Sifat- sifat Determinan dan Invers Matriks

         Blog Koma - Sifat- sifat Determinan dan Invers Matriks akan membantu kita dalam menyelesaikan soal-soal yang ada kaitannya dengan determinan dan invers matriks dengan lebih mudah. Untuk materi dasar tentang determinan dan invers, sobat bisa langsung baca artikel "Determinan dan Invers Matriks" .
         Bahkan dengan Sifat-sifat determinan dan invers matriks akan mampu membantu kita mempercepat dalam menyelesaikan suatu soal-soal yang berkaitan dengan determinan dan invers. Untuk soal-soal seleksi masuk perguruan tinggi, banyak sekali soal-soal matriks harus kita selesaikan dengan sifat-sifatnya. Jadi, penting bagi teman-teman untuk menguasai sifat-sifat determinan dan invers matriks.

Sifat-sifat determinan matriks
     Misalkan ada matriks A, B, dan C yang memiliki nilai determinan. Berikut beberapa sifat-sifat determinan :
1). $ |A^t| = |A| $
2). $ |A.B| = |A| . |B| $
3). $ |A^n| = |A|^n $
4). $ |A^{-1}| = \frac{1}{|A|} $
5). $ |k \times A_{m\times m}| = k^m \times |A| $

Untuk sifat nomor 2, bisa juga diperumum untuk perkalian lebih dari dua matriks, misalkan $ |A.B.C| = |A|.|B|.|C| $ dan seterusnya.

Contoh :
1). Diketahui matriks $ A = \left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 5 & 3 \end{matrix} \right) \, $ dan $ B = \left( \begin{matrix} -2 & -1 \\ -3 & 1 \end{matrix} \right) $
Tentukan nilai dari
a). $ |A| \, $ dan $ |B| $
b). $ |A^t| $
c). $ |A.B| $
d). $ |A^5| $
e). $ |A^{-1}| $
f). $ |3A| $
Penyelesaian : Kita akan menggunakan sifat-sifat determinan
a). $ |A| = 4.3 - 2.5 = 12 - 10 = 2 \, $ dan $ |B| = (-2).1 - (-1).(-3) = -2 - 3 = -5 $
b). untuk menentukan nilai $ |A^t| \, $ kita menggunakan sifat nomor 1, artinya determinan transpsosenya sama dengan determinan matriks awalnya.
sehingga $ |A^t| = |A| = 2 $
c). Sifat determinan nomor 2, artinya kita tidak perlu mencari hasil perkalian $ AB \, $ lalu mencari determinannya.
sehingga $ |A.B| = |A|.|B| = 2 . (-5) = -10 $
d). Kita tidak perlu mencari nilai $ A^5 \, $ , langsung menggunakan sifat nomor 3.
sehingga $ |A^5| = |A|^5 = 2^5 = 32 $
e). sifat nomor 4, kita tidak perlu mencari nilai $ A^{-1} \, $ (inversnya).
sehingga $ |A^{-1}| = \frac{1}{|A|} = \frac{1}{2} $
f). Sifat nomor 5 , kita tidak mengalikan 3 dengan matriks A.
sehingga $ |3A_{2 \times 2}| = 3^2 . |A| = 9 . 2 = 18 $

2). Suatu matriks A berordo $ 3 \times 3 \, $ memiliki nilai determinan 5, tentukan nilai determinan 2A ?
Penyelesaian :
Berdasarkan sifat nomor 5,
$ |2A| = |2A_{3 \times 3} | = 2^3 . |A| = 8 . 5 = 40 $
Jadi, determinan matriks 2A adalah 40.

3). Dari persamaan matriks berikut
$ \left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 5 & 3 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right) A \left( \begin{matrix} 2 & 2 \\ 1 & 6 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 0 & 10 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 0 & 3 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right) $
tentukan nilai determinan matriks A ?
Penyelesaian :
         Untuk menyelesaikan soal ini, kita tidak perlu mencari matriks A terlebih dahulu karena akan sulit dan butuh waktu yang lama. Kita langsung menggunakan sifat determinan nomor 2 dengan cara ruas kiri dan ruas kanan kita kasih determinan.
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 5 & 3 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right) A \left( \begin{matrix} 2 & 2 \\ 1 & 6 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 0 & 10 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 0 & 3 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right) \\ \left| \left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 5 & 3 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right) A \left( \begin{matrix} 2 & 2 \\ 1 & 6 \end{matrix} \right) \right| & = \left| \left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 0 & 10 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 0 & 3 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right) \right| \\ \left| \begin{matrix} 4 & 2 \\ 5 & 3 \end{matrix} \right| . \left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right| . \left|A \right| .\left| \begin{matrix} 2 & 2 \\ 1 & 6 \end{matrix} \right| & = \left| \begin{matrix} 4 & 2 \\ 0 & 10 \end{matrix} \right|.\left| \begin{matrix} 0 & 3 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right| \\ (4.3-2.5).(1.3-2.2).|A|.(2.6-2.1) & = (4.10-0.2).(0.3-3.1) \\ (12-10).(3-4).|A|.(12-2) & = (40 - 0).(0 - 3) \\ 2.(-1).|A|.(10) & = (40).(- 3) \\ (-20).|A| & = -120 \\ |A| & = \frac{-120}{-20} = 6 \end{align} $
Jadi, nilai determinan matriks A adalah 6.

Sifat-sifat invers matriks
     Misalkan ada matriks A, B, dan C yang memiliki invers serta I adalah matriks identitas. Berikut beberapa sifat-sifat invers :
1). $ (A^{-1})^{-1} = A $
2). $ A^{-1} . A = A.A^{-1} = I $
3). $ AB = I \, $ artinya A dan B saling invers yaitu $ A^{-1} = B \, $ dan $ B^{-1} = A $
4). $ (AB)^{-1} = B^{-1} . A^{-1} $
5). $ AB = C \, \text{ maka } \, \left\{ \begin{array}{c} A = C.B^{-1} \\ B = A^{-1} . C \end{array} \right. $

Contoh :
1). Dari persamaan matriks $ \left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 5 & 3 \end{matrix} \right) X = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right) \, $ tentukan matriks X yang berordo $ 2 \times 2 \, $ ?
Penyelesaian :
         Untuk menyelesaikan soal ini kita menggunakan sifat nomor 5 pada sifat-sifat invers yaitu $ AB = C \rightarrow B = A^{-1}. C $
langsung kita gunakan sifat nomor 5.
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 5 & 3 \end{matrix} \right) X & = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right) \\ X & = \left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 5 & 3 \end{matrix} \right)^{-1} . \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right) \, \, \, \, \text{ (menentukan invers)} \\ X & = \frac{1}{4.3 - 2.5} . \left( \begin{matrix} 3 & -2 \\ -5 & 4 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right) \\ X & = \frac{1}{2} . \left( \begin{matrix} 3 & -2 \\ -5 & 4 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right) \, \, \, \, \text{ (menentukan perkalian)} \\ X & = \frac{1}{2} . \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{matrix} \right) \\ X & = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{-1}{2} & 1 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, diperoleh mariks $ X = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{-1}{2} & 1 \end{matrix} \right) $

2). Diketahui matriks $ A = \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) \, $ dan $ B^{-1} = \left( \begin{matrix} 4 & 1 \\ 5 & 6 \end{matrix} \right) \, , $ tentukan nilai $ (A^{-1}. B)^{-1} $
Penyelesaian :
         Kita menggunakan sifat nomor 1 dan nomor 4 pada sifat-sifat invers
$ \begin{align} (A^{-1}. B)^{-1} & = (B)^{-1} . (A^{-1})^{-1} \, \, \, \, \text{(sifat nomor 4)} \\ & = (B)^{-1} . A \, \, \, \, \text{(sifat nomor 1)} \\ & = \left( \begin{matrix} 4 & 1 \\ 5 & 6 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 14 & 1 \\ 27 & 6 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, diperoleh hasil $ (A^{-1}. B)^{-1} = \left( \begin{matrix} 14 & 1 \\ 27 & 6 \end{matrix} \right) $

         Dari contoh soal-soal dan pembahasan di atas, tentu kita berpikir bahwa dengan menggunakan sifat-sifat determinan dan invers matriks akan sangat memudahkan kita dalam menyelesaikan soal-soalnya. Untuk pendalaman penggunaan sifat-sifatnya, silahkan teman-teman baca dan latihan pada kumpulan soal-soal matriks seleksi masuk perguruan tinggi.

10 komentar:

  1. itu yang no 3 jawabanya bukan -6?

    BalasHapus
    Balasan
    1. Hallow @taufan,

      Terima kasih untuk kunjungannya ke blog koma ini.

      COba di cek lagi jawaban no.3 di atas, kalau menurut saya sudah tepat 6 (negatif bagi negatif hasilnya positif).

      SIlahkan cek lagi sekali, saya sudah cek beberapa kali tetap hasilnya positif 6.

      Terima kasih. Semangat belajar.

      Hapus
  2. Untuk nomor1 yang invers matriks ,matriks (3 -2) dari mana ya ?
    -5 4

    BalasHapus
    Balasan
    1. Hallow @Ganendra,

      Terimakasih untuk pertanyaannya.

      Matriks $ \left( \begin{matrix} 3 & -2 \\ -5 & 4 \end{matrix} \right) $ diperoleh dari adjoin matriks $ \left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 5 & 3 \end{matrix} \right) $.

      SIlahkan pelajari lagi matri invers matriks ordo $ 2 \times 2 $ ya.

      Terimakasih untuk kunjungannya ke blog koma ini.

      Selamat belajar.

      Hapus
  3. Website matemtika paling keren,makasih bang ilmunya,tetep selalu post ya :D

    BalasHapus
    Balasan
    1. Hallow @Ahmad,

      Terima kasih untuk kunjungannya ke blog koma ini.

      Semoga terus bisa bermanfaat untuk kita semua.

      Hapus
  4. Doain saya lulus SBM ya om

    BalasHapus
    Balasan
    1. Hallow @Agan R,

      Amin, GANBATE.

      Terima kasih untuk kunjungannya ke blog koma ini.

      Semoga terus bisa bermanfaat.

      Hapus
  5. Untuk blog fisika belum ada ya

    BalasHapus

Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.