Statistika : Ukuran Pemusatan Data

         Blog Koma - Ukuran Pemusatan Data merupakan salah satu pengukuran data dalam statistika. Ukuran Pemusatan data teridiri dari penghitungan rata-rata (Mean), nilai tengah (Median), dan nilai yang sering muncul(Modus). Untuk memudahkan dalam memahami materi ukuran pemusatan data ini, sebaiknya kita membaca dulu materi "Statistika Secara Umum" dan materi "Statistika : Penyajian Data". Berikut penjelasan masing-masing.

Rata-rata (Mean)
       Rata-rata atau rataan hitung seringkali disebut sebagai ukuran pemusatan atau rata-rata hitung. Rataan hitung juga dikenal dengan istilah mean dan diberi lambang $ \overline{x} $ . Rataan hitung kita bagi menjadi dua berdasarkan data tunggal dan data berkelompok.
Rumus umum rata - rata ($ \overline{x} $):
              $ \begin{align} \overline{x} = \frac{\text{Jumlah semua data yang diamati}}{\text{banyak data yang diamati}} \end{align} $

$ \clubsuit $ Rata - rata Data Tunggal
         Rata-rata data tunggal kita bagi menjadi tiga kelompok yaitu rata-rata tunggal, rata-rata ada frekuensi, dan rata-rata pengelompokan.
i). Misalkan ada data $ x_1, x_2, x_3, x_4, ... , x_n $, sebanyak $ n $ data
Rata-ratanya : $ \overline{x} = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + ... + x_n}{n} = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_i}{n} $

Contoh
Dari hasil tes 10 siswa kelas XI diperoleh data: 3, 7, 6, 5, 3, 6, 9, 8, 7, dan 6.
Tentukan rataan dari data tersebut.
Penyelesaian :
$ \overline{x} = \frac{3+7+6+5+3+6+9+8+7+6}{10} = \frac{60}{10} = 6,0 $
Jadi, rataannya adalah 6,0.

ii). Misalkan ada data $ x_1 \, $ dengan frekuensi $ f_1 \, $ , $ x_2 \, $ dengan frekuensi $ f_2 \, $ , $ x_3 \, $ dengan frekuensi $ f_3 \, $ dan seterusnya sampai $ x_n \, $ dengan frekuensi $ f_n \, $ ,
Rata-ratanya adalah

Contoh
Berdasarkan data hasil ulangan harian Matematika di kelas XI IPA, enam siswa mendapat nilai 8, tujuh siswa mendapat nilai 7, lima belas siswa mendapat nilai 6, tujuh siswa mendapat nilai 5, dan lima siswa mendapat nilai 4. Tentukan rata-rata nilai ulangan harian Matematika di kelas tersebut.
Penyelesaian :
Tabel nilai ulangan harian Matematika kelas XI IPA.
Rata-rataanya :
$ \overline{x} = \frac{4\times 5 + 5 \times 7 + 6 \times 15 + 7 \times 7 + 8 \times 6 }{5 + 7 + 15 + 7 + 6} = \frac{242}{40} = 6,05 $
Atau langsung menggunakan nilai pada tabel :
$ \overline{x} = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{5} f_i.x_i}{\displaystyle \sum_{i=1}^{5} f_i} = \frac{242}{40} = 6,05 $
Jadi, rataan nilai ulangan harian Matematika di kelas XI IPA adalah 6,05.

iii). Misalkan ada data pertama yang terdiri $ n_1 \, $ datum dengan rata-rata $ \overline{x}_1 \, $ , data kedua yang terdiri $ n_2 \, $ datum dengan rata-rata $ \overline{x}_2 \, $ , dan seterusnya. Rata-rata gabungan ($\overline{x}_{gb}$) semua kelompok adalah :
                  $ \begin{align} \overline{x}_{gb} = \frac{n_1.\overline{x}_1 + n_2.\overline{x}_2+n_3.\overline{x}_3 + ....}{n_1 + n_2 + n_3 + ....} \end{align} $

Contoh :
Dikelas A terdiri dari 20 siswa laki-laki dan 30 siswa perempuan. Setelah dilakukan penimbangan berat badan, diperoleh berat rata-rata siswa laki-laki adalah 40 kg dan berat rata-rata siswa perempuan 41 kg. Tentukan berat rata-rata kelas A tersebut!
Penyelesaian :
*). Diketahui :
banyak siswa laki-laki : $ n_l = 20 \, $ dan rata-rata : $ \overline{x}_l = 40 $
banyak siswa perempuan : $ n_p = 30 \, $ dan rata-rata : $ \overline{x}_p = 41 $
*). Rata-rata gabungan siswa laki-laki dan perempuan :
$ \begin{align} \overline{x}_{gb} & = \frac{n_l.\overline{x}_l + n_p.\overline{x}_p}{n_l + n_p} \\ & = \frac{20.40 + 30.41}{20 + 30 } \\ & = \frac{800 + 1230}{50 } \\ & = \frac{2030}{50 } \\ & = 40,6 \end{align} $
Jadi, rata-rata berat badan kelas A adalah 40,6 kg.

$ \clubsuit $ Rata - rata Data Berkelompok
         Untuk menentukan rata-rata data berkelompok, ada tiga cara yang akan kita gunakan.
i). Metode nilai tengah
Rata-rata : $ \begin{align} \overline{x} = \frac{f_1.x_1+f_2.x_2 + ... + f_n.x_n}{f_1 + f_2 + ... + f_n} = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} f_i.x_i}{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} f_i} \end{align} $
dengan $ x_i \, $ adalah nilai tengah masing-masing interval kelas.

Contoh :
Perhatikan tabel berikut!
Tentukan mean (rata-rata) dari tabel tersebut!
Penyelesaian :
Maka, nilai mean (rata-rata hitung) dari data tersebut adalah:
$ \begin{align} \overline{x} & = \frac{f_1.x_1+f_2.x_2 + f_3.x_3 + f_4.x_4 + f_5.x_5}{f_1 + f_2 + f_3 + f_4 + f_5} \\ & = \frac{61.10 + 64.25 + 67.32 + 70 . 15 + 73.18 }{10 + 25 + 32 + 15 + 18 } \\ & = \frac{6718 }{100 } \\ & = 67,18 \end{align} $
Jadi, rata-ratanya dalah 67,18.

ii). Metode Simpangan dari rata-rata sementara
Rata-rata : $ \begin{align} \overline{x} = \overline{x}_s + \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} f_i.d_i}{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} f_i} \end{align} $
Keterangan :
$ \overline{x}_s = \, $ rata-rata sementara dari nilai tengah.
$ d_i = x_i - \overline{x}_s : \, $ Simpangan nilai tengah terhadap rata-rata sementara.

Contoh :
Dari tabel soal nomor satu di atas, kita menentukan nilai rata-ratanya dengan cara metode simpangan.
Kita pilih rata-rata sementaranya ($\overline{x}_s$) dari nilai tengah yang ada. Kita bebas memilih nilai tengah yang ada, tapi biasanya rata-rata sementara dipilih dari nilai tengah yang memiliki frekuensi yang terbesar. Pada soal ini kita pilih nilai tengah pada kelas ke-3, sehingga $ \overline{x}_s = 67 $ .
Menetukan nilai simpangannya ($d_i$) :
Kelas ke-1 : $ d_1 = x_1 - \overline{x}_s = 61 - 67 = - 6 $
Kelas ke-2 : $ d_2 = x_2 - \overline{x}_s = 64 - 67 = - 3 $
Kelas ke-3 : $ d_3 = x_3 - \overline{x}_s = 67 - 67 = 0 $
Kelas ke-4 : $ d_4 = x_4 - \overline{x}_s = 70 - 67 = 3 $
Kelas ke-5 : $ d_5 = x_5 - \overline{x}_s = 73 - 67 = 6 $
untuk lebih lengkapnya lihat pada tabel di atas.
Sehingga rata-ratanya :
$ \begin{align} \overline{x} = \overline{x}_s + \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} f_i.d_i}{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} f_i} = 67 + \frac{18}{100} = 67,18 \end{align} $
Jadi, rata-ratanya dalah 67,18 (hasilnya sama dengan cara I di atas).

iii). Metode Pengkodean (coding)
         Metode pengkodean (coding) sering digunakan apabila dijumpai nilai-nilai dalam data yang berupa bilangan-bilangan besar . Metode ini sangat memudahkan dalam perhitungan karena melibatkan bilangan yang lebih sederhana. Pengkodean yang dimaksud adalah disimbolkan $u$ dengan rumus $ u_i = \frac{x_i - \overline{x}_s}{p} $ , dimana $ p $ adalah panjang kelas (interval kelas), $ x_i $ adalah nilai tengah, dan $ \overline{x}_s $ adalah rata - rata sementara yang dipilih dari nilai tengah.
Rumus rata - rata : $ \begin{align} \overline{x} = \overline{x}_s + \left( \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} f_i.u_i}{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} f_i} \right) . p \end{align} $
Keterangan :
$ \overline{x}_s = \, $ rata-rata sementara dari nilai tengah.
$ u_i = \frac{x_i - \overline{x}_s}{p} : \, $ pengkodeannya.
$ p = \, $ panjang kelas atau interval kelas.

Contoh :
Kita akan menghitung nilai rata-rata pada soal nomor satu dengan metode pengkodean.
Misal rata-rata sementaranya : $ \overline{x}_s = 67 $
Panjang kelas : $ 60 - 62 \rightarrow p = 3 $
Menentukan nilai pengkodeannya ($u_i$) :
Kelas ke-1 : $ u_1 = \frac{x_1 - \overline{x}_s}{p} = \frac{61 - 67}{3} = -2 $
Kelas ke-2 : $ u_2 = \frac{x_2 - \overline{x}_s}{p} = \frac{64 - 67}{3} = -1 $
Kelas ke-3 : $ u_3 = \frac{x_3 - \overline{x}_s}{p} = \frac{67 - 67}{3} = 0 $
Kelas ke-4 : $ u_4 = \frac{x_4 - \overline{x}_s}{p} = \frac{70 - 67}{3} = 1 $
Kelas ke-5 : $ u_5 = \frac{x_5 - \overline{x}_s}{p} = \frac{73 - 67}{3} = 2 $
Sehingga rata-ratanya :
$ \begin{align} \overline{x} = \overline{x}_s + \left( \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} f_i.u_i}{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} f_i} \right) . p = 67 + \left( \frac{6}{100} \right) . 3 \end{align} = 67 + 0,18 = 67,18$
Jadi, rata-ratanya dalah 67,18 (hasilnya sama dengan cara I di atas).

Catatan : Kabar gembiranya menggunakan metode pengkodeann adalah nilai tengah yang menjadi rata-rata sementaranya akan bernilai nol untuk pengkodeannya, dan bagian sebelumnya selalu dikurangi satu dan setelahnya ditambah satu. sehingga bentuknya akan selalu ...-3,-2,-1,0,1,2,3,.... yang menyesuaikan dengan banyaknya kelas dengan patokan 0 adalah kelas yang dipilih sebagai rata-rata sementaranya.

Median (Nilai Tengah)
       Median adalah nilai tengah kumpulan data yang telah diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar.

$ \spadesuit $ Median Data Tunggal
       Apabila kumpulan $n $ data disajikan dalam bentuk tunggal yaitu $x_1, x_2, ..., x_n \, $ maka median dari data tersebut dapat ditentukan sebagai berikut.
1). Untuk ukuran data $ n $ ganjil, maka mediannya adalah nilai data yang ditengah atau nilai data ke$-\frac{n+1}{2} $
                            $ \begin{align} Me = x_{\frac{n+1}{2}} \end{align} $
Keterangan :
Me = Median dan $ \begin{align} x_{\frac{n+1}{2}} \end{align} \, $ adalah data ke$-\frac{n+1}{2} $

2). Untuk ukuran data $n $ genap, mediannya adalah rata-rata dari dua nilai data yang ditengah atau rata-rata dari nilai data ke$-\frac{n}{2} \, $ dan nilai data ke$ - \left( \frac{n}{2} + 1 \right) $
                            $ \begin{align} Me = \frac{1}{2} \left( x_{\frac{n}{2}} + x_{ \left( \frac{n}{2} + 1 \right) } \right) \end{align} $
Keterangan :
$ \begin{align} x_{\frac{n}{2}} \end{align} \, $ adalah data ke$-\frac{n}{2} \, $ dan $ \begin{align} x_{ \left( \frac{n}{2} + 1 \right) } \end{align} \, $ adalah data ke$-\left( \frac{n}{2} + 1 \right) $

Contoh :
Tentukan besarnya median dari data berikut :
a). Data : 3, 2, 5, 1, 7, 8, 3, 2, 4, 1, 5
b). Data : 4, 2, 3, 5, 7, 5, 2, 1
Penyelesaian :
a). ukuran data ada 11, artinya banyak datum ganjil dengan $ n = 11 $ .
*). Data diurutkan : 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 7, 8 .
$ \begin{align} Me = x_{\frac{n+1}{2}} = x_{\frac{11+1}{2}} = x_6 = 3 \end{align} $
artinya median terletak pada data ke-6 yaitu 3.
Jadi, mediannya adalah 3.
b). ukuran data ada 8, artinya banyak datum genap dengan $ n = 8 $ .
*). Data diurutkan : 1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 7 .
$ \begin{align} Me = \frac{1}{2} \left( x_{\frac{n}{2}} + x_{ \left( \frac{n}{2} + 1 \right) } \right) = \frac{1}{2} \left( x_{\frac{8}{2}} + x_{ \left( \frac{8}{2} + 1 \right) } \right) = \frac{1}{2} \left( x_4 + x_5 \right) = \frac{1}{2} \left( 3 + 4 \right) = 3,5 \end{align} $
artinya median terletak antara data ke-4 dan ke-5 yaitu antara 3 dan 4.
Jadi, mediannya adalah 3,5.

$\spadesuit $ Median Data Berkelompok
Rumus Median data berkelompok :
                            $ \begin{align} Me = Tb_{me} + \left( \frac{\frac{1}{2}n - F_{ks}}{f_{me}} \right)p \end{align} $
Keterangan :
$ Tb_{me} = \, $ tepi bawah kelas median.
$ n = \, $ ukuran data (banyak datum).
$ F_{ks} = \, $ frekuensi kumulatif sebelum frekuensi kelas median.
$ f_{me} = \, $ frekuensi kelas mediannya.
$ p = \, $ panjang kelas.

Langkah-langkah menentukan Median :
1). Tentukan letak median dengan rumus $ \frac{1}{2}n $
2). Tentukan tepi bawah kelas median, Frekuensi kumulatif dan frekuensi median, serta panjang kelas .
3). Gunakan rumus median data berkelompok.

Contoh :
Sseorang karyawan sebuah toko bangunan sedang mengukur diameter dari 40 buah pipa. Hasil pengukurannya itu dituliskan dalam tabel.
Tentukan nilai median dari data pada tabel di atas!
Penyelesaian :
*). Menetukan letak median dengan ukuran $ n = 40 $
Letak median $ = \frac{1}{2}n = \frac{1}{2}. 40 = 20 $
Artinya median terletak pada data ke-20 yaitu pada kelas ke-3 dengan interval 71 - 73.
*). Menentukan komponen yang lainnya :
Tepi bawah : $ Tb_{me} = 71 - 0,5 = 70,5 $
Frekuensi kumulatif : $ F_{ks} = 2 + 5 = 7 $
frekuensi kelas median : $ f_{me} = 13 $
panjang kelas : $ p = \, $ bata atas $ - \, $ batas bawah $ + 1 = 73 - 71 + 1 = 3 $
*). Menentukan nilai mediannya :
$ \begin{align} Me & = Tb_{me} + \left( \frac{\frac{1}{2}n - F_{ks}}{f_{me}} \right)p \\ & = 70,5 + \left( \frac{\frac{1}{2}.40 - 7}{13} \right).3 \\ & = 70,5 + \left( \frac{20 - 7}{13} \right).3 \\ & = 70,5 + \left( \frac{13}{13} \right).3 \\ & = 70,5 + 3 \\ & = 73,5 \end{align} $
Jadi, median yang menyatakan nilai tengah dari diameter 40 pipa adalah 73,5 mm.

Modus (Nilai yang sering muncul)
       Modus adalah nilai yang paling sering muncul atau memiliki frekuensi tertinggi.

$\clubsuit $ Modus Data Tunggal
       Misalkan ada $ n \, $ data $ x_1, x_2, x_3, ... x_n \, $ , modus dari data tersebut adalah datum(nilai) dengan frekuensi tertinggi atau data yang paling sering muncul. Suatu data dikatakan tidak mempunyai modus jika dalam data tersebut tidak ada nilai yang dominan (sering muncul). Ternyata data juga bisa memiliki modus lebih dari satu.

Contoh :
1). Dari data : 1, 5, 7, 8, 9. Tentukan modusnya!
Penyelesaian :
Karena data tersebut tidak ada nilai yang dominan (masing-masing frekuensinya satu), maka data tersebut tidak memiliki modus.

2). Dari data : 1, 3, 5, 6, 7, 6, 6, 8, 9. Tentukan modusnya!
Penyelesaian :
Dari data terlihat bahwa nilai 6 paling sering muncul (muncul 3 kali), sehingga modusnya adalah 6.

3). Dari data : 2, 3, 1, 5, 5, 6, 7, 8, 7, 9. Tentukan modusnya!
Penyelesaian :
Dari data, nilai yang sering muncul adalah angka 5 dan 7 (maasing-masing frekuensinya tertinggi yaitu 2 ), sehingga modus data tersebut adalah 5 dan 7.

$\clubsuit $ Modus Data Berkelompok
Rumus modus data berkelompok :
                            $ \begin{align} Mo = Tb_{mo} + \left( \frac{d_1}{d_1 + d_2} \right) p \end{align} $
Keterangan :
$ Mo = \, $ nilai modus.
$ Tb_{mo} = \, $ tepi bawah kelas modus.
$ d_1 = \, $ selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya.
$ d_2 = \, $ selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya.
$ p = \, $ panjang kelas (lebar interval kelas)

Untuk menentukan nilai modus, sebaiknya kita harus menentukan kelas modusnya terlebih dahulu. Kelas modus adalah kelas yang memiliki nilai frekuensi tertinggi.

Contoh.
Berikut merupakan Data umur penduduk
Dari tabel di atas, tentukan nilai modusnya.!
Penyelesaian :
*). Dari tabel, terlihat bahwa kelas yang memiliki frekuensi tertinggi adalah kelas ke-3 dengan frekuensi 140, ini artinya kelas modusnya adalah kelas ke-3 dengan interval 35 - 43.
*). Menentukan komponen lainnya:
Tepi bawah kelas modus : $ Tb_{mo} = 35 - 0,5 = 34,5 $
$ d_1 = 140 - 90 = 50 \, $ dan $ d_2 = 140 - 95 = 45 $
Panjang kelas : $ p = \, $ bata atas $ - \, $ batas bawah $ + 1 = 43 - 35 + 1 = 9 $
*). Menentukan nilai modusnya :
$ \begin{align} Mo & = Tb_{mo} + \left( \frac{d_1}{d_1 + d_2} \right) p \\ & = 34,5 + \left( \frac{50}{50 + 45} \right) . 9 \\ & = 34,5 + \left( \frac{50}{95} \right) . 9 \\ & = 34,5 + \frac{450}{95} \\ & = 34,5 + 4,74 \\ & = 39,24 \end{align} $
Jadi, modus yang menyatakan umur penduduk dalam pemilihan adalah 39,24.

1 komentar:

  1. Kenapa rumus menentukan letak median data berkelompok = 1/2 n, berbeda dengan rumus menentukan letak Q2 (kuartil ke-2) = 2/4 (n+1) ? Bukankah median sama dengan Q2?

    BalasHapus

Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.