Pengertian Fungsi
Misalkan A dan B himpunan.
Fungsi $f$ dari A ke B adalah suatu aturan pengaitan yang memasangkan setiap
anggota himpunan A (Domain) dengan tepat satu anggota himpunan B (Kodomain).
Secara simbolik ditulis menjadi $f : A \rightarrow B$, dibaca: fungsi $f$ memetakan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B.
Jika $f$ memetakan suatu elemen $x \in A$ ke suatu $y \in B$ dikatakan bahwa $y$ adalah peta $x$ oleh fungsi $f$ dan peta ini dinyatakan dengan notasi $f(x)$ dan $x$ disebut prapeta $y$, dan $ y \, $ juga disebut sebagai daerah hasil (Range), dengan demikian dapat ditulis menjadi:
$f : x \rightarrow y$, dibaca: fungsi $f$ memetakan $x$ ke $y$, sedemikian hingga $y = f(x)$.
Suatu fungsi dapat disajikan dalam bentuk diagram panah, himpunan pasangan berurutan, diagram kartesius (grafik), dan simbol (rumus fungsi).
Secara simbolik ditulis menjadi $f : A \rightarrow B$, dibaca: fungsi $f$ memetakan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B.
Jika $f$ memetakan suatu elemen $x \in A$ ke suatu $y \in B$ dikatakan bahwa $y$ adalah peta $x$ oleh fungsi $f$ dan peta ini dinyatakan dengan notasi $f(x)$ dan $x$ disebut prapeta $y$, dan $ y \, $ juga disebut sebagai daerah hasil (Range), dengan demikian dapat ditulis menjadi:
$f : x \rightarrow y$, dibaca: fungsi $f$ memetakan $x$ ke $y$, sedemikian hingga $y = f(x)$.
Suatu fungsi dapat disajikan dalam bentuk diagram panah, himpunan pasangan berurutan, diagram kartesius (grafik), dan simbol (rumus fungsi).
Contoh :
1). Perhatikan relasi-relasi berikut. Tentukan manankah yang merupakan fungsi?
Syarat sebuah relasi menjadi fungsi adalah sebagai berikut.
*) Semua anggota himpunan P memiliki pasangan dengan anggota himpunan Q.
*) Semua anggota himpunan P memiliki pasangan tunggal dengan anggota himpunan Q.
Sehingga relasi yang merupakan fungsi adalah relasi 1, relasi 2, relasi 4 dan relasi 6.
2). Diketahui fungsi $ f : R \rightarrow R \, $ dan rumus fungsi $ f(x) = x^2 - 2 $
a). Hitunglah nilai $ f(1), \, f(0), \, f(-2), \, f(-3), \, f(3) $
b). Jika $ f(a) = 2, \, $ maka tentukan nilai $ a \, $ yang memenuhi.
c). Jika daerah asal fungsi tersebut adalah $ D_f = \{ x | -3 \leq x \leq 3 \} , \, x \in R \}, \, $ tentukan daerah hasilnya.
Penyelesaian :
a). Langsung substitusi ke fungsinya, diperoleh
$\begin{align} f(x) & = x^2 - 2 \\ f(1) & = 1^2 - 2 = 1 - 2 = -1 \\ f(0) & = 0^2 - 2 = 0 - 2 = -2 \\ f(-2) & = (-2)^2 - 2 = 4 - 2 = 2 \\ f(-3) & = (-3)^2 - 2 = 9 - 2 = 7 \\ f(3) & = (3)^2 - 2 = 9 - 2 = 7 \end{align} $
b). Menentukan nilai $ a \, $ yang memenuhi $ f(a) = 2 $
$\begin{align} f(a) & = a^2 - 2 \\ f(a) & = 2 \\ a^2 - 2 & = 2 \\ a^2 & = 2 + 2 \\ a^2 & = 4 \rightarrow a = \pm \sqrt{4} = \pm 2 \end{align} $
Nilai $ a \, $ yang memenuhi adalah $ a = 2 \, $ atau $ a = -2 $
c). Daerah hasil dari fungsi $ y = f(x) = x^2 -2 \, $ dengan daerah asal
$ D_f = \{x | -3 \leq x \leq 3 \} , \, x \in R \}, \, $ adalah $ R_f = \{ y | -2 \leq y \leq 7 \} , \, y \in R \}, \, $ hasil ini diperoleh dari bagian a) sebelumnya.
3). Diketahui fungsi $ f : x \rightarrow f(x) $ dengan rumus fungsi $ f(x) = px - q$. Jika $f(1) = -3 $ dan $ f(4) = 3$, tentukanlah nilai $p$ dan $q$ kemudian tuliskanlah rumus fungsinya.
Penyelesaian :
*). Menentukan persamaan dalam bentuk $ p \, $ dan $ q \, $ dari $ f(x) = px - q $
$ f(1) = p.1 - q = p-q \rightarrow f(1) = -3 \rightarrow p-q = -3 \, $ ...pers(i)
$ f(4) = p.4 - q = 4p-q \rightarrow f(4) = 3 \rightarrow 4p-q = 3 \, $ ...pers(ii)
*). ELiminasi pers(i) dan (ii)
$ \begin{array}{c} 4p-q = 3 & \\ p-q = -3 & - \\ \hline 3p = 6 & \\ p = 2 & \end{array} $
Pers(i) : $ p - q = -3 \rightarrow 2 - q = -3 \rightarrow q = 5 $
Sehingga diperoleh nilai $ p = 2 \, $ dan $ q = 5 $
Dari nilai $ p \, $ dan $ q \, $ dan $ f(x) = px - q \, $
fungsinya menjadi : $ f(x) = px - q = 2x - 5 $
Jadi rumus fungsinya adalah $ f(x) = 2x - 5 $
4). Diketahui fungsi $f$ dengan rumus $f(x) = \sqrt{2x + 6} $ . Tentukanlah domain fungsi $f$ agar memiliki pasangan anggota himpunan bilangan real.
Penyelesaian :
Domain fungsi $f$ memiliki pasangan dengan anggota himpunan bilangan real apabila dalam akar nilainya positif.
$ \begin{align} 2x + 6 & \geq 0 \\ 2x & \geq -6 \\ x & \geq \frac{-6}{2} \\ x & \geq -3 \end{align} $
Jadi, domain fungsi $ f \, $ adalah $ D_f =\{x | x \geq -3 , \, x \in R \} $
5). Diketahui $f$ suatu fungsi $f : x \rightarrow f(x)$. Jika 1 berpasangan dengan 4 dan $f(x+1) = 2f(x)$. Tentukan pasangan $x = 4$?
Penyelesaian :
*). Diketahui 1 berpasangan dengan 4, artinya $ f(1) = 4 $
*). Menentukan nilai $ f(4) \, $ dari $ f(1) = 4 \, $ dan $f(x+1) = 2f(x)$
Substitusi $ x = 1 \, $ ke persamaan $ f(x+1) = 2f(x) \, $ dan gunakan $ f(1) = 4 $
$\begin{align} x=1 \rightarrow f(x+1) & = 2f(x) \\ f(1+1) & = 2f(1) \\ f(2) & = 2f(1) \\ f(2) & = 2 \times 4 = 8 \\ x=2 \rightarrow f(x+1) & = 2f(x) \\ f(2+1) & = 2f(2) \\ f(3) & = 2f(2) \\ f(3) & = 2 \times 8 = 16 \\ x=3 \rightarrow f(x+1) & = 2f(x) \\ f(3+1) & = 2f(3) \\ f(4) & = 2f(3) \\ f(4) & = 2 \times 16 = 32 \end{align} $
Karena nilai $ f(4) = 32 \, $, maka pasangan $ x = 4 \, $ adalah 32.
6). Diketahui $f$ sebuah fungsi yang memetakan $x$ ke $y$ dengan rumus $y = \frac{x+2}{2x-6}, \, x \neq 3 . \, $ Tentukan rumus fungsi jika $g$ memetakan $y$ ke $x$.
Penyelesaian :
*). Fungsi $g $ memetakan $y$ ke $x$ dari fungsi $y = \frac{x+2}{2x-6}, \, $ artinya kita harus mengubah dalam bentuk $ x = .... $
$ \begin{align} y & = \frac{x+2}{2x-6} \\ y(2x-6) & = x+2 \\ 2xy - 6y & = x+ 2 \\ 2xy - x & = 6y + 2 \\ x(2y -1) & = 6y + 2 \\ x & = \frac{6y+2}{2y-1} \end{align} $
Diperoleh fungsi $ g \, $ memetakan $ y $ ke $ x $ : $ g(y) = \frac{6y+2}{2y-1}, \, y \neq \frac{1}{2} $
Catatan : Jika diketahui fungsi $f$ memetakan $ x \, $ ke $ y \, $, dan kita mencari bentuk fungsi $g$ memetakan $ y \, $ ke $ x \, $ (kebalikan dari fungsi awal), fungsi $ g $ ini disebut fungsi invers dari fungsi $ f $ yang disimbolkan $ f^{-1} (x)$ .
Sifat - sifat Fungsi
Fungsi Injektif
Jika $f$ fungsi dari himpunan A ke himpunan
B maka setiap unsur di dalam A dikawankan dengan tepat
suatu unsur tertentu yang khas di dalam B. Jika dua unsur
yang berbeda di dalam A masing-masing dikawankan dengan
tepat satu unsur yang berbeda pula di dalam B maka $f$ disebut
fungsi injektif atau fungsi satu-satu. Dapat ditulis untuk setiap domain $x_1$ dan
$x_2 \, (x_1 \neq x_2) \, $ maka $ f(x_1) \neq f(x_2) $
Fungsi Surjektif
Secara umum, jika
pada suatu fungsi $f$ dari A ke B daerah hasilnya $R_f = B \, $ maka
fungsi itu disebut fungsi surjektif atau fungsi onto atau fungsi pada. Akan tetapi, jika $R_f \subset B$ maka fungsi tersebut bukan merupakan
fungsi surjektif $f$ tetapi disebut fungsi into. Dengan kata lain, fungsi $f $ dari himpunan A ke himpunan B dikatakan surjektif jika daerah hasil dari $ f $
sama dengan daerah kawan (kodomain) artinya semua daerah kawan (kodomain) mempunyai pasangan di daerah asal (domain).
Fungsi Bijektif atau Korespondensi satu-satu
Suatu fungsi yang bersifat injektif dan surjektif disebut
fungsi bijektif atau korespondensi satu-satu.
Definisi mengakibatkan bahwa jika $ f $ fungsi bijektif dengan himpunan A dan himpunan B berhingga, maka himpunan A dan B mempunyai banyak anggota yang sama.
Definisi mengakibatkan bahwa jika $ f $ fungsi bijektif dengan himpunan A dan himpunan B berhingga, maka himpunan A dan B mempunyai banyak anggota yang sama.
Contoh
1). Dari fungsi dalam bentuk diagram panah berikut, manakah yang termasuk fungsi injektif?
*). Fungsi $f $ (gambar a) merupakan fungsi injektif, karena setiap domain memiliki pasangan yang berbeda pada kodomain.
*). Fungsi $g $ (gambar b) bukan fungsi injektif, karena ada domain memiliki pasangan yang sama pada kodomain yaitu 2 dan 3 sama-sama dipasangkan ke r.
2). Dari fungsi dalam bentuk diagram panah berikut, manakah yang termasuk fungsi surjektif?
*). Fungsi $f $ (gambar a) merupakan fungsi surjektif, karena daerah hasilnya sama dengan kodomain.
*). Fungsi $g $ (gambar b) bukan fungsi surjektif tetapi merupakan fungsi into, karena daerah hasilnya tidak sama dengan kodomain.
3). Fungsi $ f(x) = 4x \, $ , kita cek apakah termasuk fungsi injektif, surjektif, atau keduanya.
*). Fungsi $ f(x) = 4x \, $ merupakan fungsi injektif karena setiap domain yang berbeda memiliki pasangan yang berbeda. Misal, $ x_1 = -1 \rightarrow f(-1) = 4(-1) = -4 \, $ dan $ x_2 = 1 \rightarrow f(1) = 4.1 = 4 \, $ ini artinya $ x_1 \neq x_2 \rightarrow f(x_1) \neq f(x_2) $
*). Fungsi $ f(x) = 4x \, $ merupakan fungsi surjektif karena daerah hasilnya sama dengan kodomainnya yaitu bilangan real.
*). Karena fungsi $ f(x) = 4x \, $ memenuhi fungsi injektif dan surjektif, maka fungsi $f \, $ merupakan fungsi bijektif.
4). Apakah fungsi $ g(x) = x^2 \, $ merupakan fungsi bijektif?
Penyelesaian :
*). Fungsi $ g(x) = x^2 \, $ bukan merupakan fungsi injektif karena ada anggota domain yang berbenda memberikan hasil yang sama pada kodomain. Misalnya : $ x_1 = -2 \rightarrow g(-2)= (-2)^2 = 4 \, $ dan $ x_2 = 2 \rightarrow g(2) = 2^2 = 4 , \, $ aritnya $ x_1 \neq x_2 \rightarrow g(x_1) = g(x_2)$ .
Karena fungsi $ g \, $ bukan fungsi injektif, secara otomatis fungsi $ g \, $ juga bukan fungsi bijektif.
5). Tunjukkan bahwa $f $ adalah bukan fungsi surjektif dan fungsi $ g $ adalah fungsi surjektif!
a). $ f : R \rightarrow R \, $ dengan $ f(x) = x^2 + 1 $
b). $ g : R \rightarrow R \, $ dengan $ g(x) = x^3 $
Penyelesaian :
a). Fungsi $ f $ bukan fungsi surjektif karena terdapat $ -1 \in R \, $ tetapi tidak ada $ x \in R \, $ sehingga $ f(x) = -1 $ , artinya tidak semua daerah kawan (kodomain) mempunyai pasangan di daerah asal (domain), misalnya $ -1 $ di daerah kawan dan tidak ada pasangannya di daerah asalnya (tidak ada nilai $ x $ yang menyebabkan fungsi $ f $ menghasilkan -1).
b). Jika diambil $ y \in R $ , maka terdapat $ x = y^\frac{1}{3} \in R \, $ sehingga $ g(x) = \left( y^\frac{1}{3} \right)^3 = y . $ Jadi, $ g $ adalah fungsi surjektif.
6). Berikut contoh fungsi bijektif atau korespondensi satu-satu !
a). Jika kita ingin melihat suatu pertunjukan, setiap pengunjung harus membeli karcis, maka terdapat korespondensi satu-satu ntara himpunan penonton dengan himpunan karcis mereka.
b). Setiap negara mempunyai satu ibu kota negara. Terdapat korespondensi satu-satu antara himpunan negara dengan himpunan ibu kota negara.
Operasi Aljabar pada Fungsi
Jika $f$ suatu fungsi dengan daerah asal $D_f$ dan $g$ suatu fungsi dengan daerah
asal $D_g$ , maka pada operasi aljabar penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan
pembagian dinyatakan sebagai berikut.
a). Jumlah $f$ dan $g$ ditulis $f + g$ didefinisikan sebagai $( f + g )(x) = f (x) + g (x)$ dengan daerah asal $ D_{f + g} = D_f \cap D_g $ .
b). Selisih $f$ dan $g$ ditulis $f - g$ didefinisikan sebagai $( f -g)(x)= f (x)-g(x) $ dengan daerah asal $ D_{f - g} = D_f \cap D_g $.
c). Perkalian $f$ dan $g$ ditulis $f \times g$ didefinisikan sebagai $( f \times g)(x)= f (x) \times g (x) $ dengan daerah asal $ D_{f \times g} = D_f \cap D_g $.
d). Pembagian $f$ dan $g$ ditulis $ \frac{f}{g} $ didefinisikan sebagai $ \left( \frac{f}{g} \right) (x) = \frac{f(x)}{g(x)} \, $ dengan daerah asal $ D_{\frac{f}{g}} = D_f \cap D_g - \{ x | g(x) = 0 \} $.
a). Jumlah $f$ dan $g$ ditulis $f + g$ didefinisikan sebagai $( f + g )(x) = f (x) + g (x)$ dengan daerah asal $ D_{f + g} = D_f \cap D_g $ .
b). Selisih $f$ dan $g$ ditulis $f - g$ didefinisikan sebagai $( f -g)(x)= f (x)-g(x) $ dengan daerah asal $ D_{f - g} = D_f \cap D_g $.
c). Perkalian $f$ dan $g$ ditulis $f \times g$ didefinisikan sebagai $( f \times g)(x)= f (x) \times g (x) $ dengan daerah asal $ D_{f \times g} = D_f \cap D_g $.
d). Pembagian $f$ dan $g$ ditulis $ \frac{f}{g} $ didefinisikan sebagai $ \left( \frac{f}{g} \right) (x) = \frac{f(x)}{g(x)} \, $ dengan daerah asal $ D_{\frac{f}{g}} = D_f \cap D_g - \{ x | g(x) = 0 \} $.
Contoh
1). Diketahui fungsi $ f(x) = x + 3 \, $ dan $ \, g(x) = x^2 - 9 \, $ . Tentukan fungsi-fungsi berikut dan tentukan pula daerah asalnya.
a). $ (f+g)(x) \, \, $ b). $ (f-g)(x) \, \, $ c). $(f \times g)(x) \, \, $ d). $ \left( \frac{f}{g} \right)(x) $
Penyelesaian :
*). Daerah asal fungsi $ f(x) = x+3 \, $ adalah $ D_f = \{ x | x \in R \} \, $ dan daerah asal fungsi $ g(x) = x^2 - 9 \, $ adalah $ D_g = \{ x | x \in R \} $
a. Menentukan $ (f+g)(x) $
$\begin{align} (f+g)(x) & = f(x) + g(x) \\ & = (x+3) + (x^2 - 9) \\ & = x^2 + x - 6 \end{align} $
*). Daerah asal fungsi $ (f+g)(x) \, $ :
$\begin{align} D_{f + g} & = D_f \cap D_g \\ & = \{ x | x \in R \} \cap \{ x | x \in R \} \\ & = \{ x | x \in R \} \end{align} $
b. Menentukan $ (f-g)(x) $
$\begin{align} (f-g)(x) & = f(x) - g(x) \\ & = (x+3) - (x^2 - 9) \\ & = -x^2 + x + 12 \end{align} $
*). Daerah asal fungsi $ (f-g)(x) \, $ :
$\begin{align} D_{f - g} & = D_f \cap D_g \\ & = \{ x | x \in R \} \cap \{ x | x \in R \} \\ & = \{ x | x \in R \} \end{align} $
c. Menentukan $ (f\times g)(x) $
$\begin{align} (f\times g)(x) & = f(x) \times g(x) \\ & = (x+3) \times (x^2 - 9) \\ & = x^3 + 3x^2 - 9x - 27 \end{align} $
*). Daerah asal fungsi $ (f+g)(x) \, $ :
$\begin{align} D_{f \times g} & = D_f \cap D_g \\ & = \{ x | x \in R \} \cap \{ x | x \in R \} \\ & = \{ x | x \in R \} \end{align} $
d. Menentukan $ \left( \frac{f}{g} \right)(x) $
$\begin{align} \left( \frac{f}{g} \right)(x) & = \frac{f(x)}{g(x)} \\ & = \frac{x+3}{x^2 - 9} \\ & = \frac{x+3}{(x-3)(x+3)} \\ & = \frac{1}{x-3} , \, x \neq -3, \, x \neq 3 \end{align} $
*). Daerah asal fungsi $ \left( \frac{f}{g} \right)(x) \, $ :
$\begin{align} D_{\frac{f}{g}} & = D_f \cap D_g \, \, \text{ dan } \, \, g(x) \neq 0 \\ & = \{ x | x \in R \} \cap \{ x | x \in R \} \, \, \text{ dan } \, \, x^2 - 9 \neq 0 \\ & = \{ x | x \in R \} \, \, \text{ dan } \, \, (x-3)(x+3) \neq 0 \\ & = \{ x | x \in R \} \, \, \text{ dan } \, \, x \neq -3, x \neq 3 \\ & = \{ x | x \in R, \, x \neq -3, x \neq 3 \} \end{align} $
2). Misalkan $ f(x) = x^2 \, $ dan $ g(x) = \sqrt{x+1}. \, $ Tentukan fungsi-fungsi berikut dan daerah asalnya!
a). $ 4f \, \, \, $ b). $ f + g \, \, \, $ c). $ f g \, \, \, $ d). $ \frac{f}{g} $
Penyelesaian :
*) Menentukan daerah asal fungsi masing-masing.
fungsi $ f(x) = x^2 \, $ daerah asalnya $ D_f = \{ x | x \in R \} $
fungsi $ g(x) = \sqrt{x+1} \, $ daerah asalnya : nilai dalam akar harus positif sehingga $ x+1 \geq 0 \rightarrow x \geq -1 \, $ sehingga daerah asalnya $ D_g = \{ x | x \geq -1 , \, x \in R \} $
*) Menentukan fungsi yang diminta
a). $ (4f)(x) = 4f(x) = 4 (x^2) = 4x^2 $
Daerah asalnya : $ D_{4f} = \{ x | x \in R \} $
b). $ (f + g)(x) = f(x) + g(x) = x^2 + \sqrt{x+1} $
Daerah asalnya :
$ D_{f+g} = D_f \cap D_g = \{ x | x \in R \} \cap \{ x | x \geq -1 , \, x \in R \} = \{ x | x \geq -1 , \, x \in R \} $
c). $ (fg)(x) = f(x) \times g(x) = (x^2).(\sqrt{x+1}) = x^2\sqrt{x+1} $
Daerah asalnya :
$ D_{fg} = D_f \cap D_g = \{ x | x \in R \} \cap \{ x | x \geq -1 , \, x \in R \} = \{ x | x \geq -1 , \, x \in R \} $
d). $ \left( \frac{f}{g} \right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{x^2}{\sqrt{x+1}} $
Daerah asalnya : Nilai $ g(x) \neq 0 \, $ jika $ x \neq -1 $ , sehingga
$\begin{align} D_{\frac{f}{g}} & = D_f \cap D_g \, \, \text{ dan } \, \, g(x) \neq 0 \\ & = \{ x | x \in R \} \cap \{ x | x \geq -1 , \, x \in R \} \, \, \text{ dan } \, \, x \neq -1 \\ & = \{ x | x \geq -1 , \, x \in R \} \, \, \text{ dan } \, \, x \neq -1 \\ & = \{ x | x > -1 , \, x \in R \} \end{align} $
Beberapa Fungsi Khusus
Fungsi konstan (fungsi tetap)
Suatu fungsi $ f : A \rightarrow B $ ditentukan dengan rumus $f(x)$ disebut fungsi konstan
apabila untuk setiap anggota domain fungsi selalu berlaku $f(x) = C$, di mana $C$
bilangan konstan.
Contoh :
Diketahui $f : R \rightarrow R$ dengan rumus $f(x) = 3$ dengan daerah domain: $\{x | -3 \leq x < 2\}$. Tentukan gambar grafiknya.
Penyelesaian :
Fungsi linear
Suatu fungsi $f(x)$ disebut fungsi linear apabila fungsi itu ditentukan oleh
$f(x) = ax + b$, di mana $a \neq 0, \, a $ dan $b$ bilangan konstan dan grafiknya berupa garis lurus.
Contoh :
Jika diketahui $f(x) = 2x + 3$, gambarlah grafiknya.
Penyelesaian :
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi kuadrat apabila fungsi itu ditentukan oleh
$f(x) = ax^2 + bx + c$, di mana $a \neq 0 $ dan $a, b$, dan $c$ bilangan konstan dan
grafiknya berupa parabola. Untuk lebih lengkap mengenai materi fungsi kuadrat, silahkan langsung baca artikel "Fungsi Kuadrat"
Fungsi identitas
Suatu fungsi $f(x)$ disebut fungsi identitas apabila setiap anggota domain fungsi
berlaku $f(x) = x$ atau setiap anggota domain fungsi dipetakan pada dirinya sendiri.
Grafik fungsi identitas berupa garis lurus yang melalui titik asal dan semua titik
absis maupun ordinatnya sama. Fungsi identitas ditentukan oleh $f(x) = x$.
Contoh :
Fungsi pada $R$ didefinisikan sebagai $f(x) = x$ untuk setiap $x$. a. Carilah $f(-2), f(0), f(1), f(3)$. b. Gambarlah grafiknya.
Penyelesaian :
Suatu fungsi $f(x)$ disebut fungsi tangga apabila grafik fungsi $f(x)$ berbentuk
interval-interval yang sejajar.
contoh :
Diketahui fungsi : $ f(x) = \left\{ \begin{array}{cc} -1, & \text{ jika } x \leq -1 \\ 0, & \text{ jika } -1 < x \leq 2 \\ 2, & \text{ jika } 2 < x \leq 4 \\ 3, & \text{ jika } x > 4 \end{array} \right. $
Tentukanlah :
a). $ f(-2) $
b). $ f(0) $
c). $ f(3) $
d). $ f(5) $
e). Gambar grafiknya
Penyelesaian :
Suatu fungsi $f(x)$ disebut fungsi modulus (mutlak) apabila fungsi ini memetakan
setiap bilangan real pada domain fungsi ke unsur harga mutlaknya.
$f : x \rightarrow |x| \, $ atau $ f : x \rightarrow |ax+b| $
$f : x \rightarrow |x| \, $ atau $ f : x \rightarrow |ax+b| $
$ f(x) = |x| \, $ artinya : $ |x| = \left\{ \begin{array}{cc} x, & \text{ jika } x \geq 0 \\ -x, & \text{ jika } x < 0 \end{array} \right. $
Grafiknya :
Fungsi ganjil dan fungsi genap
Suatu fungsi $f(x)$ disebut fungsi ganjil apabila berlaku $f(-x) = -f(x)$ dan disebut
fungsi genap apabila berlaku $f(-x) = f(x)$. Jika $f(-x) \neq -f(x)$ maka fungsi ini
tidak genap dan tidak ganjil.
Contoh :
Tentukan fungsi $f$ di bawah ini termasuk fungsi genap, fungsi ganjil, atau tidak genap dan tidak ganjil.
a). $ f(x) = 2x^3 + x $
b). $ f(x) = 3 \cos x - 5 $
c). $ f(x) = x^2 - 8x $
Penyelesaian :
a). $ f(x) = 2x^3 + x $
$ \begin{align} f(-x) & = 2(-x)^3 + (-x) \\ & = -2x^3 - x \\ & = -(2x^3 + x) \\ f(-x) & = -f(x) \end{align} $
Karena $ f(-x) = -f(x) \, $, fungsi $f(x)$ merupakan fungsi ganjil.
b). $ f(x) = f(x) = 3 \cos x - 5 $
$ \begin{align} f(-x) & = 3 \cos (-x) - 5 \\ & = 3 \cos x - 5 \\ f(-x) & = f(x) \end{align} $
Karena $ f(-x) = f(x) \, $, fungsi $f(x)$ merupakan fungsi genap.
c). $ f(x) = x^2 - 8x $
$ \begin{align} f(-x) & = (-x)^2 - 8(-x) \\ & = x^2 + 8x \end{align} $
Karena $ f(-x) \neq -f(x) \, $ dan $ f(-x) \neq f(x) $, fungsi $f(x)$ tidak genap atau tidak ganjil.
