Metode Newton Raphson untuk Menyelesaikan Persamaan Tak Linier

         Blog Koma - Metode Newton Raphson merupakan salah satu metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan tak linier secara numerik. Secara numerik maksudnya penyelesaian persamaan dengan pendekatan angka tertentu, yang hasilnya akan mendekati hasil secara eksak (hasil sebenarnya) atau bahkan sama dengan hasil secara numerik tergantung galat yang digunakan. Persamaan tak linier adalah persamaan yang pangkat salah satu variabelnya lebih dari satu atau kurang dari satu (pangkat pecahan), misalkan $ 2x^2 - 3x + 1 = 0 , \, x^3 - +2x^2 - x + 5 = 0 , \, 5x^\frac{3}{2} + x - 1 = 0 , \, $ dan lainnya. Sementara penyelesaian dari persamaan tak linier adalah nilai dari variabelnya (misalkan $x$) yang memenuhi persamaan tersebut atau biasa disebut dengan akar dari persamaan tersebut.

         Kemudian apa hubungannya turunan dengan metode Newton Rahpson untuk menyelesaikan persamaan tak linier?. Metode Newton Raphson ini melibatkan "garis singgung pada kurva" yang melibatkan turunan secara langsung yang akan kita bahas lebih jelas pada artikel kali ini. Dari namanya, metode ini ditemukan oleh dua orang yaitu Newton dan Raphson. Sebenarnya masih banyak lagi metode lain yang bisa digunakan dalam menyelesaikan persamaan tak linier yaitu metode biseksi (bagi dua), metode regula falsi (posisi palsu), metode secant, dan lainnya. Namun Metode Newton Raphson merupakan metode yang paling banyak dipakai, karena konvergensinya paling cepat diantara metode lainnya.

Pengertian Akar (pembuat nol) dari suatu persamaan $ f(x) = 0 $
       Misalkan $ f(x) $ adalah suatu fungsi kontinu. Setiap bilangan $ c $ pada domain $ f $ yang memenuhi $ f(c) = 0 $ disebut akar persamaan $ f(x) = 0$, atau disebut juga pembuat nol fungsi $ f(x) $. Secara singkat, $ c $ disebut akar fungsi $f(x)$.
Pengertian Metode Newton Raphson
       Meotde Newton Raphson merupakan salah satu metode dalam menyelesaikan persamaan tak linier (menentukan salah satu akar dari persamaan tak linier), dengan prinsip utama sebagai berikut :
i). Melakukan pendekatan terhadap kurva $ f(x) $ dengan garis singgung (gradien) pada suatu titik sebagai nilai awal,
ii). Nilai taksiran selanjutnya adalah titik potong antara garis singgung kurva dengan sumbu X.

Perhatikan pendekatan metode Newton Raphson untuk persamaan $ f(x) = 0 $ ,
Dari grafik di atas, penyelesaian $ f(x) = 0 \, $ (akarnya) adalah titik potong grafik fungsi $ f(x) \, $ terhadap sumbu X. Terlihat dari grafik, telah ditunjukan akar sebenarnya, dan untuk mencari akar sebenarnya menggunakan metode Newton Raphson dengan bantuan garis singgung. Misalkan kita pilih akar pertama yaitu $ x_0 \, $ ,
*). substitusi $ x_0 $ ke fungsi $ f(x) $, kita peroleh titik singgung A($x_0,f(x_0)$). Kemudian kita buat garis singgung melalui titik A yaitu gs 1 yang memotong sumbu X di di $ x_1 $.
*). substitusi $ x_1 $ ke fungsi $ f(x) $, kita peroleh titik singgung B($x_1,f(x_1)$). Kemudian kita buat garis singgung melalui titik B yaitu gs 2 yang memotong sumbu X di di $ x_2 $.
*). substitusi $ x_2 $ ke fungsi $ f(x) $, kita peroleh titik singgung A($x_2,f(x_2)$). Kemudian kita buat garis singgung melalui titik C yaitu gs 3 yang memotong sumbu X di di $ x_3 $.
begitu seterusnya sehingga akar-akar pendekatannya mendekati akar sebenarnya dan sama dengan akar sebenarnya.
Rumus Metode Newton Raphson untuk menyelesaikan persamaan tak linier
       Ketika kita memilih nilai $ x_0 , \, $ bagaimana selanjutnya cara untuk menentukan nilai $ x_1, \, x_2, \, $ dan lainnya? Kita akan menggunakan rumus metode Newton Raphson dengan bantuan garis singgung kurva.
Perhatikan gambar berikut,
*). Persamaan garis singgung pada titik A($x_k,f(x_k)$) dengan gradien $ m = f^\prime (x_k) $ :
$ y - f(x_k) = m(x - x_k) \rightarrow y - f(x_k) = f^\prime (x_k) [(x - x_k)] \, $
*). Titik potong garis singgung dengan sumbu X di titik B($x_{k+1},0$) , substitusi titik B ke persamaan garis singgungnya :
$ \begin{align} (x,y) = (x_{k+1},0) \rightarrow y - f(x_k) & = f^\prime (x_k) [(x - x_k)] \\ 0 - f(x_k) & = f^\prime (x_k) [(x_{k+1} - x_k)] \\ - f(x_k) & = f^\prime (x_k) [(x_{k+1} - x_k)] \\ - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} & = (x_{k+1} - x_k) \\ x_{k+1} & = x_k - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \end{align} $
dengan $ k = \{0, 1, 2, 3, .... \} \, $ dan $ f^\prime (x_k) \, $ adalah turunan fungsi $ f(x) $ untuk $ x = x_k \, $
Jadi, Rumus yang digunakan pada metode Newton Raphson adalah :
$ x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \, \, $ dengan $ f^\prime (x_k) \neq 0 $.
Langkah-langkah menggunakan metode Newton Raphson
       langkah-langkah dalam menyelesaikan persamaan tak linier,
1). Tentukan nilai awal $ x_0 \, $.
       Nilai $ x_0 $ yang kita pilih bebas, kalau semakin dekat dengan akar sebenarnya akan lebih baik karena iterasi yang akan kita lakukan semakin sedikit. iterasi maksudnya pengulangan untuk menentukan nilai $x_1, \, x_2, \, $ dan seterusnya.

2). Lakukan iterasi (pengulangan) untuk menentukan taksiran akar selanjutnya ($x_1, x_, x_3,...$) dengan substitusi nilai $ x_0 \, $ pada rumus : $ x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} $ .
3). iterasi berhenti ketika :
*). diperoleh nilai $ f(x_k) = 0 \, $ atau
*). Nilai akar-akar taksirannya sudah tetap ($x_{k+1} = x_k$) atau
*). nilai galat relatif $ x_k \, \leq \, $ toleransi galat $ x \, $ yang diminta.
dengan galat relatif $ x_k = \left| \frac{x_k - x_{k-1} }{x_k } \right| $

Catatan : Galat = error = kesalahan.
Contoh - contoh soal metode Newton Raphson :
1). Tentukan salah satu akar dari persamaan $ x^3 - 2x^2 + 3x - 6 = 0 \, $ dengan metode Newton Raphson.
Penyelesaian :
*). Persamaannya : $ x^3 - 2x^2 + 3x - 6 = 0 , \, $ artinya $ f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 6 $
sehingga turunannya : $ f^\prime (x) = 3x^2 - 4x + 3 $.
*). Pilih nilai $ x_0 = 3 \, $ (salah satu contoh pemilihan nilai $ x_0\, $ , pilih angka yang lain juga boleh).
*). Melakukan iterasi dengan $ x_0 = 3 \, $ dengan rumus : $ x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} $ .
iterasi ke-1 : menentukan nilai $ x_1 $
$ \begin{align} x_0 = 3 \rightarrow f(x_0) & = f(3) = 3^3 - 2.3^2 + 3.3 - 6 = 12 \\ f^\prime (x_0) & = f^\prime (3) = 3.3^2 - 4.3 + 3 = 18 \\ k = 0 \rightarrow x_{k+1} & = x_k - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \\ x_{0+1} & = x_0 - \frac{f(x_0)}{f^\prime (x_0)} \\ x_{1} & = 3 - \frac{12}{18} \\ x_{1} & = 2,33333333 \end{align} $
iterasi ke-2 : menentukan nilai $ x_2 $
$ \begin{align} x_1 = 2,33333333 \rightarrow f(x_1) & = f(2,33333333) = 2,814814815 \\ f^\prime (x_1) & = f^\prime (2,33333333) = 10 \\ k = 1 \rightarrow x_{k+1} & = x_k - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \\ x_{1+1} & = x_1 - \frac{f(x_1)}{f^\prime (x_1)} \\ x_{2} & = 2,33333333 - \frac{2,814814815}{10} \\ x_{2} & = 2,05185 \end{align} $
iterasi ke-3 : menentukan nilai $ x_3 $
$ \begin{align} x_2 = 2,05185 \rightarrow f(x_2) & = f(2,05185) = 0,373856831 \\ f^\prime (x_2) & = f^\prime (2,05185) = 0,373856831 \\ k = 2 \rightarrow x_{k+1} & = x_k - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \\ x_{2+1} & = x_2 - \frac{f(x_2)}{f^\prime (x_2)} \\ x_{3} & = 2,05185 - \frac{0,373856831}{0,373856831} \\ x_{3} & = 2,00149 \end{align} $
iterasi ke-4 : menentukan nilai $ x_4 $
$ \begin{align} x_3 = 2,00149 \rightarrow f(x_3) & = f(2,00149) = 0,010413554 \\ f^\prime (x_3) & = f^\prime (2,00149) = 7,011897728 \\ k = 3 \rightarrow x_{k+1} & = x_k - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \\ x_{3+1} & = x_3 - \frac{f(x_3)}{f^\prime (x_3)} \\ x_{4} & = 2,00149 - \frac{0,010413554}{7,011897728} \\ x_{4} & = 2 \end{align} $
iterasi ke-5 : menentukan nilai $ x_5 $
$ \begin{align} x_4 = 2 \rightarrow f(x_4) & = f(2) = 0 \end{align} $
Karena nilai $ f(2) = 0 , \, $ maka iterasi dihentikan. Artinya salah satu akar dari persamaannya adalah $ x = 2 $.
Jadi, salah satu akar dari persamaan $ x^3 - 2x^2 + 3x - 6 = 0 \, $ adalah 2.

Berikut tabel iterasi secara lengkap dari metode Newton Raphson.

2). Tentukan salah satu akar persamaan linier $ x^5 + 2x^2 - 4 = 0 \, $ dengan metode Newton Raphson , jika diketahui nilai awal $ x_0 = 1 \, $ dan toleransi galat relatif $ x \, $ adalah 0,001.
Penyelesaian :
*). Persamaannya : $ x^5 + 2x^2 - 4 = 0 , \, $ artinya $ f(x) = x^5 + 2x^2 - 4 $
sehingga turunannya : $ f^\prime (x) = 5x^4 + 4x $.
*). Pilih nilai $ x_0 = 1 \, $ (nilai $ x_0\, $ sudah ditentukan pada soal).
Toleransi galat = 0,001. Rumus galat relatif $ x_k = \left| \frac{x_k - x_{k-1} }{x_k } \right| $
*). Melakukan iterasi dengan $ x_0 = 1 \, $ dengan rumus : $ x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} $ .
iterasi ke-1 : menentukan nilai $ x_1 $
$ \begin{align} x_0 = 1 \rightarrow f(x_0) & = f(1) = 1^5 + 2.1^2 - 4 = -2 \\ f^\prime (x_0) & = f^\prime (1) = 5.1^4 + 4.1 = 9 \\ k = 0 \rightarrow x_{k+1} & = x_k - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \\ x_{0+1} & = x_0 - \frac{f(x_0)}{f^\prime (x_0)} \\ x_{1} & = 1 - \frac{-2}{9} \\ x_{1} & = 1,111111 \\ \text{galat } : x_1 & = \left| \frac{x_1 - x_0 }{x_1 } \right| \\ & = \left| \frac{1,111111 - 1 }{1,111111 } \right| \\ & = 0,1 \end{align} $
Karena nilai galat $ x_1 = 0,1 \, $ tidak kurang dari galat toleransi 0,001 , sehingga iterasi dilanjutkan lagi.

iterasi ke-2 : menentukan nilai $ x_2 $
$ \begin{align} x_1 = 1,111111 \rightarrow f(x_1) & = f(1,111111 ) = 0,162644583 \\ f^\prime (x_1) & = f^\prime (1,111111 ) = 12,06523396 \\ k = 1 \rightarrow x_{k+1} & = x_k - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \\ x_{1+1} & = x_1 - \frac{f(x_1)}{f^\prime (x_1)} \\ x_{2} & = 1,111111 - \frac{0,162644583}{12,06523396} \\ x_{2} & = 1,09763 \\ \text{galat } : x_2 & = \left| \frac{x_2 - x_1 }{x_2 } \right| \\ & = \left| \frac{1,09763 - 1,111111 }{1,09763 } \right| \\ & = 0,012281 \end{align} $
Karena nilai galat $ x_2 = 0,012281 \, $ tidak kurang dari galat toleransi 0,001 , sehingga iterasi dilanjutkan lagi.

iterasi ke-3 : menentukan nilai $ x_3 $
$ \begin{align} x_2 = 1,09763 \rightarrow f(x_2) & = f(1,09763 ) = 0,002826142 \\ f^\prime (x_2) & = f^\prime (1,09763 ) = 11,64815483 \\ k = 2 \rightarrow x_{k+1} & = x_k - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \\ x_{2+1} & = x_2 - \frac{f(x_2)}{f^\prime (x_2)} \\ x_{3} & = 1,09763 - \frac{0,002826142}{11,64815483} \\ x_{3} & = 1,09739 \\ \text{galat } : x_3 & = \left| \frac{x_3 - x_2 }{x_3 } \right| \\ & = \left| \frac{1,09739 - 1,09763 }{1,09739 } \right| \\ & = 0,000221 \end{align} $
Karena nilai galat $ x_3 = 0,000221 \, $ kurang dari galat toleransi 0,001 , sehingga iterasi sudah cukup dan dapat dihentikan karena sudah memenuhi toleransi galat.
Jadi, salah satu akarnya adalah $ x = 1,09739 $ .

Berikut tabel iterasi metode Newton Raphson contoh 2.

3). Tentukan salah satu akar dari persamaan $ x^2 - x -6 = 0 \, $ dengan metode Newton Raphson.
Penyelesaian :
*). Persamaannya : $ x^2 - x -6 = 0 , \, $ artinya $ f(x) = x^2 - x -6 $
sehingga turunannya : $ f^\prime (x) = 2x - 1 $.
*). Untuk soal nomor 3 ini, caranya sama dengan soal nomor 1 dan nomor 2 sebelumnya. Kita lebih menenkankan pada penggunaan nilai $ x_0 \, $ yang dipilih. Sebenarnya persamaan $ x^2 - x -6 = 0 \, $ mempunyai dua akar yaitu -2 dan 3 seperti grafik di atas. Nilai $ x_0 \, $ yang kita pilih akan menentukan akar yang akan kita peroleh tergantung dari $ x_0 \, $ tersebut lebih dekat ke akar yang mana. Berikut berbagai variasi pemilihan nilai $ x_0 \, $ yang langsung disajikan dalam tabel berikut.
*). Pilih nilai $ x_0 = 4 \, $ yang lebih dekat dengan 3 daripada -2, maka ketika kita iterasi untuk $ x_0 = 4 \, $ maka hasil akarnya adalah 3 seperti pada tabel iterasi berikut,
*). Pilih nilai $ x_0 = 1 \, $ yang lebih dekat dengan 3 daripada -2, maka ketika kita iterasi untuk $ x_0 = 1 \, $ maka hasil akarnya adalah 3 seperti pada tabel iterasi berikut,
*). Pilih nilai $ x_0 = 0 \, $ yang lebih dekat dengan -2 daripada 3, maka ketika kita iterasi untuk $ x_0 = 0 \, $ maka hasil akarnya adalah -2 seperti pada tabel iterasi berikut,
*). Pilih nilai $ x_0 = -3 \, $ yang lebih dekat dengan -2 daripada 3, maka ketika kita iterasi untuk $ x_0 = -3 \, $ maka hasil akarnya adalah -2 seperti pada tabel iterasi berikut,

Catatan : iterasi akan dihentikan ketika nilai akar taksirannya sudah sama terus dari sebelum dan sesudahnya seperti pada tabel masing-masing di atas.

Dari kasus soal nomor 3 ini dapat disimpulkan bahwa untuk persamaan $ f(x) = 0 \, $ yang mempunyai akar lebih dari satu, dan untuk nilai awal yang dipilih ($x_0$) mempengaruhi akar akhir yang diperoleh. Jika nilai awalnya ($x_0$) berbeda , maka kemungkinan akar akhir (akar pendekatan) yang diperoleh juga berbeda tergantung nilai $ x_0 \, $ nya lebih dekat ke akar yang manan (akar sebenarnya).

Menentukan Titik Potong Dua Kurva menggunakan metode Newton Raphson
       Metode Newton Raphson juga bisa digunakan untuk menentukan titik potong dua buah kurva. Misalkan kita menari titik potong antara kurva $ g(x) \, $ dan $ h(x) $, langkah-langkah yang dilakukan :
i). samakan kedua fungsi : $ g(x) = h(x) \rightarrow g(x) - h(x) = 0 \, $
ii). Misalkan $ f(x) = g(x) - h(x) \, $ , sehingga persamaannya menjadi : $ f(x) = 0 $.
iii). Langkah selanjutnya sama dengan menyelesaikan persamaan $ f(x) = 0 $.
Contoh :
4). Tentukan salah satu titik potong grafik fungsi $ g(x) = x^3 - 5x + 3 \, $ dengan grafik fungsi $ h(x) = x + 1 \, $ dengan pendekatan metode Newton Raphson.?
Penyelesaian :
*). Gambar perpotongan kedua grafik fungsi,
*). Samakan kedua fungsi, sehingga :
$ g(x) = h(x) \rightarrow x^3 - 5x + 3 = x + 1 \rightarrow x^3 - 6x + 2 = 0 \, $
artinya kita peroleh : $ f(x) = x^3 - 6x + 2 $
turunannya : $ f^\prime (x) = 3x^2 - 6 $.
*). Untuk perhitungan metode Newton Raphson, caranya sama dengan contoh soal 1 dan soal 2 di atas, tapi disini langsung kami sajikan dalam bentuk tabelnya saja.
*). Dari grafik perpotongan kedua kurva $ g(x) \, $ dan $ h(x) \, $ , ternyata ada tiga titik perpotongannya yaitu titik A, titik B, dan titik C. Artinya titik potong yang kita peroleh dari setiap percobaan bisa berbeda tergantung nilai awal ($x_0$) yang kita pilih. Berikut kasus masing-masing pemilihan nilai $ x_0 $ beserta titik potong yang diperoleh,
*). Pilih nilai $ x_0 = 3 \, $ yang lebih dekat dengan titik A daripada titik B atau C, maka ketika kita iterasi untuk $ x_0 = 3 \, $ maka hasil titik potongnya adalah titik A dengan yang kita peroleh nilai $x_A $ seperti tabel iterasi berikut,
titik A adalah ($ x_A, h(x_A)$) dengan $ x_A = 2,26180225 $ .
*). Pilih nilai $ x_0 = 1 \, $ yang lebih dekat dengan titik B daripada titik A atau C, maka ketika kita iterasi untuk $ x_0 = 1 \, $ maka hasil titik potongnya adalah titik B dengan yang kita peroleh nilai $x_B $ seperti tabel iterasi berikut,
titik B adalah ($ x_B, h(x_B)$) dengan $ x_B = 0,33987689 $ .
*). Pilih nilai $ x_0 = -2 \, $ yang lebih dekat dengan titik C daripada titik A atau B, maka ketika kita iterasi untuk $ x_0 = -2 \, $ maka hasil titik potongnya adalah titik C dengan yang kita peroleh nilai $x_C $ seperti tabel iterasi berikut,
titik C adalah ($ x_C, h(x_C)$) dengan $ x_C = -2,6016791 $ .
Jadi, dapat disimpulkan bahwa jika nilai awalnya ($x_0$) berbeda, maka titik potong yang diperoleh juga akan berbeda seperti yang telah dicoba di atas.

Menentukan Nilai akar suatu bilangan dengan Metode Newton Raphson
       Ternyata metode Newton Raphson bisa digunakan untuk menghitung nilai dari bentuk akar , misalkan $ \sqrt[3]{35} , \, \sqrt[5]{50} , \, $ dan lainnya. Langkah-langkahnya yaitu :
i). Misalkan nilai yang dicari dengan suatu variabel,
ii). Ubah permisalan menjadi bentuk persamaan $ f(x) = 0 \, $ dengan menerapkan sifat eksponen (perpangkatan).
Sifat-sifat eksponen yang digunakan :
$ \sqrt[n]{a} = a^\frac{1}{n} ; \, \sqrt[n]{a^m} = a^\frac{m}{n} ; $
$ a^\frac{1}{n} = b \rightarrow a = b^n $
iii). Gunakan metode Newton Raphson untuk menentukan akar-akarnya.
Contoh :
5). Tentukan nilai $ \sqrt[5]{37} \, $ dengan metode Newton Raphson?
Penyelesaian :
*). Misalkan nilai $ \sqrt[5]{37} = x \, $ artinya sama saja dengan mencari nilai $ x $ .
*). Mengubah menjadi bentuk persamaan $ f(x) = 0 $ .
$ \begin{align} x & = \sqrt[5]{37} \\ x & = 37^\frac{1}{5} \\ x^5 & = 37 \\ x^5 - 37 & = 0 \end{align} $
Sehingga persamaannya adalah $ x^5 - 37 = 0 \, $
yang artinya $ f(x) = x^5 - 37 $
Turunannya : $ f^\prime (x) = 5x^4 $ .
*). Melakukan metode Newton Raphson,
*). Kita pilih nilai awal $ x_0 = 2 \, $ (pemilihan terserah).
*). Melakukan iterasi dengan $ x_0 = 2 \, $ pada rumus : $ x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} $ .
iterasi ke-1 : menentukan nilai $ x_1 $
$ \begin{align} x_0 = 2 \rightarrow f(x_0) & = f(2) = 2^5 - 37 = -5 \\ f^\prime (x_0) & = f^\prime (2) = 5.2^4 = 80 \\ k = 0 \rightarrow x_{k+1} & = x_k - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \\ x_{0+1} & = x_0 - \frac{f(x_0)}{f^\prime (x_0)} \\ x_{1} & = 2 - \frac{-5}{80} \\ x_{1} & = 2,0625 \end{align} $
iterasi ke-2 : menentukan nilai $ x_2 $
$ \begin{align} x_1 = 2,0625 \rightarrow f(x_1) & = f(2,0625) = (2,0625)^5 - 37 = 0,322419167 \\ f^\prime (x_1) & = f^\prime (2,0625) = 5.(2,0625)^4 = 90,47859192 \\ k = 1 \rightarrow x_{k+1} & = x_k - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \\ x_{1+1} & = x_1 - \frac{f(x_1)}{f^\prime (x_1)} \\ x_{2} & = 2,0625 - \frac{0,322419167}{90,47859192} \\ x_{2} & = 2,05893651 \end{align} $
iterasi ke-3 : menentukan nilai $ x_3 $
$ \begin{align} x_2 = 2,05893651 \rightarrow f(x_2) & = f(2,05893651) = (2,05893651)^5 - 37 = 0,001112197 \\ f^\prime (x_2) & = f^\prime (2,05893651) = 5.(2,05893651)^4 = 89,85491281 \\ k = 2 \rightarrow x_{k+1} & = x_k - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \\ x_{2+1} & = x_2 - \frac{f(x_2)}{f^\prime (x_2)} \\ x_{3} & = 2,05893651 - \frac{0,001112197 }{89,85491281} \\ x_{3} & = 2,05892414 \end{align} $
iterasi ke-4 : menentukan nilai $ x_4 $
$ \begin{align} x_3 = 2,05892414 \rightarrow f(x_3) & = f(2,05892414) = (2,05892414)^5 - 37 = 1,33723 \times 10^{-8} \\ f^\prime (x_3) & = f^\prime (2,05892414) = 5.(2,05892414)^4 = 89,85275211 \\ k = 3 \rightarrow x_{k+1} & = x_k - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \\ x_{3+1} & = x_3 - \frac{f(x_3)}{f^\prime (x_3)} \\ x_{4} & = 2,05892414 - \frac{1,33723 \times 10^{-8} }{89,85275211} \\ x_{4} & = 2,05892414 \end{align} $

Karena nilai akar taksirannya sudah sama yaitu $ x_3 = x_4 = 2,05892414 \, $ maka iterasi bisa dihentikan. Artinya nilai akar taksirannya sudah konvergen ke $ x = 2,05892414 \, $ yang mana nilai ini bisa disebut sebagai akar taksiran dari persamaan $ x^5 - 37 = 0 . $ Sehingga nilai $ \sqrt[5]{37} = x = 2,05892414 $.
Jadi, nilai $ \sqrt[5]{37} = 2,05892414 \, $ . (pendekatan delapan angka dibelakang koma).

Catatan :
*). Untuk penghitungan menggunakan tabel dan bentuk angka yang sulit, penulis menggunakan perhitungan bantuan dari komputer.
*). Pembahasan Metode Newton Raphson pada artikel kali ini sebatas untuk memenuhi materi kurikulum 2013 saja, yang artinya pembahasannya tidak terlalu mendalam. Sebenarnya penyelesaian persamaan tak linier termasuk dalam pelajaran di bangku kuliah, yang artinya untuk tingkat kuliah pada pembahasan di artikel ini masih belum cukup karena masih ada pembahasan yang lebih mendalam lagi tentang metode Newton Raphson.

7 komentar:

  1. bagaimana menentukan akar persamaan jika tanpa ada variabel, contoh soalnya sbb : :tentukan akar dari persamaan 4-15+ 17 -6 = 0, trims atas bantuanny untuk berbagi

    BalasHapus
    Balasan
    1. Hallow Wiwik,
      Terima kasih untuk pertanyaannya.

      Sepengetahuan saya, yang namanya akar dari persamaan adalah nilai variabel (pengganti variabel) pada suatu persamaan sehingga jika kita substitusikan ke persamaan tersebut akan menyebabkan nilai ruas kiri dan ruas kanan sama.

      Misalkan, akar dari persamaan $ 2x−6=0 \, $ adalah $ x=3 \, $ karena jika disubstitusi ke persamaan $ 2x−6=0 , $ maka ruas kiri = ruas kanan.
      $ \begin{align}
      x = 3 \rightarrow 2x - 6 & = 0 \\
      2 \times 3 - 6 & = 0 \\
      6 - 6 & = 0 \\
      0 & = 0 \, \, \, \, \text{(benar)}
      \end{align} $.

      Menurut saya, jika tidak ada variabelnya maka kalimat yang dituliskan sudah pasti bisa ditentukan benar atau salahnya, sehingga tidak perlu mencari akar-akarnya lagi.
      Misalkan :
      $ 4−15+17−6=0 \, $ (benar)
      $ 3+2−4=0 \, $ (salah)

      Jadi, menurut saya tidak mencari akar dari persamaan yang tidak ada variabelnya.

      Bagaimana menurut Wiwik?
      Mari berdiskusi bersama untuk meningkatkan kemampuan kita.

      Hapus
  2. mas jika didalam ^3akar(5x-11)^2 cara ubah ke bentuk persamaan nya gmn ya?

    BalasHapus
    Balasan
    1. Hallow @Noviar Riadi.

      Saya masih belum jelas dengan bentuk aljabarnya.
      yang dimaksud seperti apa aljabarnya, apakah ada yang cocok dengan penulisan berikut ini :
      1). $ \sqrt[3]{(5x-11)^2} $
      2). $ \left( \sqrt{(5x - 11)^2} \right) ^3 $
      3). $ \left( ( \sqrt{(5x - 11)} )^2 \right) ^3 $
      atau bentuk yang lainnya yang dimaksud selain bentuk 1 sampai 3 di atas?

      Hapus
  3. Balasan
    1. Mohon di bantu pak /bu

      Hapus
    2. Hallow .

      itu fungsinya $ f(x) = e^x - 9 $ atau $ f(x) = e^{x-9} $ ?

      Saya bantu mencari turunannya, yaitu :

      $ f(x) = e^x - 9 $ , turunannya : $ f^\prime (x) = e^x $
      $ f(x) = e^{x-9} $ , turunannya : $ f^\prime (x) = e^{x-9} $.

      Untuk langkah berikutnya silahkan ikuti contoh di atas yang ada di blog ini. Masalah penghitungannya, sebaiknya menggunakan Excell saja.

      Untuk turunan fungsi eksponen, silahkan baca artikelnya di link : materi fungsi turunan eksponen dan logaritma

      Terimakasih untuk kunjungannya ke blog koma ini.

      Semoga terus bermanfaat.

      Hapus

Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.