Nilai Perbandingan Trigonometri di Berbagai Kuadran

         Blog Koma - Jika ditinjau dari besarnya sudut, maka akan kita peroleh empat kuadran. Dari setiap kuadran yang ada, ternyata nilai perbandingan trigonometrinya berbeda tandanya (ada yang positif atau negatif). Pada kesempatan kali ini, kita akan membahas materi Nilai Perbandingan Trigonometri di Berbagai Kuadran. Untuk memudahkan mempelajarinya, sebaiknya pelajari dulu materi "Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku" dan "Ukuran Sudut : Derajat, Radian, dan Putaran".

Nilai Perbandingan Trigonometri di Berbagai Kuadran
       Secara umum untuk satu kali putaran lingkaran, kuadran dibagi menjadi empat yaitu :
Kuadran I : dengan sudut $ 0^\circ \, $ sampai $ \, 90^\circ \, $ atau $ 0 < x < \frac{\pi}{2} $
Kuadran II : dengan sudut $ 90^\circ \, $ sampai $ \, 180^\circ \, $ atau $ \frac{\pi}{2} < x < \pi $
Kuadran III : dengan sudut $ 180^\circ \, $ sampai $ \, 270^\circ \, $ atau $ \pi < x < \frac{3\pi}{2} $
Kuadran IV : dengan sudut $ 270^\circ \, $ sampai $ \, 360^\circ \, $ atau $ \frac{3\pi}{2} < x < 2\pi $
dengan nilai $ \pi = 180^\circ \, $ untuk sudut.

Nilai perbandingan trigonometrinya seperti gambar berikut ini.
Dari gambar di atas diperoleh ,
Kuadran I, semua positif (sin, cos, tan, sec, csc, cot)
Kuadran II, nilai sin positif (begitu juga csc)
Kuadran III, nilai tan positif (begitu juga cot)
Kuadran IV, nilai cos positif (begitu juga sec).

Untuk memudahkan mengingat, gunakan kata berikut :
Penjelasan isitilah di atas,perhatikan huruf warna biru :
Kata "semua" artinya pada kuadran I, semua positif,
Kata "sindikat" artinya pada kuadran II, sin positif,
Kata "tangan" artinya pada kuadran III, tan positif,
Kata "cosong" artinya pada kuadran IV, cos positif.
Contoh:
1). Diketahui titik A(-12,5) dan $ \angle XOA = \alpha $ . Tentukan nilai $ \sin \alpha, \, \cos \alpha , \, $ dan $ \tan \alpha $ !
Penyelesaian :
Dengan memperhatikan koordinat titik A(-12,5), sangat jelas bahwa titik tersebut terletak di kuadran kedua, karena $ x = -12 $, dan $y = 5$. Secara geometris, disajikan pada gambar berikut ini.
Karena $x = 12$ , dan $y = 5 $, dengan menggunakan teorema Phytagoras diperoleh sisi miring, $r = 13 $ .
*). Menentukan nilai trigonometrinya :
$ \begin{align} \sin \alpha & = \frac{de}{mi} = \frac{5}{13} \\ \cos \alpha & = \frac{sa}{mi} = \frac{-12}{13} = -\frac{12}{13} \\ \tan \alpha & = \frac{de}{sa} = \frac{5}{-12} = - \frac{5}{12} \end{align} $
Jadi, diperoleh $ \sin \alpha = \frac{5}{13} , \, \cos \alpha = -\frac{12}{13}, \, $ dan $ \tan \alpha = - \frac{5}{12} $

2). Diketahui nilai $ \cos \theta = \frac{3}{5} \, $ dengan $ \theta \, $ di kuadran empat. Tentukan nilai $ \sin \theta , \, $ dan nilai $ \tan \theta $?
Penyelesaian :
*). Untuk memudahkan, gunakan segitiga siku-siku.
nilai $ \cos \theta = \frac{3}{5} \rightarrow \frac{sa}{mi} = \frac{3}{5} , \, $ artinya sisi samping 3 dan sisi miring 5, sehingga dengan teorema pythagoras diperoleh sisi depannya 4.
*). Karena $ \theta \, $ di kuadran IV, maka nilai sin dan tan negatif.
$ \begin{align} \sin \theta & = \frac{de}{mi} = -\frac{4}{5} \\ \tan \theta & = \frac{de}{sa} = - \frac{4}{3} \end{align} $
Jadi, diperoleh $ \sin \theta = -\frac{4}{5} , \, $ dan $ \tan \theta = - \frac{4}{3} $

3). Untuk $ 180^\circ < \beta < 270^\circ \, $ dan nilai $ \sin \beta = x $ . Tentukan nilai $ \cos \beta \, $ dan $ \tan \beta $ ?
Penyelesaian :
*). Analisa nilai $ x \, $ , apakah nilai $ x \, $ positif atau negatif.
$ 180^\circ < \beta < 270^\circ \, $ , artinya $ \beta \, $ ada pada kuadran tiga, sehingga nilai sin negatif, nilai cos negatif, dan nilai tan positif. Karena nilai sin negatif, dari $ \sin \beta = x \, $ maka nilai $ x \, $ negatif ($ x < 0 $).
*). Menentukan panjang sisi-sisi segitiga siku-sikunya.
Bentuk : $ \sin \beta = x \rightarrow \sin \beta = \frac{x}{1} \rightarrow \frac{de}{mi} = \frac{x}{1} $
artinya sisi depan adalah $ x $ dan sisi miring adalah 1, dengan pythagoras diperoleh sisi samping $\sqrt{1-x^2} $ .
*). Menentukan nilai trigonometrinya,
$\clubsuit$ Nilai $ \begin{align} \cos \beta = \frac{sa}{mi} = \frac{\sqrt{1-x^2}}{1} = \sqrt{1-x^2} \end{align} $
Nilai cos negatif di kuadran III dan nilai $ \sqrt{1-x^2} \, $ positif. Agar nilai cos negatif , maka kita kalikan -1.
Sehingga nilai $ \cos \beta = - \sqrt{1-x^2} $

$\clubsuit$ Nilai $ \begin{align} \tan \beta = \frac{de}{sa} = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \end{align} $
Nilai tan positif di kuadran III dan nilai $ \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, $ negatif karena $ x \, $ negatif dan $ \sqrt{1-x^2} \, $ positif . Agar nilai tan positif , maka kita kalikan -1.
Sehingga nilai $ \tan \beta = - \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} $
Jadi, nilai $ \cos \beta = - \sqrt{1-x^2} , \, $ dan $ \tan \beta = - \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} $

Jenis-jenis Sudut Berdasarkan Ukuran Sudut dan Kuadrannya
Berdasarkan besarnya, sudut dibagi menjadi lima jenis, yaitu :
1). Sudut lancip: sudut antara $ 0^\circ \, $ sampai $ 90^\circ $ ($ 0^\circ < x < 90^\circ $)
2). Sudut siku-siku: sudut yang besarnya $ 90^\circ $ ($ x = 90^\circ $)
Sudut siku-siku dibentuk oleh dua garis yang tegak lurus.
3). Sudut tumpul: sudut antara $ 90^\circ \, $ sampai $ 180^\circ $ ($ 90^\circ < x < 180^\circ $)
4). Sudut lurus: sudut yang besarnya $ 180^\circ $ ($ x = 180^\circ $)
5). Sudut refleks: sudut antara $ 180^\circ \, $ sampai $ 360^\circ $ ($ 180^\circ < x < 360^\circ $)

10 komentar:

  1. Balasan
    1. sama-sama.
      trims kunjungannya ke blog koma ini.

      Hapus
  2. Keren ^^ ilmunya masuk banget

    BalasHapus
    Balasan
    1. trims untuk kunjungannya ke blog koma ini.
      semoga terus bisa membantu.

      Hapus
  3. Balasan
    1. terima kasih untuk kunjungannya ke blog koma ini.

      Hapus
  4. seharusnya nilai tan terakhir positif, kenapa negatif. Kuadran III

    BalasHapus
    Balasan
    1. Hallow, Terima kasih untuk kunjungannya ke blog koma ini.

      Nilai $ \tan \beta = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} $ sebenarnya bernilai positif karena nilai $ x \, $ nya negatif, sehingga negatif kalikan negatif hasilnya positif. Coba diperiksa alur pembahasannya dari bagian yang atas pada soal nomor tiga ini.

      Teman-teman harus hati-hati jika menenmukan bentuk soal seperti ini, karena berkaitan dengan variabel tertentu yang mana kita harus cari dulu nilai variabelnya (apakah positif atau negatif).

      Semoga bermanfaat penjelasannya.
      Semangat belajarnya.

      Hapus

Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.