Untuk mempermudah Cara mengerjakan sin cos 27 dan 54 derajat ini, kita membutuhkan beberapa rumus dasar trigonmetri seperti sudut komplemen dan sudut ganda. Pertama kita akan tentukan terlebih dahulu nilai sin dan cos 54 derajat dengan sudut komplemen, kemudian kita hitung nilai sin dan cos 27 derajat dengan sudut ganda.
Rumus- Rumus Dasar Trigonometri yang dibutuhkan
$\spadesuit \, $ Sudut komplemen :
$ \sin A = \cos (90^\circ - A) \, $ atau $ \cos A = \sin (90^\circ - A) $
$\spadesuit \, $ Rumus Sudut Ganda
$ \sin A = \sqrt{ \frac{1-\cos 2A}{2}} \, \, $ dan $ \cos A = \sqrt{ \frac{1+\cos 2A}{2}} $
*). Nilai sin dan cos sudut 36 derajat
$ \cos 36^\circ = \frac{1}{4}(1 + \sqrt{5} ) $
$ \sin 36^\circ = \frac{1}{4} \sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } $
$ \sin A = \cos (90^\circ - A) \, $ atau $ \cos A = \sin (90^\circ - A) $
$\spadesuit \, $ Rumus Sudut Ganda
$ \sin A = \sqrt{ \frac{1-\cos 2A}{2}} \, \, $ dan $ \cos A = \sqrt{ \frac{1+\cos 2A}{2}} $
*). Nilai sin dan cos sudut 36 derajat
$ \cos 36^\circ = \frac{1}{4}(1 + \sqrt{5} ) $
$ \sin 36^\circ = \frac{1}{4} \sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } $
Nilai sin 27 derajat dan sin 54 derajat
$ \sin 27^\circ = \frac{1}{4} \sqrt{ 8 - 2\sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } } $
$ \sin 54^\circ = \frac{1}{4}(1 + \sqrt{5} ) $
$ \sin 54^\circ = \frac{1}{4}(1 + \sqrt{5} ) $
Cara mengerjakan sin dan cos 54 derajat
*). Nilai sin 54 derajat menggunakan sudut komplemen :
$\begin{align} \sin A & = \cos (90^\circ - A) \\ \sin 54^\circ & = \cos (90^\circ - 54^\circ ) \\ & = \cos 36^\circ \\ & = \frac{1}{4}(1 + \sqrt{5} ) \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin 54^\circ = \frac{1}{4}(1 + \sqrt{5} ) $
*). Nilai cos 54 derajat menggunakan sudut komplemen :
$\begin{align} \cos A & = \sin (90^\circ - A) \\ \cos 54^\circ & = \sin (90^\circ - 54^\circ ) \\ & = \sin 36^\circ \\ & = \frac{1}{4} \sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos 54^\circ = \frac{1}{4} \sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } $
Cara mengerjakan sin dan cos 27 derajat
*). Nilai sin 27 derajat menggunakan sudut ganda :
$\begin{align} \sin A & = \sqrt{ \frac{1-\cos 2A}{2}} \\ \sin 27^\circ & = \sqrt{ \frac{1-\cos 2 \times 27^\circ }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1-\cos 54^\circ }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1- \frac{1}{4} \sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{\frac{4}{4}- \frac{1}{4} \sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{ \frac{1}{4} ( 4 - \sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } ) }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1}{8} ( 4 - \sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } ) } \\ & = \sqrt{ \frac{2}{16} ( 4 - \sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } ) } \\ & = \sqrt{ \frac{1}{16} ( 8 - 2\sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } ) } \\ & = \frac{1}{4} \sqrt{ 8 - 2\sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } } \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin 27^\circ = \frac{1}{4} \sqrt{ 8 - 2\sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } } $
*). Nilai cos 27 derajat menggunakan sudut ganda :
$\begin{align} \cos A & = \sqrt{ \frac{1 + \cos 2A}{2}} \\ \cos 27^\circ & = \sqrt{ \frac{1+\cos 2 \times 27^\circ }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1+\cos 54^\circ }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1+ \frac{1}{4} \sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{\frac{4}{4} + \frac{1}{4} \sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{ \frac{1}{4} ( 4 + \sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } ) }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1}{8} ( 4 + \sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } ) } \\ & = \sqrt{ \frac{2}{16} ( 4 + \sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } ) } \\ & = \sqrt{ \frac{1}{16} ( 8 + 2\sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } ) } \\ & = \frac{1}{4} \sqrt{ 8 + 2\sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } } \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos 27^\circ = \frac{1}{4} \sqrt{ 8 + 2\sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } } $
