
Penyelesaian :
*). diketahui :
persamaan awal : $ x^2 + y^2 + 3xy + 1 = 0 $
persamaan bayangannya : $ x^2 + y^2 + 3xy + 2px + (p-q)y + r = 0 $
*). Kita tentukan hubungan $(x,y)$ dan $(x^\prime , y^\prime )$ dari proses translasinya :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2 \\ -2 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime - 2 \\ y^\prime + 2 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh : $ x = x^\prime - 2 $ dan $ y = y^\prime + 2 $.
*). Kita substitusikan bentuk $ x = x^\prime - 2 $ dan $ y = y^\prime + 2 $ ke persamaan awal sehingga kita peroleh persamaan bayangannya (bentuknya sama dengan persamaan bayangan yang diketahui pada soal).
$ \begin{align} x^2 + y^2 + 3xy + 1 & = 0 \\ (x^\prime - 2)^2 + (y^\prime + 2)^2 + 3(x^\prime - 2)(y^\prime + 2) + 1 & = 0 \\ {x^\prime}^2 + {y^\prime}^2 + 3x^\prime y^\prime + 2x^\prime - 2y^\prime - 3 & = 0 \, \, \, \, \text{ (atau)} \\ x^2 + y^2 + 3xy + 2x - 2y - 3 & = 0 \end{align} $
kita peroleh persamaan bayangan yaitu $ x^2 + y^2 + 3xy + 2x - 2y - 3 = 0 $ yang bentuknya sama dengan $ x^2 + y^2 + 3xy + 2px + (p-q)y + r = 0 $, sehingga haruslah :
$ 2p = 2 \rightarrow p = 1 $
$ (p-q) = -2 \rightarrow 1 - q = - 2 \rightarrow q = 3 $
$ r = -3 $.
*). Menentukan hasil $ p + q + r $ :
$ p + q + r = 1 + 3 + (-3) = 1 $.
Jadi, nilai $ p + q + r = 1 . \, \heartsuit $
Demikian pembahasan materi Translasi pada Transformasi Geometri dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan Dilatasi pada Transformasi Geometri.
