Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri (Rumus Dasar)
Berdasarkan pengertian integral, $ \int f^\prime (x) dx = f(x) + c $, dimana $ f^\prime (x) \, $
adalah turuan dari fungsi $ f(x) $ :
Rumus integral Trigonometri :
1). $ f(x) = \sin x \rightarrow f^\prime (x) = \cos x $
artinya $ \int \cos x dx = \sin x + c $
2). $ f(x) = \cos x \rightarrow f^\prime (x) = -\sin x $
artinya $ \int - \sin x dx = \cos x + c \, $ atau $ \, \int \sin x dx = -\cos x + c $
3). $ f(x) = \tan x \rightarrow f^\prime (x) = \sec ^2 x $
artinya $ \int \sec ^2 x dx = \tan x + c $
4). $ f(x) = \cot x \rightarrow f^\prime (x) = -\csc ^2 x $
artinya $ \int - \csc ^2 x dx = \cot x + c \, $ atau $ \, \int \csc ^2 x dx = -\cot x + c $
5). $ f(x) = \sec x \rightarrow f^\prime (x) = \sec x \tan x $
artinya $ \int \sec x \tan x dx = \sec x + c $
6). $ f(x) = \csc x \rightarrow f^\prime (x) = -\csc x \cot x $
artinya $ \int -\csc x \cot x dx = \csc x + c \, $
atau $ \, \int \csc x \cot x dx = -\csc x + c $
Rumus integral Trigonometri :
1). $ f(x) = \sin x \rightarrow f^\prime (x) = \cos x $
artinya $ \int \cos x dx = \sin x + c $
2). $ f(x) = \cos x \rightarrow f^\prime (x) = -\sin x $
artinya $ \int - \sin x dx = \cos x + c \, $ atau $ \, \int \sin x dx = -\cos x + c $
3). $ f(x) = \tan x \rightarrow f^\prime (x) = \sec ^2 x $
artinya $ \int \sec ^2 x dx = \tan x + c $
4). $ f(x) = \cot x \rightarrow f^\prime (x) = -\csc ^2 x $
artinya $ \int - \csc ^2 x dx = \cot x + c \, $ atau $ \, \int \csc ^2 x dx = -\cot x + c $
5). $ f(x) = \sec x \rightarrow f^\prime (x) = \sec x \tan x $
artinya $ \int \sec x \tan x dx = \sec x + c $
6). $ f(x) = \csc x \rightarrow f^\prime (x) = -\csc x \cot x $
artinya $ \int -\csc x \cot x dx = \csc x + c \, $
atau $ \, \int \csc x \cot x dx = -\csc x + c $
1). Tentukan hasil integral berikut ini :
a). $ \int 2\sin x dx $
b). $ \int \sin x - \cos x dx $
c). $ \int \frac{\sin x + \csc x}{\tan x } dx $
d). $ \int \frac{\tan x + \cot x}{\sin 2 x } dx $
Penyelesaian :
*). Rumus dasar trigonometri :
$ \sec x = \frac{1}{\cos x }, \, \csc x = \frac{1}{\sin x}, \, \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}, \, \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} $.
*). Soal yang ada kita arahkan menjadi bentuk rumus dasar integral trigonometri di atas.
a). $ \int 2\sin x dx = 2 \int \sin x dx = 2(-\cos x ) + c = -2\cos x + c $
b). $ \int \sin x - \cos x dx = -\cos x - \sin x + c $
c). Kita sederhanakan soalnya :
$ \begin{align} \int \frac{\sin x + \csc x}{\tan x } dx & = \int \frac{\sin x + \csc x}{ \frac{\sin x}{\cos x} } dx \\ & = \int (\sin x + \csc x) \times \frac{\cos x}{\sin x} dx \\ & = \int ( \sin x . \times \frac{\cos x}{\sin x} + \csc x \times \frac{\cos x}{\sin x} ) dx \\ & = \int ( \cos x + \csc x \cot x ) dx \\ & = \sin x - \csc x + c \end{align} $
Sehingga, hasil dari $ \int \frac{\sin x + \csc x}{\tan x } dx = \sin x - \csc x + c $.
d). Kita sederhanakan soalnya : $ \sin 2x = 2\sin x \cos x $
$ \begin{align} \int \frac{\tan x + \cot x}{\sin 2 x } dx & = \int \frac{\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} }{2 \sin x \cos x } dx \\ & = \int \frac{\frac{\sin x}{\cos x} }{2 \sin x \cos x } + \frac{ \frac{\cos x}{\sin x} }{2 \sin x \cos x } dx \\ & = \int \frac{\sin x}{\cos x . 2 \sin x \cos x} + \frac{\cos x}{\sin x . 2 \sin x \cos x} dx \\ & = \int \frac{1}{\cos x . 2 \cos x} + \frac{1}{\sin x . 2 \sin x } dx \\ & = \int \frac{1}{2} ( \frac{1}{\cos ^2 x } + \frac{1}{\sin ^2 x } ) dx \\ & = \frac{1}{2} \int \sec ^2 x + \csc ^2 x dx \\ & = \frac{1}{2} (\tan x - \cot x ) + c \end{align} $
Sehingga, hasil dari $ \int \frac{\tan x + \cot x}{\sin 2 x } dx = \frac{1}{2} (\tan x - \cot x ) + c $.
Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri (Rumus Dasar II)
Untuk berikut ini, kita akan pelajari rumus integral trigonometri dengan sudut yang lebih kompleks.
Rumus integral Trigonometri :
1). $ f(x) = \sin (ax+b) \rightarrow f^\prime (x) = a\cos (ax + b) $
artinya $ \int a\cos (ax + b) dx = \sin (ax+b) + c $
atau $ \int \cos (ax + b) dx = \frac{1}{a} \sin (ax+b) + c $
2). $ f(x) = \cos (ax + b) \rightarrow f^\prime (x) = -a\sin (ax + b) $
artinya $ \int - a\sin (ax + b) dx = \cos (ax + b) + c \, $
atau $ \, \int \sin (ax + b) dx = -\frac{1}{a}\cos (ax + b) + c $
3). $ f(x) = \tan (ax + b) \rightarrow f^\prime (x) = a \sec ^2 (ax + b) $
artinya $ \int a \sec ^2 (ax + b) dx = \tan (ax + b) + c $
atau $ \int \sec ^2 (ax + b) dx = \frac{1}{a} \tan (ax + b) + c $
4). $ f(x) = \cot (ax + b) \rightarrow f^\prime (x) = -a\csc ^2 (ax + b) $
artinya $ \int - a\csc ^2 (ax + b) dx = \cot (ax + b) + c \, $
atau $ \, \int \csc ^2 (ax + b) dx = -\frac{1}{a} \cot (ax + b) + c $
5). $ f(x) = \sec (ax + b) \rightarrow f^\prime (x) = a\sec (ax + b) \tan (ax + b) $
artinya $ \int a\sec (ax + b) \tan (ax + b) dx = \sec (ax + b) + c $
atau $ \int \sec (ax + b) \tan (ax + b) dx = \frac{1}{a} \sec (ax + b) + c $
6). $ f(x) = \csc (ax + b) \rightarrow f^\prime (x) = -a\csc (ax + b) \cot (ax + b) $
artinya $ \int -a\csc (ax + b) \cot (ax + b) dx = \csc (ax + b) + c $
atau $ \int \csc (ax + b) \cot (ax + b) dx = - \frac{1}{a} \csc (ax + b) + c $
Rumus integral Trigonometri :
1). $ f(x) = \sin (ax+b) \rightarrow f^\prime (x) = a\cos (ax + b) $
artinya $ \int a\cos (ax + b) dx = \sin (ax+b) + c $
atau $ \int \cos (ax + b) dx = \frac{1}{a} \sin (ax+b) + c $
2). $ f(x) = \cos (ax + b) \rightarrow f^\prime (x) = -a\sin (ax + b) $
artinya $ \int - a\sin (ax + b) dx = \cos (ax + b) + c \, $
atau $ \, \int \sin (ax + b) dx = -\frac{1}{a}\cos (ax + b) + c $
3). $ f(x) = \tan (ax + b) \rightarrow f^\prime (x) = a \sec ^2 (ax + b) $
artinya $ \int a \sec ^2 (ax + b) dx = \tan (ax + b) + c $
atau $ \int \sec ^2 (ax + b) dx = \frac{1}{a} \tan (ax + b) + c $
4). $ f(x) = \cot (ax + b) \rightarrow f^\prime (x) = -a\csc ^2 (ax + b) $
artinya $ \int - a\csc ^2 (ax + b) dx = \cot (ax + b) + c \, $
atau $ \, \int \csc ^2 (ax + b) dx = -\frac{1}{a} \cot (ax + b) + c $
5). $ f(x) = \sec (ax + b) \rightarrow f^\prime (x) = a\sec (ax + b) \tan (ax + b) $
artinya $ \int a\sec (ax + b) \tan (ax + b) dx = \sec (ax + b) + c $
atau $ \int \sec (ax + b) \tan (ax + b) dx = \frac{1}{a} \sec (ax + b) + c $
6). $ f(x) = \csc (ax + b) \rightarrow f^\prime (x) = -a\csc (ax + b) \cot (ax + b) $
artinya $ \int -a\csc (ax + b) \cot (ax + b) dx = \csc (ax + b) + c $
atau $ \int \csc (ax + b) \cot (ax + b) dx = - \frac{1}{a} \csc (ax + b) + c $
2). Tentukan hasil integral dari :
a). $ \int \sin (2x + 3) dx $
b). $ \int 6\sin (1-3x) dx $
c). $ \int \sec ^2 (4x) dx $
d). $ \int \csc ^2 (-2x + 1) + \sin (2x) dx $
e). $ \int \sec (x - 1) \tan (x-1) dx $
f). $ \int \csc (5x - 3) \cot (5x - 3) dx $
Penyelesaian :
a). $ \int \sin (2x + 3) dx = -\frac{1}{2} \cos (2x + 3) + c $
b). $ \int 6\cos (1-3x) dx = \frac{6}{-3} \sin (1-3x) + c = -2\sin (1-3x) + c $
c). $ \int \sec ^2 (4x) dx = \frac{1}{4} \tan (4x) + c $
d). $ \int \csc ^2 (-2x + 1) + \sin (2x) dx = -\frac{1}{-2} \cot (-2x + 1) - \frac{1}{2} \cos (2x) + c $
$ = \frac{1}{2} \cot (-2x + 1) - \frac{1}{2} \cos (2x) + c $
e). $ \int \sec (x - 1) \tan (x-1) dx = \sec (x-1) + c $
f). $ \int \csc (5x - 3) \cot (5x - 3) dx = -\frac{1}{5} \csc (5x-3) + c $
Rumus Perkalian Fungsi yang sering digunakan
Berikut merupakan rumus perkalian fungsi trigonometri yang sering digunakan dalam integral
trigonometri :
*). $ 2 \sin A \cos B = \sin (A+B) + \sin (A-B) \, $
atau $ \, \sin A \cos B = \frac{1}{2} [\sin (A+B) + \sin (A-B)] $
*). $ 2 \cos A \sin B = \sin (A+B) - \sin (A-B) \, $
atau $ \, \cos A \sin B = \frac{1}{2} [\sin (A+B) - \sin (A-B)] $
*). $ 2 \cos A \cos B = \cos (A+B) + \cos (A-B) \, $
atau $ \, \cos A \cos B = \frac{1}{2} [\cos (A+B) + \cos (A-B)] $
*). $ -2 \sin A \sin B = \cos (A+B) - \cos (A-B) \, $
atau $ \, \sin A \sin B = -\frac{1}{2} [\cos (A+B) - \cos (A-B)] $
Dari dua rumus terakshir di atas jika $ A + B = f(x) \, $ maka kita peroleh :
*). $ \cos ^2 p f(x) = \frac{1}{2} [ 1 + \cos 2p f(x) ] $
*). $ \sin ^2 p f(x) = \frac{1}{2} [ 1 - \cos 2p f(x) ] $
Untuk materi lebih lengkapnya, silahkan baca : "Rumus Perkalian, Penjumlahan, dan Pengurangan Trigonometri".
*). $ 2 \sin A \cos B = \sin (A+B) + \sin (A-B) \, $
atau $ \, \sin A \cos B = \frac{1}{2} [\sin (A+B) + \sin (A-B)] $
*). $ 2 \cos A \sin B = \sin (A+B) - \sin (A-B) \, $
atau $ \, \cos A \sin B = \frac{1}{2} [\sin (A+B) - \sin (A-B)] $
*). $ 2 \cos A \cos B = \cos (A+B) + \cos (A-B) \, $
atau $ \, \cos A \cos B = \frac{1}{2} [\cos (A+B) + \cos (A-B)] $
*). $ -2 \sin A \sin B = \cos (A+B) - \cos (A-B) \, $
atau $ \, \sin A \sin B = -\frac{1}{2} [\cos (A+B) - \cos (A-B)] $
Dari dua rumus terakshir di atas jika $ A + B = f(x) \, $ maka kita peroleh :
*). $ \cos ^2 p f(x) = \frac{1}{2} [ 1 + \cos 2p f(x) ] $
*). $ \sin ^2 p f(x) = \frac{1}{2} [ 1 - \cos 2p f(x) ] $
Untuk materi lebih lengkapnya, silahkan baca : "Rumus Perkalian, Penjumlahan, dan Pengurangan Trigonometri".
3). Tentukan hasil integral fungsi trigonometri berikut ini :
a). $ \int \sin 5x \cos 2x dx $
b). $ \int 4\cos 7x \sin 4x dx $
c). $ \int 3cos (3x - 1) \cos (2x + 2) dx $
d). $ \int \cos ^2 3x dx $
e). $ \int \sin ^4 5x dx $
Penyelesaian :
a). Gunakan rumus : $ \, \sin A \cos B = \frac{1}{2} [\sin (A+B) + \sin (A-B)] $
$ \begin{align} \int \sin 5x \cos 2x dx & = \int \frac{1}{2} [ \sin (5x+2x) + \sin (5x-2x)] dx \\ & = \int \frac{1}{2} [ \sin (7x) + \sin (3x)] dx \\ & = \frac{1}{2} \int [ \sin (7x) + \sin (3x)] dx \\ & = \frac{1}{2} [ -\frac{1}{7}\cos (7x) - \frac{1}{3} \cos (3x)] + c \\ & = -\frac{1}{14}\cos (7x) - \frac{1}{6} \cos (3x) + c \end{align} $
b). Gunakan rumus : $ \, \cos A \sin B = \frac{1}{2} [\sin (A+B) - \sin (A-B)] $
$ \begin{align} \int 4\cos 7x \sin 4x dx & = \int 4 . \frac{1}{2} [ \sin (7x + 4x ) - \sin (7x - 4x)] dx \\ & = \int 2 [ \sin (11x ) - \sin (3x)] dx \\ & = 2 [ - \frac{1}{11} \cos (11x ) - (-\frac{1}{3}\cos (3x)) + c \\ & = 2 [ - \frac{1}{11} \cos (11x ) + \frac{1}{3}\cos (3x) + c \\ & = - \frac{2}{11} \cos (11x ) + \frac{2}{3}\cos (3x) + c \end{align} $
c). Gunakan rumus : $ \, \cos A \cos B = \frac{1}{2} [\cos (A+B) + \cos (A-B)] $
$ \begin{align} & \int 3cos (3x - 1) \cos (2x + 2) dx \\ & = \int 3 . \frac{1}{2} [ \cos ((3x - 1) + (2x + 2)) + \cos ((3x - 1) - (2x + 2))] dx \\ & = \int \frac{3}{2} [ \cos (5x + 1) + \cos (x - 3)] dx \\ & = \frac{3}{2} [ \frac{1}{5} \sin (5x + 1) + \sin (x - 3)] + c \\ & = \frac{3}{10} \sin (5x + 1) + \frac{3}{2} \sin (x - 3) + c \end{align} $
d). Gunakan rumus : $ \, \cos ^2 p f(x) = \frac{1}{2} [ 1 + \cos 2p f(x) ] $
$ \int \cos ^2 3x dx $
$ \begin{align} \int \cos ^2 3x dx & = \int \frac{1}{2} [ 1 + \cos 2 . 3x ] dx \\ & = \int \frac{1}{2} [ 1 + \cos 6x ] dx \\ & = \frac{1}{2} [ x + \frac{1}{6} \sin 6x ] + c \\ & = \frac{1}{2}x + \frac{1}{12} \sin 6x + c \end{align} $
e). Gunakan rumus : $ \, \sin ^2 p f(x) = \frac{1}{2} [ 1 - \cos 2p f(x) ] $
$ \begin{align} \int \sin ^4 5x dx & = \int \sin ^2 5x \sin ^2 5x dx \\ & = \int (\sin ^2 5x)^2 dx \\ & = \int (\frac{1}{2} [ 1 - \cos 2 . 5x ])^2 dx \\ & = \int \frac{1}{4} [ 1 - \cos 10x ]^2 dx \\ & = \frac{1}{4} \int [ 1 - 2 \cos 10 x + \cos ^2 10 x ] dx \\ & = \frac{1}{4} \int [ 1 - 2 \cos 10 x + \frac{1}{2} [ 1 + \cos 2 . 10x ] ] dx \\ & = \frac{1}{4} \int [ 1 - 2 \cos 10 x + \frac{1}{2} [ 1 + \cos 20x ] ] dx \\ & = \frac{1}{4} \int [ 1 - 2 \cos 10 x + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos 20x ] dx \\ & = \frac{1}{4} [ x - \frac{2}{10} \sin 10 x + \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} . \frac{1}{20} \sin 20x ] + c \\ & = \frac{1}{4} [ \frac{3}{2}x - \frac{2}{10} \sin 10 x + \frac{1}{40} \sin 20x ] + c \\ & = \frac{3}{8}x - \frac{2}{40} \sin 10 x + \frac{1}{160} \sin 20x ] + c \\ & = \frac{3}{8}x - \frac{1}{20} \sin 10 x + \frac{1}{160} \sin 20x ] + c \end{align} $
