Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar

         Blog Koma - Sebelumnya kita telah bahas pengertian integral yaitu antiturunan atau invers dari turunan suatu fungsi. Sementara integral tak tentu juga ada pada pembahasan "apa bedanya integral tertentu dan tak tentu". Pada artikel ini kita akan membahas lebih mendalam materi Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar. Pada pengertian integral, misalkan fungsi $ f(x) \, $ adalah turunan dari fungsi $ F(x) + c \, $ , maka dapat kita tulis bentuk integralnya : $ \int f(x) dx = F(x) + c $ . Pada artikel ini juga akan dibahas sifat-sifat integral tak tentu.

Rumus Integral Fungsi Aljabar
       Untuk $ n $ bilangan rasional dengan $ n \neq - 1$, dan $ a, c $ adalah bilangan real maka berlaku aturan:
i). $ \int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + c $
ii). $ \int ax^n dx = \frac{a}{n+1}x^{n+1} + c $

       Khusus untuk pankatnya $ - 1 \, $ maka berlaku aturan :
i). $ \int x^{-1} dx = \int \frac{1}{x} dx = \ln x + c $
ii). $ \int ax^{-1} dx = \int \frac{a}{x} dx = a \ln x + c $
dengan fungsi $ \ln x \, $ dibaca "len $ x $" yang sama dengan fungsi logaritma dengan basis $ e = 2,718... $
Contoh soal integral fungsi aljabar :
1). Tentukan hasil integral dari bentuk berikut :
a). $ \int x^3 dx $
b). $ \int 6x^3 dx $
c). $ \int \frac{3}{x} dx $
d). $ \int \sqrt{x} dx $
e). $ \int 5\sqrt[3]{x^2} dx $
f). $ \int x^2.\sqrt[3]{x^2} dx $

Penyelesaian :
*). Kita langsung gunakan rumus integral fungsi aljabar di atas.
*). Kita membutuhkan sifat eksponen :
$ \begin{align} a^{m+n} = a^m.a^n, \, \sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} \end{align} \, $ dan $ \begin{align} \, \sqrt[n]{a^m} = a^\frac{m}{n} \end{align} $
a). $ \int x^3 dx , \, $ artinya $ n = 3 $
$ \int x^3 dx = \frac{1}{3+1}x^{3+1} + c = \frac{1}{4}x^4 + c $.

b). $ \int 6x^3 dx , \, $ artinya $ a = 6, n = 3 $
$ \int 6x^3 dx = \frac{6}{3+1}x^{3+1} + c = \frac{6}{4}x^4 + c = \frac{3}{2}x^4 + c $.

c). $ \int \frac{3}{x} dx , \, $ artinya $ n = -1 $
$ \int \frac{3}{x} dx = \int 3x^{-1} dx = 3 \ln x + c $

d). $ \int \sqrt{x} dx = \int x^\frac{1}{2} dx , \, $ artinya $ n = \frac{1}{2} $
$ \begin{align} \int \sqrt{x} dx & = \int x^\frac{1}{2} dx \\ & = \frac{1}{\frac{1}{2} + 1 } x^{\frac{1}{2} + 1} + c \\ & = \frac{1}{\frac{3}{2}} x^\frac{3}{2} + c \\ & = \frac{2}{3}x^\frac{3}{2} + c \\ & = \frac{2}{3}x^{1 + \frac{1}{2} } + c = \frac{2}{3}x^1.x^\frac{1}{2} + c \\ & = \frac{2}{3}x\sqrt{x} + c \end{align} $
Jadi, hasil $ \int \sqrt{x} dx = \frac{2}{3}x^\frac{3}{2} + c = \frac{2}{3}x\sqrt{x} + c $

e). $ \int 5\sqrt[3]{x^2} dx = \int 5 x^\frac{2}{3} dx , \, $ artinya $ n = \frac{2}{3} $
$ \begin{align} \int 5\sqrt[3]{x^2} dx & = \int 5 x^\frac{2}{3} dx \\ & = \frac{5}{\frac{2}{3} + 1} x^{\frac{2}{3} + 1} + c \\ & = \frac{5}{\frac{5}{3} } x^{\frac{5}{3} } + c \\ & = 5 . \frac{3}{5} x^{\frac{5}{3} } + c \\ & = 3 x^{\frac{5}{3} } + c \\ & = 3 x^{1 + \frac{2}{3} } + c \\ & = 3 x^1.x^{ \frac{2}{3} } + c \\ & = 3 x\sqrt[3]{x^2} + c \end{align} $
Jadi, hasil $ \int 5\sqrt[3]{x^2} dx = 3 x^{\frac{5}{3} } + c = 3 x\sqrt[3]{x^2} + c $

f). $ \int x^2.\sqrt[3]{x^2} dx = \int x^2.x^\frac{2}{3} dx = \int x^{2 + \frac{2}{3}} dx = \int x^\frac{8}{3} dx , \, $ artinya $ n = \frac{8}{3} $
$ \begin{align} \int x^2.\sqrt[3]{x^2} dx & = \int x^\frac{8}{3} dx \\ & = \frac{1}{\frac{8}{3} + 1} x^{\frac{8}{3} + 1} + c \\ & = \frac{1}{\frac{11}{3} } x^{\frac{11}{3} } + c \\ & = \frac{3}{11} x^{\frac{11}{3} } + c \\ & = \frac{3}{11} x^{3 + \frac{2}{3} } + c \\ & = \frac{3}{11} x^3 . x^{ \frac{2}{3} } + c \\ & = \frac{3}{11} x^3 \sqrt[3]{x^2} + c \end{align} $
Jadi, hasil $ \int x^2.\sqrt[3]{x^2} dx = \frac{3}{11} x^{\frac{11}{3} } + c = \frac{3}{11} x^3 \sqrt[3]{x^2} + c $

Sifat-sifat Integral Tak Tentu
       Untuk memudahkan dalam mengerjakan integral, sebaiknya kita harus menguasai juga sifat-sifat integral tak tentu sebagai berikut :
1). $ \int k dx = kx + c \, $ dimana $ k \, $ adalah suatu konstanta
2). $ \int k f(x) dx = k \int f(x) dx $
(konstanta bisa dikeluarkan terlebih dahulu).
3). $ \int [f(x) + g(x) ] dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx $
4). $ \int [f(x) - g(x) ] dx = \int f(x) dx - \int g(x) dx $

Catatan :
*). Untuk sifat (3) dan (4), jika ada beberapa suku suatu fungsi, maka masing-masing suku bisa diintegralkan langsung.
*). Jika ada bentuk perkalian fungsi atau pembagian fungsi, maka tidak bisa diintegralkan langsung, tetapi harus dijabarkan terlebih dahulu sehingga terbentuk fungsi $\, ( ax^n + bx^m + cx^k + .... ) $ , setelah itu baru masing-masing suku kita integralkan.
Contoh soal :
2). Tentukan hasil integral berikut ini :
a). $ \int 3 dx $
b). $ \int 3x^5 dx $
c). $ \int (x^2 + x) dx $
d). $ \int (x^2 - x) dx $
e). $ \int (x^3 - 2x + 5) dx $
f). $ \int (x^2+2)(2x-3) dx $
g). $ \int \frac{x^3+2x^2-1}{3x^2} dx $
h). $ \int \frac{x+4}{\sqrt{x}} dx $
i). $ \int (\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})^2 dx $

Penyelesaian :
a). $ \int 3 dx = 3x + c \, $ (sifat 1)

b). berdasarkan difat (2) :
$ \int 3x^5 dx = 3 \int x^5 dx = 3 . \frac{1}{5+1}x^{5+1} + c = 3 . \frac{1}{6}x^6 + c = \frac{1}{2}x^6 + c $

c). berdasarkan sifat (3) :
$ \int (x^2 + x) dx = \int x^2 dx + \int x dx = \frac{1}{2+1}x^{2+1} + \frac{1}{1+1}x^{1+1} + c = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + c $

d). berdasarkan sifat (4) :
$ \int (x^2 - x) dx = \int x^2 dx - \int x dx = \frac{1}{2+1}x^{2+1} - \frac{1}{1+1}x^{1+1} + c = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + c $

e). masing-masing suku langsung diintegralkan :
$ \begin{align} \int (x^3 - 2x + 5) dx & = \int x^3 dx - \int 2x dx + \int 5 dx \\ & = \frac{1}{3+1}x^{3+1} - \frac{2}{1+1}x^{1+1} + 5x + c \\ & = \frac{1}{4}x^4 - \frac{2}{2}x^2 + 5 + c \\ & = \frac{1}{4}x^4 - \frac{2}{2}x^2 + 5 + c \\ & = \frac{1}{4}x^4 - x^2 + 5 + c \end{align} $

f). Jabarkan dulu bentuk perkaliannya, kemudian integralkan masing-masing suku :
$ \begin{align} \int (x^2+2)(2x-3) dx & = \int ( 2x^3 - 3x^2 + 4x - 6 ) dx \\ & = \frac{2}{4}x^4 - \frac{3}{3}x^3 + \frac{4}{2}x^2 - 6x + c \\ & = \frac{1}{2}x^4 - x^3 + 2x^2 - 6x + c \end{align} $

g). Sederhanakan terlebih dahulu, kemudian integralkan masing-masing suku :
Sifat eksponen : $ \frac{1}{a^n} = a^{-n} , \, \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $ .
$ \begin{align} \int \frac{x^3+2x^2-1}{3x^2} dx & = \int \frac{x^3}{3x^2}+\frac{2x^2}{3x^2}-\frac{1}{3x^2} dx \\ & = \int \frac{x}{3 }+\frac{2 }{3 }-\frac{1}{3x^2} dx \\ & = \int \frac{1}{3}x +\frac{2 }{3 }-\frac{1}{3 } x^{-2} dx \\ & = \frac{1}{3}. \frac{1}{1+1}x^{1+1} +\frac{2 }{3 }x-\frac{1}{3 }. \frac{1}{-2+1} x^{-2+1} + c \\ & = \frac{1}{3}. \frac{1}{2}x^2 +\frac{2 }{3 }x-\frac{1}{3 }. \frac{1}{- 1} x^{- 1} + c \\ & = \frac{1}{6}x^2 +\frac{2 }{3 }x + \frac{1}{3 } . \frac{1}{x} + c \\ & = \frac{1}{6}x^2 +\frac{2 }{3 }x + \frac{1}{3 x} + c \end{align} $

h). Sederhanakan terlebih dahulu, kemudian integralkan masing-masing suku :
Sifat eksponen : $ \frac{1}{a^n} = a^{-n} , \, \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} , \, \sqrt{a} = x^\frac{1}{2} $ .
$ \begin{align} \int \frac{x+4}{\sqrt{x}} dx & = \int \frac{x+4}{\sqrt{x}} dx \\ & = \int \frac{x}{\sqrt{x}} + \frac{4}{\sqrt{x}} dx \\ & = \int \frac{x}{x^\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^\frac{1}{2}} dx \\ & = \int x^{1-\frac{1}{2}} + 4x^{-\frac{1}{2}} dx \\ & = \int x^\frac{1}{2} + 4x^{-\frac{1}{2}} dx \\ & = \frac{1}{\frac{1}{2} + 1} x^{\frac{1}{2} + 1} + \frac{4}{-\frac{1}{2} + 1}x^{-\frac{1}{2} + 1} + c \\ & = \frac{1}{\frac{3}{2} } x^{\frac{3}{2} } + \frac{4}{\frac{1}{2} }x^{\frac{1}{2} } + c \\ & = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2} } + 4 . \frac{2}{1} \sqrt{x } + c \\ & = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2} } + 8 \sqrt{x } + c \\ & = \frac{2}{3} x \sqrt{x } + 8 \sqrt{x } + c \end{align} $

i). Sederhanakan terlebih dahulu, kemudian integralkan masing-masing suku :
Sifat eksponen : $ \frac{1}{a^n} = a^{-n} , \, \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} , \, \sqrt{a} = x^\frac{1}{2} $ .
$ \begin{align} \int (\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})^2 dx & = \int (\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}) dx \\ & = \int (\sqrt{x})^2 - 2. \sqrt{x}. \frac{1}{\sqrt{x}} + \left( \frac{1}{\sqrt{x}} \right)^2 dx \\ & = \int x - 2 + \frac{1}{x} dx \\ & = \frac{1}{2}x^2 - 2x + \ln x + c \end{align} $

Pembuktian Rumus Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar
*). kita ingat kembali rumus turunan dasar fungsi aljabar yaitu :
$ y = x^n \rightarrow y^\prime = nx^{n-1} \, \, $ dan $ \, \, y = \ln x \rightarrow y^\prime = \frac{1}{x} $.
untuk materi lengkap turunannya, silahkan baca pada artikel :
"Turunan Fungsi Aljabar " dan "Turunan Fungsi Logaritma dan Eksponen".

*). Sesuai dengan pengertian integral, maka bentuk $ \int f(x) dx = F(x) + c \, $ benar jika berlaku turunan fungsi $ ( F(x) + c ) $ adalah $ f(x) $, artinya kita tinggal membuktikan $ \frac{d}{dx}(F(x) + c) = f(x) \, $ dimana bentuk $ \frac{d}{dx}(F(x) + c) \, $ adalah turunan dari $ ( F(x) + c ) $.
*). Pembuktian rumus pertama : $ \int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + c $
$ \begin{align} \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{n+1}x^{n+1} + c \right) & = (n+1) . \frac{1}{n+1}x^{(n+1) -1 } \\ & = x^n \end{align} $
Jadi terbukti bahwa $ \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{n+1}x^{n+1} + c \right) = x^2 $ .

*). Pembuktian rumus kedua : $ \int ax^n dx = \frac{a}{n+1}x^{n+1} + c $
$ \begin{align} \frac{d}{dx} \left( \frac{a}{n+1}x^{n+1} + c \right) & = (n+1) . \frac{a}{n+1}x^{(n+1) -1 } \\ & = ax^n \end{align} $
Jadi terbukti bahwa $ \frac{d}{dx} \left( \frac{a}{n+1}x^{n+1} + c \right) = ax^2 $ .

*). Pembuktian rumus ketiga : $ \int \frac{1}{x} dx = \ln x + c $
$ \begin{align} \frac{d}{dx} \left( \ln x + c \right) & = \frac{1}{x} \end{align} $
Jadi terbukti bahwa $ \frac{d}{dx} \left( \ln x + c \right) = \frac{1}{x} $ .

*). Pembuktian rumus keempat : $ \int \frac{a}{x} dx = a\ln x + c $
$ \begin{align} \frac{d}{dx} \left( a\ln x + c \right) & = a . \frac{1}{x} = \frac{a}{x} \end{align} $
Jadi terbukti bahwa $ \frac{d}{dx} \left( \ln x + c \right) = \frac{a}{x} $ .

6 komentar:

  1. maaf pak putu, kok gx bisa di copy ya ?

    BalasHapus
    Balasan
    1. Hallow @umi,

      Terima kasih untuk kunjungannya ke blog koma ini.

      Dan mohon maaf untuk keterbatasan yg ada. Jika membutuhkan halaman ini, silahkan di unduh atau di print ya.

      Semangat belajar.

      Hapus
  2. best blog ever. mudah dipahami dan selalu paham kalo belajar dari blog ini, luar biasa! terima kasih

    BalasHapus
    Balasan
    1. Hallow @Fariz,


      Terima kasih untuk kunjungannya ke blog koma ini.

      semoga terus bisa membantu.

      Hapus
  3. Bermanfaat,. Terimakasih
    .
    .
    Tapi gimana cara downloadnya

    BalasHapus
    Balasan
    1. hallow,

      terimakasih untuk kunjungannya ke blog koma ini.

      untuk menggunakan materi ini, silahkan cetak saja ya.

      materi di blog koma ini digunakan khusus untuk belajar secara online.

      mohon maaf untuk keterbatasan yang ada.

      semoga terus bisa membantu.

      Hapus

Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.