Konsep Menentukan Persamaan Kurva dengan Integral
Pada pengertian integral kita peroleh $ \int f(x) dx = F(x) + c \, $ dengan turunan dari $(F(x) + c) \, $
adalah $ f(x) $, atau dapat kita tulis $ F^\prime (x) = f(x) $. Jika kita ganti $ f(x) = F^\prime (x) \, $ maka kita peroleh
$ \int f(x) dx = F(x) + c \leftrightarrow \int F^\prime (x) dx = F(x) + c $.
Dari bentuk $ \int F^\prime (x) dx = F(x) + c \, $ , artinya untuk menghilangkan turunannya cukup kita integralkan saja. Penulisan bentuk $ \int F^\prime (x) dx = F(x) + c \, $ yaitu $ F(x) = \int F^\prime (x) dx - c \, $ atau $ \, F(x) = \int F^\prime (x) dx \, $ karena integral tak tentu pasti hasilnya $ \, + c $ . Sehingga bentuk lainnya yaitu : $ f(x) = \int f^\prime (x) dx , \, $ atau $ \, y = \int y^\prime dx , \, $ atau $ \, S(t) = \int S^\prime (t) dt , \, $ dan lainnya.
Catatan :
*). Untuk menghilangkan turunan , cukup diintegralkan fungsi turunannya.
*). Jika diketahui turunan kedua, maka kita integralkan dua kali untuk memperoleh fungsi kurva aslinya. Begitu seterusnya, kita integralkan sebanyak turunan yang diketahui.
*). Hasil integral dari turunannya disebut sebagai keluarga kurva karena masih dalam bentuk $ + c \, $ hasilnya, artinya nilai $ c \, $ bisa diganti dengan berbagai bilangan sehingga akan membentuk banyak persamaan kurva.
*). Untuk menentukan salah satu nilai $ c \, $ , maka kita substitusikan salah satu titik yang dilalui oleh kurvanya.
$ \int f(x) dx = F(x) + c \leftrightarrow \int F^\prime (x) dx = F(x) + c $.
Dari bentuk $ \int F^\prime (x) dx = F(x) + c \, $ , artinya untuk menghilangkan turunannya cukup kita integralkan saja. Penulisan bentuk $ \int F^\prime (x) dx = F(x) + c \, $ yaitu $ F(x) = \int F^\prime (x) dx - c \, $ atau $ \, F(x) = \int F^\prime (x) dx \, $ karena integral tak tentu pasti hasilnya $ \, + c $ . Sehingga bentuk lainnya yaitu : $ f(x) = \int f^\prime (x) dx , \, $ atau $ \, y = \int y^\prime dx , \, $ atau $ \, S(t) = \int S^\prime (t) dt , \, $ dan lainnya.
Catatan :
*). Untuk menghilangkan turunan , cukup diintegralkan fungsi turunannya.
*). Jika diketahui turunan kedua, maka kita integralkan dua kali untuk memperoleh fungsi kurva aslinya. Begitu seterusnya, kita integralkan sebanyak turunan yang diketahui.
*). Hasil integral dari turunannya disebut sebagai keluarga kurva karena masih dalam bentuk $ + c \, $ hasilnya, artinya nilai $ c \, $ bisa diganti dengan berbagai bilangan sehingga akan membentuk banyak persamaan kurva.
*). Untuk menentukan salah satu nilai $ c \, $ , maka kita substitusikan salah satu titik yang dilalui oleh kurvanya.
1). Suatu kurva melalui titik (2, 1). Apabila gradien kurva itu pada setiap titik memenuhi hubungan $ \frac{dy}{dx} = 2\left( x - \frac{1}{x^2} \right) $ , tentukan persamaan kurva tersebut.
Penyelesaian :
*). Diketahui turunannya : $ y^\prime = \frac{dy}{dx} = 2\left( x - \frac{1}{x^2} \right) $.
*). Integralkan bentuk turunannya :
$ \begin{align} y & = \int y^\prime dx \\ y & = \int 2\left( x - \frac{1}{x^2} \right) dx \\ & = \int 2\left( x - x^{-2} \right) dx \\ & = 2\int \left( x - x^{-2} \right) dx \\ & = 2 \left( \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{-1}x^{-1} \right) + c \\ & = 2 \left( \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{x} \right) + c \\ y & = x^2 + \frac{2}{x} + c \end{align} $
*). Substitusikan titik (2,1) untuk menentukan nilai $ c $ :
$ \begin{align} (x,y) = (2,1) \rightarrow y & = x^2 + \frac{2}{x} + c \\ 1 & = 2^2 + \frac{2}{2} + c \\ 1 & = 4 + 1 + c \\ c & = -4 \end{align} $
Sehingga persamaan kurvanya adalah $ y = x^2 + \frac{2}{x} - 4 $.
2). Jika kurva $ F(x) \, $ melalui titik (1,3) dengan $ F^\prime (x) = 3x^2 + 4x - 1 \, $. Tentukan nilai $ F(-1) $.
Penyelesaian :
*). Untuk menentukan nilai $ F(-1) \, $ , kita harus menentukan persamaan kurva $ F(x) \, $ terlebih dahulu.
*). Mengintegralkan :
$ \begin{align} F(x) & = \int F^\prime (x) dx \\ F(x) & = \int (3x^2 + 4x - 1) dx \\ F(x) & = x^3 + 2x - x + c \end{align} $
*). Substitusikan titik (1,3) untuk menentukan nilai $ c $ :
$ \begin{align} (x,y) = (1,3) \rightarrow F(x) & = x^3 + 2x - x + c \\ 3 & = 1^3 + 2.1 - 1 + c \\ 3 & = 1 + 2 - 1 + c \\ 3 & = 2 + c \\ c & = 1 \end{align} $
Sehingga persamaan kurvanya : $ F(x) = x^3 + 2x - x + 1 $.
*). Menentukan nilai $ F(-1) $ :
$ F(x) = x^3 + 2x - x + 1 \rightarrow F(-1) = (-1)^3 + 2(-1) - (-1) + 1 = -1 $.
Jadi, nilai $ F(-1) = -1 $.
3). Diketahui biaya marginal (MC) dalam memproduksi suatu barang (Q) setiap bulan adalah merupakan fungsi biaya terhadap banyak produksi barang dengan $ MC = \frac{dC}{dQ} = 2Q + 3 \, $. Biaya untuk memproduksi 1 unit produk adalah tiga ratus ribu rupiah, tentukan fungsi biaya total per bulan.?
Keterangan :
Q = banyak produksi (Quantity),
C = Biaya produksi total (Total Cost),
dan MC = Biaya marginal (Marginal Cost).
Penyelesaian :
*). Diketahui : $ MC = \frac{dC}{dQ} = C^\prime (Q) = 2Q + 3 $
*). Menentukan biaya total $ C(Q) $ :
$ \begin{align} C(Q) & = \int C^\prime (Q) dQ \\ C(Q) & = \int (2Q + 3) dQ \\ C(Q) & = Q^2 + 3Q + k \end{align} $
*). Biaya untuk memproduksi 1 unit produk adalah tiga ratus ribu rupiah, artinya $ C(1) = 3 $.
$ \begin{align} C(1) = 3 \rightarrow C(Q) & = Q^2 + 3Q + k \\ C(1) & = 1^2 + 3.1 + k \\ 3 & = 1 + 3 + k \\ k & = 1 \end{align} $
Jadi, fungsi biaya total per bulannya adalah $ C(Q) = Q^2 + 3Q + 1 $
4). Tentukan fungsi $ y = f(x) \, $ dari persamaan diferensial $ \frac{x^2dy}{dx} = y^2\sqrt{x} \, $ dengan $ y = 1 \, $ di $ x = 1 $.
Penyelesaian :
*). Integralkan persamaan diferensialnya :
$ \begin{align} \frac{x^2dy}{dx} & = y^2\sqrt{x} \\ \frac{ dy}{y^2} & = \frac{\sqrt{x}}{x^2} dx \\ y^{-2}dy & = x^{-\frac{3}{2}} dx \\ \int y^{-2}dy & = \int x^{-\frac{3}{2}} dx \\ \frac{1}{-2+1}y^{-2+1} & = \frac{1}{-\frac{3}{2} + 1} x^{-\frac{3}{2} + 1} + c \\ -y^{-1} & = \frac{1}{-\frac{1}{2}} x^{-\frac{1}{2} } + c \\ -y^{-1} & = (-2) \frac{1}{x^{\frac{1}{2} }} + c \\ \frac{1}{y} & = \frac{2}{\sqrt{x}} + c \end{align} $
*). Substitusi nilai $ y = 1 \, $ di $ x = 1 $.
$ \begin{align} \frac{1}{y} & = \frac{2}{\sqrt{x}} + c \\ \frac{1}{1} & = \frac{2}{\sqrt{1}} + c \\ 1 & = 2 + c \\ c & = -1 \end{align} $
Sehingga : $ \frac{1}{y} = \frac{2}{\sqrt{x}} - 1 $.
*). Menentukan bentuk $ y = f(x) $
$ \begin{align} \frac{1}{y} & = \frac{2}{\sqrt{x}} - 1 \\ \frac{1}{y} & = \frac{2}{\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} \\ \frac{1}{y} & = \frac{2 - \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \\ y & = \frac{\sqrt{x}}{2 - \sqrt{x}} \end{align} $
Jadi, fungsi $ y = f(x) \, $ adalah $ y = \frac{\sqrt{x}}{2 - \sqrt{x}} $ .
5). Suatu kurva $ y = f(x) \, $ melalui titik (1,2) dengan gradien garis singgungnya adalah -5 di titik tersebut. Jika $ f^{\prime \prime } (x) = 6x + 4 \, $ , tentukan persamaan kurvanya?
Penyelesaian :
*). Menentukan bentuk $ f^\prime (x) \, $ dengan mengintegralkan $ f^{\prime \prime } (x) $
$ \begin{align} f^\prime (x) & = \int f^{\prime \prime } (x) dx \\ f^\prime (x) & = \int ( 6x + 4 ) (x) dx \\ f^\prime (x) & = 3x^2 + 4x + c_1 \end{align} $
*). Gradiennya adalah $ - 5 \, $ di saat $ x = 1 $, artinya $ f^\prime (1) = -5 $
Karena gradien $ m = f^\prime (x) $.
Silahkan baca : "Persamaan Garis Singgung pada Kurva Menggunakan Turunan".
*). Menentukan nilai $ c_1 \, $ dengan $ f^\prime (1) = -5 $
$ \begin{align} f^\prime (1) = - 5 \rightarrow f^\prime (x) & = 3x^2 + 4x + c_1 \\ f^\prime (1) & = 3.1^2 + 4.1 + c_1 \\ -5 & = 3 + 4 + c_1 \\ c_1 & = -12 \end{align} $
Sehingga : $ f^\prime (x) = 3x^2 + 4x - 12 $.
*). Menentukan bentuk $ f(x) \, $ dari $ f^\prime (x) $ :
$ \begin{align} f(x) & = \int f^{\prime } (x) dx \\ f(x) & = \int (3x^2 + 4x - 12) dx \\ f(x) & = x^3 + 2x^2 - 12x + c_2 \end{align} $
*). Kurva melalui titik (1,2), artinya $ f(1) = 2 $ :
$ \begin{align} f(1) = 2 \rightarrow f(x) & = x^3 + 2x^2 - 12x + c_2 \\ f(1) & = 1^3 + 2.1^2 - 12.1 + c_2 \\ 2 & = 1 + 2 - 12 + c_2 \\ c_2 & = 11 \end{align} $
sehingga $ f(x) = x^3 + 2x^2 - 12x + 11 $ .
Jadi, persamaan kurvanya adalah $ f(x) = x^3 + 2x^2 - 12x + 11 $ .
Penerapan Integral di Bidang Fisika
Pada bidang fisika ada yang namanya fungsi lintasan $ (s(t)) \, $ fungsi kecepatan $ (v(t)) \, $ dan fungsi
percepatan $ (a(t)) $. Dari materi "Kecepatan dan Percepatan Menggunakan Turunan", kita peroleh :
*). Kecepatan adalah laju perubahan dari lintasan terhadap perubahan waktu
$ v(t) = \frac{ds(t)}{dt} = s^\prime (t) \, $ sehingga :
$ s(t) = \int s^\prime (t) dt = \int v(t) dt $.
*). Percepatan adalah laju perubahan kecepatan terhadap perubahan waktu
$ a(t) = \frac{dv(t)}{dt} = v^\prime (t) = s^{\prime \prime } (t) \, $ sehingga :
$ v(t) = \int v^\prime (t) dt = \int a(t) dt $.
*). Kecepatan adalah laju perubahan dari lintasan terhadap perubahan waktu
$ v(t) = \frac{ds(t)}{dt} = s^\prime (t) \, $ sehingga :
$ s(t) = \int s^\prime (t) dt = \int v(t) dt $.
*). Percepatan adalah laju perubahan kecepatan terhadap perubahan waktu
$ a(t) = \frac{dv(t)}{dt} = v^\prime (t) = s^{\prime \prime } (t) \, $ sehingga :
$ v(t) = \int v^\prime (t) dt = \int a(t) dt $.
6). Sebuah partikel diamati pada interval waktu tertentu dan diperoleh data bahwa fungsi percepatan memenuhi pola dengan fungsi $ a(t) = -2t^2 + 3t +1 $ . Tentukan fungsi lintasan partikel tersebut jika deketahui $ v_0 = 2 \, $ dan $ s_0 = 1 $.
Penyelesaian :
*). Diketahui : $ a(t) = -3t^2 + 4t +1 $
*). Menentukan kecepatan $(v(t)) $ :
$ \begin{align} v(t) & = \int a(t) dt \\ v(t) & = \int ( -3t^2 + 4t +1 ) dt \\ v(t) & = \frac{-3}{2+1}t^3 + \frac{4}{1+1}t^2 + t + c_1 \\ v(t) & = -t^3 + 2t^2 + t + c_1 \end{align} $
*). Bentuk $ v_0 = 2 \, $ artinya kecepatan awalnya adalah 2 saat $ t = 0 \, $ atau dapat ditulis $ v(0) = 2 $.
*). substitusi $ v(0) = 2 $ :
$ \begin{align} v(0) = 2 \rightarrow v(t) & = -t^3 + 2t^2 + t + c_1 \\ v(0) & = -0^3 + 2.0^2 + 0 + c_1 \\ 2 & = -0 + 0 + 0 + c_1 \\ c_1 & = 2 \end{align} $
sehingga $ v(t) = -t^3 + 2t^2 + t + 2 $
*). Menentukan fungsi lintasan $(s(t)) $ :
$ \begin{align} s(t) & = \int v(t) dt \\ s(t) & = \int -t^3 + 2t^2 + t + 2 dt \\ s(t) & = -\frac{1}{4}t^4 + \frac{2}{3}t^3 + \frac{1}{2}t^2 + 2t + c_2 \end{align} $
*). Bentuk $ s_0 = 1 \, $ artinya lintasan awalnya adalah 1 saat $ t = 0 \, $ atau dapat ditulis $ s(0) = 1 $.
*). substitusi $ s(0) = 1 $ :
$ \begin{align} s(0) = 1 \rightarrow s(t) & = -\frac{1}{4}t^4 + \frac{2}{3}t^3 + \frac{1}{2}t^2 + 2t + c_2 \\ s(0) & = -\frac{1}{4}.0^4 + \frac{2}{3}.0^3 + \frac{1}{2}.0^2 + 2.0 + c_2 \\ 1 & = 0 + 0 + 0 + 0 + c_2 \\ c_2 & = 1 \end{align} $
sehingga $ s(t) = -\frac{1}{4}t^4 + \frac{2}{3}t^3 + \frac{1}{2}t^2 + 2t + 1 $
Jadi, fungsi panjang lintasannya adalah $ s(t) = -\frac{1}{4}t^4 + \frac{2}{3}t^3 + \frac{1}{2}t^2 + 2t + 1 $.
