Dalil Titik Tengah dan Intercep Segitiga

         Blog Koma - Pada kesempatan kali ini kita melanjutkan materi "geometri bidang datar", khususnya materi dalil titik tengah dan dalil intercep segitiga.

Dalil Titik Tengah Segitiga
Perhatikan segitiga ABC berikut,
Pada segitiga ABC di atas, titik D dan E adalah titik tengah masing-masing sisi AC dan BC, kemudian ditarik garis DE (gambar (ii)) yang memenuhi dalil titik tengah.

       Dalil Titik Tengah Segitiga yaitu segmen garis penghubung titik-titik tengah dari kedua sisi segitiga (garis DE) adalah sejajar dengan sisi segitiga (sisi AB) dan panjangnya adalah setengah kali panjang sisi ketiga segitiganya (sisi AB).
Artinya panjang $ DE = \frac{1}{2} \times AB$.
Contoh :
1). Pada segitiga ABC diketahui panjang AB = 14 cm, CD = DA, CE = EB, dan DE sejajar dengan garis AB. Tentukan panjang garis DE?
Penyelesaian :
*). Berdasarkan dalil titik tengah segitiga,
panjang $ DE = \frac{1}{2} \times AB = \frac{1}{2} \times 14 = 7 $.
Jadi, panjang DE = 7 cm.

2). perhatikan gambar segitiga berikut.
.
Tentukan panjang sisi AB.?
Penyelesaian :
*). Dari gambarnya, maka berlaku dalil titik tengah segitiga.
$ DE = \frac{1}{2} \times AB \rightarrow AB = 2 \times DE = 2 \times 3 = 6 $.
Jadi, panjang AB = 6 cm.

Dalil Intercep Segitiga
Perhatikan gambar segitiga PQR berikut,
Pada segitiga PQR ditarik garis TU yang sejajar dengan sisi QR.

       Dalil intercep segitiga yaitu Jika sebuah garis sejajar dengan salah satu sisi sebuah segitiga PQR (misalkan garis TU sejajar dengan sisi QR pada segitiga PQR) memotong dua sisi lain dari segitiga PQR (garis TU memotong sisi PQ dan PR) di titik T dan U, maka berlaku perbandingan PT : TQ = PU : UR dan PT : PQ = PU : PR = TU : QR..
Contoh :
3). perhatikan segitiga berikut,
Tentukan nilai $ x \, $ dan $ y $.?
Penyelesaian :
*). Kita akan menggunakan dalil intercep segitiga.
*). Menentukan nilai $ x $ ,
$ \begin{align} \frac{PU}{UR} & = \frac{PT}{TQ} \\ \frac{x}{3} & = \frac{3}{2} \\ x & = \frac{3}{2} \times 3 \\ & = \frac{9}{2} \\ & = 4,5 \end{align} $.
Sehingga panjang $ PU = x = 4,5 $.
*). Menentukan nilai $ y $ ,
$ \begin{align} \frac{TU}{QR} & = \frac{PT}{PQ} \\ \frac{y}{10} & = \frac{3}{5} \\ y & = \frac{3}{5} \times 10 \\ & = \frac{30}{5} \\ & = 6 \end{align} $.
Sehingga panjang $ TU = y = 6 $.

4). Dari gambar berikut, tentukan nilai $ m + n $.
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai $ m $.
Perhatikan segitiga AFG,
$ \frac{DE}{FG} = \frac{AD}{AF} \rightarrow \frac{m}{10} = \frac{1}{2} \rightarrow m = 5 $.
*). Menentukan nilai $ n $.
Perhatikan segitiga ABC,
$ \frac{FG}{BC} = \frac{AF}{AB} \rightarrow \frac{10}{n} = \frac{2}{3} \rightarrow n = 15 $.
Sehingga nilai $ m + n = 5 + 15 = 20 $.

Cara II :
Untuk soal seperti gambar pada soal nomor 4 ini, maka berlaku :
$ m + n = 2 \times 10 = 20 $.
Maksudnya, jika panjang garis $ FG = a , \, $ maka $ m + n = 2a $.

Pembuktian Dalil Titik Tengah dan Intercep Segitiga
Perhatikan gambar segitiga PQR berikut,
Garis TU sejajar dengan sisi QR pada segitiga PQR.

       Untuk membuktikan kedua dalil ini, konsep yang digunakan adalah "kesebangunan" pada segitiga. Segitiga PTU sebangun dengan segitiga PQR sehingga berlaku perbandingan yang sama pada sisi-sisi yang bersesuaian.
Perbandingan yang berlaku : $ \frac{PT}{PQ}=\frac{TU}{QR}=\frac{PU}{PR} \, $ ....pers(i).
sehingga terbukti untuk dalil intercep : $ \frac{PT}{PQ}=\frac{TU}{QR}=\frac{PU}{PR} $

*). Pembuktian dalil intercep : $ \frac{PT}{TQ} = \frac{PU}{UR} $.
Dari segitiga PQR, maka $ PQ = PT + TQ \, $ dan $ PR = PU + UR $.
kita gunakan pers(i) :
$\begin{align} \frac{PT}{PQ} & =\frac{PU}{PR} \\ PT.PR & = PU.PQ \\ PT.(PU+UR) & = PU.(PT+TQ) \\ PT.PU + PT.UR & = PU.PT + PU.TQ \\ PT.UR & = PU.TQ \\ \frac{PT}{TQ} & =\frac{PU}{PR} \end{align} $
Sehingga terbukti dalil intercep : $ \frac{PT}{TQ} = \frac{PU}{UR} $.

*). Pembuktian dalil titik tengah : $ TU = \frac{1}{2} \times QR $.
Untuk dalil titik tengah, maka PT = TQ sehingga $ \frac{PT}{PQ} = \frac{1}{2} $.
Kita gunakan pers(i) :
$\begin{align} \frac{PT}{PQ} & = \frac{TU}{QR} \\ \frac{1}{2} & = \frac{TU}{QR} \\ TU & = \frac{1}{2} \times QR \end{align} $
Jadi, terbukti dalil titik tengah : $ TU = \frac{1}{2} \times QR $.

6 komentar:

  1. Balasan
    1. trims kunjungannya ke blog ini. Semoga selalu bisa bermanfaat untuk saling berbagi.

      Hapus
  2. Min tolong bantu jawab ini...Diketahui ABCD adalah belah ketupat dengan AM=MO dan AN=NO. Buktikan bahwa ANOM adalah belah ketupat.

    BalasHapus
    Balasan
    1. Mohon maaf, gambarnya belum ada, coba di share gambarnya juga, mungkin akan lebih mudah menyelesaikannya.
      atau coba keterangan letak titik M, N, dan O nya lebih lengkap lagi.
      Kalau hanya menagacu seperti kalimat di atas, bisa saja ANOM bukan belah ketupat.

      Hapus
  3. Min, kalau trapesium dalil intercep berlaku nggak?

    BalasHapus

Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.