Teknik Integral Substitusi Aljabar

         Blog Koma - Teknik Integral Substitusi Aljabar biasanya kita gunakan setelah integral dengan rumus dasar baik "integral fungsi aljabar" maupun "integral fungsi trigonometri" secara langsung tidak bisa menyelesaikan soalnya. Meskipun namanya Teknik Integral Substitusi Aljabar, tapi teknik ini bisa kita terapkan ke integral fungsi trigonometri juga.

Konsep Teknik Integral Substitusi Aljabar

       Sesuai namanya, substitusi aljabar, artinya kita akan memisalkan suatu fungsi dengan bentuk aljabar tertentu agar mudah kita integralkan atau soal integral tersebut bisa kita selesaikan.
       Misalkan ada bentuk integral $ \int [f(x)]^n g(x) dx \, $ yang sulit langsung kita integralkan dengan rumus dasar integral, maka kita substitusikan dengan cara memisalkan yaitu :
$ u = f(x) \, , $ sehingga turunan dari $ u $ adalah
$ u^\prime = \frac{du}{dx} = f^\prime (x) \rightarrow dx = \frac{du}{u^\prime} \, $ atau $ \, dx = \frac{du}{f^\prime (x) } $ .
Sehingga soalnya menjadi :
$ \int [f(x)]^n g(x) dx = \int [u]^n g(x) \frac{du}{u^\prime } \, $ atau
$ \int [f(x)]^n g(x) dx = \int [u]^n g(x) \frac{du}{ f^\prime (x) } $

Catatan :
Teknik substitusi aljabar ini dikatakan berhasil jika turunan dari $ u \, $ bisa mencoret fungsi lain yang tidak dimisalkan yaitu fungsi $ g(x) $.

Contoh soal :
1). Tentukan hasil integral dari : $ \int 2x (4x^2 + 5)^{15} dx $ ?

Penyelesaian :
*). Untuk mengunakan rumus dasar, bentuk $ 2x (4x^2 + 5)^{15} \, $ harus kita jabarkan menjadi bentuk $ (ax^n + bx^m + ...) \, $ , tapi akan butuh waktu yang lama untuk menjabarkan pangkat 15, berarti kita gunakan teknik integral.
*). Kita misalkan $ u = 4x^2 + 5 $
sehingga turunannya : $ \frac{du}{dx} = 8x \rightarrow dx = \frac{du}{8x} $
*). Menenyelesaikan soalnya :
$ \begin{align} \int 2x (4x^2 + 5)^{15} dx & = \int 2x (u)^{15} \frac{du}{8x} \, \, \, \, \, \text{(sederhanakan)} \\ & = \int (u)^{15} \frac{du}{4} \\ & = \frac{1}{4} \int (u)^{15} du \\ & = \frac{1}{4} . \frac{1}{16} u^{16} + c \\ & = \frac{1}{64} u^{16} + c \, \, \, \, \, \text{(kembalikan bentuk } u) \\ & = \frac{1}{64} (4x^2 + 5)^{16} + c \end{align} $
Jadi, hasil dari $ \int 2x (4x^2 + 5)^{15} dx = \frac{1}{64} (4x^2 + 5)^{16} + c $.

2). Tentukan hasil integral dari : $ \int (4x + 8) \sqrt{x^2 + 4x - 5} dx $ ?

Penyelesaian :
*). Kita misalkan $ u = x^2 + 4x - 5 \rightarrow u^\prime = 2x + 4 $
*). Menenyelesaikan soalnya :
$ \begin{align} \int (4x + 8) \sqrt{x^2 + 4x - 5} dx & = \int (4x + 8) \sqrt{u} \frac{du}{u^\prime} \\ & = \int (4x + 8) \sqrt{u} \frac{du}{2x + 4 } \\ & = \int 2(2x + 4) \sqrt{u} \frac{du}{2x + 4 } \, \, \, \, \, \text{(sederhanakan)} \\ & = \int 2 \sqrt{u} du \\ & = 2 \int u^\frac{1}{2} du \\ & = 2 . \frac{1}{\frac{1}{2} + 1} u^{\frac{1}{2} + 1} + c \\ & = 2 . \frac{1}{\frac{3}{2} } u^{\frac{3}{2} } + c \\ & = 2 . \frac{2}{3} u^{1 + \frac{1}{2} } + c \\ & = \frac{4}{3} u^1 . u^{\frac{1}{2} } + c \\ & = \frac{4}{3} u . \sqrt{u} + c \, \, \, \, \, \text{(kembalikan bentuk } u) \\ & = \frac{4}{3} (x^2 + 4x - 5) \sqrt{x^2 + 4x - 5} + c \end{align} $
Bentuk $ \frac{4}{3} (x^2 + 4x - 5) \sqrt{x^2 + 4x - 5} + c = \frac{4}{3} \sqrt{(x^2 + 4x - 5)^3} + c $
Jadi, hasil dari $ \int (4x + 8) \sqrt{x^2 + 4x - 5} dx = \frac{4}{3} (x^2 + 4x - 5) \sqrt{x^2 + 4x - 5} + c $.
atau $ \int (4x + 8) \sqrt{x^2 + 4x - 5} dx = \frac{4}{3} \sqrt{(x^2 + 4x - 5)^3} + c $.

3). Tentukan hasil integral dari : $ \int \frac{3x-1}{\sqrt{3x^2 - 2x + 7}} dx $ ?

Penyelesaian :
*). Kita misalkan $ u = 3x^2 - 2x + 7 \rightarrow u^\prime = 6x - 2 = 2(3x - 1) $
*). Menenyelesaikan soalnya :
$ \begin{align} \int \frac{3x-1}{\sqrt{3x^2 - 2x + 7}} dx & = \int \frac{3x-1}{\sqrt{u}} \frac{du}{u^\prime} \\ & = \int \frac{3x-1}{\sqrt{u}} \frac{du}{2(3x - 1) } \, \, \, \, \, \text{(sederhanakan)} \\ & = \int \frac{1}{\sqrt{u}} \frac{du}{2 } \\ & = \frac{1}{2} \int u^{-\frac{1}{2}} du \\ & = \frac{1}{2} \frac{1}{-\frac{1}{2} + 1} u^{-\frac{1}{2} + 1} + c \\ & = \frac{1}{2} \frac{1}{\frac{1}{2} } u^{\frac{1}{2} } + c \\ & = \frac{1}{2} .2 \sqrt{u} + c \, \, \, \, \, \text{(kembalikan bentuk } u) \\ & = \sqrt{3x^2 - 2x + 7} + c \end{align} $
Jadi, hasil dari $ \int \frac{3x-1}{\sqrt{3x^2 - 2x + 7}} dx = \sqrt{3x^2 - 2x + 7} + c $.

4). Tentukan hasil integral dari : $ \int \frac{5\sqrt{ (\sqrt{x} + 2 )^3}}{\sqrt{x}} dx $ ?

Penyelesaian :
*). Kita misalkan $ u = \sqrt{x} + 2 \rightarrow u^\prime = \frac{1}{2\sqrt{x}} $
*). Menenyelesaikan soalnya :
$ \begin{align} \int \frac{5\sqrt{ (\sqrt{x} + 2 )^3}}{\sqrt{x}} dx & = \int \frac{5\sqrt{ (u )^3}}{\sqrt{x}} \frac{du}{u^\prime} \\ & = \int \frac{5\sqrt{ (u )^3}}{\sqrt{x}} \frac{du}{\frac{1}{2\sqrt{x}} } \\ & = \int \frac{5\sqrt{ (u )^3}}{\sqrt{x}} . 2\sqrt{x} du \, \, \, \, \, \text{(sederhanakan)} \\ & = \int 10\sqrt{ (u )^3} du \\ & = 10 \int u^\frac{3}{2} du \\ & = 10 . \frac{1}{\frac{3}{2} + 1} u^{\frac{3}{2} + 1} + c \\ & = 10 . \frac{1}{\frac{5}{2} } u^{\frac{5}{2} } + c \\ & = 10 . \frac{2}{5} \sqrt{u^5} + c \\ & = 4 \sqrt{u^5} + c \, \, \, \, \, \text{(kembalikan bentuk } u) \\ & = 4 \sqrt{(\sqrt{x} + 2)^5} + c \, \, \, \, \, \text{(atau)} \\ & = 4 (\sqrt{x} + 2)^2\sqrt{ \sqrt{x} + 2 } + c \end{align} $
Jadi, hasil dari $ \int \frac{5\sqrt{ (\sqrt{x} + 2 )^3}}{\sqrt{x}} dx = 4 \sqrt{(\sqrt{x} + 2)^5} + c $.

5). Tentukan hasil integral dari : $ \int 6x^2 \sin 3x^3 dx $ ?

Penyelesaian :
*). Kita misalkan $ u = 3x^3 \rightarrow u^\prime = 9x^2 $
*). Menenyelesaikan soalnya :
$ \begin{align} \int 6x^2 \sin 3x^3 dx & = \int 6x^2 \sin u \frac{du}{u^\prime} \\ & = \int 6x^2 \sin u \frac{du}{9x^2} \, \, \, \, \, \text{(sederhanakan)} \\ & = \int 2 \sin u \frac{du}{3} \\ & = \frac{2}{3} \int \sin u du \\ & = \frac{2}{3} (-\cos u) + c \, \, \, \, \, \text{(kembalikan bentuk } u) \\ & = -\frac{2}{3} \cos 3x^3 + c \end{align} $
Jadi, hasil dari $ \int 6x^2 \sin 3x^3 dx = -\frac{2}{3} \cos 3x^3 + c $.

6). Tentukan hasil integral dari : $ \int \frac{\cos (\sqrt{x} + 4)}{\sqrt{x}} dx $ ?

Penyelesaian :
*). Kita misalkan $ u = \sqrt{x} + 4 \rightarrow u^\prime = \frac{1}{2\sqrt{x}} $
*). Menenyelesaikan soalnya :
$ \begin{align} \int \frac{\cos (\sqrt{x} + 4)}{\sqrt{x}} dx & = \int \frac{\cos u}{\sqrt{x}} \frac{du}{u^\prime} \\ & = \int \frac{\cos u}{\sqrt{x}} \frac{du}{\frac{1}{2\sqrt{x}} } \\ & = \int \frac{\cos u}{\sqrt{x}} 2\sqrt{x} du \, \, \, \, \, \text{(sederhanakan)} \\ & = 2\int \cos u du \\ & = 2 \sin u + c \, \, \, \, \, \text{(kembalikan bentuk } u) \\ & = 2 \sin (\sqrt{x} + 4) + c \end{align} $
Jadi, hasil dari $ \int \frac{\cos (\sqrt{x} + 4)}{\sqrt{x}} dx = 2 \sin (\sqrt{x} + 4) + c $.

7). Tentukan hasil integral dari : $ \int \frac{\sec ^2 \left( 2 - \frac{1}{\sqrt{x}} \right)}{2\sqrt{x^3}} dx $ ?

Penyelesaian :
*). Kita misalkan $ u = 2 - \frac{1}{\sqrt{x}} = 2 - u^{-\frac{1}{2}} \rightarrow u^\prime = \frac{1}{2\sqrt{x^3}} $
*). Menenyelesaikan soalnya :
$ \begin{align} \int \frac{\sec ^2 \left( 2 - \frac{1}{\sqrt{x}} \right)}{2\sqrt{x^3}} dx & = \int \frac{\sec ^2 u}{2\sqrt{x^3}} \frac{du}{u^\prime} \\ & = \int \frac{\sec ^2 u}{2\sqrt{x^3}} \frac{du}{\frac{1}{2\sqrt{x^3}} } \\ & = \int \frac{\sec ^2 u}{2\sqrt{x^3}} 2\sqrt{x^3} du \, \, \, \, \, \text{(sederhanakan)} \\ & = \int \sec ^2 u du \\ & = \tan u + c \, \, \, \, \, \text{(kembalikan bentuk } u) \\ & = \tan \left( 2 - \frac{1}{\sqrt{x}} \right) + c \end{align} $
Jadi, hasil dari $ \int \frac{\sec ^2 \left( 2 - \frac{1}{\sqrt{x}} \right)}{2\sqrt{x^3}} dx = \tan \left( 2 - \frac{1}{\sqrt{x}} \right) + c $.

Rumus umum integral $ \int k(ax+b)^n dx \, $ dengan $ n \neq -1 $

       Dengan teknik integral substitusi maka kita bisa langsung menemukan rumus umum dari :
misalkan : $ u = ax + b \rightarrow u^\prime = a $
$ \begin{align} \int k(ax+b)^n dx & = \int k(ax+b)^n dx \\ & = \int k(u)^n \frac{du}{a} \\ & = \frac{k}{a} \int (u)^n du \\ & = \frac{k}{a} \frac{1}{n+1} (ax+b)^{n+1} + c \end{align} $

Kita peroleh : $ \int k(ax+b)^n dx = \frac{k}{a} \frac{1}{n+1} (ax+b)^{n+1} + c $.
Bentuk rumus ini sangat akan membantu kita terutama pada integral parsial.

Contoh soal :
8). tentukan integral dari $ \int 4(2x-5)^{31} dx $

Penyelesaian :
$ \begin{align} \int 4(2x-5)^{31} dx & = \frac{k}{a} . \frac{1}{n+ 1} (ax+b)^{n+1} + c \\ & = \frac{4}{2} . \frac{1}{31+ 1} (2x-5)^{31+1} + c \\ & = 2.\frac{1}{32} (2x-5)^{32} + c \\ & = \frac{1}{16} (2x-5)^{32} + c \end{align} $
Jadi, hasil dari $ \int 4(2x-5)^{31} dx = \frac{1}{16} (2x-5)^{32} + c $ .

9). tentukan integral dari $ \int \sqrt{3x+2} dx $

Penyelesaian :
$ \begin{align} \int \sqrt{3x+2} dx & = \int (3x+2)^\frac{1}{2} dx \\ & = \frac{k}{a} . \frac{1}{n+ 1} (ax+b)^{n+1} + c \\ & = \frac{1}{3} . \frac{1}{ \frac{1}{2}+ 1} (3x+2)^{\frac{1}{2}+1} + c \\ & = \frac{1}{3} . \frac{1}{ \frac{3}{2} } (3x+2)^{\frac{3}{2}} + c \\ & = \frac{1}{3} . \frac{2}{3} (3x+2)^{\frac{3}{2}} + c \\ & = \frac{2}{9} (3x+2)^{\frac{3}{2}} + c \end{align} $
Jadi, hasil dari $ \int \sqrt{3x+2} dx = \frac{2}{9} (3x+2)^{\frac{3}{2}} + c $ .

Rumus umum integral $ \int k(ax+b)^n dx \, $ dengan $ n = -1 $

       Dengan teknik integral substitusi maka kita bisa langsung menemukan rumus umum dari :
misalkan : $ u = ax + b \rightarrow u^\prime = a $
$ \begin{align} \int k(ax+b)^{-1} dx & = \int \frac{k}{ax+b} dx \\ & = \int \frac{k}{u} \frac{du}{a} \\ & = \frac{k}{a} \int \frac{1}{u} du \\ & = \frac{k}{a} \ln (u) + c \\ & = \frac{k}{a} \ln (ax+b) + c \end{align} $

Kita peroleh : $ \int k(ax+b)^{-1} dx = \int \frac{k}{ax+b} dx = \frac{k}{a} \ln (ax+b) + c $.
Bentuk rumus ini sangat akan membantu kita terutama pada integral membagi pecahan.

Contoh soal :
10). tentukan integral dari $ \int \frac{3}{2x-5} dx $

Penyelesaian :
$ \begin{align} \int \frac{3}{2x-5} dx & = \frac{k}{a} \ln (ax+b) + c \\ & = \frac{3}{2} \ln (2x-5) + c \end{align} $
Jadi, hasil dari $ \int \frac{3}{2x-5} dx = \frac{3}{2} \ln (2x-5) + c $ .