Berkas Lingkaran

         Blog Koma - Kali ini kita akan mempelajari materi berkas lingkaran. Sebelum mempelajarinya, sebaiknya baca dulu materi yang terkait yaitu "persamaan lingkaran", dan "garis kuasa".

Berkas Lingkaran
       Berkas lingkaran adalah lingkaran-lingkaran yang dibuat melalui perpotongan dua lingkaran. Misalkan lingkaran L1 dan L2 berpotongan dititik P dan Q, maka persamaan berkas lingkaran yang melalui titik P dan Q adalah :

         $ L_1 + \lambda L_2 = 0 \, $ atau $ L_1 + \lambda k = 0 \, $ atau $ L_2 + \lambda k = 0 $

Keterangan :
$ k \, $ adalah garis kuasa lingkaran L1 dan L2.
$ \lambda \, $ adalah konstanta tertentu.
Jika $ \lambda = -1 , \, $ maka persamaan berkas menjadi $ L_1 - L_2 = 0 \, $ yang merupakan persamaan garis kuasa.

Ilustrasi gambar berkas lingkaran dari lingkaran L1 dan L2.
Karena $ \lambda \, $ merupakan suatu konstanta yang tak hingga banyaknya, maka persamaan lingkaran yang terbentuk juga banyak tergantung nilai $ \lambda \, $ . Untuk lebih jelas, perhatikan gambar berkas lingkaran berikut ini.
Contoh :
1). Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik potong kedua lingkaran
$ L_1 : \, x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11 = 0 \, $ dan $ L_2: \, x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4 = 0 $
serta melalui titik (1,1)?
Penyelesaian :
*). Menyusun persamaan berkas lingkarannya.
$ \begin{align} L_1 + \lambda L_2 & = 0 \\ (x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11) + \lambda (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) & = 0 \end{align} $
*). Lingkaran melalui titik (1,1), substitusi titik tersebut ke persamaan berkas lingkaran yang diperoleh,
$ \begin{align} (x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11) + \lambda (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) & = 0 \\ (1^2 + 1^2 + 4.1 - 2.1 - 11) + \lambda (1^2 + 1^2 - 6.1 - 4.1 + 4) & = 0 \\ (1 + 1 + 4 - 2 - 11) + \lambda (1 + 1 - 6 - 4 + 4) & = 0 \\ (-7) + \lambda (-4) & = 0 \\ \lambda & = - \frac{7}{4} \end{align} $
*). Substitusi nilai $ \lambda = - \frac{7}{4} \, $ ke persamaan berkas,
$ \begin{align} (x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11) + \lambda (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) & = 0 \\ (x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11) + \left( - \frac{7}{4} \right) (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) & = \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ (4x^2 + 4y^2 + 16x - 8y - 44) + (-7) (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) & = 0 \\ 4x^2 + 4y^2 + 16x - 8y - 44 - 7x^2 - 7y^2 + 42x + 28y - 28 & = 0 \\ - 3x^2 - 3y^2 + 58x + 20y - 72 & = 0 \, \, \, \, \text{(kali -1)} \\ 3x^2 + 3y^2 - 58x - 20y + 72 & = 0 \end{align} $

Jadi, persamaan lingkarannya adalah $ 3x^2 + 3y^2 - 58x - 20y + 72 = 0 $

2). Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik potong kedua lingkaran
$ L_1 : \, x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11 = 0 \, $ dan $ L_2: \, x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4 = 0 $
serta memiliki titik pusat $ \left( \frac{1}{2}, \frac{3}{2} \right) $
Penyelesaian :
*). Menyusun persamaan berkas lingkarannya.
$ \begin{align} L_1 + \lambda L_2 & = 0 \\ (x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11) + \lambda (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) & = 0 \\ x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11 + \lambda x^2 + \lambda y^2 - 6\lambda x - 4 \lambda y + 4 \lambda & = 0 \\ (1+\lambda )x^2 + (1 + \lambda )y^2 + (4 - 6\lambda )x - (2 + 4 \lambda ) y - ( 11 - 4 \lambda ) & = 0 \\ x^2 + y^2 + \left( \frac{4 - 6\lambda }{1+\lambda} \right) x - \left( \frac{2 + 4 \lambda }{1+\lambda} \right) y - \frac{ 11 - 4 \lambda }{1+\lambda} & = 0 \end{align} $
Sehingga pusat lingkarannnya adalah :
Pusat $ (a,b) = \left( -\frac{A}{2}, - \frac{B}{2} \right) = \left( -\frac{4 - 6\lambda }{2(1+\lambda )} , \frac{2 + 4 \lambda }{2(1+\lambda )} \right) $
Sementara di soal diketahui pusatnya adalah $ \left( \frac{1}{2}, \frac{3}{2} \right) $ ,
Artinya nilai kedua pusat adalah sama, sehingga
$ -\frac{4 - 6\lambda }{2(1+\lambda )} = \frac{1}{2} \rightarrow -8 + 12 \lambda = 2 + 2 \lambda \rightarrow \lambda = 1 $
*). Substitusi nilai $ \lambda = 1 \, $ ke persamaan berkas lingkaran,
$ \begin{align} (x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11) + \lambda (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) & = 0 \\ (x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11) + 1 . (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) & = 0 \\ x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11 + x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4 & = 0 \\ 2x^2 + 2y^2 - 2x - 6y - 7 & = 0 \end{align} $

Jadi, persamaan lingkarannya adalah $ 2x^2 + 2y^2 - 2x - 6y - 7 = 0 $

3). Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat pada garis $ x+y=5 $ dan melalui titik potong kedua lingkaran $x^2+y^2-2x-2y=34 \, $ dan $ x^2+y^2+8x-2y-100=0 \, $ ?
Penyelesaian :
*). Menyusun persamaan berkasnya :
$ \begin{align} L_1 + \lambda L_2 & = 0 \\ (x^2+y^2-2x-2y - 34) + \lambda (x^2+y^2+8x-2y-100) & = 0 \\ (1 + \lambda ) x^2 + (1 + \lambda ) y^2 - (2 - 8 \lambda ) x - (2 + 2 \lambda ) y - (34 + 100 \lambda ) & = 0 \\ x^2 + y^2 - \frac{(2 - 8 \lambda )}{(1 + \lambda )} x - \frac{(2 + 2 \lambda )}{(1 + \lambda )} y - \frac{(34 + 100 \lambda )}{(1 + \lambda )} & = 0 \end{align} $
Sehingga pusat lingkarannya adalah
Pusat $ (a,b) = \left( -\frac{A}{2}, - \frac{B}{2} \right) = \left( \frac{(1 - 4 \lambda )}{(1 + \lambda )} , \frac{(1 + \lambda )}{(1 + \lambda )} \right) = \left( \frac{(1 - 4 \lambda )}{(1 + \lambda )} , 1 \right)$
*). Pusat lingkaran terletak pada garis $ x + y = 5 , \, $ substitusi titik pusat ke garis ini,
$ \begin{align} x + y & = 5 \\ \frac{(1 - 4 \lambda )}{(1 + \lambda )} + 1 & = 5 \\ \frac{(1 - 4 \lambda )}{(1 + \lambda )} & = 4 \\ 1 - 4 \lambda & = 4 (1 + \lambda ) \\ 1 - 4 \lambda & = 4 + 4\lambda \\ \lambda & = - \frac{3}{8} \end{align} $
*). Substitusi nilai $ \lambda = - \frac{3}{8} \, $ ke persamaan berkas lisngkaran,
$ \begin{align} (x^2+y^2-2x-2y - 34) + \lambda (x^2+y^2+8x-2y-100) & = 0 \\ (x^2+y^2-2x-2y - 34) + (- \frac{3}{8}). (x^2+y^2 +8x-2y-100) & = 0 \, \, \, \, \text{(kali 8) } \\ (8x^2+8y^2-16x-16y - 272) + (-3x^2-3y^2 -24x+6y+300) & = 0 \\ 5x^2 + 5y^2 - 40x - 10 y + 28 & = 0 \end{align} $

Jadi, persamaan lingkarannya adalah $ 5x^2 + 5y^2 - 40x - 10y + 28 = 0 . $

5 komentar:

  1. Komentar ini telah dihapus oleh pengarang.

    BalasHapus
    Balasan
    1. Hallow @Pandu,

      Terima kasih untuk koreksinya untuk ketidaklengkapan jawabannya.

      Sudah kami perbaiki.

      Tetap semangat belajar.

      Hapus
  2. Ka, kalau boleh tau pembuktian rumus berkas lingkaran itu kaya gmn ya?

    BalasHapus
    Balasan
    1. Hallow @Kirito,

      Terimakasih untuk pertanyaannya.

      Untuk pembuktiannya, berikut saya berikan salah satu alternatif pembuktiannya:

      Perhatian pernyataan berikut :
      "Kombinasi dua persamaan lingkaran pasti membentuk persamaan lingkaran juga, misalkan $ L_1 + nL_2 $ atau $ mL_1 + L_2 $ atau $ mL_1 + nL_2 $. Begitu juga kombinasi persamaan lingkaran dan persamaan garis kuasanya."

      Pertanyaan mendasarnya :
      Kedua lingkaran berpotongan pada dua titik misalkan di $ A(x_1,y_1) $ dan $ B(x_2,y_2) $, sesuai definisi yaitu berkas lingkaran adalah persamaan lingkaran yang juga melalui kedua titik tersebut. Nah pertanyaannya, apakah benar persamaan berkas lingkaran tersebut melalui kedua titik A dan B tersebut? Itu yang akan kita buktikan.

      *). Misalkan kedua lingkaran tersebut :
      $ L_1 : x^2 + y^2 + A_1x + B_1y + C_1 = 0 $
      $ L_2 : x^2 + y^2 + A_2x + B_2y + C_2 = 0 $
      *). Karena titik $ A(x_1,y_1) $ dan $ B(x_2,y_2) $ dilalui oleh kedua lingkaran (perpotongannya), maka kedua titik memenuhi kedua persamaan lingkaran. Substitusi kedua titik ke persamaan lingakarannya :
      -). Titik $ A(x_1,y_1) $
      $ L_1 : x_1^2 + y_1^2 + A_1x_1 + B_1y_1 + C_1 = 0 $
      $ L_2 : x_1^2 + y_1^2 + A_2x_1 + B_2y_1 + C_2 = 0 $
      -). Titik $ B(x_2,y_2) $
      $ L_1 : x_2^2 + y_2^2 + A_1x_2 + B_1y_2 + C_1 = 0 $
      $ L_2 : x_2^2 + y_2^2 + A_2x_2 + B_2y_2 + C_2 = 0 $

      Keempat persamaan di atas akan kita gunakan untuk pembuktian.

      Sebelum ke arah pembuktian, perlu kita cermati arah pembuktian kita yaitu :
      1). Suatu titik dilalui oleh lingkaran maka titik tersebut memenuhi persamaannya.
      2). Persamaan berkas lingkaranya : $ L_1 + nL_2 = 0 $ dengan $ n $ adalah konstanta tertentu.
      3). Kita akan membuktikan titik A dan B memenuhi persamaan $ L_1 + nL_2 = 0 $ atau bisa kita bilang jika kedua titik disubstitusikan ke persamaan berkas lingkarannya maka hasilnya sama dengan nol.

      Pembuktian :
      -). Titik $ A (x_1,y_1) $ :
      $ \begin{align}
      L_1 + nL_2 & = 0 \\
      x^2 + y^2 + A_1x + B_1y + C_1 +n(x^2 + y^2 + A_2x + B_2y + C_2) & = 0 \\
      (x_1^2 + y_1^2 + A_1x_1 + B_1y_1 + C_1) +n(x_1^2 + y_1^2 + A_2x_1 + B_2y_1 + C_2) & = 0 \\
      0 + n.(0) & = 0 \\
      0 + 0 & = 0 \\
      0 & = 0
      \end{align} $
      Karena nilai ruas kiri sama dengan ruas kanan ($ 0 = 0 $) , maka terbukti bahwa titik $ A(x_1,y_1) $ dilalui oleh persamaan berkas lingkaran $ L_1 + nL_2 = 0 $.

      -). Titik $ B(x_2,y_2) $ :
      Silahkan dibuktikan mirip seperti titik $ A(x_1,y_1) $ di atas ya.

      Jadi dapat kita simpulkan persamaan berkas lingkaran $ L_1+nL_2 = 0 $ melalui kedua titik A dan B.

      Seperti itu sedikit penjelasannya.

      Terimakasih juga untuk kunjungannya ke blog koma ini.

      semoga terus bisa bermanfaat.

      Hapus
  3. Terima kasih sangat bermanfaat...^^

    BalasHapus