Untuk memudahkan mempelajari materi Luas Irisan Dua Lingkaran Bentuk 2 ini, ada beberapa materi yang harus kita kuasai terlebih dahulu yaitu diantaranya : "persamaan lingkaran", "menentukan besarnya sudut menggunakan aturan kosinus", "luas juring dan luas tembereng pada lingkaran", "luas segitiga dengan aturan sinus", dan "luas lingkaran". Berikut cara menghitung luas irisan dua lingkaran bentuk 2 dan penurunan rumusnya.
Menentukan Rumus Luas irisan dua lingkaran bentuk 2
Perhatikan gambar irisan dua lingkaran bentuk 2 berikut,
Dari gambar irisan di atas, daerah irisan dua lingkarannya adalah daerah arsiran berwarna biru dan warna abu-abu. Untuk memudahkan perhitungan, kita bagi
daerahnya menjadi dua bagian yaitu daerah I (warna biru) berbentuk setengah lingkakaran dari lingkaran kecil dan daerah II (warna abu-abu) berbentuk
tembereng dari lingkaran besar. Kita misalkan panjang jari-jari lingkaran kecil adalah $ r $ dan jari-jari lingkaran besar adalah $ R $.
$\spadesuit $ Menentukan luas irisan dua lingkaran bentuk 2
*). Luas daerah I (berupa setengah lingkaran dari lingkaran kecil) :
L1 $ = \frac{1}{2} \times \pi r^2 $
*). Luas daerah II (berupa tembereng dari lingkaran besar) :
Luas tembereng diperoleh dari luas juring kurangi luas segitiganya.
luas juring CAD = $ \frac{\angle CAD}{360^\circ} . \pi . R^2 $
Luas segitiga CAD = $ \frac{1}{2}. AC . AD. \sin \angle CAD = \frac{1}{2}. R^2 . \sin \angle CAD $
L2 = Luas tembereng = luas juring CAD $ - $ lusa segitiga CAD.
L2 $ = \frac{\angle CAD}{360^\circ} . \pi . R^2 - \frac{1}{2}. R^2 . \sin \angle CAD $
L2 $ = R^2 \left( \frac{\angle CAD}{360^\circ} . \pi - \frac{1}{2}. \sin \angle CAD \right) $
*). Luas irisannya :
Luas irisan = L1 + L2.
Luas irisan = $ \frac{1}{2} \times \pi r^2 + R^2 \left( \frac{\angle CAD}{360^\circ} . \pi - \frac{1}{2}. \sin \angle CAD \right) $
$ \clubsuit $ Menentukan besarnya sudut CAD :
Panjang $ CD = 2r $ , dengan aturan cosinus kita peroleh besarnya sudut CAD yaitu :
$ \cos \angle CAD = \frac{AD^2 + AC^2 - CD^2}{2.AD.AC} = \frac{R^2 + R^2 - (2r)^2}{2.R.R} $
$ \cos \angle CAD = \frac{2R^2 - 4r^2}{2R^2} = \frac{R^2 - 2r^2}{R^2} $
$\spadesuit $ Menentukan luas irisan dua lingkaran bentuk 2
*). Luas daerah I (berupa setengah lingkaran dari lingkaran kecil) :
L1 $ = \frac{1}{2} \times \pi r^2 $
*). Luas daerah II (berupa tembereng dari lingkaran besar) :
Luas tembereng diperoleh dari luas juring kurangi luas segitiganya.
luas juring CAD = $ \frac{\angle CAD}{360^\circ} . \pi . R^2 $
Luas segitiga CAD = $ \frac{1}{2}. AC . AD. \sin \angle CAD = \frac{1}{2}. R^2 . \sin \angle CAD $
L2 = Luas tembereng = luas juring CAD $ - $ lusa segitiga CAD.
L2 $ = \frac{\angle CAD}{360^\circ} . \pi . R^2 - \frac{1}{2}. R^2 . \sin \angle CAD $
L2 $ = R^2 \left( \frac{\angle CAD}{360^\circ} . \pi - \frac{1}{2}. \sin \angle CAD \right) $
*). Luas irisannya :
Luas irisan = L1 + L2.
Luas irisan = $ \frac{1}{2} \times \pi r^2 + R^2 \left( \frac{\angle CAD}{360^\circ} . \pi - \frac{1}{2}. \sin \angle CAD \right) $
$ \clubsuit $ Menentukan besarnya sudut CAD :
Panjang $ CD = 2r $ , dengan aturan cosinus kita peroleh besarnya sudut CAD yaitu :
$ \cos \angle CAD = \frac{AD^2 + AC^2 - CD^2}{2.AD.AC} = \frac{R^2 + R^2 - (2r)^2}{2.R.R} $
$ \cos \angle CAD = \frac{2R^2 - 4r^2}{2R^2} = \frac{R^2 - 2r^2}{R^2} $
Langkah-langkah menentukan luas irisan dua lingkaran bentuk 2 :
i). Menentukan gambar irisan dan jari-jari masing-masing lingkaran,
ii). Menentukan besar sudut juring lingkaran besar (sudut CAD),
iii). Menghitung luas arsiran dengan rumusnya.
Contoh Soal luas irisan dua lingkaran bentuk 2 :
1). Tentuk luas irisan dua lingkaran dengan persamaan lingkaran masing-masing $ (x - 3)^2 + ( y - 2)^2 = 4 $ dan $ (x - 1)^2 + ( y - 2)^2 = 8 $ ?
Penyelesaian :
*). gambar irisan kedua lingkaran :
$ (x - 3)^2 + ( y - 2)^2 = 4 \rightarrow r = \sqrt{4} = 2 $ (lingkaran kecil)
$ (x - 1)^2 + ( y - 2)^2 = 8 \rightarrow R = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} $ (lingkaran besar)
*). Menentukan besar sudut CAD :
$ \begin{align} \cos \angle CAD & = \frac{2R^2 - 4r^2}{2R^2} = \frac{R^2 - 2r^2}{R^2} \\ \cos \angle CAD & = \frac{(2\sqrt{2})^2 - 2.2^2}{(2\sqrt{2})^2} \\ \cos \angle CAD & = \frac{8 - 8}{8} \\ \cos \angle CAD & = 0 \\ \angle CAD & = arc \, \cos \, 0 \\ \angle CAD & = 90^\circ \end{align} $
*). Menentukan luas irisan :
$ \begin{align} \text{Luas irisan } & = \frac{1}{2} \times \pi r^2 + R^2 \left( \frac{\angle CAD}{360^\circ} . \pi - \frac{1}{2}. \sin \angle CAD \right) \\ & = \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} . 2^2 + (\sqrt{8})^2 \left( \frac{90^\circ}{360^\circ} . \frac{22}{7} - \frac{1}{2}. \sin 90^\circ \right) \\ & = \frac{44}{7} + 8 \left( \frac{11}{14} - \frac{1}{2}. 1 \right) \\ & = 6,286 + 8 \left( 0,786 - 0,5 \right) \\ & = 6,286 + 8 .\left( 0,286 \right) \\ & = 6,286 + 2,288 \\ & = 8,574 \end{align} $
Jadi, luas irisan kedua lingkaran tersebut adalah $ 8,574 \, $ satuan luas. $ \heartsuit $
Demikian pembahasan materi Luas Irisan Dua Lingkaran Bentuk 2 dan contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan Luas Irisan Dua Lingkaran Bentuk 3.
