Menentukan Turunan Kedua dan Turunan lanjutnya
Kita telah mempelajari turunan pertama suatu fungsi $ y = f(x) \, $ yang dinotasikan
$ \frac{dy}{dx} \, $ atau $ y^\prime \, $ atau $ \frac{df(x)}{dx} \, $ atau $ f^\prime (x) $.
Turunan dari turunan pertama dari suatu fungsi dinamakan turunan kedua, yang dinotasikan :
$ \frac{d}{dx}\left( \frac{dy}{dx} \right) = \frac{d^2 y }{dx^2} \, $ atau ditulis $ y^{\prime \prime } $
$ \frac{d}{dx}\left( \frac{df(x)}{dx} \right) = \frac{d^2 f(x) }{dx^2} \, $ atau ditulis $ f^{\prime \prime } (x) $
Artinya turunan kedua dinotasikan :
$ \frac{d^2 y }{dx^2} \, $ atau $ y^{\prime \prime } \, $ atau $ \frac{d^2 f(x) }{dx^2} \, $ atau $ f^{\prime \prime } (x) $
Dengan menurunkan lagi turunan kedua yang ada, maka kita peroleh turunan ketiga. Turunan ketiga kita turunkan lagi, kita akan peroleh turunan keempat, begitu seterusnya.
Untuk memudahkan dalam melakukan penurunan, silahkan baca juga rumus dasar "turunan fungsi aljabar" dan "turunan fungsi trigonometri".
Turunan dari turunan pertama dari suatu fungsi dinamakan turunan kedua, yang dinotasikan :
$ \frac{d}{dx}\left( \frac{dy}{dx} \right) = \frac{d^2 y }{dx^2} \, $ atau ditulis $ y^{\prime \prime } $
$ \frac{d}{dx}\left( \frac{df(x)}{dx} \right) = \frac{d^2 f(x) }{dx^2} \, $ atau ditulis $ f^{\prime \prime } (x) $
Artinya turunan kedua dinotasikan :
$ \frac{d^2 y }{dx^2} \, $ atau $ y^{\prime \prime } \, $ atau $ \frac{d^2 f(x) }{dx^2} \, $ atau $ f^{\prime \prime } (x) $
Dengan menurunkan lagi turunan kedua yang ada, maka kita peroleh turunan ketiga. Turunan ketiga kita turunkan lagi, kita akan peroleh turunan keempat, begitu seterusnya.
Untuk memudahkan dalam melakukan penurunan, silahkan baca juga rumus dasar "turunan fungsi aljabar" dan "turunan fungsi trigonometri".
1). Tentukan Turunan kedua dan ketiga dari fungsi :
a). $ y = x^4 - 2x^2 $
b). $ f(x) = 3\sqrt{x} $
c). $ y = \sin (2x+3) $
Penyelesaian :
a). Fungsi $ y = x^4 - 2x^2 $
*). Menentukan turunan pertamanya ($ y^\prime $) ,
$ y = x^4 - 2x^2 \rightarrow y^\prime = 4x^3 - 4x $
*). Menentukan turunan keduanya ($ y^{\prime \prime } $ ),
$ y^\prime = 4x^3 - 4x \rightarrow y^{\prime \prime } = 12x^2 - 4 $
*). Menentukan turunan ketiganya ($ y^{\prime \prime \prime } $),
$ y^{\prime \prime } = 12x^2 - 4 \rightarrow y^{\prime \prime \prime } = 24x $
b). Fungsi $ f(x) = 3\sqrt{x} $
*). Menentukan turunan pertamanya ($ f^\prime (x) $) ,
$ f(x) = 3\sqrt{x} = 3x^\frac{1}{2} \rightarrow f^\prime (x) = 3.\frac{1}{2} . x^{-\frac{1}{2}} = \frac{3}{2}. \frac{1}{x^\frac{1}{2}} = \frac{3}{2\sqrt{x}} $
*). Menentukan turunan keduanya ($ f^{\prime \prime } (x) $ ),
$ f^\prime (x) = \frac{3}{2} . x^{-\frac{1}{2}} \rightarrow f^{\prime \prime } (x) = \frac{3}{2} . (-\frac{1}{2}) . x^{-\frac{3}{2}} = - \frac{3}{4} . x^{-\frac{3}{2}} = - \frac{3}{4\sqrt{x^3} } $
*). Menentukan turunan ketiganya ($ f^{\prime \prime \prime } (x) $),
$ f^{\prime \prime } (x) = - \frac{3}{4} . x^{-\frac{3}{2}} \rightarrow f^{\prime \prime \prime } (x) = - \frac{3}{4} . -\frac{3}{2} . x^{-\frac{5}{2}} = \frac{9}{8 \sqrt{x^5} } $
c). Fungsi $ y = \sin (2x+3) $
*). Menentukan turunan pertamanya ($ y^\prime $) ,
$ y = \sin (2x+3) \rightarrow y^\prime = 2 \cos (2x+3) $
*). Menentukan turunan keduanya ($ y^{\prime \prime } $ ),
$ y^\prime = 2 \cos (2x+3) \rightarrow y^{\prime \prime } = -2.2 \sin (2x + 3) = -4 \sin (2x+3) $
*). Menentukan turunan ketiganya ($ y^{\prime \prime \prime } $),
$ y^{\prime \prime } = -4 \sin (2x+3) \rightarrow y^{\prime \prime \prime } = -4 . 2 \cos (2x+3) = -8\cos (2x+3) $
2). Tentukan nilai $ f^{\prime \prime } (1) \, $ dan $ f^{\prime \prime \prime } (2) \, $ dari fungsi $ y = x^4 - 2x^2 + x - 1 $ ?
Penyelesaian :
Fungsi $ f(x) = x^4 - 2x^2 + x - 1 $
*). Menentukan turunan pertamanya ($ f^\prime (x) $) ,
$ f(x) = x^4 - 2x^2 + x - 1 \rightarrow f^\prime (x) = 4x^3 - 4x + 1 $
*). Menentukan turunan keduanya ($ f^{\prime \prime } (x) $ ),
$ f^\prime (x) = 4x^3 - 4x + 1 \rightarrow f^{\prime \prime } (x) = 12x^2 - 4 $
Sehingga nilai $ f^{\prime \prime } (1) = 12.1^2 - 4 = 8 $
*). Menentukan turunan ketiganya ($ f^{\prime \prime \prime } (x) $),
$ f^{\prime \prime } (x) = 12x^2 - 4 \rightarrow f^{\prime \prime \prime } (x) = 24x $
Sehingga nilai $ f^{\prime \prime \prime } (2) = 24.2 = 48 $
Jadi, nilai $ f^{\prime \prime } (1) = 8 \, $ dan $ f^{\prime \prime \prime } (2) = 48 $
Catatan : Turunan kedua suatu fungsi dapat dipergunakan untuk menentukan jenis satasioner suatu fungsi dan biasanya digunakan untuk menentukan percepatan dari suatu fungsi jarak.
