Statistika : Ukuran Letak Data

         Blog Koma - Selain Ukuran Pemusatan Data, pada pengukuran statistika juga ada Ukuran Letak Data. Suatu data tidak hanya dapat kita bagi menjadi dua bagian yang sama (median), tetapi dapat kita bagi menjadi empat, sepuluh , dan bahkan seratus bagian yang sama. Pada materi ukuran letak data, kita akan mempelajari kuartil, desil, dan persentil. Untuk menentukan nilai ukuran letak data, data harus kita urutkan dulu dari nilai yang terkecil ke datum yang nilainya lebih besar. Sebelum membaca tentang ukuran letak data, sebaiknya kita baca dulu materi "Statistika Secara Umum" dan "Statistika : Penyajian Data".

Kuartil (data dibagi menjadi empat)
       Kuartil adalah nilai pembatas yang membagi data terurut menjadi empat bagian yang sama. Kuartil terdiri dari tiga jenis yaitu kuartil pertama ($Q_1$) yang disebut juga kuartil bawah, kuartil kedua ($Q_2$) yang disebut juga median atau nilai tengah, dan kuartil ketiga ($Q_3$) yang disebut juga kuartil atas.
Keterangan :
$ X_{min} = \, $ data terkecil, $ X_{maks} = \, $ data terbesar,
$ Q_1 = \, $ kuartil ke-1, $ Q_2 = \, $ kuartil ke-2, $ Q_3 = \, $ kuartil ke-3.

$\spadesuit $ Kuartil Data Tunggal
       Untuk menentukan nilai kuartil suatu data tunggal, kita gunakan rumus :
       $ \begin{align} \text{Letak } \, Q_i = \text{ data ke-} \left(\frac{i}{4}(n+1)\right) \text{ atau } Q_i = X_{\frac{i}{4}(n+1)} \end{align} $
dengan $ i = 1, \, 2, \, 3 \, $ dan $ n \, $ adalah banyak datum(banyak nilai).
Artinya bisa dijabarkan sebagai berikut :
kuartil ke-1 : $ i = 1 \rightarrow \begin{align} Q_1 = X_{\frac{1}{4}(n+1)} \end{align} $
kuartil ke-2 : $ i = 2 \rightarrow \begin{align} Q_2 = X_{\frac{2}{4}(n+1)} \end{align} $
kuartil ke-3 : $ i = 3 \rightarrow \begin{align} Q_3 = X_{\frac{3}{4}(n+1)} \end{align} $

Contoh :
1). Data siswa yang memperoleh nilai 10 untuk ulangan matematika
selama 16 kali, yaitu 9, 5, 8, 5, 7, 8, 6, 7, 5, 8, 6, 6, 6, 6, 7, 9.
Tentukan nilai kuartilnya!
Penyelesaian :
*). Langkah-langkah menetukan kuartilnya :
i) Untuk menentukan nilai-nilai kuartil dari kumpulan data, langkah pertama yang harus Anda lakukan adalah mengurutkan data tersebut.
ii) Kemudian, kuartil kedua ($Q_2$) ditentukan dengan membagi data menjadi dua bagian yang sama.
iii) Kuartil pertama ($Q_1$) ditentukan dengan membagi data di bawah $Q_2$ menjadi dua bagian yang sama.
iv) Kuartil ketiga ($Q_3$) ditentukan dengan membagi data di atas $Q_2$ menjadi dua bagian yang sama.
Data diurutkan menjadi: $x_1, x_2, x_3, ..., x_{16}$, yaitu:

*). Menetukan kuartilnya :
$ Q_1 = \frac{6+6}{2} = 6 $
$ Q_2 = \frac{6+7}{2} = 6,5 $
$ Q_3 = \frac{8+8}{2} = 8 $
Jadi, diperoleh nilai $ Q_1 = 6, \, Q_2 = 6,5 , \, $ dan $ Q_3 = 8 $

Cara II : Menggunakan rumus letak kuartil ,
$ \begin{align} Q_1 & = X_{\frac{1}{4}(n+1)} = X_{\frac{1}{4}(16+1)} = X_{4,25} \\ Q_1 & = x_4 + 0,25(x_5 - x_4) \\ & = 6 + 0,25(6-6) = 6 + 0 = 6 \\ Q_2 & = X_{\frac{2}{4}(n+1)} = X_{\frac{2}{4}(16+1)} = X_{8,5} \\ Q_2 & = x_8 + 0,5(x_9 - x_8) \\ & = 6 + 0,5(7-6) = 6 + 0,5 = 6,5 \\ Q_3 & = X_{\frac{3}{4}(n+1)} = X_{\frac{3}{4}(16+1)} = X_{12,75} \\ Q_3 & = x_{12} + 0,75(x_{13} - x_{12}) \\ & = 8 + 0,75(8-8) = 8 + 0 = 8 \end{align} $
Jadi, diperoleh nilai $ Q_1 = 6, \, Q_2 = 6,5 , \, $ dan $ Q_3 = 8 $

$\spadesuit $ Kuartil Data Berkelompok
       Langkah-langkah menentukan kuartil berkelompok :
1). Tentukan letak kuartil (kelas kuartil) dengan rumus :
              Letak $ \begin{align} Q_i = \text{data ke-} \frac{i}{4}(n+1) \end{align} $
dengan $ i = 1, \, 2, \, 3 \, $ dan $ n \, $ adalah banyak datum(total frekuensi).
2). Hitung kuartil dengan rumus :
              $ \begin{align} Q_i = Tb_{i} + \left( \frac{\frac{i}{4}n - Fks_i}{f_i} \right)p \end{align} $
Keterangan :
$ Tb_{i} = \, $ tepi bawah kelas kuartil ke-$i$
$ Fks_i = \, $ frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil ke-$i$
$ f_i = \, $ frekuensi kelas kuatril ke-$i$
$ p = \, $ panjang kelas (lebar interval kelas)
$ i = 1, 2, 3 $
Rumus panjang kelas :
$ p = (\text{tepi atas } - \text{ tepi bawah}) \, \, \, \, \, \, $ atau
$ p = (\text{batas atas } - \text{ batas bawah} + 1 )$

Rumus kuartil bisa dijabarkan sebagai berikut :
kuartil ke-1 : $ i = 1 \rightarrow \begin{align} Q_1 = Tb_{1} + \left( \frac{\frac{1}{4}n - Fks_1}{f_1} \right)p \end{align} $
kuartil ke-2 : $ i = 2 \rightarrow \begin{align} Q_2 = Tb_{2} + \left( \frac{\frac{2}{4}n - Fks_2}{f_2} \right)p = Tb_{2} + \left( \frac{\frac{1}{2}n - Fks_2}{f_2} \right)p \end{align} $
kuartil ke-3 : $ i = 3 \rightarrow \begin{align} Q_3 = Tb_{3} + \left( \frac{\frac{3}{4}n - Fks_3}{f_3} \right)p \end{align} $

Contoh :
Tentukan $Q_1$ (kuartil bawah), $Q_2$ (median), dan $Q_3$ (kuartil atas) dari data tes Matematika terhadap 40 siswa kelas XI IPA berikut ini.
Penyelesaian :
*). Menentukan frekuensi kumulatifnya.
total frekuensinya 40 ($n = 40$).
*).Menentukan letak kuartil dan nilai kuartilnya :
*). Letak $ Q_1 $ = data ke- $ \left[\frac{1}{4}(n+1) \right] $ = data ke- $ \left[\frac{1}{4}(40+1) \right] $ = data ke-10,25
artinya dilihat dari frekuensi kumulatif, $ Q_1 $ terletak pada kelas ke-3 yaitu interval 60 - 69.
Menentukan unsur-unsur lainnya :
tepi bawah : $ Tb_1 = 60 - 0,5 = 59,5 $
$ Fks_1 = 4 + 5 = 9 $
$ f_1 = 14 \, , \, $ dan $ p = 69 - 60 + 1 = 10 $
$ \begin{align} Q_1 & = Tb_{1} + \left( \frac{\frac{1}{4}n - Fks_1}{f_1} \right)p = 59,5 + \left( \frac{\frac{1}{4}.40 - 9}{14} \right).10 \\ & = 59,5 + \left( \frac{10 - 9}{14} \right).10 = 59,5 + \left( \frac{1}{14} \right).10 = 59,5 + 0,714 = 60,214 \end{align} $

*). Letak $ Q_2 $ = data ke- $ \left[\frac{2}{4}(n+1) \right] $ = data ke- $ \left[\frac{1}{2}(40+1) \right] $ = data ke-20,5
artinya dilihat dari frekuensi kumulatif, $ Q_2 $ terletak pada kelas ke-3 yaitu interval 60 - 69.
Menentukan unsur-unsur lainnya :
tepi bawah : $ Tb_2 = 60 - 0,5 = 59,5 $
$ Fks_2 = 4 + 5 = 9 $
$ f_2 = 14 \, , \, $ dan $ p = 69 - 60 + 1 = 10 $
$ \begin{align} Q_2 & = Tb_{2} + \left( \frac{\frac{2}{4}n - Fks_2}{f_2} \right)p = 59,5 + \left( \frac{\frac{1}{2}.40 - 9}{14} \right).10 \\ & = 59,5 + \left( \frac{20 - 9}{14} \right).10 = 59,5 + \left( \frac{11}{14} \right).10 = 59,5 + 7,857 = 67,357 \end{align} $

*). Letak $ Q_3 $ = data ke- $ \left[\frac{3}{4}(n+1) \right] $ = data ke- $ \left[\frac{3}{4}(40+1) \right] $ = data ke-30,75
artinya dilihat dari frekuensi kumulatif, $ Q_3 $ terletak pada kelas ke-4 yaitu interval 70 - 79.
Menentukan unsur-unsur lainnya :
tepi bawah : $ Tb_1 = 70 - 0,5 = 69,5 $
$ Fks_3 = 4 + 5 + 14 = 23 $
$ f_3 = 10 \, , \, $ dan $ p = 79 - 70 + 1 = 10 $
$ \begin{align} Q_3 & = Tb_{3} + \left( \frac{\frac{3}{4}n - Fks_3}{f_3} \right)p = 69,5 + \left( \frac{\frac{3}{4}.40 - 23}{10} \right).10 \\ & = 69,5 + \left( \frac{30 - 23}{10} \right).10 = 59,5 + \left( \frac{7}{10} \right).10 = 69,5 + 7 = 76,5 \end{align} $
Jadi, diperoleh $ Q_1 = 60,214 ; \, Q_2 = 67,357 ; \, $ dan $ Q_3 = 76,5 $

Desil (Data dibagi menjadi 10 bagian)
       Desil adalah nilai pembatas yang membagi data terurut menjadi sepuluh bagian yang sama. Desil terdiri dari sembilan jenis, yaitu desil pertama ($D_1$), desil kedua ($D_2$), dan seterusnya sampai desil sembilan ($D_9$).
Keterangan :
$ X_{min} = \, $ data terkecil, $ X_{maks} = \, $ data terbesar,
$ D_1 = \, $ Desil ke-1, $ D_2 = \, $ Desil ke-2, dan seterusnya $ D_9 = \, $ Desil ke-3.

$\clubsuit $ Desil Data Tunggal
       Letak desil data tunggal menggunakan cara di atas.

Contoh :
Tentukan desil ke-1 dan desil ke-5 dari data berikut.
47, 33, 41, 37, 46, 43, 39, 36, 35, 42, 40, 39, 45
Penyelesaian :
Data setelah diurutkan menjadi 33, 35, 36, 37, 39, 39, 40, 41, 42, 43, 45, 46, 47.
Banyak data adalah $ n = 13$.
$ \begin{align} \text{Rumus : } \, D_i & = X_{\frac{i}{10}(n+1)} \\ D_1 & = X_{\frac{1}{10}(13+1)} \\ & = X_{1,4} \\ & = x_1 + 0,4 (x_2 - x_1) \\ & = 33 + 0,4 (35 - 33) \\ & = 33 + 0,4 (2) \\ & = 33 + 0,8 \\ & = 33,8 \\ D_5 & = X_{\frac{5}{10}(13+1)} \\ & = X_{7} \\ & = 40 \end{align} $
Jadi, nilai desil ke-1 adalah 33,8 dan desil ke-5 adalah 40.

$\clubsuit $ Desil Data Berkelompok
       Langkah-langkah menentukan Desil berkelompok :
1). Tentukan letak Desil (kelas desil) dengan rumus :
              Letak $ \begin{align} D_i = \text{data ke-} \frac{i}{10}(n+1) \end{align} $
dengan $ i = 1, \, 2, \, 3, \, ..., 9$ dan $ n \, $ adalah banyak datum(total frekuensi).
2). Hitung desil dengan rumus :
              $ \begin{align} D_i = Tb_{i} + \left( \frac{\frac{i}{10}n - Fks_i}{f_i} \right)p \end{align} $
Keterangan :
$ Tb_{i} = \, $ tepi bawah kelas desil ke-$i$
$ Fks_i = \, $ frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-$i$
$ f_i = \, $ frekuensi kelas desil ke-$i$
$ p = \, $ panjang kelas (lebar interval kelas)
$ i = 1, 2, 3, ...,9 $
Rumus panjang kelas :
$ p = (\text{tepi atas } - \text{ tepi bawah}) \, \, \, \, \, \, $ atau
$ p = (\text{batas atas } - \text{ batas bawah} + 1 )$

Rumus desil bisa dijabarkan sebagai berikut :
Desil ke-1 : $ i = 1 \rightarrow \begin{align} D_1 = Tb_{1} + \left( \frac{\frac{1}{10}n - Fks_1}{f_1} \right)p \end{align} $
Desil ke-2 : $ i = 2 \rightarrow \begin{align} D_2 = Tb_{2} + \left( \frac{\frac{2}{10}n - Fks_2}{f_2} \right)p \end{align} $
dan seterusnya ...............,
Desil ke-9 : $ i = 9 \rightarrow \begin{align} D_9 = Tb_{9} + \left( \frac{\frac{9}{10}n - Fks_9}{f_9} \right)p \end{align} $

Contoh :
Tentukan nilai desil ketiga dari data pada Tabel berikut ini :
Penyelsaian :
*).Menentukan letak Desil ketiganya:
total frekuensinya 40 ($n=40$).
*). Letak $ D_3 $ = data ke- $ \left[\frac{3}{10}(n+1) \right] $ = data ke- $ \left[\frac{3}{10}(40+1) \right] $ = data ke-12,3
artinya dilihat dari frekuensi kumulatif, $ D_3 $ terletak pada kelas ke-3 yaitu interval 51 - 60.
(karena kelas 51 - 60 memuat data ke-9, 10, 11, 12, 13).
Menentukan unsur-unsur lainnya :
tepi bawah : $ Tb_3 = 51 - 0,5 = 50,5 $
$ Fks_3 = 5 + 3 = 8 $
$ f_3 = 5 \, , \, $ dan $ p = 60 - 51 + 1 = 10 $
$ \begin{align} D_3 & = Tb_{3} + \left( \frac{\frac{3}{10}n - Fks_3}{f_3} \right)p = 50,5 + \left( \frac{\frac{3}{10}.40 - 8}{5} \right).10 \\ & = 50,5 + \left( \frac{12 - 8}{5} \right).10 = 50,5 + \left( \frac{4}{5} \right).10 = 50,5 + 8 = 58,5 \end{align} $
Jadi, nilai desil ketiganya adalah 58,5.

Persentil (Data dibagi menjadi 100 bagian)
       Jika data dibagi menjadi 100 bagian yang sama, maka ukuran itu disebut persentil. Persentil terdiri dari 99 jenis, yaitu persentil pertama ($P_1$), persentil kedua ($P_2$), dan seterusnya sampai persentil sembilan puluh sembilan ($P_{99}$).
$\spadesuit $ Persentil Data Tunggal
       Untuk menentukan nilai persentil suatu data tunggal, kita gunakan rumus :
       $ \begin{align} \text{Letak } \, P_i = \text{ data ke-} \left(\frac{i}{100}(n+1)\right) \text{ atau } P_i = X_{\frac{i}{100}(n+1)} \end{align} $
dengan $ i = 1, \, 2, \, 3 \, ... , 99 $ dan $ n \, $ adalah banyak datum(total frekuensi).
Artinya bisa dijabarkan sebagai berikut :
Persentil ke-1 : $ i = 1 \rightarrow \begin{align} P_1 = X_{\frac{1}{100}(n+1)} \end{align} $
Persentil ke-2 : $ i = 2 \rightarrow \begin{align} P_2 = X_{\frac{2}{100}(n+1)} \end{align} $
dan seterusnya , .........
Persentil ke-99 : $ i = 99 \rightarrow \begin{align} P_{99} = X_{\frac{99}{100}(n+1)} \end{align} $

Contoh :
Diketahui: 9, 10, 11, 6, 8, 7, 7, 5, 4, 5, tentukan persentil ke-30 dan persentil ke-75.
Penyelesaian :
Data diurutkan: 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 10, 11
ada 10 data ($n=10$)
*). Letak persentil ke-30 dan nilainya :
$\begin{align} P_i & = X_{\frac{i}{100}(n+1)} \\ P_{30} & = X_{\frac{30}{100}(10+1)} \\ & = X_{3,3} \\ & = x_3 + 0,3 (x_4 - x_3) \\ & = 5 + 0,3 (6 - 5) \\ & = 5 + 0,3 \\ & = 5,3 \end{align} $
*). Letak persentil ke-75 dan nilainya :
$\begin{align} P_i & = X_{\frac{i}{100}(n+1)} \\ P_{75} & = X_{\frac{75}{100}(10+1)} \\ & = X_{8,25} \\ & = x_8 + 0,25 (x_9 - x_8) \\ & = 9 + 0,25 (10 - 9) \\ & = 9 + 0,25 \\ & = 9,25 \end{align} $
Jadi, nilai persentil ke-30 adalah 5,3 dan desil ke-75 adalah 9,25.

$\spadesuit $ Persentil Data Berkelompok
       Langkah-langkah menentukan Persentil berkelompok :
1). Tentukan letak Persentil (kelas persentil) dengan rumus :
              Letak $ \begin{align} P_i = \text{data ke-} \frac{i}{100}(n+1) \end{align} $
dengan $ i = 1, \, 2, \, 3, \, ..., 99$ dan $ n \, $ adalah banyak datum(total frekuensi).
2). Hitung desil dengan rumus :
              $ \begin{align} P_i = Tb_{i} + \left( \frac{\frac{i}{100}n - Fks_i}{f_i} \right)p \end{align} $
Keterangan :
$ Tb_{i} = \, $ tepi bawah kelas persentil ke-$i$
$ Fks_i = \, $ frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-$i$
$ f_i = \, $ frekuensi kelas persentil ke-$i$
$ p = \, $ panjang kelas (lebar interval kelas)
$ i = 1, 2, 3, ...,99 $
Rumus panjang kelas :
$ p = (\text{tepi atas } - \text{ tepi bawah}) \, \, \, \, \, \, $ atau
$ p = (\text{batas atas } - \text{ batas bawah} + 1 )$

Rumus persentil bisa dijabarkan sebagai berikut :
Persentil ke-1 : $ i = 1 \rightarrow \begin{align} P_1 = Tb_{1} + \left( \frac{\frac{1}{100}n - Fks_1}{f_1} \right)p \end{align} $
Persentil ke-2 : $ i = 2 \rightarrow \begin{align} P_2 = Tb_{2} + \left( \frac{\frac{2}{100}n - Fks_2}{f_2} \right)p \end{align} $
dan seterusnya ...............,
Persentil ke-99 : $ i = 99 \rightarrow \begin{align} P_{99} = Tb_{99} + \left( \frac{\frac{99}{100}n - Fks_{99}}{f_{99}} \right)p \end{align} $

Contoh :
Tentukan nilai persentil ke-60 dari data pada Tabel berikut ini :
Penyelsaian :
*).Menentukan letak persentil ke-60 :
total frekuensinya 40 ($n=40$).
*). Letak $ P_{60} $ = data ke- $ \left[\frac{60}{100}(n+1) \right] $ = data ke- $ \left[\frac{60}{100}(40+1) \right] $ = data ke-24,6
artinya dilihat dari frekuensi kumulatif, $ P_{60} $ terletak pada kelas ke-3 yaitu interval 51 - 55.
(karena kelas 51 - 55 memuat data ke-10, 11, 12, 13, ..., 25).
Menentukan unsur-unsur lainnya :
tepi bawah : $ Tb_{60} = 51 - 0,5 = 50,5 $
$ Fks_{60} = 3 + 6 = 9 $
$ f_{60} = 16 \, , \, $ dan $ p = 55 - 51 + 1 = 5 $
$ \begin{align} P_{60} & = Tb_{60} + \left( \frac{\frac{60}{100}n - Fks_{60}}{f_{60}} \right)p = 50,5 + \left( \frac{\frac{60}{100}.40 - 9}{16} \right).5 \\ & = 50,5 + \left( \frac{24 - 9}{16} \right).5 = 50,5 + \left( \frac{15}{16} \right).5 = 50,5 + 4,6875 = 55,1875 \end{align} $
Jadi, nilai persentil ke-60 adalah 55,1875.

1 komentar:

Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.