Hubungan koordinat kutub dan koordinat cartesius
Koordinat kutub merupakan koordinat yang ada pada cartesius yang terletak pada suatu lingkaran $ x^2 + y^2 = r^2 \, $
, sehingga koordinat kutub ditulis berdasarkan jari-jari lingkaran ($r$) dan sudut yang dibentuk terhadap sumbu X positif.
Misalkan koordinat cartesius titik A adalah ($x,y$), dan koordinat kutub titik A adalah ($r, \alpha$), hubungan kedua titik adalah :
$ x = r \cos \alpha , \, $ dan $ \, y = r \sin \alpha $ .
*). Berikut ilustrasi gambarnya
$\clubsuit $ Langkah-langkah mengubah koordinat menjadi koordinat cartesius :
Langsung gunakan hubungan : $ x = r \cos \alpha , \, $ dan $ \, y = r \sin \alpha $
$ \clubsuit $ Langkah-langkah mengubah koordinat cartesius menjadi koordinat kutub :
(i). Menentukan jari-jari ($r$) dengan pythagoras $ \, r^2 = x^2+y^2 $
(ii). Menentukan besar sudut dengan salah satu rumus :
$ \sin \alpha = \frac{y}{r} \, $ atau $ \cos \alpha = \frac{x}{r}, \, $ atau $ \tan \alpha = \frac{y}{x} $
(iii). Untuk kuadrannya, ada empat kemungkinan :
1. $ x \, $ positif dan $ y \, $ positif , ada di kuadran I,
2. $ x \, $ negatif dan $ y \, $ positif , ada di kuadran II,
3. $ x \, $ negatif dan $ y \, $ negatif , ada di kuadran III,
4. $ x \, $ positif dan $ y \, $ negatif , ada di kuadran IV
Misalkan koordinat cartesius titik A adalah ($x,y$), dan koordinat kutub titik A adalah ($r, \alpha$), hubungan kedua titik adalah :
$ x = r \cos \alpha , \, $ dan $ \, y = r \sin \alpha $ .
*). Berikut ilustrasi gambarnya
$\clubsuit $ Langkah-langkah mengubah koordinat menjadi koordinat cartesius :
Langsung gunakan hubungan : $ x = r \cos \alpha , \, $ dan $ \, y = r \sin \alpha $
$ \clubsuit $ Langkah-langkah mengubah koordinat cartesius menjadi koordinat kutub :
(i). Menentukan jari-jari ($r$) dengan pythagoras $ \, r^2 = x^2+y^2 $
(ii). Menentukan besar sudut dengan salah satu rumus :
$ \sin \alpha = \frac{y}{r} \, $ atau $ \cos \alpha = \frac{x}{r}, \, $ atau $ \tan \alpha = \frac{y}{x} $
(iii). Untuk kuadrannya, ada empat kemungkinan :
1. $ x \, $ positif dan $ y \, $ positif , ada di kuadran I,
2. $ x \, $ negatif dan $ y \, $ positif , ada di kuadran II,
3. $ x \, $ negatif dan $ y \, $ negatif , ada di kuadran III,
4. $ x \, $ positif dan $ y \, $ negatif , ada di kuadran IV
1). Nyatakan koordinat kutub titik A($8,30^\circ $) ke dalam koordinat cartesius!
Penyelesaian :
*). Diketahui titik $ A (r , \alpha ) = (8,30^\circ $
artinya $ r = 8 \, $ dan $ \alpha = 30^\circ $
*). Menentukan koordinat cartesiusnya :
$ x = r \cos \alpha = 8 \cos 30^\circ = 8 . \frac{1}{2}\sqrt{3} = 4\sqrt{3} $
$ y = r \sin \alpha = 8 \sin 30^\circ = 8 . \frac{1}{2} = 4 $
Jadi, koordinat cartesiusnya adalah $ A(4\sqrt{3}, 4) $
2). Nyatakan koordinat cartesisu berikut kedalam koordinat kutub :
a). titik B($ 3, 3\sqrt{3} $)
b). titik C($ -\sqrt{3}, 1$)
Penyelesaian :
a). titik B($ 3, 3\sqrt{3} $)
artinya $ x = 3 , \, $ dan $ \, y = 3\sqrt{3} $
*). Menentukan jari-jari ($r$) :
$ r = \sqrt{x^2 + y^2 } = \sqrt{3^2 + (3\sqrt{3})^2 } = \sqrt{9 + 27 } = \sqrt{36} = 6 $
*). Menentukan sudut dengan rumus : $ \cos \alpha = \frac{x}{r} $
$ \cos \alpha = \frac{x}{r} \rightarrow \cos \alpha = \frac{3}{6} \rightarrow \cos \alpha = \frac{1}{2} \rightarrow \alpha = 60^\circ $
Karena nilai $ x \, $ positif dan $ y \, $ positif, maka titik B ada di kuadran I dengan sudut $ 60^\circ $
Jadi, koordinat kutubnya adalah $ B (6, 60^\circ) $ .
b). titik C($ -\sqrt{3}, 1$)
artinya $ x = -\sqrt{3} , \, $ dan $ \, y = 1 $
*). Menentukan jari-jari ($r$) :
$ r = \sqrt{x^2 + y^2 } = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (1)^2 } = \sqrt{3 + 1 } = \sqrt{4} = 2 $
*). Menentukan sudut dengan rumus : $ \sin \alpha = \frac{y}{r} $
$ \sin \alpha = \frac{y}{r} \rightarrow \sin \alpha = \frac{1}{2} \rightarrow \alpha = 30^\circ $
Karena nilai $ x \, $ negatif dan $ y \, $ positif, maka titik C ada di kuadran II ,
Sehingga sudutnya : $ 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ $
Jadi, koordinat kutubnya adalah $ C (2, 150^\circ) $ .
Jarak dua titik koordinat kutub
Untuk menghitung jarak dua titik koordinat kutub, caranya menggunakan jarak dua titik pada koordinat cartesius. Artinya
kita harus mengubah dulu koordinat kutub menjadi koordinat cartesius. Untuk jarak dua titik koordinat cartesius, silahkan baca materi
"Jarak Dua Titik dan Titik ke Garis".
Menentukan jarak titik A($r_1, \theta _1$) dan titik B($r_2, \theta _2$) ,
*). Koordinat cartesiusnya adalah :
$ A(r_1, \theta _1) \rightarrow x_1 = r_1 \cos \theta _1 , \, y_1 = r_1 \sin \theta _1 \rightarrow A(r_1 \cos \theta _1,r_1 \sin \theta _1) $
$ B(r_2, \theta _2) \rightarrow x_2 = r_2 \cos \theta _2 , \, y_2 = r_2 \sin \theta _2 \rightarrow A(r_2 \cos \theta _2,r_2 \sin \theta _2) $
*). Jarak titik A($x_1, y_1$) dan titik B($x_2,y_2$) :
$ \begin{align} \text{jarak } & = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 } \\ & = \sqrt{(r_2 \cos \theta _2- r_1 \cos \theta _1)^2 + (r_2 \sin \theta _2 - r_1 \sin \theta _1)^2 } \\ & = \sqrt{ r_1^2 + r_2^2 - 2r_1.r_2 . \cos ( \theta _2 - \theta _1) } \end{align} $
Sehingga jarak titik A($r_1, \theta _1$) dan titik B($r_2, \theta _2$) adalah
$ \begin{align} \text{jarak } = \sqrt{ r_1^2 + r_2^2 - 2r_1.r_2 . \cos ( \theta _2 - \theta _1) } \end{align} $
Menentukan jarak titik A($r_1, \theta _1$) dan titik B($r_2, \theta _2$) ,
*). Koordinat cartesiusnya adalah :
$ A(r_1, \theta _1) \rightarrow x_1 = r_1 \cos \theta _1 , \, y_1 = r_1 \sin \theta _1 \rightarrow A(r_1 \cos \theta _1,r_1 \sin \theta _1) $
$ B(r_2, \theta _2) \rightarrow x_2 = r_2 \cos \theta _2 , \, y_2 = r_2 \sin \theta _2 \rightarrow A(r_2 \cos \theta _2,r_2 \sin \theta _2) $
*). Jarak titik A($x_1, y_1$) dan titik B($x_2,y_2$) :
$ \begin{align} \text{jarak } & = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 } \\ & = \sqrt{(r_2 \cos \theta _2- r_1 \cos \theta _1)^2 + (r_2 \sin \theta _2 - r_1 \sin \theta _1)^2 } \\ & = \sqrt{ r_1^2 + r_2^2 - 2r_1.r_2 . \cos ( \theta _2 - \theta _1) } \end{align} $
Sehingga jarak titik A($r_1, \theta _1$) dan titik B($r_2, \theta _2$) adalah
$ \begin{align} \text{jarak } = \sqrt{ r_1^2 + r_2^2 - 2r_1.r_2 . \cos ( \theta _2 - \theta _1) } \end{align} $
3). Tentukan jarak titik A($3,160^\circ $) dan titik B($4, 100^\circ$)!
Penyelesaian :
*). Diketahui titik-titik
$ A(r_1, \theta _1) = (3,160^\circ ) \, $ dan $ B(r_2, \theta _2) = (4, 100^\circ) $
*). Jarak kedua titik adalah :
$ \begin{align} \text{jarak } & = \sqrt{ r_1^2 + r_2^2 - 2r_1.r_2 . \cos ( \theta _2 - \theta _1) } \\ & = \sqrt{ 3^2 + 4^2 - 2.3.4. \cos ( 160^\circ - 100^\circ ) } \\ & = \sqrt{ 9 + 16 - 24. \cos 60^\circ } \\ & = \sqrt{ 25 - 24. \frac{1}{2} } \\ & = \sqrt{ 25 - 12 } \\ & = \sqrt{ 13 } \end{align} $
Jadi, jarak kedua titik adalah $ \sqrt{ 13 } \, $ satuan panjang.
Pembuktian rumus jarak dua titik koordinat kutub :
*). Gunakan beberapa persamaan :
identitas trigonometri : $ \sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 $
Rumus selisih sudut : $ \cos (A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B $
*). Pembuktian rumusnya :
$ \begin{align} \text{jarak } & = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 } \\ \text{jarak }^2 & = (x_2-x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 \\ \text{jarak }^2 & = (r_2 \cos \theta _2- r_1 \cos \theta _1)^2 + (r_2 \sin \theta _2 - r_1 \sin \theta _1)^2 \\ \text{jarak }^2 & = (r_2 ^2 \cos ^2 \theta _2 - 2r_1r_2 \cos \theta _2 \cos \theta _1 + r_1^2 \cos ^2 \theta _1) \\ & + (r_2 ^2 \sin ^2 \theta _2 - 2r_1r_2 \sin \theta _2 \sin \theta _1 + r_1^2 \sin ^2 \theta _1) \\ \text{jarak }^2 & = r_2 ^2 ( \sin ^2 \theta _2 + \cos ^2 \theta _2 ) + r_1 ^2 ( \sin ^2 \theta _1 + \cos ^2 \theta _1 ) \\ & - 2r_1r_2 (\cos \theta _2 \cos \theta _1 + \sin \theta _2 \sin \theta _1 ) \\ \text{jarak }^2 & = r_2 ^2 . ( 1 ) + r_1 ^2 . ( 1 ) - 2r_1r_2 (\cos ( \theta _2 - \theta _1 ) ) \\ \text{jarak }^2 & = r_1^2 + r_2^2 - 2r_1.r_2 . \cos ( \theta _2 - \theta _1) \\ \text{jarak } & = \sqrt{ r_1^2 + r_2^2 - 2r_1.r_2 . \cos ( \theta _2 - \theta _1) } \end{align} $
Jadi, jaraknya adalah $ \begin{align} \text{jarak } = \sqrt{ r_1^2 + r_2^2 - 2r_1.r_2 . \cos ( \theta _2 - \theta _1) } \end{align} $
