Nilai Stasioner Suatu Fungsi dan Jenisnya

         Blog Koma - Aplikasi lainnya dari turunan adalah untuk menentukan nilai stasioner suatu fungsi dan jenisnya. Setiap fungsi baik fungsi aljabar maupun fungsi trigonometri pasti memiliki yang namanya titik balik baik titik puncak maupun titik lembah yang sering disebut dengan titik balik maksimum dan titik balik minimum. Kumpulan semua titik balik dan titik belok tersebut disebut dengan titik stasioner.

Perhatikan grafik fungsi $ y = f(x) \, $ berikut ini,
         Dari grafik di atas, titik A, B, C, D, dan E disebut titik-titik stasioner dengan B dan D adalah titik balik minimum, A dan C adalah titik balik maksimum, serta titik E adalah titik belok. Pertanyaannya adalah bagaimanan cara menentukan semua titik-titik tersebut? Nah disinilah turunan berperan sangat penting dalam menentukan titik-titik stasioner tersebut. Untuk memudahkan mempelajari materi ini, sebaiknya kita pelajari dulu materi "turunan fungsi aljabar", "turunan fungsi trigonometri", dan "turunan kedua suatu fungsi".

Menentukan Titik Stasioner dan Nilai stasioner suatu fungsi
       Misalkan terdapat fungsi $ y = f(x) \, $ yang dapat diturunkan (diferentiable), untuk menentukan titik stasionernya kita harus menentukan nilai $ x \, $ terlebih dulu dengan cara menggunakan syarat stasioner yaitu :
Syarat Stasioner : $ f^\prime (x) = 0 \, $ (turunan pertama = 0).

       Dari syarat stasioner $ f^\prime (x) = 0 \, $ , akan kita peroleh nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan tersebut, anggap saja $ x = c \, $ yang memenuhi $ f^\prime (c) = 0 . \, $ Akan kita peroleh :
Titik ($c, f(c)$) disebut sebagai titik stasioner, dan
Nilai fungsi $ y = f(c) \, $ disebut sebagai Nilai stasionernya.

Catatan :
*). Banyaknya nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan $ f^\prime (x) = 0 \, $ bisa lebih dari satu, ini tergantung dari bentuk fungsinya.
*). Untuk menentukan jenis stasionernya, ada dua cara yaitu menggunakan turunan pertama atau menggunakan turunan kedua.
Contoh :
1). Tentukan titik dan nilai stasioner dari fungsi-fungsi berikut :
a). $ f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 8x + 1 $
b). $ f(x) = \sin (2x) \, $ untuk $ 0 \leq x \leq 360^\circ $
Penyelesaian :
a). Menentukan nilai $ x \, $ berdasarkan syarat stasioner :
Fungsi awal : $ f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 8x + 1 \rightarrow f^\prime (x) = x^2 - 2x - 8 $
Syarat stasioner : $ f^\prime (x) = 0 $
$ \begin{align} f^\prime (x) & = 0 \\ x^2 - 2x - 8 & = 0 \\ (x +2)(x-4) & = 0 \\ x = -2 \vee x & = 4 \end{align} $
*). Menentukan nilai stasioner dan titik stasionernya dengan substitusikan nilai $ x = -2 \, $ dan $ x = 4 \, $ ke fungsi awal, kita peroleh :
Untuk $ x = -2 \rightarrow f(-2) = \frac{1}{3}(-2)^3 - (-2)^2 - 8.(-2) + 1 = \frac{31}{3} $ .
Sehingga untuk $ x = -2 \, $ , nilai stasionernya $ \frac{31}{3} \, $ dan titik stasionernya $\left( -2, \frac{31}{3} \right)$ .
Untuk $ x = 4 \rightarrow f(4) = \frac{1}{3}(4)^3 - (4)^2 - 8.(4) + 1 = -\frac{77}{3} $ .
Sehingga untuk $ x = 4 \, $ , nilai stasionernya $ -\frac{77}{3} \, $ dan titik stasionernya $\left( 4, -\frac{77}{3} \right)$ .
Jadi, titik stasionernya adalah $\left( -2, \frac{31}{3} \right) \, $ dan $\left( 4, -\frac{77}{3} \right)$ .

b). Menentukan nilai $ x \, $ berdasarkan syarat stasioner :
Fungsi awal : $ f(x) = \sin (2x) \rightarrow f^\prime (x) = 2 \cos (2x) $
Syarat stasioner : $ f^\prime (x) = 0 $
$ \begin{align} f^\prime (x) & = 0 \\ 2 \cos (2x) & = 0 \\ \cos (2x) & = 0 \\ 2x & = 90^\circ \rightarrow x = 45^\circ \\ 2x & = 270^\circ \rightarrow x = 135^\circ \\ 2x & = 450^\circ \rightarrow x = 225^\circ \\ 2x & = 630^\circ \rightarrow x = 315^\circ \end{align} $
Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri, silahkan baca materinya lebih lanjut pada artikel "penyelesaian persamaan trigonometri".
*). Menentukan nilai stasioner dan titik stasionernya dengan substitusikan nilai $ x = \{ 45^\circ, 135^\circ, 225^\circ, 315^\circ \} $ ke fungsi awal, kita peroleh :
Untuk $ x = 45^\circ \rightarrow f(45^\circ) = \sin ( 2 \times 45^\circ ) = \sin 90^\circ = 1 $ .
Sehingga untuk $ x = 45^\circ \, $ , nilai stasionernya $ 1 \, $ dan titik stasionernya $\left( 45^\circ , 1 \right)$ .
Untuk $ x = 135^\circ \rightarrow f(135^\circ) = \sin ( 2 \times 135^\circ ) = \sin 270^\circ = -1 $ .
Sehingga untuk $ x = 135^\circ \, $ , nilai stasionernya $ -1 \, $ dan titik stasionernya $\left( 135^\circ , -1 \right)$ .
Untuk $ x = 225^\circ \rightarrow f(225^\circ) = \sin ( 2 \times 225^\circ ) = \sin 450^\circ = 1 $ .
Sehingga untuk $ x = 225^\circ \, $ , nilai stasionernya $ 1 \, $ dan titik stasionernya $\left( 225^\circ , 1 \right)$ .
Untuk $ x = 315^\circ \rightarrow f(315^\circ) = \sin ( 2 \times 315^\circ ) = \sin 630^\circ = -1 $ .
Sehingga untuk $ x = 315^\circ \, $ , nilai stasionernya $ -1 \, $ dan titik stasionernya $\left( 315^\circ , -1 \right)$ .
Jadi, titik stasionernya adalah $\{ \left( 45^\circ , 1 \right), \left( 135^\circ , -1 \right),\left( 225^\circ , 1 \right), \left( 315^\circ , -1 \right) \} $ .

Menentukan jenis stasioner menggunakan turunan pertama
       Misalkan fungsi $ y = f(x) \, $ dan $ x = c \, $ memenuhi syarat stasioner $ f^\prime (c) = 0 , \, $ artinya kita peroleh nilai stasionernya $ f(c) \, $ dan titik stasionernya ($c,f(c)$). Kita akan uji titik disebelah kiri ($x=a$) dan sebelah kanan ($x = b$) pada $ x = c \, $ yaitu $ a < c < b \, $ dengan cara substitusi titik yang mau diuji ke fungsi turunan pertamanya untuk menentukan jenis stasionernya. Ada 4 kemungkinan yang akan kita peroleh yaitu :
i). Jika nilai $ f^\prime (a) > 0 \, $ dan $ f^\prime (b) > 0 \, $ , maka jenis stasionernya adalah titik belok. Berikut garis bilangannya,

ii). Jika nilai $ f^\prime (a) > 0 \, $ dan $ f^\prime (b) < 0 \, $ , maka jenis stasionernya adalah maksimum (titik balik maksimum). Berikut garis bilangannya,

iii). Jika nilai $ f^\prime (a) < 0 \, $ dan $ f^\prime (b) > 0 \, $ , maka jenis stasionernya adalah minimum (titik balik minimum). Berikut garis bilangannya,

iii). Jika nilai $ f^\prime (a) < 0 \, $ dan $ f^\prime (b) < 0 \, $ , maka jenis stasionernya adalah titik belok. Berikut garis bilangannya,
Contoh :
2). Tentukan nilai stasioner dan jenisnya dari fungsi berikut $ f(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 6x $
Penyelesaian :
*). Fungsi awal : $ f(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 6x $
$ f^\prime (x) = x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) $
*). Menentukan nilai $ x \, $ dari syarat stasioner : $ f^\prime (x) = 0 $
$ \begin{align} f^\prime (x) & = 0 \\ x^2 - 5x + 6 & = 0 \\ (x-2)(x-3) & = 0 \\ x = 2 \vee x & = 3 \end{align} $
*). Menentukan nilai stasionernya,
substitusi ke fungsi awal : $ f(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 6x $
Untuk $ x = 2 \, $ nilai stasionernya $ f(2) = \frac{1}{3}.2^3 - \frac{5}{2}.2^2 + 6.2 = 4\frac{2}{3} $
sehingga titik stasionernya : $ (2,4\frac{2}{3}) $
Untuk $ x = 3 \, $ nilai stasionernya $ f(3) = \frac{1}{3}.3^3 - \frac{5}{2}.3^2 + 6.3 = 4\frac{1}{2} $
sehingga titik stasionernya : $ (3, 4\frac{1}{2}) $
*). Menentukan jenis stasionernya :
Kita peroleh nilai $ x = 2 \, $ dan $ x = 3 , \, $ akan kita uji titik disekitar 2 dan 3 dengan mensubstitusikannya ke turunan pertama yaitu $ f^\prime (x) = (x-2)(x-3) $ .
Untuk $ x = 0 \, $ disebelah kirinya 2,
$ x = 0 \rightarrow f^\prime (0) = (0-2)(0-3) = 6 \, $ (positif),
Untuk $ x = 2,5 \, $ diantara 2 dan 3,
$ x = 2,5 \rightarrow f^\prime (2,5) = (2,5-2)(2,5-3) = -0,25 \, $ (negatif),
Untuk $ x = 4 \, $ disebelah kanannya 3,
$ x = 4 \rightarrow f^\prime (4) = (4-2)(4-3) = 2 \, $ (positif),
Garis bilangannya :

Dari garis bilangan terlihat bahwa ,
untuk $ x = 2 \, $ nilai stasionernya adalah $ 4\frac{2}{3} \, $ jenisnya maksimum.
Sehingga titik stasioner $ (2,4\frac{2}{3}) \, $ jenisnya titik balik maksimum.

untuk $ x = 3 \, $ nilai stasionernya adalah $ 4\frac{1}{2} \, $ jenisnya minimum.
Sehingga titik stasioner $ (3,4\frac{1}{2}) \, $ jenisnya titik balik minimum.

Menentukan jenis stasioner menggunakan turunan Kedua
       Misalkan fungsi $ y = f(x) \, $ dan $ x = c \, $ memenuhi syarat stasioner $ f^\prime (c) = 0 , \, $ artinya kita peroleh nilai stasionernya $ f(c) \, $ dan titik stasionernya ($c,f(c)$). Untuk menentukan jenis stasionernya, kita akan menggunakan turunan kedua, artinya $ x = c \, $ kita substitusikan ke turunan kedua dengan 3 kemungkinan yaitu :

i). Jika $ f^{\prime \prime } (c) > 0 \, $ maka jenisnya minimum (grafik cekung ke atas).
ii). Jika $ f^{\prime \prime } (c) = 0 \, $ maka jenisnya belok (titik belok).
iii). Jika $ f^{\prime \prime } (c) < 0 \, $ maka jenisnya maksimum (grafik cekung ke bawah).
Catatan : perubahan kecekungan disebut titik belok.
Contoh :
3). Tentukan jenis stasioner dari fungsi pada soal nomor 2 di atas.
Penyelesaian :
Fungsi awal : $ f(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 6x $
$ f^\prime (x) = x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) $
$ f^{\prime \prime } (x) = 2x - 5 $
*). Dari perhitungan sebelumnya diperoleh $ x = 2 \, $ dan $ x = 3 $.
*). Cek turunan kedua untuk menentukan jenis stasionernya :
untuk $ x = 2 \rightarrow f^{\prime \prime } (2) = 2.2 - 5 = -1 < 0 \, $ (negatif), artinya pada saat $ x = 2 \, $ jenis stasionernya adalah maksimum.
untuk $ x = 3 \rightarrow f^{\prime \prime } (3) = 2.3 - 5 = 1 > 0 \, $ (positif), artinya pada saat $ x = 3 \, $ jenis stasionernya adalah minimum.
Jadi, jenis stasioner yang diperoleh sama dengan cara menggunakan turunan pertama pada contoh soal nomor 2.

4). Tentukan nilai stasioner dan jenisnya dari fungsi $ f(x) = \sin (2x) \, $ untuk $ 0 \leq x \leq 360^\circ $
Penyelesaian :
*). Soal contoh 4 ini sama dengan soal contoh 1 bagian b, artinya kita telah memperoleh nilai $ x \, $ yang memenuhi syarat stasioner yaitu : $ x = \{ 45^\circ, 135^\circ, 225^\circ, 315^\circ \} $
*). Menentukan turunan kedua :
fungsi awal : $ f(x) = \sin (2x) $
$ f^\prime (x) = 2 \cos 2x \, $ dan $ f^{\prime \prime } (x) = -4 \sin 2x $
*). Menentukan jenis stasionernya menggunakan turunan kedua : $ f^{\prime \prime } (x) = -4 \sin 2x $
Untuk $ x = 45^\circ \rightarrow f^{\prime \prime } (45^\circ) = -4 \sin 2 \times 45^\circ = -4 \sin 90^\circ = -4 \, $ (negatif), artinya pada saat $ x = 45^\circ \, $ jenis stasionernya adalah maksimum.
Untuk $ x = 135^\circ \rightarrow f^{\prime \prime } (135^\circ) = -4 \sin 2 \times 135^\circ = -4 \sin 270^\circ = 4 \, $ (positif), artinya pada saat $ x = 135^\circ \, $ jenis stasionernya adalah minimum.
Untuk $ x = 225^\circ \rightarrow f^{\prime \prime } (225^\circ) = -4 \sin 2 \times 225^\circ = -4 \sin 450^\circ = -4 \, $ (negatif), artinya pada saat $ x = 225^\circ \, $ jenis stasionernya adalah maksimum.
Untuk $ x = 315^\circ \rightarrow f^{\prime \prime } (315^\circ) = -4 \sin 2 \times 315^\circ = -4 \sin 630^\circ = 4 \, $ (positif), artinya pada saat $ x = 315^\circ \, $ jenis stasionernya adalah minimum.

5). Diketahui fungsi $ y = mx^3 + nx^2 $ dengan $ m $ dan $ n $ konstan, memiliki titik stasioner pada titik ($1, -1$). Tentukan nilai $ m $ dan $ n $.
Penyelesaian :
*). Fungsi awal : $ y = mx^3 + nx^2 $
$ f^\prime (x) = 3mx^2 + 2nx $
*). Titik ($1,-1$) adalah titik stasioner, artinya titik tersebut dilalui oleh grafik sehingga bisa kita substitusikan langsung ke fungsinya :
$ \begin{align} (x,y) = (1,-1) \rightarrow y & = mx^3 + nx^2 \\ -1 & = mx. 1^3 + n.1^2 \\ m + n & = -1 \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
*). Syarat stasioner : $ f^\prime (x) = 0 $
Karena titik ($1,-1$) adalah titik stasioner, maka untuk $ x = 1 \, $ (absisnya) pasti memenuhi syarat stasioner yaitu $ f^\prime (1) = 0 $
$ \begin{align} f^\prime (x) & = 3mx^2 + 2nx \\ f^\prime (1) & = 0 \\ 3m.1^2 + 2n.1 & = 0 \\ 3m + 2n & = 0 \, \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align} $
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{array}{c|c|cc } m + n = -1 & \times 2 & 2m + 2n = -2 & \\ 3m + 2n = 0 & \times 1 & 3m + 2n = 0 & - \\ \hline & & -n = -2 & \\ & & n = 2 & \end{array} $
Pers(i) : $ m + n = -1 \rightarrow m + (2) = -1 \rightarrow m = -3 $ .
Jadi, kita peroleh nilai $ m = -3 \, $ dan $ n = 2 $ .

6). Fungsi $ f(x) = ax^4 + x^2 + 3b \, $ memiliki titik belok ($1,-3$). Tentukan nilai $ 6a - 18 b $ ?
Penyelesaian :
*). Titik ($1,-3$) adalah titik belok, artinya titik tersebut dilalui oleh grafik fungsinya sehingga bisa kita substitusi ke fungsinya.
$ \begin{align} (x,y) = (1,-3) \rightarrow y & = ax^4 + x^2 + 3b \\ -3 & = a.1^4 + 1^2 + 3b \\ a + 3b & = -4 \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
*). Menentukan turunan kedua fungsi $ f(x) = ax^4 + x^2 + 3b $
$ f^\prime (x) = 4ax^3 + 2x \, $ dan $ f^{\prime \prime }(x) = 12ax^2 + 2 $
*). Syarat titik belok adalah $ f^{\prime \prime }(x) = 0 $
*). Titik ($1,-3$) adalah titik belok sehingga $ x = 1 \, $ (absisnya) memenuhi syarat titik belok yaitu $ f^{\prime \prime }(1) = 0 $
$ f^{\prime \prime }(1) = 0 \rightarrow 12a.1^2 + 2 = 0 \rightarrow a = - \frac{1}{6} $.
Pers(i) : $ a + 3b = -4 \rightarrow - \frac{1}{6} + 3b = -4 \rightarrow b = - \frac{23}{18} $
Jadi, nilai $ 6a - 18 b = 6(- \frac{1}{6}) - 18(- \frac{23}{18}) = - 1 + 23 = 22 $ .

7). Tentukan nilai stasioner dan jenisnya dari fungsi $ f(x) = 4x^5 - 5x^4 $ ?
Penyelesaian :
*). Fungsi awal : $ f(x) = 4x^5 - 5x^4 $
$ f^\prime (x) = 20x^4 - 20x^3 = 20x^3(x - 1) \, $ dan $ f^{\prime \prime } (x) = 80x^3 - 60x^2 $
*). Menentukan nilai $ x \, $ dari syarat stasioner : $ f^\prime (x) = 0 $
$ \begin{align} f^\prime (x) & = 0 \\ 20x^4 - 20x^3 & = 0 \\ 20x^3(x - 1) & = 0 \\ x = 0 \vee x & = 1 \end{align} $
*). Menentukan nilai stasionernya,
substitusi ke fungsi awal : $ f(x) = 4x^5 - 5x^4 $
Untuk $ x = 0 \, $ nilai stasionernya $ f(0) = 4.0^5 - 5.0^4 = 0 $
sehingga titik stasionernya : $ (0,0) $
Untuk $ x = 1 \, $ nilai stasionernya $ f(1) = 4.1^5 - 5.1^4 = -1 $
sehingga titik stasionernya : $ (1, -1) $
*). Menentukan jenis stasionernya menggunakan turunan kedua : $ f^{\prime \prime } (x) = 80x^3 - 60x^2 $
Untuk $ x = 0 \rightarrow f^{\prime \prime } (0) = 80.0^3 - 60.0^2 = 0 \, $ , artinya pada saat $ x = 0 \, $ jenis stasionernya adalah titik belok.
Untuk $ x = 1 \rightarrow f^{\prime \prime } (1) = 80.1^3 - 60.1^2 = 20 \, $ (positif) , artinya pada saat $ x = 1 \, $ jenis stasionernya adalah minimum.
Jadi, diperoleh titik stasioner (0,0) jenisnya titik belok dan titik stasioner (1,20) jenisnya titik balik minimum.

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.