Peluang Kejadian Bersyarat

         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas Peluang Kejadian Bersyarat yang merupakan bagian dari peluang kejadian majemuk. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan kejadian majemuk yaitu "peluang kejadian saling lepas dan saling bebas" dan baca juga konsep "peluang kejadian secara umum" untuk memudahkan dalam mempelajari materi Peluang Kejadian Bersyarat ini.

Konsep Peluang Kejadian Bersyarat
       Dua kejadian disebut kejadian bersyarat atau kejadian yang saling bergantung apabila terjadi atau tidak terjadinya kejadian A akan memengaruhi terjadi atau tidak terjadinya kejadian B.

Peluang terjadinya kejadian A dengan syarat kejadian B telah terjadi terlebih dahulu ditulis $ P(A|B) $ :
$ \begin{align} P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} , \end{align} \, $ dengan $ \, P(B) \neq 0 $

Peluang terjadinya kejadian B dengan syarat kejadian A telah terjadi terlebih dahulu ditulis $ P(B|A) $ :
$ \begin{align} P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} , \end{align} \, $ dengan $ \, P(A) \neq 0 $

dengan $ P(A \cap B) = \, $ peluang irisan A dan B.

Contoh Soal Peluang Kejadian Bersyarat :
1). Sebuah dadu dilempar sekali. Tentukan peluang munculnya mata dadu ganjil dengan syarat munculnya kejadian mata dadu prima lebih dahulu.
Penyelesaian :
*). Misal A adalah kejadian munculnya angka prima,
Ruang sampel : S = {1,2,3,4,5,6}, sehingga $ n(S) = 6 $
A = {2,3,5}, sehingga $ n(A) = 3 $.
Peluang kejadian A : $ \begin{align} P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \end{align} $
*). Misal B adalah kejadian muncul mata dadu ganjil,
B = {1,3,5} , sehingga irisannya : $ A \cap B \, $ = {3,5} , dengan $ n(A \cap B) = 2 $.
Peluang irisannya : $ \begin{align} P(A \cap B) = \frac{n(A \cap B)}{n(S)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \end{align} $
*). Menentukan peluang munculnya mata dadu ganjil dengan syarat munculnya kejadian mata dadu prima lebih dahulu : $ P(B|A) $
$ \begin{align} P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3} \end{align} $
Jadi, peluang munculnya mata dadu ganjil dengan syarat munculnya kejadian mata dadu prima lebih dahulu adalah $ \frac{2}{3} $ .

Catatan :
*). Kejadian A terjadi lebih dahulu, sehingga A = {2,3,5} adalah sebagai ruang sampel dari kejadian B.
*). Kejadian B : B = {3,5} , sehingga peluang kejadian B adalah $ \frac{2}{3} $.

2). Sebuah kotak berisi bola merah dan bola putih, dan setiap bola diberi tanda X atau tanda Y. Berikut komposisi bola-bola yang ada dalam kotak :
Dipilih satu bola secara acak dari kotak tersebut. Tentukan peluang dari kejadian terambil bola hitam bertanda X.
Penyelesaian :
*). Kejadian ini bisa kita pandang sebagai peluang kejadian munculnya bola hitam ( kejadian B) dengan syarat bola bertanda X (kejadian X) lebih dahulu.
*). Terdapat 8 bola bertanda X dari total 11 bola,
sehingga peluangnya $ \, P(X) = \frac{8}{11} $.
*). Dari 8 bola bertanda X terdapat 5 warna hitam, artinya $ n(B \cap X) = 5 $.
sehingga peluangnya $ \, P(B \cap X) = \frac{5}{11} $.
*). Peluang warna hitam (B) dengan syarat bertanda X : $ P(B|X) $
$ \begin{align} P(B|X) = \frac{P(B \cap X)}{P(X)} = \frac{\frac{5}{11}}{\frac{8}{11}} = \frac{5}{8} \end{align} $
Jadi, peluang dari kejadian terambil bola hitam bertanda X adalah $ \frac{5}{8} $.

Menentukan peluang irisan dari peluang kejadian bersyarat
Peluang kejadian A dan B dengan kejadian B terjadi lebih dahulu : $P(A \cap B) $ ,
$ \begin{align} P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \rightarrow P(A \cap B) = P(B) \times P(A|B) \end{align} $

Peluang kejadian A dan B dengan kejadian A terjadi lebih dahulu : $P(A \cap B) $ ,
$ \begin{align} P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \rightarrow P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A) \end{align} $

Contoh soal :
3). Dalam sebuah kotak terdapat 6 bola merah dan 4 bola putih. Jika sebuah bola diambil dalam kotak itu berturut-turut sebanyak dua kali tanpa pengembalian. Tentukan peluang yang terambil
a). kedua-duanya bola merah,
b). bola pertama warna merah dan bola kedua warna putih.
Penyelesaian :
a). kedua-duanya bola merah,
*). Misal A kejadian bola pertama merah,
Peluang A : $ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $.
*). B kejadian bola kedua warna merah.
karena bola tidak dikembalikan, maka bola merah tinggal 5 bola merah dan 4 bola putih.
Sehingga peluang B dengan kejadian A sudah terjadi : $ P(B|A) $
$ P(B|A) = \frac{5}{9} $
*). Peluang bola pertama merah dan kedua merah : $ P(A \cap B ) $
$ \begin{align} P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A) = \frac{3}{5} \times \frac{5}{9} = \frac{1}{3} \end{align} $
Jadi, peluang keduanya merah adalah $ \frac{1}{3} $

b). bola pertama warna merah dan bola kedua warna putih
*). Misal A kejadian bola pertama merah,
Peluang A : $ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $.
*). B kejadian bola kedua warna putih.
karena bola tidak dikembalikan, maka bola merah tinggal 5 bola merah dan 4 bola putih.
Sehingga peluang B dengan kejadian A sudah terjadi : $ P(B|A) $
$ P(B|A) = \frac{4}{9} $
*). Peluang bola pertama merah dan kedua putih : $ P(A \cap B ) $
$ \begin{align} P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A) = \frac{3}{5} \times \frac{4}{9} = \frac{4}{15} \end{align} $
Jadi, peluang bola pertama warna merah dan bola kedua warna putih adalah $ \frac{4}{15} $

4). Dalam supermarket terdapat 12 ibu-ibu dan 4 orang remaja yang sedang berbelanja. Kemudian dari mereka dipilih secara acak 3 orang untuk mendapatkan 3 undian berhadiah, dan setiap orang hanya berhak memperoleh 1 hadiah. Tentukan peluang dari kejadian :
a). ketiga undian dimenangkan oleh ibu-ibu.
b). undian pertama dimenangkan remaja, undian kedua dimenangkan oleh ibu-ibu, dan undian ketiga dimenangkan remaja.
c). terdapat 2 undian yang dimenangkan remaja dan 1 undian dimenangkan oleh ibu-ibu.

Penyelesaian :
*). Misalkan I adalah kejadian ibu-ibu memenangkan undian dan R adalah kejadian remaja memenangkan undian.

a). ketiga undian dimenangkan oleh ibu-ibu.
ada 12 ibu-ibuu dan 4 remaja, sehingga $ n(S) = 16 $.
*). Peluang ibu-ibu memenangkan undian pertama : $ P(I_1) = \frac{12}{16} = \frac{3}{4} $.
*). 1 ibu sudah menang, maka tersisa 11 ibu-ibu dan 4 remaja, sehingga
Peluang ibu-ibu memenangkan undian kedua : $ P(I_2|I_1) = \frac{11}{15} $.
*). 2 ibu sudah menang, maka tersisa 10 ibu-ibu dan 4 remaja, sehingga
Peluang ibu-ibu memenangkan undian ketiga : $ P(I_3|I_1,I_2) = \frac{10}{14} = \frac{5}{7} $.
*). Peluang ketiganya dimenangkan oleh ibu-ibu : $ P(I_1 \cap I_2 \cap I_3 ) $
$ \begin{align} P(I_1 \cap I_2 \cap I_3 ) & = P(I_1) \times P(I_2|I_1) \times P(I_3|I_1,I_2) \\ & = \frac{3}{4} \times \frac{11}{15} \times \frac{5}{7} \\ & = \frac{11}{28} \end{align} $
Jadi, peluang ketiga undian dimenangkan oleh ibu-ibu adalah $ \frac{11}{28} $.

b). undian pertama dimenangkan remaja, undian kedua dimenangkan oleh ibu-ibu, dan undian ketiga dimenangkan remaja.
ada 12 ibu-ibuu dan 4 remaja, sehingga $ n(S) = 16 $.
*). Peluang remaja memenangkan undian pertama : $ P(R_1) = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} $.
*). 1 remaja sudah menang, maka tersisa 12 ibu-ibu dan 3 remaja, sehingga
Peluang ibu-ibu memenangkan undian kedua : $ P(I|R_1) = \frac{12}{15} = \frac{4}{5} $.
*). 1 ibu sudah menang dan 1 remaja, maka tersisa 11 ibu-ibu dan 3 remaja, sehingga
Peluang remaja memenangkan undian ketiga : $ P(R_2|R_1,I) = \frac{3}{14} $.
*). undian pertama dimenangkan remaja, undian kedua dimenangkan oleh ibu-ibu, dan undian ketiga dimenangkan remaja : $ P(R_1 \cap I \cap R_2 ) $
$ \begin{align} P(R_1 \cap I \cap R_2 ) & = P(R_1) \times P(I|R_1) \times P(R_2|R_1,I) \\ & = \frac{1}{4} \times \frac{4}{5} \times \frac{3}{14} \\ & = \frac{3}{70} \end{align} $
Jadi, peluangnya adalah $ \frac{3}{70} $.

c). terdapat 2 undian yang dimenangkan remaja dan 1 undian dimenangkan oleh ibu-ibu.
Terdapat tiga kemungkinan dan cara menghitungnya mirip dengan cara bagian (b) sebelumnya.
*). undian pertama dimenangkan remaja, undian kedua dimenangkan oleh ibu-ibu, dan undian ketiga dimenangkan remaja,
$ \begin{align} P(R_1 \cap I \cap R_2 ) & = P(R_1) \times P(I|R_1) \times P(R_2|R_1,I) \\ & = \frac{3}{70} = 0,0428 \end{align} $
*). undian pertama dimenangkan remaja, undian kedua dimenangkan oleh remaja, dan undian ketiga dimenangkan ibu-ibu,
$ \begin{align} P(R_1 \cap R_2 \cap I ) & = P(R_1) \times P(R_2|R_1) \times P(I|R_1,R_2) \\ & = \frac{4}{16} \times \frac{3}{15} \times \frac{12}{14} \\ & = 0,0428 \end{align} $
*). undian pertama dimenangkan ibu-ibu, undian kedua dimenangkan oleh remaja, dan undian ketiga dimenangkan remaja,
$ \begin{align} P(I \cap R_1 \cap R_2 ) & = P(I) \times P(R_1|I) \times P(R_2|I,R_1) \\ & = \frac{12}{16} \times \frac{4}{15} \times \frac{3}{14} \\ & = 0,0428 \end{align} $
Jadi, peluang terdapat 2 undian yang dimenangkan remaja dan 1 undian dimenangkan oleh ibu-ibu adalah $ \, 0,0428 + 0,0428 + 0,0428 = 0,1284 $ .

17 komentar:

  1. Soal salah: Sebuah dadu dilempar sekali. Tentukan peluang munculnya mata dadu ganjil dengan syarat munculnya kejadian mata dadu prima lebih dahulu.

    Seharusnya:
    Sebuah dadu dilempar sekali. Tentukan peluang munculnya mata dadu ganjil dengan syarat mata dadu yang muncul bilangan prima

    BalasHapus
    Balasan
    1. Hallow #kucing hebat.

      Terima kasih untuk koreksinya. Di sini bukan masalah SOAL SALAH ATAU BENAR, artikel ini (contoh-contoh soalnya) dibuat memang untuk pemula (baru belajar peluang besyarat) yang artinya butuh soal yang langsung kena dengan teori yang ditulis sebelumnya (di atasnya) entah itu soalnya dalam kalimat yang efektif atau tidak. Harapannya akan langsung bisa dipahami dengan kesesuaian teori dan contoh soalnya.

      Terima kasih untuk kunjungannya ke blog koma ini.
      Semoga terus dan selalu bisa membantu kita semua. ^_^

      Hapus
  2. Balasan
    1. Hallow @Aziz,

      Terimakasih untuk kunjungannya ke blog koma.

      Semangat belajar.

      Hapus
  3. Bgaimana mencari peluang bersyarat jika soalnya :
    Di PT A, 25% siswa gagal dlm Ujian matematika, 15% gagal dlm statistik dan 10% gagal keduax. Dan seorg siswa dipggl scr acak. tntukan Brpa peluangx bahwa ia gagal dalam matematika atau statistik. Trmksh 🙏🙏

    BalasHapus
    Balasan
    1. Hallow @Meme,

      Terima kasih untuk pertanyaannya.

      Kita misalkan $ P(M^c) = 25\% $ , $P(S^c) = 15\% $ , dan $ P(M^c \cap S^c) = 10\% $. Peluang gagal dalam mat atau stat adalah
      $ \begin{align}
      P(M^c \cup S^c) & = P(M^c) + P(S^c) - P(M^c \cap S^c) \\
      & = 25\% + 15\% - 10\% \\
      & = 30\%
      \end{align} $

      Jadi, peluangnya adalah 30%.

      Seperti itu penjelasannya.

      Terima kasih untuk kunjungannya ke blog koma ini.

      Hapus
  4. Bagaimana cara penyelesaian soal berikut:
    Peluang Ratna lulus ujian dengan nilai memuaskan adalah 0,95. Sedangkan peluang Ratna mendapatkan pekerjaan setelah lulus dalam waktu 1 bulan pertama adalah 0,76. Peluang Ratna lulus ujian tetapi tidak dapat pekerjaan dalam waktu 1 bulan pertama setelah lulus adalah...

    BalasHapus
    Balasan
    1. Hallow @Khoridah,

      Terima kasih untuk pertanyaannya.

      Perhatikan contoh-contoh soal di atas. Jika syarat yang digunakan sama yaitu mendapat kerja atau tidak mendapat kerja dengan syarat lulus, maka bisa menggunakan bentuk komplemennya saja karena jumlah peluang kerja dengan syarat lulus dan peluang tidak kerja dengan syarat lulus adalah 1.

      Misalkan :
      Peluang kerja dengan syarat lulus : $ P(K|L) $
      Peluang tidak kerja dengan syarat lulus : $ P(K^c|L) $
      Perhitungannya :
      $ P(K|L) + P(K^c|L) = 1 $

      $ 0,76 + P(K^c|L) = 1 $

      $ P(K^c|L) = 1-0,76 = 0,24 $


      Seperti itu penjelasannya. Jika ada kekeliruan, mohon untuk dikoreksi ya.

      Terima kasih untuk kunjungannya ke blog koma ini.

      Semoga terus bisa bermanfaat.

      Hapus
    2. Kak, tidak bermaksud mengoreksi sebenarnya karena saya juga belum paham.
      Btw apa boleh begini ya kak jawabannya?

      P(K|L) + P(Kc|L) = 1

      P(K|L) = P(K∩L) ÷ P(L)

      = 0,76 ÷ 0,95

      = 0,8

      ∴ P(K|L) = 0,8

      P(K|L) + P(Kc|L) = 1

      0,8 + P(Kc|L) = 1

      P(Kc|L) = 0,2

      Terima kasih.

      Hapus
    3. Hallow @Shandy,

      Terimakasih untuk koreksinya. Soal ini ternyata sudah lama ya yaitu bulan Maret 2018, sehingga sekarang ini saya harus baca lagi dan memahami kembali soalnya, hehehehe....

      Ketika saya menjawab soal tersebut, saya menitik beratkan pada kalima "peluang dapat kerja setelah lulus", artinya baik nilainya memuaskan atau tidak, yang penting dia lulus maka peluangnya adalah $ 0,76 $. Sehingga waktu itu saya berkesimpulan bahwa $ 0,76 $ itu adalah peluang bersyaratnya (peluang kerja dengan syarat lulus).

      Nah setelah saya baca lagi dan pahami lagi, ternyata seharusnya ada korelasi antara peluang lulus dengan peluang dapat kerjanya, artinya semakin tinggi peluang kelulusannya maka peluang mendapat kerjanya juga semakin tinggi apalagi dengan nilai memuaskan. Sehingga dapat kita simpulkan $ P(L) = 0,95 $ dan $ P(K \cap L) = 0,76 $ serta $ P(K|L) $ dapat kita cari sesuai rumus yang ada yaitu $ P(K|L) = \frac{P(K \cap L)}{P(L)} = \frac{0,76}{0,95} = 0,8 $. Di sini baik nilainya memuaskan atau tidak itu tidak masalah karena pasti akan diberikan besaran/nilai peluang lulusnya.

      Lagi sekali terimakasih untuk koreksi dan kunjungannya ke blog koma.

      Catatan :
      Untuk mengerjakan soal peluang memang agak sulit karena harus menyamakan pemahaman kita sebagai orang yang mengerjakan soal dan maksud dari soal sesuai harapan dari pembuat soal, sehingga sedikit saja kita salah dalam mengartikan kalimat yang ada maka jawabannya pasti akan berbeda. Jika kita tidak dalam keadaan ujian, maka sebaiknya kita perlu diskusi dengan orang lain untuk menyamakan persepsi yang diminta pada soal. Maka dari itu, saya selalu meminta koreksi semua artikel yang ada di blog koma ini kepada pembaca agar menghasilkan artikel yang berkualitas. Terimakasih untuk pembaca yang mau berbagi dan mau mengoreksi tulisan-tulisan yang ada di blog koma sebagai bahan diskusi kita bersama.

      Semoga terus bermanfaat.

      Hapus
    4. $e^x=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}$

      Hapus
  5. Materi yang anda tulis benar2 membantu saya sebagai mahasiswa program studi pndidikan mtk. Terimakasih �� dan tetaplah berkarya dan menulis. Keep up the good work ����

    BalasHapus
    Balasan
    1. Hallow @Caesarla,

      terimakasih untuk kunjungannya ke blog koma ini.

      semoga terus bermanfaat.

      Hapus
  6. Bli, soal yg tentang bola bertanda X dan Y itu kan yg ditanya peluang bola hitam bertanda X. Nah banyaknya bola hitam bertanda X kan ada 5, dan jumlah bola keseluruhan ada 11, kenapa gak langsung aja peluangnya 5/11??? Kenapa bisa masuk kasus peluang bersyarat?? Kan hitam dan X itu dah nempel di bolanya..? Tidak bisa disyaratkan mana yg duluan mana belakangan. Mohon penjelasannya.

    BalasHapus
  7. Mau nanya, bilangan 5 angka yg dapat dibentuk dari angka 2,4,8 dengan angka 4&8 yg muncul tepat 2 kali sebanyak?

    BalasHapus
    Balasan
    1. Hallow @Saia,

      terimakasih untuk kunjungannya ke blog koma ini.

      penyusunan di atas sama saja dengan menyusun angka-angka : 2,4,4,8,8 dengan total cara :

      total cara = $ \frac{5!}{2!.2!} = 15 $ bilangan.

      semoga bisa membantu.

      Hapus
  8. bagaimana dg soal bila 2 set kartu brigde diambil 3 kali tanpa pengembalian hitung probabilitas pada pengambilan 1 akan terambil lartu king dan pengambilan kedua terambil kartu kartu as dan pengambilan ke tiga terambil kartu hati

    BalasHapus

Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.