Sifat, Keliling, dan Luas Belah Ketupat

         Blog Koma - Matematika SMP : Pada artikel kali ini kita akan membahas materi Sifat, Keliling, dan Luas Belah Ketupat yang merupakan salah satu dari jenis "bangun datar segi empat". Hal-hal yang akan kita bahas adalah pengertian belah ketupat, sifat-sifat belah ketupat, keliling belah ketupat, dan luas belah ketupat.

Pengertian Belah Ketupat
       Belah ketupat adalah bangun segi empat yang dibentuk dari gabungan segitiga sama kaki dan bayangannya setelah dicerminkan terhadap alasnya.
Keterangan:
*). Segitiga ABC adalah hasil pencerminan segitiga ACD terhadap garis AC (garis alas segitiga), perpaduan kedua segitiga tersebut membentuk belah ketupat.
Sifat-sifat Belah Ketupat
       Perhatikan Belah Ketupat ABCD berikut,
Sifat-sifat Belah Ketupat yaitu :
i). Semua sisi pada belah ketupat sama panjang.
AB = BC = CD = DA .
ii). Kedua diagonal pada belah ketupat merupakan sumbu simetri.
Diagonalnya adalah AC dan BD.
iii). Kedua diagonal belah ketupat saling membagi dua sama panjang dan saling berpotongan tegak lurus.
diagonal : AO = OC dan BO = OD.
Sudut : $ \angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle AOD = 90^\circ $ .
iv). Pada setiap belah ketupat sudut-sudut yang berhadapan sama besar dan dibagi dua sama besar oleh diagonal-diagonalnya.
$ \angle BAD = \angle BCD \, $ dan $ \angle ABC = \angle ADC $.
v). Jumlah pasangan sudut yang saling berdekatan pada setiap belah ketupat adalah $180^\circ$.
$ \angle BAD + \angle ABC = 180^\circ , \, \angle ABC + \angle BCD = 180^\circ $
$ \angle BCD + \angle ADC = 180^\circ , \, \angle BAD + \angle ADC = 180^\circ $ .
Contoh :
1). Perhatikan gambar belah ketupat KLMN berikut,
KLMN adalah belah ketupat dengan panjang KM = 24 cm dan LN = 32 cm serta besar $ \angle KLM = 80^\circ $ .
a). Tentukan panjang KO dan LO,
b). tentukan panjang semua sisinya,
c). tentukan besarnya sudut KNM, NKL, dan LMN.
Penyelesaian :
a). berdasarkan sifat (iii),
*). KO = OM , sehingga $ KO = \frac{1}{2} KM = \frac{1}{2} \times 24 = 12 \, $ cm.
*). LO = ON , sehingga $ LO = \frac{1}{2} LN = \frac{1}{2} \times 32 = 16 \, $ cm.

b). Menentukan panjang sisi belah ketupat denga pythagoras pada segitiga KOL,
$ \begin{align} KL^2 & = KO^2 + LO^2 \\ KL & = \sqrt{12^2 + 16^2} \\ & = \sqrt{144 + 256} \\ & = \sqrt{400} \\ & = 20 \end{align} $
sehingga panjang sisinya adalah KL = LM = MN = NK = 20 cm.

c). Berdasarkan sifat (iv) dan (v),
*). $ \angle KNM = \angle KLM = 80^\circ $.
*). $ \angle LMN + \angle KLM = 180^\circ \rightarrow \angle LMN + 80^\circ = 180^\circ \rightarrow \angle LMN = 100^\circ $
*). $ \angle LKN = \angle LMN = 100^\circ $.

Keliling dan Luas Belah Ketupat
       Perhatikan Belah Ketupat ABCD berikut,
$\spadesuit $ Keliling Belah Ketupat dari gambar (a),
       Keliling Belah Ketupat (K) : $ K = AB + BC + CD + DA = 4s $.

$\spadesuit $ Luas Belah Ketupat
       Dari Belah Ketupat gambar (c), segitiga yang kecil-kecil (AEB, BEC, CED,AED) yang diberi nomor 1 sampai 4 disusun ulang sedemikian sehingga membentuk persegi panjang seperti gambar (d). Artinya luas belah ketupat sama dengan luas persegi panjang.
Misalkan diagonal $ AC = d_1 \, $ dan diagonal $ BD = d_2 \, $ maka $ ED = \frac{1}{2}d_2 $ , ini artinya pada gambar (d) panjangnya adalah $ d_1 \, $ dan lebarnya adalah $ \frac{1}{2}d_2 $.
Luas Belah Ketupat (L) :
$ L = \text{panjang } \times \text{lebar} = d_1 \times \frac{1}{2} d_2 = \frac{1}{2}\times d_1 \times d_2 $.
Contoh :
2). Tentukan luas belah ketupat yang memiliki panjang diagonal-diagonal 6 cm dan 8 cm.
Penyelesaian :
*). Diketahui : $ d_1 = 6 \, $ dan $ d_2 = 8 $.
Luas : $ L = \frac{1}{2}\times d_1 \times d_2 = \frac{1}{2}\times 6 \times 8 = 24 $
Jadi, luas belah ketupatnya adalah 24 cm$^2$ .

3).Sebuah belah ketupat diketahui luasnya 180 cm$^2$. Jika panjang salah satu diagonalnya 24 cm, tentukan panjang diagonal yang lain.
Penyelesaian :
*). Diketahui : $ L = 180 \, $ dan $ d_1 = 24. $
*). Menentukan panjang $ d_2 $.
$ \begin{align} L & = 180 \\ \frac{1}{2}\times d_1 \times d_2 & = 180 \\ \frac{1}{2}\times 24 \times d_2 & = 180 \\ 12 \times d_2 & = 180 \\ d_2 & = \frac{180}{12} = 15 \end{align} $
Jadi, panjang diagonal yang lainnya adalah 15 cm.

4). Panjang diagonal-diagonal suatu belah ketupat diketahui berturut-turut 18 cm dan ($2x + 3$) cm. Jika luas belah ketupat tersebut 81 cm$^2$, tentukan nilai $ x \, $ dan panjang diagonal satunya.
Penyelesaian :
*). Diketahui : $ L = 81 , \, d_1 = 18 \, $ dan $ d_2 = (2x + 3 ) $.
*). Menentukan panjang $ x \, $ dan $ d_2 $.
$ \begin{align} L & = 81 \\ \frac{1}{2}\times d_1 \times d_2 & = 81 \\ \frac{1}{2}\times 18 \times (2x + 3 ) & = 81 \\ 9 \times (2x + 3 ) & = 81 \\ (2x + 3 ) & = \frac{81}{9} = 9 \\ 2x & = 6 \\ x & = 3 \end{align} $
Sehingga nilai $ x = 3 \, $ dan panjang diagonalnya $ 2x + 3 = 2.3 + 3 = 9 $.
Jadi, panjang diagonal yang lainnya adalah 9 cm.

5). Perhatikan gambar berikut,
Belah ketupat ABCD memiliki luas 24 cm$^2 $ dan panjang AD = 5 cm. Panjang OC = $ x \, $ cm, OD = $ y \, $ cm, dan nilai $ x + y = 7 $ .
Tentukan :
a). Keliling belah keptupat,
b). Panjang diagonal-diagonalnya.
Penyelesaian :
a). Panjang sisi belah ketupat adalah $ s = AD = 5 \, $ cm .
sehingga keliling : $ K = 4s = 4 . 5 = 20 \, $ cm .

b). Panjang $ OC = x, \, $ sehingga $ AC = 2x $ .
panjang $ OD = y , \, $ sehingga $ BD = 2y $ .
Luas belah ketupat :
$ L = \frac{1}{2}\times d_1 \times d_2 \rightarrow 24 = \frac{1}{2}\times 2x \times 2y \rightarrow xy = 12 $.
Dari bentuk $ x + y = 7 \, $ dan $ xy = 12 , \, $ maka nilai $ x = 4 \, $ dan $ y = 3 $.
Sehingga panjang diagonal-diagonalnya :
$ AC = 2x = 2. 4 = 8 \, $ cm dan $ BD = 2y = 2. 3 = 6 \, $ cm .
Jadi, panjang diagonalnya adalah 8 cm dan 6 cm.

Tidak ada komentar:

Posting Komentar