Operasi Baris Elementer (OBE) dan Penerapannya

         Blog Koma - Operasi Baris Elementer (OBE) merupakan suatu operasi yang diterapkan pada baris suatu matriks. OBE bisa digunakan untuk menentukan invers suatu matriks dan menyelesaikan suatu sistem persamaan linear (SPL). Untuk cara menentukan invers sobat bisa baca artikel "Determinan dan invers matriks", dan menyelesaikan SPL dengan konsep matriks sobat bisa membaca artikel "Penerapan matriks pada SPL".
         Operasi Baris Elementer (OBE) adalah salah satu alternatif dalam menyelesaikan suatu bentuk matriks seperti menentukan invers matriks dan penerapan matriks pada sistem persamaan linear menggunakan dua cara yaitu "Eliminasi Gauss" dan "Eliminasi Gauss-Jordan". Materi OBE ini sebenarnya dipelajari pada tingkat perkuliahan, untuk tingkat SMA jarang yang membahasnya. Hal ini dikarenakan tingkatnya sudah lebih sulit dari materi matriks lain yang sudah dibahas.

Operasi Baris Elementer (OBE)
Perhatikan matriks berordo $ m \times n \, $ berikut :
                  $ A = \left[ \begin{matrix} a_{11} & ... & a_{1n} \\ ... & ... & ... \\ a_{m1} & ... & a_{mn} \end{matrix} \right] $
Kita menyebut masing-masing ($a_{i1} \, ... \, a_{in}$) sebagai baris-baris dari matriks A. Pada matriks A kita dapat melakukan operasi-operasi berikut :
         1). mengalikan suatu baris dengan bilangan tak nol,
         2). menambahkan kelipatan suatu baris pada baris lain,
         3). menukarkan sebarang dua buah baris,
Ketiga operasi di atas disebut Operasi Baris Elementer (OBE). Ketiga operasi OBE bisa digunakan atau hanya menggunakan salah satunya saja. Suatu matriks $ A^\prime \, $ yang diperoleh dari proses sejumlah hingga OBE pada matriks A, dikatakan ekuivalen dengan matriks A, yang dapat dinotasikan dengan $ A \sim A^\prime $ .
Catatan :
Simbol yang digunakan untuk ketiga operasi :
*). Operasi I, simbolnya $ kR_i \rightarrow R_i \, $ artinya baris ke-$i$ berubah setelah dikalikan $ k $
*). Operasi II, simbolnya $ R_i +kR_j \rightarrow R_i \, $ artinya baris ke-$i$ berubah setelah dilakukan penjumlahan $ R_i + kR_j $
*). Operasi III, simbolnya $ R_i \leftrightarrow R_j \, $ artinya kedua baris berubah dengan bertukar posisi.

Contohnya :
Diketahui matriks $ A = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & -2 \\ 2 & 4 & 5 \\ -1 & -2 & 3 \end{matrix} \right] $
Tentukan matriks baru yang diperoleh setelah melakukan operasi baris elementer (OBE) berikut ini secara berurutan : $ 2R_1 , R_2 \leftrightarrow R_3, R_2 + 3R_3 $
Penyelesaian :
*). Pertama : $ 2R_1 \, $ artinya baris satu dikalikan dengan 2, hasilnya adalah :
$ A_{op1} = \left[ \begin{matrix} 2 & 0 & -4 \\ 2 & 4 & 5 \\ -1 & -2 & 3 \end{matrix} \right] $
*). Kedua : dilanjutnkan dengan $ R_2 \leftrightarrow R_3 \, $ artinya baris 2 dan 3 ditukar, diperoleh :
$ A_{op12} = \left[ \begin{matrix} 2 & 0 & -4 \\ -1 & -2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \end{matrix} \right] $
*). ketiga : dilanjutkan dengan $ R_2 + 3R_3 \, $ artinya baris kedua dijumlahkan dengan 3 kali baris ketiga, hasilnya
$ A_{op123} = \left[ \begin{matrix} 2 & 0 & -4 \\ -1 + 3.2 & -2 + 3.4 & 3 + 3.5 \\ 2 & 4 & 5 \end{matrix} \right] $
$ A_{op123} = \left[ \begin{matrix} 2 & 0 & -4 \\ 5 & 10 & 18 \\ 2 & 4 & 5 \end{matrix} \right] $
Kalau ditulis secara lengkap adalah
$ \begin{align} A & = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & -2 \\ 2 & 4 & 5 \\ -1 & -2 & 3 \end{matrix} \right] \\ & 2R_1 \rightarrow R_1 \\ & \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & -2 \\ 2 & 4 & 5 \\ -1 & -2 & 3 \end{matrix} \right] \\ & R_2 \leftrightarrow R_3 \\ & \left[ \begin{matrix} 2 & 0 & -4 \\ -1 & -2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \end{matrix} \right] \\ & R_2 + 3R_3 \rightarrow R_2 \\ & \left[ \begin{matrix} 2 & 0 & -4 \\ 5 & 10 & 18 \\ 2 & 4 & 5 \end{matrix} \right] \end{align} $
Jadi matriks baru yang diperoleh dari hasil OBE adalah $ A^\prime = \left[ \begin{matrix} 2 & 0 & -4 \\ 5 & 10 & 18 \\ 2 & 4 & 5 \end{matrix} \right] $

Penerapan OBE untuk menentukan invers matriks
         Untuk menentukan invers matriks persegi A, dapat menggunakan sejumlah Operasi baris elementer (OBE) pada matriks A dan melakukan urutan OBE yang sama pada matriks I (matriks identitas).

         Konsepnya : $ [A|I] \, \text{ Dilakukan OBE } \, [I|A^{-1}] $

         dengan $ A^{-1} \, $ menyatakan invers matriks A.
Artinya dengan OBE kita akan mengubah A menjadi matriks I (identitas).
Catatan : Jika setelah dilakukan beberapa kali OBE dan diperoleh salah satu baris isinya nol semua, maka matriks tersebut tidak mempunyai invers karena determinannya sama dengan nol.

Contoh : Tentukan invers matriks $ A = \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 3 \\ 1 & 0 & 8 \end{matrix} \right) $
Penyelesaian : Kita gabungkan kedua matriks A dan I dan kita lakukan OBE
bentuk awal : $[A|I] : \, \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & 3 & | & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 8 & | & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right) $
$ \begin{array}{c} R_2 - 2R_1 \rightarrow R_2 \\ R_3 - R_1 \rightarrow R_3 \end{array} \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -3 & | & -2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 5 & | & -1 & 0 & 1 \end{matrix} \right) $
$ R_3 +2R_2 \rightarrow R_3 \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -3 & | & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & | & -5 & 2 & 1 \end{matrix} \right) $
$ (-1)R_3 \rightarrow R_3 \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -3 & | & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 5 & -2 & -1 \end{matrix} \right) $
$ \begin{array}{c} R_1 - 3R_3 \rightarrow R_1 \\ R_2 + 3R_3 \rightarrow R_2 \end{array} \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 0 & | & -14 & 6 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & | & 13 & -5 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & | & 5 & -2 & -1 \end{matrix} \right) $
$ R_1 - 2R_2 \rightarrow R_1 \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & | & -40 & 16 & 9 \\ 0 & 1 & 0 & | & 13 & -5 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & | & 5 & -2 & -1 \end{matrix} \right) $
Bentuk akhir : $ [I|A^{-1}] : \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & | & -40 & 16 & 9 \\ 0 & 1 & 0 & | & 13 & -5 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & | & 5 & -2 & -1 \end{matrix} \right) $
Jadi, invers matriks A adalah $ A^{-1} = \left( \begin{matrix} -40 & 16 & 9 \\ 13 & -5 & -3 \\ 5 & -2 & -1 \end{matrix} \right) $

Penerapan OBE untuk menyelesaikan SPL
         Penerapan Operasi Baris Elementer (OBE) dalam menyelesaikan Sistem Persamaan Linear (SPL) dikenal dengan nama Eliminasi Gauss dan Eliminasi Gauss-Jordan. Untuk penerapan matriks yaitu menggunakan konsep determinan dan invers matriks dalam menyelesaikan SPL, sobat bisa baca artikel "Penerapan matriks pada SPL". Namun pada artikel ini kita akan lebih mendalam membahas penerapan OBE. Berikut ada beberapa istilah yang harus kita ketahui dahulu sebelum menyelesaikan SPL dengan OBE.

Matriks Eselon Baris (MEB)
         Suatu matriks disebut sebagai Matriks Eselon Baris (MEB) jika memenuhi :
1). Jika memeuat baris tak nol maka entri tak nol paling kiri adalah 1, selanjutnya elemen tersebut (angka 1) kita sebut sebagai elemen pivot.
2). Untuk sebarang dua baris tak nol yang berurutan, elemen pivot baris lebih bawah terletak lebih kanan.
3). Jika memuat baris-baris nol maka semuanya terletak dibagian bawah matriks.
Berikut contoh-contoh matriks eselon baris :
$ A = \left( \begin{matrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) , \, B = \left( \begin{matrix} 1 & -2 & 9 \\ 0 & 1 & -5 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right) $
$ C = \left( \begin{matrix} 1 & 5 & 9 & 2 \\ 0 & 1 & -3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 8 \end{matrix} \right), D = \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right) , \, E = \left( \begin{matrix} 1 & 7 & 9 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) $

Matriks Eselon Baris Tereduksi (MEBT)
         Suatu matriks disebut sebagai Matriks Eselon Baris Tereduksi (MEBT) jika matriks tersebut merupakan Matriks Eselon baris dimana setiap kolom yang mempunyai elemen pivot mempunyai nol pada entri yang lain pada kolom pivot tersebut
Berikut contoh-contoh matriks eselon baris Tereduksi :
$ A = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) , \, B = \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right) $
$ C = \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 8 \end{matrix} \right), D = \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right) , \, E = \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 9 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) $

Matriks Lengkap atau matriks augmentasi (augmented matrix form)
Misalkan ada sistem persamaan linear (SPL)
SPL $ \left\{ \begin{array}{c} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_1 = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + ... + a_{2n}x_2 = b_2 \\ .... ..+ ..... + ... ... + .... .. = ...... \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + ... + a_{mn}x_n = b_m \end{array} \right. $
Bentuk matriksnya adalah $ A_{m \times n} X_{n \times 1} = B_{m \times 1}, $ yaitu
$ \left( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} b_1 \\ b_2 \\ ... \\ b_m \end{matrix} \right) $
dengan $ A_{m \times n} = \left( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end{matrix} \right) , \, X_{n \times 1} = \left( \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{matrix} \right) , \, $ dan $ B_{m \times 1} = \left( \begin{matrix} b_1 \\ b_2 \\ ... \\ b_m \end{matrix} \right) $

Matriks lengkap adalah matriks yang digabung antara matriks koefisien (matriks A) dengan matriks konstanta (matriks B), sehingga
matriks lengkap berbentuk : $ [A|B] $ yaitu
$ \left( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} & | & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} & | & b_2 \\ ... & ... & ... & ...&|&... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} &|& b_m \end{matrix} \right) $
Contoh : Tentukan bentuk matriks lengkap dari kedua bentuk SPL berikut.
a). SPL $ \left\{ \begin{array}{c} 2x - y = 3 \\ -3x + 5y = 9 \end{array} \right. \, \, \, $ b). SPL $ \left\{ \begin{array}{c} x+y-z = 3 \\ 2x - 3y + 5z = 6 \end{array} \right. $
Penyelesaian : ubah SPL ke dalam bentuk matriks
a). Bentuk matriksnya : $ \left( \begin{matrix} 2 & -1 \\ -3 & 5 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 3 \\ 9 \end{matrix} \right) $
Matriks lengkapnya : $ \left( \begin{matrix} 2 & -1 & | & 3 \\ -3 & 5 & | & 9 \end{matrix} \right) $
b). Bentuk matriksnya : $ \left( \begin{matrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & -3 & 5 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 3 \\ 6 \end{matrix} \right) $
Matriks lengkapnya : $ \left( \begin{matrix} 1 & 1 & -1 & | & 3 \\ 2 & -3 & 5 & | & 6 \end{matrix} \right) $

Eliminasi Gauss dan Eliminasi Gauss-Jordan
Eliminasi Gaus
         Mengubah Matriks lengkap yang terbentuk dengan OBE menjadi MEB

Eliminasi Gaus-Jordan
         Mengubah Matriks lengkap yang terbentuk dengan OBE menjadi MEBT

Langkah - langkah penyelesaian SPL :
1). Tentukan bentuk matriksnya
2). Tentukan matriks lengkapnya
3). lakukan OBE sehingga terbentuk MEB (eliminasi gauss) atau MEBT (eliminasi gauss-jordan)
Contoh :
Tentukan penyelesaian dari SPL berikut:
SPL $ \left\{ \begin{array}{c} x + y - 2z = 4 \\ 3x - y + z = 1 \\ 2x + 3y + 3z = 2 \end{array} \right. $
Penyelesaian :
*). Bentuk matriksnya : $ \left( \begin{matrix} 1 & 1 & -2 \\ 3 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & 3 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 4 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} \right) $
*). Matriks lengkap : $ [A|B] = \left( \begin{matrix} 1 & 1 & -2 & | & 4 \\ 3 & -1 & 1 & | & 1 \\ 2 & 3 & 3 & | & 2 \end{matrix} \right) $
*). Melakukan OBE

Cara I : Eliminasi Gauss
Matriks lengkap : $ [A|B] = \left( \begin{matrix} 1 & 1 & -2 & | & 4 \\ 3 & -1 & 1 & | & 1 \\ 2 & 3 & 3 & | & 2 \end{matrix} \right) $
$ \begin{array}{c} R_2 -3R_1 \rightarrow R_2 \\ R_3 - 2R_1 \rightarrow R_3 \end{array} \, \, \left( \begin{matrix} 1 & 1 & -2 & | & 4 \\ 0 & -4 & 7 & | & -11 \\ 0 & 1 & 7 & | & -6 \end{matrix} \right) $
$ -\frac{1}{4}R_2 \rightarrow R_2 \, \, \left( \begin{matrix} 1 & 1 & -2 & | & 4 \\ 0 & 1 & -\frac{7}{4} & | & \frac{11}{4} \\ 0 & 1 & 7 & | & -6 \end{matrix} \right) $
$ R_3 - R_2 \rightarrow R_3 \, \, \left( \begin{matrix} 1 & 1 & -2 & | & 4 \\ 0 & 1 & -\frac{7}{4} & | & \frac{11}{4} \\ 0 & 0 & \frac{35}{4} & | & -\frac{35}{4} \end{matrix} \right) $
$ \frac{4}{35}R_3 \rightarrow R_3 \, \, \left( \begin{matrix} 1 & 1 & -2 & | & 4 \\ 0 & 1 & -\frac{7}{4} & | & \frac{11}{4} \\ 0 & 0 & 1 & | & -1 \end{matrix} \right) $
Diperoleh SPL baru yang ekuivalen dengan SPL pada soal yaitu :
$ \begin{align} x + y - 2z & = 4 \\ y -\frac{7}{4}z & = \frac{11}{4} \\ z & = -1 \end{align} $
Sehingga solusinya :
$ z = -1, $
$ y -\frac{7}{4}z = \frac{11}{4} \rightarrow y -\frac{7}{4}(-1) = \frac{11}{4} \rightarrow y = 1 $
$ x + y - 2z = 4 \rightarrow x + 1 - 2(-1) = 4 \rightarrow x = 1 $
Jadi solusinya adalah $ x = 1, \, y=1, \, $ dan $ z = -1 $

Cara II : Eliminasi Gauss-Jordan
Untuk eliminasi Gauss-Jordan, kita harus mengubah matriks lengkap menjadi MEBT dengan melanjutkan OBE dari hasil pada eliminasi gaus di atas.
Bentuk terakhir : $ \left( \begin{matrix} 1 & 1 & -2 & | & 4 \\ 0 & 1 & -\frac{7}{4} & | & \frac{11}{4} \\ 0 & 0 & 1 & | & -1 \end{matrix} \right) $
$ R_1 - R_2 \rightarrow R_1 \, \, \left( \begin{matrix} 1 & 0 & -\frac{1}{4} & | & \frac{5}{4} \\ 0 & 1 & -\frac{7}{4} & | & \frac{11}{4} \\ 0 & 0 & 1 & | & -1 \end{matrix} \right) $
$ \begin{array}{c} R_1 +\frac{1}{4}R_3 \rightarrow R_1 \\ R_2 + \frac{7}{4}R_3 \rightarrow R_2 \end{array} \, \, \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & | & 1 \\ 0 & 1 & 0 & | & 1 \\ 0 & 0 & 1 & | & -1 \end{matrix} \right) $
Diperoleh SPL baru yang ekuivalen dengan SPL pada soal yaitu :
SPL baru $ \left\{ \begin{array}{c} x & = 1 \\ y & = 1 \\ z & = -1 \end{array} \right.$
Jadi solusinya adalah $ x = 1, \, y=1, \, $ dan $ z = -1 $

6 komentar:

  1. Balasan
    1. hallow @Helpy Gea.

      Terima kasih untuk kunjungannya ke blog koma ini.

      Untuk contoh soalnya, adik Gea bisa baca lagi kembali materinya di atas, sudah ada contohnya kok.

      Selamat belajar.

      Hapus
  2. Kerenn Boshh heheh,
    belajar nginget materi aljabar linier buat besok presentasi matematika terapan ,
    Thanks Luur (y)

    BalasHapus
  3. Thanks banget, sngat membntu saya yang sedang cari tambahan materi.

    BalasHapus
  4. Hallow @Anwar dan @Jetti,

    Terimakasih untuk kunjungannya ke blog koma ini.

    Semoga terus bisa membantuk kita semua.

    BalasHapus
  5. Ada penjelasannya melalui video di youtube engga kak?

    BalasHapus

Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.