Materi Fungsi Invers adalah salah satu materi wajib yang mana soal-soalnya selalu ada untuk ujian nasional dan tes seleksi masuk perguruan tinggi. Penting bagi kita untuk menguasainya, karena akan membantu kita dalam kelulusan nantinya. Untuk soal-soal fungsi invers sebenarnya memiliki beberapa trik khusus dalam menjawabnya terutama untuk soal-soal setingkat seleksi masuk perguruan tinggi seperti SBMPTN. Silahkan teman-teman pelajari kumpulan soal-soal fungsi komposisi dan invers untuk lebih mendalami materi fungsi invers ini.
Penjelasan dan Definisi Fungsi Invers
*). Pertama,
fungsi $f$ memetakan $x \in A$ ke $y \in B$. Jika fungsi $f$ dinyatakan ke dalam bentuk pasangan berurutan, maka dapat ditulis sebagai berikut. $f = \{(x, y) | x \in A \text{ dan } y \in B\}$. Pasangan berurut $(x , y)$ merupakan unsur dari fungsi $f$.
*). Kedua,
invers fungsi $f$ atau $f^{-1} $ memetakan $y \in B$ ke $x \in A$. Jika invers fungsi $f$ dinyatakan ke dalam pasangan berurutan, maka dapat ditulis $f^{-1} = \{(y , x) | y \in B \text{ dan } x \in A\}$. Pasangan berurut $(y, x)$ merupakan unsur dari invers fungsi $f$.
Definisi Fungsi invers
Jika fungsi $f$ memetakan A ke B dan dinyatakan dalam pasangan berurutan $f =
\{(x, y) | x \in A \text{ dan } y \in B\}$, maka invers fungsi $f$ (dilambangkan $f^{-1}$) adalah relasi
yang memetakan B ke A, dalam pasangan berurutan dinyatakan dengan $f^{-1} =
\{(y, x) | y \in B \text{ dan } x \in A\}$.
Dapat ditulis: jika $ y = f(x) , \, $ maka inversnya $ x = f^{-1}(y) $
Dapat ditulis: jika $ y = f(x) , \, $ maka inversnya $ x = f^{-1}(y) $
Cara menentukan fungsi invers dari fungsi awalnya
Suatu fungsi $f$ akan mempunyai invers, yaitu $f^{-1}$ jika dan hanya jika fungsi $f$ bijektif
atau dalam korespondensi satu-satu. Misalkan, $f$ merupakan fungsi dari A ke B, maka
$f^{-1}$ merupakan fungsi invers $f$ jika berlaku $(f^{-1} \circ f)(x) = x $ dan $ (f \circ f^{-1})(x) = x$.
Perhatikanlah gambar di bawah ini.
Langkah-langkah menentukan fungsi invers:
1. Buatlah permisalan $f(x) = y$ pada persamaan.
2. Selesaikan persamaan sehingga diperoleh $x$ sebagai fungsi $y$ atau $x = f^{-1}(y)$.
3. Ganti variabel $y$ dengan $x$ pada $f^{-1}(y)$ sehingga diperoleh $f^{-1}(x) = y$ sebagai fungsi invers dari $y = f(x)$.
1. Buatlah permisalan $f(x) = y$ pada persamaan.
2. Selesaikan persamaan sehingga diperoleh $x$ sebagai fungsi $y$ atau $x = f^{-1}(y)$.
3. Ganti variabel $y$ dengan $x$ pada $f^{-1}(y)$ sehingga diperoleh $f^{-1}(x) = y$ sebagai fungsi invers dari $y = f(x)$.
1). Jika diketahui $ f(x) = 2x + 3 , \, $ tentukan inversnya dan nilai $ f^{-1}(1) $ !
Penyelesaian :
Misalkan $ f(x) = y \, $ dan rubahlah kedalam bentuk $ x = f^{-1}(y) $
$ \begin{align} f(x) & = y \\ 2x + 3 & = y \\ 2x & = y - 3 \\ x & = \frac{y-3}{2} \\ \text{berdasarkan } x & = f^{-1}(y) \\ \text{diperoleh } f^{-1}(y) & = \frac{y-3}{2} \end{align} $
Gantilah variabel $ y $ dengan $ x $, artinya $ f^{-1}(x) = \frac{x-3}{2} $
Jadi, invers dari fungsi $ f(x) = 2x + 3 , \, $ adalah $ f^{-1}(x) = \frac{x-3}{2} $
*). Menentukan nilai $ f^{-1}(1) $
$ f^{-1}(x) = \frac{x-3}{2} \rightarrow f^{-1}(1) = \frac{1-3}{2} = \frac{-2}{2} = -1 $
Jadi, diperoleh nilai $ f^{-1}(1) = -1 $
2). Diketahui fungsi $ g(x) = \frac{3x-1}{2x+5} \, $ , tentukanlah inversnya.!
Penyelesaian :
Misalkan $ g(x) = y \, $ dan rubahlah kedalam bentuk $ x = g^{-1}(y) $
$ \begin{align} g(x) & = \frac{3x-1}{2x+5} \\ y & = \frac{3x-1}{2x+5} \\ y(2x+5) & = 3x -1 \\ 2xy + 5y & = 3x - 1 \\ 2xy - 3x & = -5y - 1 \\ x(2y - 3) & = -5y - 1 \\ x & = \frac{-5y - 1}{2y - 3} \\ \text{berdasarkan } x & = f^{-1}(y) \\ \text{diperoleh } f^{-1}(y) & = \frac{-5y - 1}{2y - 3} \end{align} $
Gantilah variabel $ y $ dengan $ x $, artinya $ f^{-1}(x) = \frac{-5x - 1}{2x - 3} $
Jadi, invers dari fungsi $ f(x) = \frac{3x-1}{2x+5} , \, $ adalah $ f^{-1}(x) = \frac{-5x - 1}{2x - 3} $
Cara II : $ f(x) = \frac{ax+b}{cx+d} \rightarrow f^{-1}(x) = \frac{dx - b}{-cx + a } $
$ g(x) = \frac{3x-1}{2x+5} \rightarrow g^{-1}(x) = \frac{5x+1}{-2x+3} $
$ g^{-1}(x) = \frac{5x+1}{-2x+3} \times \frac{-1}{-1} = \frac{-5x-1}{2x-3} $
Jadi, invers dari fungsi $ f(x) = \frac{3x-1}{2x+5} , \, $ adalah $ f^{-1}(x) = \frac{-5x - 1}{2x - 3} $
3). Diketahui $ f(x) = 5x - 3 . \, $ Jika $ f^{-1}(a) = 2 , \, $ maka nilai $ a + 5 = .... $
Penyelesaian :
Menentukan inversnya
$\begin{align} f(x) & = 5x - 3 \\ y & = 5x - 3 \\ 5x & = y + 3 \\ x & = \frac{y+3}{5} \\ f^{-1}(x) & = \frac{x+3}{5} \\ f^{-1}(a) & = \frac{a+3}{5} \end{align} $
Menenukan nilai $ a $
$ \begin{align} f^{-1}(a) & = 2 \\ \frac{a+3}{5} & = 2 \\ a+3 & = 10 \\ a & = 7 \end{align} $
Sehingga nilai $ a + 5 = 7 + 5 = 12 $
4). Diketahui fungsi $ f(x) = 2x + 1 . \, $ Apakah fungsi $ g(x) = \frac{x-1}{2} \, $ merupakan invers dari fungsi $ f(x) $?
Penyelesaian :
*). Dua fungsi dikatakan salaing invers jika dikomposisikan menghasilkan fungsi identitas ($I(x) = x$).
*). Agar fungsi $ g(x) \, $ merupakan invers dari fungsi $ f(x) \, $ , maka harus terpenuhi $ (f \circ g)(x) = x \, $ atau $ (g \circ f)(x) = x . \, $ Cukup cek salah satu saja.
*). cek fungsi komposisinya :
$ \begin{align} (f \circ g)(x) & = f(g(x)) \\ & = f\left( \frac{x-1}{2} \right) \\ & = 2\left( \frac{x-1}{2} \right) + 1 \\ & = (x-1) + 1 \\ & = x \end{align} $
Karena diperoleh $ (f \circ g)(x) = x, \, $ maka terbukti bahwa fungsi $ g(x) \, $ adalah invers dari fungsi $ f(x) $
Sifat-sifat Fungsi invers
Beberapa sifat fungsi invers :
1). $ (f^{-1}(x))^{-1} = f(x) $ ,
(fungsi invers di invers lagi, maka hasilnya kembali ke awal)
2). $ (f \circ f^{-1})(x) = (f^{-1} \circ f )(x) = I(x) = x $
(fungsi awal di invers dengan dirinya sendiri atau kebalikannya menghasilkan fungsi identitas yaitu $ I(x) = x $
Penjelasan definisi invers :
Definisi : $ y = f(x) \rightarrow f^{-1}(y) = x $, artinya ketika fungsinya ($f$) pindah ruas (dari kanan ke kiri atau dari kiri ke kanan), maka fungsi tersebut diberikan invers. misalkan :
$ f(A) = B \rightarrow A = f^{-1}(B) $
$ A = f^{-1}(B) \rightarrow (f^{-1})^{-1} (A) = B \rightarrow f(A) = B $
1). $ (f^{-1}(x))^{-1} = f(x) $ ,
(fungsi invers di invers lagi, maka hasilnya kembali ke awal)
2). $ (f \circ f^{-1})(x) = (f^{-1} \circ f )(x) = I(x) = x $
(fungsi awal di invers dengan dirinya sendiri atau kebalikannya menghasilkan fungsi identitas yaitu $ I(x) = x $
Penjelasan definisi invers :
Definisi : $ y = f(x) \rightarrow f^{-1}(y) = x $, artinya ketika fungsinya ($f$) pindah ruas (dari kanan ke kiri atau dari kiri ke kanan), maka fungsi tersebut diberikan invers. misalkan :
$ f(A) = B \rightarrow A = f^{-1}(B) $
$ A = f^{-1}(B) \rightarrow (f^{-1})^{-1} (A) = B \rightarrow f(A) = B $
1). Diketahui fungsi $ f(x) = 2x - 1 $
a). Tentukan $ f^{-1}(x) $
b). Tentukan $ (f^{-1}(x))^{-1} $
c). Tentukan $ (f \circ f^{-1})(x) $
d). Tentukan $ (f^{-1} \circ f)(x) $
Penyelesaian :
a). Menentukan $ f^{-1}(x) $
$\begin{align} f(x) & = 2x - 1 \\ y & = 2x - 1 \\ 2x & = y + 1 \\ x & = \frac{y+1}{2} \\ f^{-1}(y) & = \frac{y+1}{2} \end{align} $
sehingga inversnya : $ f^{-1}(x) = \frac{x+1}{2} $
b). Menentukan invers dari $ f^{-1}(x) = \frac{x+1}{2} $
$\begin{align} f^{-1}(x) & = \frac{x+1}{2} \\ y & = \frac{x+1}{2} \\ 2y & = x + 1 \\ x & = 2y - 1 \\ f^{-1}(y) & = 2y -1 \end{align} $
invers dari $ f^{-1} (x) $ adalah $ (f^{-1}(x))^{-1} = 2x -1 , \, $ yang sama dengan $ (f^{-1}(x))^{-1} = f(x) , \, $ ini sesuai dengan sifat invers.
c). Menentukan $ (f \circ f^{-1})(x) $
$ \begin{align} (f \circ f^{-1})(x) & = f(f^{-1}(x)) \\ & = f(\frac{x+1}{2}) \\ & = 2\left( \frac{x+1}{2} \right) - 1 \\ & = (x+1) - 1 \\ & = x \end{align} $
Diperoleh : $ (f \circ f^{-1})(x) = x $
d). Menentukan $ (f^{-1} \circ f)(x) $
$\begin{align} (f^{-1} \circ f)(x) & = f^{-1}(f(x)) \\ & = f^{-1}(2x-1) \\ & = \frac{(2x-1)+1}{2} \\ & = \frac{2x}{2} \\ & = x \end{align} $
Diperoleh : $ (f^{-1} \circ f)(x) = x $
Dari hasil c) dan d) terlihat bahwa $ (f \circ f^{-1})(x) = (f^{-1} \circ f)(x) = x, \, $ yang sesuai dengan sifat invers.
2). Diketahui fungsi $ f(x-2) = 3x + 5 $. Jika $ f^{-1}(a) = -1 , \, $ maka tentukan nilai $ a^2 -4 $ !
Penyelesaian :
Cara I : Menentukan inversnya terlebih dahulu
Misalkan $ p = x -2 \rightarrow x = p+2 , \, $ substitusi ke fungsinya
$ \begin{align} f(x-2) & = 3x + 5 \\ f(p) & = 3(p+2) + 5 \\ f(p) & = 3p + 11 \end{align} $
sehingga, $ f(x) = 3x + 11 $
*). Menentukan inversnya :
$ \begin{align} f(x) & = 3x + 11 \\ y & = 3x + 11 \\ 3x & = y - 11 \\ x & = \frac{y - 11}{3} \end{align} $
sehingga inversnya : $ f^{-1}(x) = \frac{x - 11}{3} $
*). Menentukan nilai $ a $
$ \begin{align} f^{-1}(x) & = \frac{x - 11}{3} \\ f^{-1}(a) & = -1 \\ \frac{a - 11}{3} & = -1 \\ a - 11 & = -3 \\ a & = 11 - 3 = 8 \end{align} $
diperoleh nilai $ a = 8 $,
sehingga nilai $ a^2 - 4 = 8^2 - 4 = 64 - 4 = 60 $
Jadi, nilai $ a^2 - 4 = 60 $
Cara II : Tanpa mencari inversnya.
*). Gunakan definisi invers : $ A = f(B) \rightarrow f^{-1}(A) = B $
$ f(x-2) = 3x + 5 \rightarrow x-2 = f^{-1}(3x+5) \, $ atau $ f^{-1}(3x+5) = x-2 $
*). Menyamakan bentuk yang diketahui dan yang ditanya.
$ \begin{align} f^{-1}(3x+5) & = x-2 \\ f^{-1}(a) & = -1 \end{align} $
Ruas kanan sama dengan ruas kanan dan ruas kiri sama juga dengan ruas kiri
Diperoleh : $ x - 2 = -1 \, $ dan $ a = 3x + 5 $
$ x - 2 = -1 \rightarrow x = 1 $
Substitusi nilai $ x = 1 \, $ ke persamaan kedua
$ x = 1 \rightarrow a = 3x + 5 = 3.1 + 5 = 8 $
sehingga nilai $ a^2 - 4 = 8^2 - 4 = 64 - 4 = 60 $
Jadi, nilai $ a^2 - 4 = 60 $
3). Diketahui fungsi invers $ f^{-1}\left( \frac{3}{x-1} \right) = \frac{x^2 - 8}{2- x } . \, $ Jika $ f(a) = -3, \, $ maka tentukan nilai $ a + 1 \, $ !
Penyelesaian : Tanpa mencari invernya,
Definisi : $ A = f(B) \rightarrow f^{-1}(A) = B $
sehingga $ f(a) = -3 \rightarrow a = f^{-1}(-3) \, $ atau $ f{-1}(-3) = a $
Menyamakan bentuknya :
$ \begin{align} f^{-1}\left( \frac{3}{x-1} \right) & = \frac{x^2 - 8}{2- x } \\ f^{-1}(-3) & = a \end{align} $
Diperoleh kesamaan : $ \frac{3}{x-1} = -3 \, $ dan $ a = \frac{x^2 - 8}{2- x } $
$ \frac{3}{x-1} = -3 \rightarrow x - 1 = -1 \rightarrow x = 0 $
Substitusi nilai $ x = 0 \, $ ke persamaan kedua,
$ a = \frac{x^2 - 8}{2- x } = \frac{0^2 - 8}{2- 0 } = \frac{ - 8}{2 } = -4 $
diperoleh nilai $ a = -4 $
Sehingga nilai $ a + 1 = -4 + 1 = -3 $
Jadi, nilai $ a + 1 = -3 $
Catatan : yang diubah menggunakan definisi invers boleh fungsi yang diketahui atau fungsi yang ditanyakan seperti soal nomor 2 dan nomor 3.
Invers dari fungsi komposisi
$ (g \circ f)^{-1}(x) = (f^{-1} \circ g^{-1})(x) \, $ dan $ (f \circ g)^{-1}(x) = (g^{-1} \circ f^{-1})(x) $
1). Diketahui fungsi $ f(x) = 3x + 5 \, $ dan $ g(x) = x -1 $. Tentukanlah $ (g \circ f)^{-1}(x) $
Penyelesaian :
*). Menentukan fungsi komposisinya
$ \begin{align} (g \circ f)(x) & = g(f(x)) \\ & = g(3x + 5) \\ & = (3x + 5) - 1 \\ & = 3x + 4 \end{align} $
*). Menentukan inversnya
misalkan $ y = (g \circ f)(x) $
$ \begin{align} (g \circ f)(x) & = 3x + 4 \\ y & = 3x + 4 \\ 3x & = y - 4 \\ x & = \frac{y-4}{3} \\ f^{-1}(y) & = \frac{y-4}{3} \end{align} $
Jadi, inversnya $ (g \circ f)^{-1}(x) = \frac{x-4}{3} $
2). Diketahui fungsi $ f^{-1}(x) = 2 - x \, $ dan $ g^{-1}(x) = \frac{x}{x-1} . \, $ Tentukan $ (f \circ g)^{-1}(x) $ !
Penyelesaian :
*). Kita langsung menggunakan sifat invers fungsi komposisi
$ \begin{align} (f \circ g)^{-1}(x) & = (g^{-1} \circ f^{-1})(x) \\ & = g^{-1}(f^{-1}(x)) \\ & = g^{-1}(2-x) \\ & = \frac{(2-x)}{(2-x)-1} \\ & = \frac{2-x}{1-x} \end{align} $
Jadi, diperoleh $ (f \circ g)^{-1}(x) = \frac{2-x}{1-x} $
Menggambar Grafik Fungsi Invers dan Grafik Fungsi Asalnya
Grafik fungsi invers ($f^{-1}(x)$) diperoleh dengan cara mencerminkan grafik fungsi awal ($f(x)$) terhadap garis $ y = x $ , begitu juga
sebaliknya, untuk mencari grafik fungsi asalnya ($f(x)$) diperoleh dengan mencerminkan grafik fungsi invers ($f^{-1}(x)$) terhadap garis $ y = x $
Diketahui fungsi $ f(x) = 2x-1 , \, $ gambarlah grafik $ f(x) \, $ dan $ f^{-1}(x) $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan invers fungsi
$ \begin{align} f(x) & = 2x-1 \\ y & = 2x-1 \\ 2x & = y + 1 \\ x & = \frac{y+1}{2} \end{align} $
Sehingga, inversnya $ f^{-1}(x) = \frac{x+1}{2} $
*). Dari grafik di atas, terlihat bahwa grafik $ f^{-1}(x) = \frac{x+1}{2} \, $ (warna hijau) adalah pencerminan dari grafik $ f(x) = 2x-1 \, $ (warna biru) terhadap garis $ y = x \, $ (warna merah).
Demikian penjelasan tentang fungsi invers, semoga bisa bermanfaat. Materi Relasi, Fungsi, Fungsi komposisi, dan Fungsi invers semuanya saling terkait, jadi sebaiknya kita pelajari semuanya.
