Perubahan Data secara tidak beraturan
Perubahan data secara tidak beraturan yang dimaksud adalah setiap data dioperasikan ($+,-,\times , :$) dengan bilangan tertentu
yang berbeda-beda setiap datumnya. Untuk perubahan data secara tidak beraturan, biasanya ada kaitannya dengan barisan dan deret aritmetika atau geometri,
terutama yang berkaitan dengan jumlah $ n $ suku pertamanya.
Rumus dasar jumlah $ n $ suku pertama deret :
Deret aritmetika : $ \begin{align} s_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) \end{align} $
dengan $ a = \, $ suku pertama dan $ b = \, $ beda, $ b = u_2 - u_1 = u_3 - u_2 = .... $
Deret Geometri : $ \begin{align} s_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1} \end{align} $
dengan $ a = \, $ suku pertama dan $ r = \, $ rasio, $ r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{u_3}{u_2} = .... $
Rumus dasar jumlah $ n $ suku pertama deret :
Deret aritmetika : $ \begin{align} s_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) \end{align} $
dengan $ a = \, $ suku pertama dan $ b = \, $ beda, $ b = u_2 - u_1 = u_3 - u_2 = .... $
Deret Geometri : $ \begin{align} s_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1} \end{align} $
dengan $ a = \, $ suku pertama dan $ r = \, $ rasio, $ r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{u_3}{u_2} = .... $
Contoh :
1). Diketahui 10 data ulangan matematika $ x_1, x_2, x_3, ..., x_{10} \, $ dengan rata-ratanya $ a $ . Jika data diubah menjadi $ x_1 + 1, x_2 + 3, x_3 + 5, x_4 + 7, .... , \, $ tentukan nilai rata-rata baru dari data tersebut!
Penyelesaian :
*). Diketahui rata-rata data $ x_1, x_2, x_3, ..., x_{10} \, $ adalah $ a $
$ \begin{align} \overline{x} & = a \\ \frac{x_1+x_2+x_3+ ... +x_{10}}{10} & = a \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
*). Menentukan rata-rata data barunya $ x_1 + 1, x_2 + 3, x_3 + 5, x_4 + 7, .... , \, $ dengan menggunakan pers(i) juga
$ \begin{align} \overline{x}_\text{baru} & = \frac{(x_1+1)+(x_2+3)+(x_3+5)+ ... . +(x_{10} + ...) }{10} \\ & = \frac{(x_1+x_2+x_3+ ... +x_{10})+(1 + 3 + 5 + 7 +...) }{10} \\ & = \frac{(x_1+x_2+x_3+ ... +x_{10})}{10} + \frac{(1 + 3 + 5 + 7 +...) }{10} \\ & = a + \frac{(1 + 3 + 5 + 7 +...) }{10} \\ & = a + \frac{s_{10} \, \text{ deret aritmetika} }{10} \\ & = a + \frac{ \frac{10}{2}(2.1 + (10-1).2) }{10} \\ & = a + \frac{ \frac{\not{10}}{2}(2 + 9.2) }{\not{10}} \\ & = a + \frac{1}{2}(2 + 18) \\ & = a + \frac{1}{2}(20) \\ & = a + 10 \end{align} $
Jadi, rata-rata baru data tersebut adalah $ a + 10 $
2). Suatu data yang terdiri dari 6 datum $ x_1, x_2, ...x_6 \, $ mempunyai rata-rata $ b \, $ . Jika setiap data diubah menjadi $ x_1 - 1, x_2 - 2, x_3 - 4, ..., x_6 - 32 \, $ , tentukan rata-rata barunya !
Penyelesaian :
*). Diketahui rata-rata data $ x_1, x_2, x_3, ..., x_6 \, $ adalah $ b $
$ \begin{align} \overline{x} & = b \\ \frac{x_1+x_2+x_3+ ... +x_6}{6} & = b \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
*). Menentukan rata-rata data barunya $ x_1 - 1, x_2 - 2, x_3 - 4, ..., x_6 - 32 \, $ dengan menggunakan pers(i) juga
$ \begin{align} \overline{x}_\text{baru} & = \frac{(x_1-1)+(x_2-2)+(x_3-4)+ ... . +(x_6 -32) }{6} \\ & = \frac{(x_1+x_2+x_3+ ... +x_6)+((-1) + (-2) + (-4) +... + (-32)) }{6} \\ & = \frac{(x_1+x_2+x_3+ ... +x_6)}{6} + \frac{-(1 + 2 + 4 +...+32) }{6} \\ & = b - \frac{(1 + 2 + 4 +...+32) }{6} \\ & = b - \frac{s_{6} \, \text{ deret geometri} }{6} \\ & = b - \frac{ \frac{1(2^6 - 1)}{2-1} }{6} \\ & = b - \frac{ \frac{(64 - 1)}{1} }{6} \\ & = b - \frac{63}{6} \\ & = b - 10\frac{1}{2} \\ & = b - 10,5 \end{align} $
Jadi, rata-rata baru data tersebut adalah $ b - 10,5 $
Perubahan Data secara beraturan
Perubahan data secara beraturan yang dimaksud adalah setiap data dioperasikan ($+,-,\times , :$) dengan bilangan tertentu
yang sama setiap datumnya. Untuk perubahan data secara beraturan, pengerjaannya biasanya lebih mudah.
Menyelesaikan perubahan data secara beraturan :
Untuk perubahan data secara beraturan, pengukuran data kita bagi menjadi dua yaitu yang pertama ukuran pemusatan dan ukuran letak data, dan yang kedua ukuran penyebaran.
$\clubsuit $ Pengukuran pertama : ukuran pemusatan dan letak data yang terdiri dari Mean (rata-rata), modus, median, kuartil, desil, dan persentil.
Untuk pengukuran jenis pertama ini, nilanya berubah untuk semua jenis operasi($+,-,\times , :$).
$\clubsuit $ Pengukuran kedua : ukuran penyebaran yang terdiri dari jangkauan, simpangan, dan ragam.
Untuk pengukuran jenis kedua ini, nilainya berubah hanya untuk operasi perkalian ($\times$) dan pembagian ($:$).
Untuk Caranya : NGIKUT SOAL.
Berikut tabel ringkas perubahan data untuk semua jenis pengukuran :
Menyelesaikan perubahan data secara beraturan :
Untuk perubahan data secara beraturan, pengukuran data kita bagi menjadi dua yaitu yang pertama ukuran pemusatan dan ukuran letak data, dan yang kedua ukuran penyebaran.
$\clubsuit $ Pengukuran pertama : ukuran pemusatan dan letak data yang terdiri dari Mean (rata-rata), modus, median, kuartil, desil, dan persentil.
Untuk pengukuran jenis pertama ini, nilanya berubah untuk semua jenis operasi($+,-,\times , :$).
$\clubsuit $ Pengukuran kedua : ukuran penyebaran yang terdiri dari jangkauan, simpangan, dan ragam.
Untuk pengukuran jenis kedua ini, nilainya berubah hanya untuk operasi perkalian ($\times$) dan pembagian ($:$).
Untuk Caranya : NGIKUT SOAL.
Berikut tabel ringkas perubahan data untuk semua jenis pengukuran :
Kasus khusus Perubahan Data secara beraturan
Misalkan ada suatu data yang memiliki rata-rata $ p, \, $ mediannya $ q, \, $ jangkauannya $ r . \, $
Kemudian setiap nilai pada data diubah seperti berikut, setelah itu kita akan menentukan rata-rata barun, median baru, dan jangkauan baru.
*). Pertaman data dubah dengan setiap nilai (datum) ditambahkan $ a \, $ , maka diperoleh :
Rata-rata baru = $ p + a $
Median baru = $ q + a $
Jangkauan baru = $ r $
Sedangkan jangkauannya tetap karena ukuran penyebaran hanya berubah untuk operasi perkalian dan pembagian.
*). Kedua data diubah dengan setiap datum dikurangkan $ a \, $ kemudian hasilnya dikalikan $ b $ . Kita peroleh :
Operasinya dikurang dulu baru dikali (ngikut soal),
Rata-rata baru = $ (p - a) \times b $
Median baru = $ (q - a) \times b $
Jangkauan baru = $ r \times b \ , $ (yang berpengaruh hanya perkalian dan pembagian).
*). Ketiga data diubah dengan setiap datum ditambah $ a, \, $ kemudian dikali $ b , \, $ dan selanjutnya dibagi $ c \, $ , kita peroleh :
Operasinya ditambah dulu, kemudian dikali, dan terakhir dibagi.
Rata-rata baru = $ [(p + a) \times b ] : c $
Median baru = $ [(q + a) \times b ] : c $
Jangkauan baru = $ (r \times b ) : c \, $ (yang berpengaruh hanya perkalian dan pembagian).
Begitu seterusnya, catatan penting yang diingat adalah caranya NGIKUT SOAL, maksudnya operasinya mengikut perintah pada soal.
*). Pertaman data dubah dengan setiap nilai (datum) ditambahkan $ a \, $ , maka diperoleh :
Rata-rata baru = $ p + a $
Median baru = $ q + a $
Jangkauan baru = $ r $
Sedangkan jangkauannya tetap karena ukuran penyebaran hanya berubah untuk operasi perkalian dan pembagian.
*). Kedua data diubah dengan setiap datum dikurangkan $ a \, $ kemudian hasilnya dikalikan $ b $ . Kita peroleh :
Operasinya dikurang dulu baru dikali (ngikut soal),
Rata-rata baru = $ (p - a) \times b $
Median baru = $ (q - a) \times b $
Jangkauan baru = $ r \times b \ , $ (yang berpengaruh hanya perkalian dan pembagian).
*). Ketiga data diubah dengan setiap datum ditambah $ a, \, $ kemudian dikali $ b , \, $ dan selanjutnya dibagi $ c \, $ , kita peroleh :
Operasinya ditambah dulu, kemudian dikali, dan terakhir dibagi.
Rata-rata baru = $ [(p + a) \times b ] : c $
Median baru = $ [(q + a) \times b ] : c $
Jangkauan baru = $ (r \times b ) : c \, $ (yang berpengaruh hanya perkalian dan pembagian).
Begitu seterusnya, catatan penting yang diingat adalah caranya NGIKUT SOAL, maksudnya operasinya mengikut perintah pada soal.
Contoh :
1). Diketahui suatu data memiliki rata-rata 6 dan jangkauan 9. Jika setiap data ditambahkan 2 dan hasilnya dikalikan dengan 5, tentukan nilai rata-rata dan jangkauan baru yang terbentuk.!
Penyelesaian :
*). Ingat, rata-rata akan berubah untuk semua operasi.
Rata-rata baru = $ (\text{rata-rata awal } + 2) \times 5 = (6 + 2) \times 5 = 8 \times 5 = 40 $
*). Ingat, jangkauan hanya berubah untuk operasi perkalian dan pembagian.
Jangkauan baru = $ \text{jangkauan awal } \times 5 = 9 \times 5 = 45 $
2). Suatu data memiliki rata-rata 3, mediannya 9, modusnya 7, kuartil pertamanya 2, jangkauannya 15, dan simpangan rata-ratanya 5. Kemudian setiap data dikalikan -2, selanjutnya ditambahkan 8, dan selanjutnya dibagi 4. Tentukan semua nilai rata-rata, median, modus, kuartil pertama, jangkauan, dan simpangan rata-rata barunya!
Penyelesaian :
Operasinya : kali -2, kemudian ditambahkan 8, dan dibagi 4.
*). Ingat, ukuran pemusatan dan ukuran letak data berubah untuk semua operasi.
Rata-rata baru = $ [(3 \times (-2)) + 8 ] : 4 = 2 : 4 = \frac{1}{2} $
Median baru = $ [(9 \times (-2)) + 8 ] : 4 = (-10) : 4 = -\frac{5}{2} $
Kuartil pertama baru = $ [(2 \times (-2)) + 8 ] : 4 = 4 : 4 = 1 $
*). Ingat, ukuran penyebaran data berubah untuk operasi perkalian dan pembagian.
Jangkauan baru = $ (15 \times (-2)) : 4 = (-30) : 4 = - \frac{15}{2} $
Simpangan rata-rata baru = $ (5 \times (-2)) : 4 = (-10) : 4 = - \frac{5}{2} $
3). Suatu data memiliki rata-rata 5 dan jangkauan 3. Setiap data dikalikan $ y \, $ kemudian hasilnya dikurangkan dengan $ x $ , diperoleh rata-rata barunya 10 dan jangkauan barunya 9. Tentukan nilai $ x + y $ ?
Penyelesaian :
*). Permisalan nilai pengukurannya :
$ \overline{x}_{awal} = \, $ rata-rata awal, $ \overline{x}_{awal} = 5 $
$ \overline{x}_{baru} = \, $ rata-rata baru , $ \overline{x}_{baru} = 10 $
$ j_{awal} = \, $ jangkauan awal, $ j_{awal} = 3 $
$ j_{baru} = \, $ jangkauan baru, $ j_{baru} = 9 $
*). Menyusun persamaan dari perubahan data,
Operasinya : dikali $ y \, $ kemudian dikurangkan $ x $
Rata-rata : $ \overline{x}_{baru} = ( \overline{x}_{awal} \times y) - x $
$ 10 = 5y - x \, $ ....pers(i)
Jankauan : $ j_{baru} = j_{awal} \times y $
$ 9 = 3y \rightarrow y = \frac{9}{3} \rightarrow y = 3 $
Pers(i) : $ 10 = 5y - x \rightarrow 10 = 5 \times 3 - x \rightarrow x = 15 - 10 = 5 $
Sehingga nilai $ x + y = 5 + 3 = 8 $
Jadi, nilai $ x + y = 8 $.
