Penjelasan Aturan Rantai Turunan Fungsi
Misalkan ada fungsi $ y = f[g(x)] \, $ , kita akan menentukan turunannya dengan aturan rantai.
Misalkan $ z = g(x) , \, $ maka fungsinya menjadi : $ y = f[g(x)] \rightarrow y = f[z] $ .
Untuk $ z = g(x) \rightarrow z^\prime = \frac{dz}{dx} = g^\prime (x) $
Untuk $ y = f[z] \rightarrow y^\prime = \frac{dy}{dz} = f^\prime [z] = f^\prime [g(x)] $
Sehingga turunan dari $ y = f[g(x)] \, $ dengan aturan rantai :
$ \begin{align} y^\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dz}.\frac{dz}{dx} = f^\prime [g(x)] . g^\prime (x) \end{align} $
Turunan $ y = [g(x)]^n \, $ dengan aturan rantai :
Misalkan $ z = g(x), \, $ maka fungsinya menjadi $ y = [z]^n $
$ z = g(x) \rightarrow z^\prime = \frac{dz}{dx} = g^\prime (x) $
$ y = z^n \rightarrow y^\prime = \frac{dy}{dz} = n.z^{n-1} = n[g(x)]^{n-1} $
Sehingga turunan dari $ y = [g(x)]^n \, $ dengan aturan rantai :
$ \begin{align} y^\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dz}.\frac{dz}{dx} = n[g(x)]^{n-1} . g^\prime (x) \end{align} $
Misalkan $ z = g(x) , \, $ maka fungsinya menjadi : $ y = f[g(x)] \rightarrow y = f[z] $ .
Untuk $ z = g(x) \rightarrow z^\prime = \frac{dz}{dx} = g^\prime (x) $
Untuk $ y = f[z] \rightarrow y^\prime = \frac{dy}{dz} = f^\prime [z] = f^\prime [g(x)] $
Sehingga turunan dari $ y = f[g(x)] \, $ dengan aturan rantai :
$ \begin{align} y^\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dz}.\frac{dz}{dx} = f^\prime [g(x)] . g^\prime (x) \end{align} $
Turunan $ y = [g(x)]^n \, $ dengan aturan rantai :
Misalkan $ z = g(x), \, $ maka fungsinya menjadi $ y = [z]^n $
$ z = g(x) \rightarrow z^\prime = \frac{dz}{dx} = g^\prime (x) $
$ y = z^n \rightarrow y^\prime = \frac{dy}{dz} = n.z^{n-1} = n[g(x)]^{n-1} $
Sehingga turunan dari $ y = [g(x)]^n \, $ dengan aturan rantai :
$ \begin{align} y^\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dz}.\frac{dz}{dx} = n[g(x)]^{n-1} . g^\prime (x) \end{align} $
1). Tentukan turunan fungsi $ y = (x^3 - 2x + 2)^{2015} \, $ dan nilai $ f^\prime (1) $
Penyelesaian :
*). Misalkan $ z = x^3 - 2x + 2 \rightarrow \frac{dz}{dx} = 3x^2 - 2 $
Sehingga fungsinya : $ y = z^{2015} \rightarrow \frac{dy}{dz} = 2015z^{2014} = 2015(x^3-2x+2)^{2014} $
*). Turunan fungsi $ y = (x^3 - 2x + 2)^{2015} \, $ dengan aturan rantai :
$ \begin{align} y^\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dz}.\frac{dz}{dx} = 2015(x^3-2x+2)^{2014} . (3x^2 - 2) \end{align} $
Artinya $ f^\prime (x) = 2015(x^3-2x+2)^{2014} . (3x^2 - 2) $
*). Menentukan nilai $ f^\prime (1) $
$ f^\prime (1) = 2015(1^3-2.1+2)^{2014} . (3.1^2 - 2) = 2015(1)^{2014}.1 = 2015 $
Jadi, nilai $ f^\prime (1) = 2015 $
2). Tentukan nilai $ g^\prime (1) \, $ dari fungsi $ g(2x-3) = 2x^2.f(x^2-1) \, $ jika diketahui $ f(3) = -2 \, $ dan $ f^\prime (3) = 1 $ ?
Penyelesaian :
*). Kita turunkan bentuk $ g(2x-3) = 2x^2.f(x^2-1) \, $ dari kedua ruas,
Turunan ruas kiri : $ y = g(2x-3) \rightarrow y^\prime = g^\prime (2x-3) . 2 = 2g^\prime (2x-3) $
Turunan ruas kanan : $ y = 2x^2 . f(x^2 - 1) = U.V $
Misalkan :
$ U = 2x^2 \rightarrow U^\prime = 4x $
$ V = f(x^2 - 1) \rightarrow V^\prime = f^\prime (x^2 -1) . 2x = 2xf^\prime (x^2 -1 ) $
Sehingga turunan ruas kanan :
$ y = U.V \rightarrow y^\prime = U^\prime.V + U.V^\prime = 4x.f(x^2 -1) + 2x^2. 2xf^\prime (x^2 -1 ) $
*). Yang ditanyakan $ g^\prime (1) \, $ dari $ g^\prime (2x-3 ) \, $ artinya $ 2x - 3 = 1 \rightarrow x = 2 $ .
*). Substitusi $ x = 2 \, $ ke turunan kedua ruasnya :
$ \begin{align} g(2x-3) & = 2x^2.f(x^2-1) \, \, \, \, \, \, \text{(turunkan kedua ruas)} \\ 2g^\prime (2x-3) & = 4x.f(x^2 -1) + 2x^2. 2xf^\prime (x^2 -1 ) \\ 2g^\prime (2x-3) & = 4x.f(x^2 -1) + 4x^3.f^\prime (x^2 -1 ) \, \, \, \, \, \, \text{(substitusi } x = 2 ) \\ 2g^\prime (2.2-3) & = 4.2.f(2^2 -1) + 4.2^3.f^\prime (2^2 -1 ) \\ 2g^\prime (1) & = 8f(3) + 32f^\prime (3 ) \\ 2g^\prime (1) & = 8.(-2) + 32. 1 \\ 2g^\prime (1) & = -16 + 32 \\ 2g^\prime (1) & = 16 \\ g^\prime (1) & = \frac{16}{2} = 8 \end{align} $
Jadi, nilai $ g^\prime (1) = 8 $
3). Diketahui $ f(1) = 1 \, $ dan $ f^\prime (1) = 2 \, $ ,
tentukan nilai $ g^\prime (1) \, $ dari fungsi $ g(x) = (f(f(f(f(f(f(x))))))) $ ?
Penyelesaian :
*). Menentukan turunan $ g(x) \, $ dengan aturan rantai,
Misalkan :
$ z = f(x) \rightarrow \frac{dz}{dx} = f^\prime (x) $
Nilai $ f^\prime (1) = 2 $
$ m = f(f(x)) = f(z) \rightarrow \frac{dm}{dz} = f^\prime (z) = f^\prime (f(x)) $
Nilai $ f^\prime (f(1 )) = f^\prime (1) = 2 $
$ n = f(f(f(x))) = f(m) \rightarrow \frac{dn}{dm} = f^\prime (m) = f^\prime (f(f(x))) $
Nilai $ f^\prime (f(f(1))) = f^\prime (f(1)) = f^\prime (1) = 2 $
$ p = f(f(f(f(x)))) = f(n) \rightarrow \frac{dp}{dn} = f^\prime (n) = f^\prime (f(f(f(x)))) $
Nilai $ f^\prime (f(f(f(1)))) = f^\prime (f(f(1))) = f^\prime (f( 1)) = f^\prime (1) = 2 $
$ q = f(f(f(f(f(x))))) = f(p) \rightarrow \frac{dq}{dp} = f^\prime (p) = f^\prime (f(f(f(f(x))))) $
Nilai $ f^\prime (f(f(f(f(1))))) = f^\prime (f(f(f(1)))) = f^\prime (f(f(1))) = f^\prime (f(1)) = f^\prime (1) = 2 $
$ y = f(f(f(f(f(f(x)))))) = f(q) \rightarrow \frac{dy}{dq} = f^\prime (q) = f^\prime (f(f(f(f(f(x)))))) $
Nilai $ f^\prime (f(f(f(f(f(1)))))) = f^\prime (f(f(f(f(1))))) = f^\prime (f(f(f(1)))) $
$ = f^\prime (f(f(1))) = f^\prime (f(1)) = f^\prime (1) = 2 $
*). Sehingga turunanan fungsi $ g(x) = (f(f(f(f(f(f(x))))))) \, $ adalah
$ \begin{align} g^\prime (x) & = \frac{dy}{dx} \\ & = \frac{dy}{dq} . \frac{dq}{dp}.\frac{dp}{dn} . \frac{dn}{dm}.\frac{dm}{dz}.\frac{dz}{dx} \\ g^\prime (x) & = f^\prime (f(f(f(f(f(x)))))) \times f^\prime (f(f(f(f(x))))) \times f^\prime (f(f(f(x)))) \\ & \times f^\prime (f(f(x))) \times f^\prime (f(x)) \times f^\prime (x) \\ g^\prime (1) & = f^\prime (f(f(f(f(f(1)))))) \times f^\prime (f(f(f(f(1)))))\times f^\prime (f(f(f(1)))) \\ & \times f^\prime (f(f(1))) \times f^\prime (f(1)) \times f^\prime (1) \\ & = 2 . 2. 2.2.2.2 \\ & = 2^6 = 64 \end{align} $
Jadi, nilai $ g^\prime (1) = 64 $ .
Catatan : Aturan rantai turunan fungsi bisa digunakan untuk semua jenis fungsi baik itu fungsi aljabar, fungsi trigonometri, maupun fungsi lainnya.
