Penerapan matriks pada sistem persamaan linear (SPL) membutuhkan ketelitian dalam penghitungan karena akan melibatkan banyak sekali angka-angka yang akan kita bentuk menjadi suatu bentuk persamaan matriks dari sistem persamaan linear (SPL) yang ada. Metode matriks pada SPL terkadang sangat kita butuhkan karena memang ada jenis soal tertentu yang mengharuskan atau diketahui dalam bentuk matriks sehingga mau tidak mau harus kita selesaikan dengan metode matriks. Dengan banyak berlatih soal-soal, pasti kita akan bisa dengan lancar untuk menguasai materi ini.
Mengubah SPL menjadi bentuk matriks
Sistem persamaan linear (SPL) harus diubah dulu dalam bentuk persamaan matriks, setelah itu baru kita menerapkan konsep matriks yaitu invers dan determinan.
Sistem persamaan dua variabel $ x \, $ dan $ y $ :
$ \begin{align} a_1x +b_1y& = c_1 \\ a_2x + b_2y&=c_2 \end{align} $
bentuk matriksnya : $ \left( \begin{matrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} c_1 \\ c_2 \end{matrix} \right) $
Keterangan :
$ \left( \begin{matrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{matrix} \right) \, $ kita sebut matriks awal(matriks koefisien)
$ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \, $ kita sebut matriks variabel yang kita cari nilainya
$ \left( \begin{matrix} c_1 \\ c_2 \end{matrix} \right) \, $ kita sebut matriks hasil(matriks konstanta)
Sistem persamaan tiga variabel $ x, \, y \, $ dan $ z $:
$ \begin{align} a_1x +b_1y + c_1z & = d_1 \\ a_2x + b_2y + c_2z & = d_2 \\ a_3x + b_3y + c_3z & = d_3 \end{align} $
bentuk matriksnya : $ \left( \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \end{matrix} \right) $
Keterangan :
$ \left( \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & b_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{matrix} \right) \, $ kita sebut matriks awal
$ \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \, $ kita sebut matriks variabel yang kita cari nilainya
$ \left( \begin{matrix} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \end{matrix} \right) \, $ kita sebut matriks hasil
Sistem persamaan dua variabel $ x \, $ dan $ y $ :
$ \begin{align} a_1x +b_1y& = c_1 \\ a_2x + b_2y&=c_2 \end{align} $
bentuk matriksnya : $ \left( \begin{matrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} c_1 \\ c_2 \end{matrix} \right) $
Keterangan :
$ \left( \begin{matrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{matrix} \right) \, $ kita sebut matriks awal(matriks koefisien)
$ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \, $ kita sebut matriks variabel yang kita cari nilainya
$ \left( \begin{matrix} c_1 \\ c_2 \end{matrix} \right) \, $ kita sebut matriks hasil(matriks konstanta)
Sistem persamaan tiga variabel $ x, \, y \, $ dan $ z $:
$ \begin{align} a_1x +b_1y + c_1z & = d_1 \\ a_2x + b_2y + c_2z & = d_2 \\ a_3x + b_3y + c_3z & = d_3 \end{align} $
bentuk matriksnya : $ \left( \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \end{matrix} \right) $
Keterangan :
$ \left( \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & b_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{matrix} \right) \, $ kita sebut matriks awal
$ \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \, $ kita sebut matriks variabel yang kita cari nilainya
$ \left( \begin{matrix} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \end{matrix} \right) \, $ kita sebut matriks hasil
Penerapan invers pada SPL
Untuk menerapkan invers dalam menyelesaikan SPL, kita menggunakan sifat invers yaitu :
$ AB = C \rightarrow B = A^{-1}. C $
dengan $ A \, $ sebagai matriks awal, $ B \, $ sebagai matriks variabel, $ C \, $ sebagai matriks hasil, dan $ A^{-1} \, $ menyatakan invers dari matriks $ A. $
$ AB = C \rightarrow B = A^{-1}. C $
dengan $ A \, $ sebagai matriks awal, $ B \, $ sebagai matriks variabel, $ C \, $ sebagai matriks hasil, dan $ A^{-1} \, $ menyatakan invers dari matriks $ A. $
Contoh :
1). Tentukan nilai $ x \, $ dan $ y \, $ yang memenuhi sistem persamaan linear (SPL) dengan menggunakan konsep invers matriks
$ SPL \left\{ \begin{array}{c} x - y = 2 \\ 2x + y = 1 \end{array} \right. $
Penyelesaian : kita ubah dalam bentuk matriks dulu
bentuk matriksnya : $ \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) $
kita misalkan $ A = \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) , \, B = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right), \, $ dan $ C = \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) $
Menentukan matriks B :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ AB & = C \\ B & = A^{-1}C \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right)^{-1} \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) \, \, \, \, \text{ menentukan inversnya} \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \frac{1}{1.1 - 2.(-1)} \left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ -2 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) \, \, \, \, \text{ mengalikan matriksnya} \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \frac{1}{3} \left( \begin{matrix} 3 \\ -3 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \frac{3}{3} \\ \frac{-3}{3} \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 \\ -1 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, solusi SPLnya adalah $ x = 1 \, $ dan $ y = -1 $
2). Tentukan penyelesaian dari SPL berikut dengan konsep invers matriks
$ SPL \left\{ \begin{array}{c} 3y + 2z = 1 \\ x + y = 2 \\ 4x -2y -z = 3 \end{array} \right. $
Penyelesaian : kita ubah dalam bentuk matriks dulu
bentuk matriksnya : $ \left( \begin{matrix} 0 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 4 & -2 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right) $
kita misalkan $ A = \left( \begin{matrix} 0 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 4 & -2 & -1 \end{matrix} \right) , \, B = \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right), \, $ dan $ C = \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right) $
invers matriks A berdasarkan artikel " Determinan dan Invers Matriks " adalah
$ A^{-1} = \frac{1}{-9} \left( \begin{matrix} -1 & -1 & -2 \\ 1 & -8 & 2 \\ -6 & 12 & -3 \end{matrix} \right) $
untuk cara menentukan invers matriks A ini, langsung saja lihat artikel " Determinan dan Invers Matriks "
Menentukan matriks B :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} 0 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 4 & -2 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 4 & -2 & -1 \end{matrix} \right)^{-1} \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) & = \frac{1}{-9} \left( \begin{matrix} -1 & -1 & -2 \\ 1 & -8 & 2 \\ -6 & 12 & -3 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) & = \frac{1}{-9} \left( \begin{matrix} -9 \\ -9 \\ 9 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, solusi SPLnya adalah $ x = 1, \, y = 1 \, $ dan $ z = -1 $
Penerapan determinan pada SPL
Penerapan determinan matriks pada penyelesaian SPL sering dikenal dengan nama cara "Cramer"
*). Penyelesaian SPL dua variabel :
$ \begin{align} a_1x +b_1y& = c_1 \\ a_2x + b_2y&=c_2 \end{align} \Rightarrow $ $ \left( \begin{matrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} c_1 \\ c_2 \end{matrix} \right) $
Solusinya : $ x = \frac{D_x}{D} \, $ dan $ y = \frac{D_y}{D} $
keterangan :
$ D \, $ adalah determinan matriks awal yaitu $ D = \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{matrix} \right| $
$ D_x \, $ adalah determinan matriks dengan mengganti kolom $ x \, $ pada matriks awal dengan matriks hasil yaitu $ D_x = \left| \begin{matrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{matrix} \right| $
$ D_y \, $ adalah determinan matriks dengan mengganti kolom $ y \, $ pada matriks awal dengan matriks hasil yaitu $ D_y = \left| \begin{matrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{matrix} \right| $
*). Penyelesaian SPL tiga variabel :
$ \begin{align} a_1x +b_1y + c_1z & = d_1 \\ a_2x + b_2y + c_2z & = d_2 \\ a_3x + b_3y + c_3z & = d_3 \end{align} \Rightarrow \left( \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \end{matrix} \right) $
Solusinya : $ x = \frac{D_x}{D} , \, y = \frac{D_y}{D} \, $ dan $ z = \frac{D_z}{D} $
keterangan :
$ D \, $ adalah determinan matriks awal yaitu $ D = \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{matrix} \right| $
$ D_x \, $ adalah determinan matriks dengan mengganti kolom $ x \, $ pada matriks awal dengan matriks hasil yaitu $ D_x = \left| \begin{matrix} d_1 & b_1 & c_1 \\ d_2 & b_2 & c_2 \\ d_3 & b_3 & c_3 \end{matrix} \right| $
$ D_y \, $ adalah determinan matriks dengan mengganti kolom $ y \, $ pada matriks awal dengan matriks hasil yaitu $ D_y = \left| \begin{matrix} a_1 & d_1 & c_1 \\ a_2 & d_2 & c_2 \\ a_3 & d_3 & c_3 \end{matrix} \right| $
$ D_z \, $ adalah determinan matriks dengan mengganti kolom $ z \, $ pada matriks awal dengan matriks hasil yaitu $ D_z = \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & d_3 \end{matrix} \right| $
*). Penyelesaian SPL dua variabel :
$ \begin{align} a_1x +b_1y& = c_1 \\ a_2x + b_2y&=c_2 \end{align} \Rightarrow $ $ \left( \begin{matrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} c_1 \\ c_2 \end{matrix} \right) $
Solusinya : $ x = \frac{D_x}{D} \, $ dan $ y = \frac{D_y}{D} $
keterangan :
$ D \, $ adalah determinan matriks awal yaitu $ D = \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{matrix} \right| $
$ D_x \, $ adalah determinan matriks dengan mengganti kolom $ x \, $ pada matriks awal dengan matriks hasil yaitu $ D_x = \left| \begin{matrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{matrix} \right| $
$ D_y \, $ adalah determinan matriks dengan mengganti kolom $ y \, $ pada matriks awal dengan matriks hasil yaitu $ D_y = \left| \begin{matrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{matrix} \right| $
*). Penyelesaian SPL tiga variabel :
$ \begin{align} a_1x +b_1y + c_1z & = d_1 \\ a_2x + b_2y + c_2z & = d_2 \\ a_3x + b_3y + c_3z & = d_3 \end{align} \Rightarrow \left( \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \end{matrix} \right) $
Solusinya : $ x = \frac{D_x}{D} , \, y = \frac{D_y}{D} \, $ dan $ z = \frac{D_z}{D} $
keterangan :
$ D \, $ adalah determinan matriks awal yaitu $ D = \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{matrix} \right| $
$ D_x \, $ adalah determinan matriks dengan mengganti kolom $ x \, $ pada matriks awal dengan matriks hasil yaitu $ D_x = \left| \begin{matrix} d_1 & b_1 & c_1 \\ d_2 & b_2 & c_2 \\ d_3 & b_3 & c_3 \end{matrix} \right| $
$ D_y \, $ adalah determinan matriks dengan mengganti kolom $ y \, $ pada matriks awal dengan matriks hasil yaitu $ D_y = \left| \begin{matrix} a_1 & d_1 & c_1 \\ a_2 & d_2 & c_2 \\ a_3 & d_3 & c_3 \end{matrix} \right| $
$ D_z \, $ adalah determinan matriks dengan mengganti kolom $ z \, $ pada matriks awal dengan matriks hasil yaitu $ D_z = \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & d_3 \end{matrix} \right| $
Contoh :
1). Tentukan nilai $ x \, $ dan $ y \, $ yang memenuhi sistem persamaan linear (SPL) dengan menggunakan konsep determinan matriks (cara cramer)
$ SPL \left\{ \begin{array}{c} x - y = 2 \\ 2x + y = 1 \end{array} \right. $
Penyelesaian : kita ubah dalam bentuk matriks dulu
bentuk matriksnya : $ \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) $
$ D = \left| \begin{matrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right| = 1.1 - (-1) . 2 = 3 $
$ D_x = \left| \begin{matrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right| = 2.1 - (-1) . 1 = 3 $
$ D_y = \left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right| = 1.1 - 2 . 1 = -3 $
Solusinya :
$ x = \frac{D_x}{D} = \frac{3}{3} = 1 \, $ dan $ x = \frac{D_y}{D} = \frac{-3}{3} = -1 $
Jadi, solusi SPLnya adalah $ x = 1 \, $ dan $ y = -1 $
2). Tentukan penyelesaian dari SPL berikut dengan cara cramer
$ SPL \left\{ \begin{array}{c} 3y + 2z = 1 \\ x + y = 2 \\ 4x -2y -z = 3 \end{array} \right. $
Penyelesaian : kita ubah dalam bentuk matriks dulu
bentuk matriksnya : $ \left( \begin{matrix} 0 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 4 & -2 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right) $
Solusinya :
$ x = \frac{D_x}{D} = \frac{-9}{-9} = 1, \, y = \frac{D_y}{D} = \frac{-9}{-9} = 1 \, $ dan $ z = \frac{D_z}{D} = \frac{9}{-9} = -1 $
Jadi, solusi SPLnya adalah $ x = 1, \, y = 1 \, $ dan $ z = -1 $
Ada cara lain untuk menyelesaikan SPL yaitu teknik substitusi dan eliminasi. Selain itu juga ada cara lain lagi yaitu menggunakan cara "Operasi Baris Elementer (OBE)" pada matriks yang lebih dikenal dengan nama Eliminasi Gauss-Jordan. Untuk materi OBE bisa sobat baca pada artikel " Operasi Baris Elementer dan penerapannya " .
