Untuk memudahkan mempelajari materi Luas Irisan Dua Lingkaran Bentuk 4 ini, ada beberapa materi yang harus kita kuasai terlebih dahulu yaitu diantaranya : "persamaan lingkaran", "menentukan besarnya sudut menggunakan aturan kosinus", "luas juring dan luas tembereng", "luas segitiga dengan aturan sinus", dan "jarak antara dua titik". Berikut cara menghitung luas irisan dua lingkaran bentuk 4 dan penurunan rumusnya.
Menentukan Rumus Luas irisan dua lingkaran bentuk 4
$\spadesuit $ Menentukan luas irisan dua lingkaran bentuk 4 Bagian Pertama
Perhatikan gambar irisan dua lingkaran bentuk 4 bagian pertama berikut,
Dari gambar irisan di atas, daerah irisan dua lingkarannya adalah daerah arsiran berwarna biru dan abu-abu dimana luas keduanya sama besar sehingga untuk
menghitung luas irisannya cukup menghitung salah satu dan kita kalikan dua. Misalkan besarnya jari-jari lingkaran adalah $ r $.
*). Luas daerah yang kita hitung adalah luas tembereng warna abu-abu
Luas tembereng diperoleh dari luas juring kurangi luas segitiganya.
luas juring CAD = $ \frac{\angle CAD}{360^\circ} . \pi . r^2 $
Luas segitiga CAD = $ \frac{1}{2}. AC . AD. \sin \angle CAD = \frac{1}{2}. r^2. \sin \angle CAD $
Luas tembereng = luas juring CAD $ - $ lusa segitiga CAD.
Luas tembereng $ = \frac{\angle CAD}{360^\circ} . \pi . r^2 - \frac{1}{2}. r^2 . \sin \angle CAD $
*). Luas irisannya :
$ \begin{align} \text{Luas irisan } & = 2 \times \text{ Luas Tembereng} \\ & = 2 \times \left( \frac{\angle CAD}{360^\circ} . \pi . r^2 - \frac{1}{2}. r^2 . \sin \angle CAD \right) \\ & = 2 \times \frac{\angle CAD}{360^\circ} . \pi . r^2 - 2 \times \frac{1}{2}. r^2 . \sin \angle CAD \\ & = \frac{\angle CAD}{180^\circ} . \pi . r^2 - r^2 . \sin \angle CAD \\ & = r^2 \left( \frac{\angle CAD}{180^\circ} . \pi - \sin \angle CAD \right) \end{align} $
$ \clubsuit $ Menentukan besar sudut
Untuk menentukan besarnya sudut masing-masing busur, kita menggunakan aturan kosinus. Misalkan besar sudut CAD pada lingkaran A, besar sudutnya :
$ \cos \angle CAD = \frac{AD^2 + AC^2 - CD^2}{2.AD.AC} = \frac{r^2 + r^2 - CD^2}{2.r.r} $
$ \cos \angle CAD = \frac{2.r^2 - CD^2}{2.r^2} $
$\clubsuit $ Menentukan panjang garis CD
Sebelum menentukan jarak atau panjang CD, kita harus menentukan titik C dan D (titik potong kedua lingkaran) terlebih dahulu. Untuk menentukan panjang CD, kita gunakan konsep jarak antar dua titik, misalkan titik C($x_1,y_1$) dan D($x_2,y_2$) , jarak atau panjang CD adalah
$ CD = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} $
$\spadesuit $ Menentukan luas irisan dua lingkaran bentuk 4 Bagian Kedua
Perhatikan gambar berikut ini,
Kedua lingkaran memiliki titik pusat dan jari-jari yang sama sehingga daerah irisannya adalah lingkaran itu sendiri. Ini artinya luas daerah irisannya
adalah :
Luas irisan $ = \pi r^2 $
Perhatikan gambar irisan dua lingkaran bentuk 4 bagian pertama berikut,
*). Luas daerah yang kita hitung adalah luas tembereng warna abu-abu
Luas tembereng diperoleh dari luas juring kurangi luas segitiganya.
luas juring CAD = $ \frac{\angle CAD}{360^\circ} . \pi . r^2 $
Luas segitiga CAD = $ \frac{1}{2}. AC . AD. \sin \angle CAD = \frac{1}{2}. r^2. \sin \angle CAD $
Luas tembereng = luas juring CAD $ - $ lusa segitiga CAD.
Luas tembereng $ = \frac{\angle CAD}{360^\circ} . \pi . r^2 - \frac{1}{2}. r^2 . \sin \angle CAD $
*). Luas irisannya :
$ \begin{align} \text{Luas irisan } & = 2 \times \text{ Luas Tembereng} \\ & = 2 \times \left( \frac{\angle CAD}{360^\circ} . \pi . r^2 - \frac{1}{2}. r^2 . \sin \angle CAD \right) \\ & = 2 \times \frac{\angle CAD}{360^\circ} . \pi . r^2 - 2 \times \frac{1}{2}. r^2 . \sin \angle CAD \\ & = \frac{\angle CAD}{180^\circ} . \pi . r^2 - r^2 . \sin \angle CAD \\ & = r^2 \left( \frac{\angle CAD}{180^\circ} . \pi - \sin \angle CAD \right) \end{align} $
$ \clubsuit $ Menentukan besar sudut
Untuk menentukan besarnya sudut masing-masing busur, kita menggunakan aturan kosinus. Misalkan besar sudut CAD pada lingkaran A, besar sudutnya :
$ \cos \angle CAD = \frac{AD^2 + AC^2 - CD^2}{2.AD.AC} = \frac{r^2 + r^2 - CD^2}{2.r.r} $
$ \cos \angle CAD = \frac{2.r^2 - CD^2}{2.r^2} $
$\clubsuit $ Menentukan panjang garis CD
Sebelum menentukan jarak atau panjang CD, kita harus menentukan titik C dan D (titik potong kedua lingkaran) terlebih dahulu. Untuk menentukan panjang CD, kita gunakan konsep jarak antar dua titik, misalkan titik C($x_1,y_1$) dan D($x_2,y_2$) , jarak atau panjang CD adalah
$ CD = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} $
$\spadesuit $ Menentukan luas irisan dua lingkaran bentuk 4 Bagian Kedua
Perhatikan gambar berikut ini,
Luas irisan $ = \pi r^2 $
1). Tentuk luas irisan dua lingkaran dengan persamaan lingkaran masing-masing $ (x - 1)^2 + ( y - 1)^2 = 4 $ dan $ x^2 + ( y - 1)^2 = 4 $ ?
Penyelesaian :
*). gambar irisan kedua lingkaran :
$ (x - 1)^2 + ( y - 1)^2 = 4 \rightarrow r = \sqrt{4} = 2 \, $, pusat(1,1)
$ x^2 + ( y - 1)^2 = 4 \rightarrow r = \sqrt{4} = 2 \, $, pusat(0,1)
Titik pusat kedua lingkaran berbeda dan jari-jari sama, sehingga ini adalah bentuk 4 bagian pertama.
*). Menentukan titik potong kedua lingkaran.
$ L_1 : \, (x - 1)^2 + ( y - 1)^2 = 4 \rightarrow x^2 + y^2 - 2x - 2y = 2 $
$ L_2 : \, x^2 + ( y - 1)^2 = 4 \rightarrow x^2 + y^2 - 2y = 3 $
Eliminasi kedua persamaan lingkaran :
$ \begin{array}{cc} x^2 + y^2 - 2x - 2y = 2 & \\ x^2 + y^2 - 2y = 3 & - \\ \hline -2x = -1 & \\ x = 0,5 & \end{array} $
substitusi nilai $ x = 0,5 \, $ ke persamaan lingkaran 2.
$\begin{align} x = 0,5 \rightarrow x^2 + ( y - 1)^2 & = 4 \\ (0,5)^2 + ( y - 1)^2 & = 4 \\ 0,25 + ( y - 1)^2 & = 4 \\ ( y - 1)^2 & = 3,75 \\ ( y - 1) & = \pm \sqrt{3,75} \\ y & = 1 \pm \sqrt{3,75} \\ y = 1 + \sqrt{3,75} \vee y & = 1 - \sqrt{3,75} \end{align} $
Sehingga titik potong kedua lingkaran: C($0,5;1 + \sqrt{3,75}$ ) dan D($0,5;1 - \sqrt{3,75}$)
*). Panjang CD
CD = $ \sqrt{(0,5-0,5 )^2 + [(1 + \sqrt{3,75}) - (1 - \sqrt{3,75}) ]^2 } = 2\sqrt{3,75} $
*). Menentukan besar sudut CAD (segitiga besar) :
$ \begin{align} \cos \angle CAD & = \frac{2r^2 - CD^2}{2r^2} \\ \cos \angle CAD & = \frac{2.(2)^2 - (2\sqrt{3,75})^2}{2.(2)^2} \\ \cos \angle CAD & = \frac{8 - 15}{8} \\ \cos \angle CAD & = \frac{-7}{14} \\ \cos \angle CAD & = \frac{-1}{2} \\ \angle CAD & = arc \, \cos \frac{-1}{2} \\ \angle CAD & = 120^\circ \end{align} $
*). Menentukan luas irisan :
$ \begin{align} \text{Luas irisan} & = r^2 \left( \frac{\angle CAD}{180^\circ} . \pi - \sin \angle CAD \right) \\ & = 2^2 \left( \frac{120^\circ}{180^\circ} . \pi - \sin 120^\circ \right) \\ & = 4 \left( \frac{2}{3} . (3,14) - 0,867 \right) \\ & = 4 \left( 2,093 - 0,867 \right) \\ & = 4 . \left( 1,226 \right) \\ & = 4,904 \end{align} $
Jadi, luas irisan kedua lingkaran tersebut adalah $ 4,904 \, $ satuan luas. $ \heartsuit $
2). Tentuk luas irisan dua lingkaran dengan persamaan lingkaran masing-masing $ (x - 3)^2 + ( y + 1)^2 = 9 $ dan $ x^2 + y^2 - 6x + 2y + 1 = 0 $ ?
Penyelesaian :
persamaan lingkaran, titik pusat, dan jari-jarinya,
$ (x - 3)^2 + ( y + 1)^2 = 9 \rightarrow r = \sqrt{9} = 3 \, $, pusat(3,-1)
$ x^2 + y^2 - 6x + 2y + 1 = 0 \rightarrow A = -6 , \, B = 2, \ , C = 1 $,
Pusat : $(a,b)=(-\frac{A}{2}, - \frac{B}{2}) = (3,-1) $
Jari-jari : $ r = \sqrt{a^2 + b^2 - C} = \sqrt{3^2 + (-1)^2 - 1} = \sqrt{9} = 3 $
Karena titik pusat dan jari-jari kedua lingkaran sama, maka daerah irisannya adalah bentuk 4 bagian kedua.
*). Menentukan luas irisannya :
Luas irisan $ = \pi r^2 = (3,14) . 2^2 = 12,56 $
Jadi, luas irisan kedua lingkaran tersebut adalah $ 12,56 \, $ satuan luas. $ \heartsuit $
Demikian pembahasan materi Luas Irisan Dua Lingkaran Bentuk 4 dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan Rangkuman Rumus Luas Irisan Dua Lingkaran.
