Aturan Perkalian, Aturan Penjumlahan, dan Faktorial

         Blog Koma - Halow teman-teman, bagaimana kabarnya hari ini? Mudah-mudahan baik-baik saja.
Pada artikel kali ini kita akan mempelajari materi yang berkaitan dengan kaidah pencacahan yaitu menentukan banyaknya cara dalam menyusun suatu percobaan. Kaidah pencacahan terdiri dari aturan perkalian dan aturan penjumlahan, permutasi dan kombinasi.

         Untuk khusus pada kesempatan ini, kita akan membahas lebih mendetail tentang Aturan Perkalian, Aturan Penjumlahan, dan Faktorial. Materi faktorial digunakan untuk masalah permutasi dan kombinasi.

Aturan Perkalian pada kaidah pencacahan
       Jika terdapat $ n \, $ unsur yang tersedia,
$k_1 = \, $ banyak cara untuk menyusun unsur pertama
$ k_2 = \, $ banyak cara untuk menyusun unsur kedua setelah unsur pertama tersusun
$ k_3 = \, $ banyak cara untuk menyusun unsur ketiga setelah unsur kedua tersusun
dan seterusnya sampai
$k_n = \, $ banyak cara untuk menyusun unsur ke-$n$ setelah objek $ n - 1 $ unsur sebelumnya tersusun
Maka banyak cara untuk menyusun $ n \, $ unsur yang tersedia adalah:
$ k_1 \times k_2 \times k_3 \times ... \times k_n $

Catatan :
Aturan perkalian biasanya digunakan untuk beberapa kejadian yang semuanya "SEKALIGUS TERJADI" dan biasanya menggunakan kata penghubung "DAN"
Contoh soal penggunaan aturan perkalian :
1). Budi mempunyai 3 buah baju berwarna putih, cokelat, dan batik. Ia juga memiliki 2 buah celana warna hitam dan cokelat yang berbeda. Ada berapa pasang baju dan celana dapat dipakai dengan pasangan yang berbeda?
Penyelesaian :
*). Cara I : Mendaftarkan semua pasangan dengan diagram
Berikut diagram kemungkinan pasangan baju dan celana.
Dari diagram di atas, banyaknya pasangan baju dan celana yang dapat digunakan oleh Budi sebanyak 6 pasang yaitu (baju putih, celana hitam), (baju putih, celana cokelat), (baju batik, celana hitam), (baju batik, celana cokelat), (baju cokelat, celana hitam), dan (baju cokelat, celana cokelat).

*). Cara II : Menggunakan aturan perkalian.
Pada soal ini kita akan menentukan banyaknya pasangan baju dan celana, artinya setiap pasangan harus memuat baju dan celana sehingga SEKALIGUS kedua-duanya (baju dan celana) harus ada sehingga kita bisa menggunakan aturan perkalian secara langsung.
*). Unsur pertama adalah baju,
ada 3 pilihan baju, sehingga $ k_1 = 3 $.
*). Unsur kedua adalah celana,
ada 2 pilihan celana, sehingga $ k_2 = 2 $.
*). Total pasangan baju dan celanan :
Total pasangan $ = k_1 \times k_2 = 3 \times 2 = 6 $.
Jadi, banyaknya pasangan baju dan celana ada 6 pasang berbeda.

2). Iwan memiliki 5 jenis baju yang berbeda, 2 jenis celana yang berbeda, 2 topi yang berbeda, 3 dasi yang berbeda, dan 4 pasang sepatu serta kaosnya. Tentukan ada berapa banyak cara Iwan menggunakan seragam sekolah jika semua jenis harus dipakai?
Penyelesaian :
Total seragam yang mungkin terbentuk adalah
$ 5 \times 2 \times 2 \times 3 \times 4 = 240 \, $ pilihan.
Jadi, ada 240 pilihan seragam yang bisa dipakai oleh Iwan.

3). Untuk menuju kota C dari kota A harus melewati kota B. Dari kota A ke kota B melewati 4 jalur dan dari kota B ke kota C ada 3 jalur. Dengan berapa jalur Budi dapat pergi dari kota A ke kota C?
Penyelesaian :
*). Kita gunakan aturan perkalian karena jalur AB dan BC harus ditempuh semua, artinya ketiga jalur SEKALIGUS dilewati untuk perjalanan dari kota A ke kota C.
Total jalur $ = 4 \times 3 = 12 \, $ jalur.

4). Seorang ingin membuatkan plat nomor kendaraan yang terdiri dari 4 angka yang dipilih dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5 dan dalam plat nomor itu tidak boleh ada angka yang sama. Berapa banyak plat nomor dapat dibuat?
Penyelesaian :
*). Plat nomor tidak boleh ada angka yang berulang, artinya angka yang sudah dipakai tidak boleh dipakai lagi. Misalkan palat nomor 2113 tidak boleh karena angka 1 berulang. Contoh yang boleh adalah plat nomor 2134, 1234, 1235, dan lainnya.
*). Misalkan kita buat 4 buah kotak kosong yaitu kotak (a), (b), (c) dan (d) sebab nomor kendaraan itu terdiri dari 4 angka.
Berikut cara pengisian masing-masing kotak :
Pilihan angkanya adalah 1, 2, 3, 4, 5, artinya totalnya ada 5 pilihan angka.
i). Kotak (a), dapat diisi angka 1, 2, 3, 4, atau 5 sehingga ada 5 cara.
ii). Kotak (b), dapat diisi dengan 4 pilihan bilangan karena satu bilangan sudah dipakai untuk kotak (a).
iii). Kotak (c), dapat diisi dengan 3 pilihan bilangan karena dua bilangan sudah dipakai untuk kotak (a) dan (b).
iv). Kotak (d), dapat diisi dengan 2 pilihan bilangan karena tiga bilangan sudah dipakai untuk kotak (a), (b), dan (c).
Sehingga gambar lengkap kotaknya adalah :
Banyaknya plat nomor $ = 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120 \, $ plat nomor.
Jadi, banyaknya plat nomor yang bisa dibuat adalah 120 plat nomor.

5). Seorang ingin membuatkan plat nomor kendaraan yang terdiri dari 4 angka yang dipilih dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5 dan dalam plat nomor itu boleh ada angka yang sama. Berapa banyak plat nomor dapat dibuat?
Penyelesaian :
Soal ini sebenarnya mirip dengan soal nomor (4), hanya saja syaratnya yang dibedakan sedikt.
Plat nomor boleh ada angka yang sama, artinya angka yang sudah dipakai boleh dipakai lagi.
*). Kita buat 4 kota karena plat nomor terdiri dari 4 angka saja.
Pilihan angkarnya adalah 1, 2, 3, 4, 5, artinya totalnya ada 5 pilihan angka.
Cara pengisian setiap kotak :
i). Kotak I, dapat diisi angka 1, 2, 3, 4, atau 5 sehingga ada 5 cara.
ii). Kotak II, dapat diisi dengan 5 pilihan angka juga karena angka yang sudah dipakai pada kotak I bisa dipakai lagi pada kotak II. Begitu juga dengan kotak III dan kotak IV ada 5 pilihan angka masing-masing.
Banyaknya plat nomor $ = 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 625 \, $ plat nomor.
Jadi, banyaknya plat nomor yang bisa dibuat adalah 625 plat nomor.

Aturan Penjumlahan pada kaidah pencacahan
       Jika terdapat $ n \, $ peristiwa yang saling lepas,
$k_1 = \, $ banyak cara pada peristiwa pertama
$ k_2 = \, $ banyak cara pada peristiwa kedua
$ k_3 = \, $ banyak cara pada peristiwa ketiga
dan seterusnya sampai
$k_n = \, $ banyak cara pada peristiwa ke-$n$
Maka banyak cara untuk $ n \, $ buah peristiwa secara keseluruhan adalah:
$ k_1 + k_2 + k_3 + ... + k_n $

Catatan :
Aturan penjumlahan biasanya digunakan untuk beberapa kejadian yang "TIDAK SEKALIGUS TERJADI" artinya yang terjadi hanya salah satu saja atau bisa dibilang "PILIHAN" dan biasanya menggunakan kata penghubung "ATAU"
Contoh soal aturan penjumlahan :
6). Di rumahnya Wati terdapat 3 jenis sepeda berbeda, 2 jenis sepeda motor berbeda, dan 2 mobil yang berbeda. Jika Wati ingin berpergian, ada berapa cara Wati menggunakan kendaraan yang ada di rumahnya?
Penyelesaian :
Pada kasus ini, ada tiga pilihan kendaraan yaitu sepeda, sepeda motor, dan mobil. Wati tidak mungkin menggunakan SEKALIGUS ketiga jenis kendaraan tersebut yang artinya Wati harus memilih salah satu jenis kendaraan saja. Sehingga kita bisa menggunakan aturan penjumlahan pada kasus ini.
*). Menentukan banyak cara menggunakan kendaraan
Total cara $ = 3 + 2 + 2 = 7 \, $ cara.
Jadi, ada 7 cara pilihan kendaraan yang bisa digunakan oleh Wati.

7). Dari Kota A menuju kota D dapat melalui beberapa jalur pada gambar di bawah ini. Berapa banyak kemungkinan jalur yang dapat dilalui dari Kota A ke Kota D?
Penyelesaian :
*). Untuk perjalanan dari kota A ke kota D bisa melalui kota B atau kota C.
Beberapa jalur yang bisa ditempuh :
Jalur Pertama : jalurnya A - B - D
A - B ada 4 jalan dan B - D ada 3 jalan,
toal jalur pertama $ = 4 \times 3 = 12 $
Jalur Kedua : jalurnya A - C - D
A - C ada 3 jalan dan C - D ada 3 jalan,
toal jalur kedua $ = 3 \times 3 = 9 $
*). Keseluruhan jalur yang ditempuh adalah melalui jalur pertama atau jalur kedua sehingga bisa menggunakan aturan penjumlahan.
Total jalur = jalur pertama $ + \, $ jalur kedua = $ 12 + 9 = 21 \, $.
Jadi, banyak kemungkinan jalur yang ditempuh dari A ke D ada 21 jalur.

Definisi dan Notasi Faktorial
       Misalkan ada $ n \, $ bilangan asli,
Notasi faktorial adalah $ n! \, $ dibaca "$n \, $ faktorial".
Cara penghitungannya :
$ n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times (n-3) \times ... \times 3 \times 2 \times 1 $
dengan $ 0! = 1 $.
Contoh soal faktorial :
8). Tentukan nilai faktorial berikut ini,
a). 5!
b). 3!
c). 6!
d). $ \frac{7!}{5!} $
e). $ 3! \times 2 ! $
f). $ \frac{8!}{3! \times 6!} $
Penyelesaian :
a). $ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 $
b). $ 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 $
c). $ 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720 $
d). $ \frac{7!}{5!} = \frac{7 \times 6 \times 5!}{5!} = 7 \times 6 = 42 $
e). $ 3! \times 2 ! = (3 \times 2 \times 1 ) \times ( 2 \times 1) = 6 \times 2 = 12 $
f). $ \frac{8!}{3! \times 6!} = \frac{8 \times 7 \times 6!}{(3 \times 2 \times 1) \times 6!} = \frac{8 \times 7 }{(3 \times 2 \times 1) } = \frac{28}{3} $

9). Nyatakan bentuk berikut dalam bentuk faktorial :
a). $ 4 \times 5 \times 6 $
b). $ \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{1 \times 2 \times 3 \times 4} $
Penyelesaian :
a). $ \begin{align} 4 \times 5 \times 6 = \frac{1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6}{1 \times 2 \times 3 } = \frac{6!}{3!} \end{align} $
b). $ \begin{align} \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{1 \times 2 \times 3 \times 4} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(1 \times 2 \times 3 \times 4) \times (4 \times 3 \times 2 \times 1) } = \frac{8!}{4! \times 4!} \end{align} $

10). Hitunglah nilai faktorial dari $ \frac{5}{7!} - \frac{1}{6!} + \frac{24}{8!} $
Penyelesaian :
*). Karena penyebutnya ada tiga jenis, maka kemunngkinan jawabannya ada 3 bentuk yang nilainya tetap sama.
$ \begin{align} \frac{5}{7!} - \frac{1}{6!} + \frac{10}{8!} & = \frac{8 \times 5}{8 \times 7!} - \frac{8 \times 7 \times 1 }{8 \times 7 \times 6!} + \frac{24}{8!} \\ & = \frac{40}{8!} - \frac{56 }{8!} + \frac{24}{8!} \\ & = \frac{40 - 56 + 24}{8!} \\ & = \frac{8}{8!} \\ & = \frac{8}{8 \times 7!} \\ & = \frac{1}{7!} \\ & = \frac{1}{7 \times 6!} \\ \end{align} $
Jadi hasilnya adalah $ \frac{8}{8!} \, $ atau $ \frac{1}{7!} \, $ atau $ \frac{1}{7 \times 6!} $.

11). Tentukan nilai $ n \, $ , jika $ \frac{n! - (n-2)!}{(n-1)!} = 1 $
Penyelesaian :
$ \begin{align} \frac{n! - (n-2)!}{(n-1)!} & = 1 \\ \frac{n \times (n-1) \times (n-2)! - (n-2)!}{(n-1) \times (n-2)!} & = 1 \\ \frac{n \times (n-1) - 1}{(n-1) } & = 1 \\ \frac{(n^2 - n ) - 1}{(n-1) } & = 1 \\ n^2 - n - 1 & = n - 1 \\ n^2 - 2n & = 0 \\ n(n-2) & = 0 \\ n = 0 \vee n = 2 \end{align} $
Yang memenuhi adalah untuk $ n = 2 $ .
Jadi, diperoleh nilai $ n = 2 $.

13 komentar:

  1. pada soal no.1 pertanyaannya "Ada berapa
    pasang baju dan celana dapat dipakai dengan
    PASANGAN YANG BERBEDA?" berarti baju putih celana putih kan tidak termasuk? tolong penjelasannya

    BalasHapus
    Balasan
    1. Hallow @Rizky,

      Terimakasih untuk pertanyaannya.

      "PASANGAN YANG BERBEDA" di sini maksudnya adalah pasangan antara baju dan celana yang satu berbeda dengan pasangan baju dan celana yang lainnya. Contoh, pasangan (baju putih, celana hitam) akan berbeda dengan bentuk pasangan (baju putih, celana putih) akan berbeda juga dengan pasangan (baju hitam, celana hitam). Jadi yang ditekankan adalah pasangan yang terbentuk antara baju dan celana. Untuk masalah baju dan celana yang warnanya sama tidak apa-apa karena juga terbentuk satu pasang.

      Seperti itu penjelasannya.
      Terimakasih untuk kunjungannya ke blog koma ini.
      Tetap semangat belajar.

      Hapus
  2. Sangat bermanfaat blog ini. Trima kasih atas materinya. Awalnya saya kira materi ini sulit, ehh ternyata nggak😊

    BalasHapus
    Balasan
    1. Hallow @Waldo,

      Terimakasih untuk kunjungannya ke blog koma ini.

      Semoga terus bisa memberikan manfaat untuk kita semua.

      Hapus
  3. Aduuh... betul betul tertolong ketemu blog ini, apalagi besok UN Matematika. Semua konsep terjelaskan dengan mudah ! Terima kasih !

    BalasHapus
    Balasan
    1. Hallow @togos,

      Terima kasih untuk kunjungannya ke blog koma

      Semoga terus bisa bermanfaat.

      Hapus
  4. Kak blognya membantu.. makasih. Buat yang materi kombinasi ada ga ka?

    BalasHapus
  5. Kak blognya membantu.. makasih. Buat yang materi kombinasi ada ga ka?

    BalasHapus
    Balasan
    1. Hallow,

      Terimakasih untuk kunjungannya ke blog koma.

      Untuk materi kombinasi, silahkan lihat di bagian "artikel terkait" di bagian paling bawah setelah materi ini.

      Semoga terus membantu.

      Hapus
  6. Balasan
    1. Hallow @Temuri TMR,

      Terimakasih untuk kunjungannya ke blog koma ini.

      semoga terus bisa bermanfaat.

      Hapus
  7. Bang klo di permutasi siklis jika salah satu unsur dibuat jdi titik acuan berearti dia tdk bergeser dong..pdhal klo mnurut sya semuanya bisa bergeser apa lgi di meja mkan.contohnya titik A yg dijadikan acuan bisa jga bergeser k sbelah kiri,kanan,dan bawah klo dilihat dri org diluar meja..tpi beda klo di suatu lembaga pastilah kepala lmbaga jdi acuan.Tolong pnjelasannya bang??

    BalasHapus
    Balasan
    1. Hallow @zul,

      Terimakasih untuk kunjungannya dan pertanyaannya.

      Dijadikan Sebagai titik acuan atau ditetapkan sebagai titik acuan bukan berarti titik tersebut tidak berpindah karena pada kenyataannya setiap benda yang ada secara melingkar tersebut bisa ditukarkan posisinya. Yang perlu dipahami cara membaca pada permutasi siklis adalah urutan pembacaanya yaitu misalkan searah jarum jam.

      Perhatikan contoh permutasi siklis (contoh nomor 11) pada materi "permutasi pada peluang".
      Lihat susunan pertama (gambar 1), jika posisi A kita geser ke B, B geser ke C, dan D geser ke A, maka cara bacanya tetap ABCD atau BCDA atau CDAB atau DABC, dimana keempatnya menunjukkan satu susunan sehingga ABCD = BCDA = CDAB = DABC yang dihitung satu cara saja.

      Catatannya :
      -). Semua unsur pasti bisa berpindah
      -). Harus memperhatikan cara membaca dan posisinya
      -). satu unsur kita gunakan sebagai titik acuan agar memudahkan dalam penyusunan dimana unsur tersebut juga bisa dipindah-pindah posisinya.

      Seperti itu penjelasannya.

      Semoga bisa membantu.

      Hapus

Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.