Sifat-sifat, Keliling, dan Luas Persegi

         Blog Koma - Matematika SMP : Selain "persegi panjang", bangun segi empat lainnya adalah persegi. Pada artikel kali ini kita membahas materi Sifat-sifat, Keliling, dan Luas Persegi secara lebih mendalam. Hal-hal yang akan kita bahas adalah pengertian persegi, sifat-sifat persegi, keliling persegi, dan luas persegi.

Pengertian Persegi
       Persegi adalah bangun segi empat yang memiliki empat sisi sama panjang dan empat sudut siku-siku. Perhatikan gambar persegi berikut,
Keterangan:
*). Keempat sisinya sama panjang, $ AB = BC = CD = DA $.
*). Keempat sudutnya siku-siku,
$ \angle BAD = \angle ABC = \angle BCD = \angle CDA = 90^\circ $.
Sifat-sifat persegi
       Perhatikan persegi PQRS berikut,
Sifat-sifat persegi yaitu :
i). Semua sifat persegi panjang merupakan sifat persegi.
ii). Suatu persegi dapat menempati bingkainya dengan delapan cara.
iii). Semua sisi persegi adalah sama panjang.
       $ PQ = QR = RS = SQ $ .
iv). Sudut-sudut suatu persegi dibagi dua sama besar oleh diagonal-diagonalnya.
       $ \angle P_1 = \angle P_1 = \angle Q_3 = \angle Q_4 = \angle R_5 = \angle R_6 = \angle S_7 = \angle S_8 $ .
v). Diagonal-diagonal persegi saling berpotongan sama panjang membentuk sudut siku-siku.
       *). $ \angle POQ = \angle QOR = \angle ROS = \angle SOP = 90^\circ $ .
       *). Diagonal PR = diagonal SQ dan $ PO = OR = QO = OS $ .
Contoh soal-soal sifat-sifat persegi:
1). Pada persegi KLMN berikut, diketahui panjang KM = 10 cm.
Tentukan Panjang LN, KO, OM, LO, dan ON?
Penyelesaian :
*). Dari sifat (v), diagonalnya sama panjang ,
sehingga LN = KM = 10 cm.
*). Dari sifat (v) juga berlaku KO = OM,
sehingga : $ KO = \frac{1}{2} KM = \frac{1}{2} \times 10 = 5 \, $ cm.
diperoleh : OM = LO = ON = KO = 5 cm.

2). Pada persegi EFGH diketahui panjang diagonal EG = ($3x - 4$) cm dan FH = 20 cm. Tentukan nilai $ x $ dan panjang diagonalnya.
Penyelesaian :
*). Persegi EFGH, ini artinya EG dan FH adalah diagonlanya.
*). Dari sifat (v), diagonal persegi sama panjang,
$ \begin{align} EG & = FH \\ 3x - 4 & = 20 \\ 3x & = 24 \\ x & = 8 \end{align} $
sehingga nilai $ x = 8 $.
*). Panjang diagonalnya adalah EG = FH = 20 cm.

3). Perhatikan persegi KLMN pada gambar di bawah ini,
a. Tentukan besar $\angle $KOL, $\angle $KOQ dan $\angle $LMO.
b. Tentukan panjang KL, LM, PO, NP, dan LQ.
Penyelesaian :
a). Berdasarkan sifat (v),
$ \angle KOL = 90^\circ $,
$ \angle KOQ = \frac{1}{2} . \angle KOL = \frac{1}{2} \times 90^\circ = 45^\circ $,
$ \angle LMO = \frac{1}{2} . \angle LMN = \frac{1}{2} \times 90^\circ = 45^\circ $,
b). Berdasarkan sifat (iii),
KL = LM = MN = KN = 9 cm.
PQ = KN = 9 cm.
PO = NP = $ \frac{1}{2} PQ = \frac{1}{2} \times 9 = 4,5 \, $ cm.

Keliling dan Luas Persegi
       Perhatikan persegi KLMN berikut,
Misalkan panjang sisi persegi adalah $ s $ ,
artinya $ KL = LM = MN = NK = s $

$\spadesuit $ Keliling Persegi
       Keliling persegi (K) : $ K = KL + LM + MN + NK = 4s $.

$\spadesuit $ Luas Persegi
       Luas persegi (L) : $ L = \text{sisi } \times \text{sisi } = s \times s = s^2 $.
Contoh :
4). Hitunglah keliling dan luas sebuah persegi yang panjang sisinya 5 cm.
Penyelesaian :
*). Diketahui : $ s = 5 $.
Keliling : $ K = 4s = 4 \times 5 = 20 \, $ cm.
Luas : $ L = s^2 = 5^2 = 25 \, $ cm$^2$ .

5). Jika diketahui keliling suatu persegi 48 cm, tentukan luasnya.
Penyelesaian :
*). Diketahui : $ K = 48 $.
*). Menentukan panjang sisi persegi ($s$) dari kelilingnya.
$ K = 48 \rightarrow 4s = 48 \rightarrow s = \frac{48}{4} \rightarrow s = 12 $ .
Sehingga Luasnya : $ L = s^2 = 12^2 = 144$ .
Jadi, luas perseginya adalah 144 cm$^2$.

6). Misalkan KLMN adalah persegi yang memiliki panjang sisi $ r \, $ cm dan ABCD adalah sebuah persegi panjang dengan panjang sisi $ AB = p \, $ cm dan sisi $ CD = l \, $ cm. Buktikan jika keliling persegi adalah 2 kali keliling persegi panjang, maka $ \frac{\text{Luas } ABCD}{\text{Luas } KLMN} = \frac{l}{r} - \left( \frac{l}{r} \right)^2 $ .
Penyelesaian :
*). Menentukan Luas dan keliling masing-masing :
Luas persegi KLMN $ = r^2 $
Keliling persegi KLMN $ = 4r $
Luas persegi panjang ABCD $ = p . l $
Keliling persegi panjang ABCD $ = 2(p + l) $.
*). Menentukan hubungan semua panjang sisi persegi dan persegi panjang,
$ \begin{align} \text{keliling persegi } & = 2 \times \text{ keliling persegi panjang} \\ 4r & = 2 \times 2(p+l) \\ 4r & = 4 (p+l) \\ r & = p + l \\ p & = r - l \end{align} $
*). Pembuktiannya,
$ \begin{align} \frac{\text{Luas } ABCD}{\text{Luas } KLMN} & = \frac{p.l}{r^2 } \\ & = \frac{(r - l).l}{r^2 } \\ & = \frac{ r.l - l^2}{r^2 } \\ & = \frac{ r.l }{r^2 } - \frac{ l^2}{r^2 } \\ \frac{\text{Luas } ABCD}{\text{Luas } KLMN} & = \frac{ l }{r } - \left( \frac{l}{r} \right)^2 \end{align} $
Jadi, terbukti $ \frac{\text{Luas } ABCD}{\text{Luas } KLMN} = \frac{l}{r} - \left( \frac{l}{r} \right)^2 $ .

7). Diketahui luas persegi sama dengan luas persegi panjang dengan panjang = 16 cm dan lebar = 4 cm. Tentukan keliling persegi tersebut.
Penyelesaian :
*). Ukuran persegi panjang : $ p = 16 \, $ dan $ l = 4 $.
*). Menentukan panjang sisi persegi ($s$).
$ \begin{align} \text{Luas persegi } & = \text{Luas persegi panjang} \\ s^2 & = p. l \\ s^2 & = 4. 16 \\ s^2 & = 64 \\ s & = \sqrt{64} \\ s & = 8 \end{align} $
diperoleh panjang sisi persegi : $ s = 8 \, $ cm.
*). Menentukan keliling persegi :
Keliling : $ K = 4s = 4 \times 8 = 32 \, $ cm.
Jadi, keliling persegi adalah 32 cm.

8). Sebuah lantai berbentuk persegi dengan panjang sisinya 6 m. Lantai tersebut akan dipasang ubin berbentuk persegiberukuran 30 cm $\times $ 30 cm. Tentukan banyaknya ubin yang diperlukan untuk menutup lantai.
Penyelesaian :
*). Untuk menentukan banyak ubin, langsung kita hitung luas dan dibagi.
Luas persegi = 6 m $ \times $ 6 m = 600 cm $ \times $ 600 cm .
Banyak ubin = $ \frac{600 \times 600 }{30 \times 30 } = 20 \times 20 = 400 \, $ ubin.
Jadi, banyak ubin yang dibutuhkan adalah sebanyak 400 ubin.

Tidak ada komentar:

Posting Komentar