Rumus jumlah tak hingga deret geometri
Misalkan ada deret $ u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + .... \, $ yang dijumlahkan sampai tak hingga yang disimbolkan dengan $ s_\infty $.
Hasil jumlah tak hingganya ($s_\infty$) tergantng dari nilai rasionya ($r$).
a). Jika $ r > 1 , \, $ maka hasil penjumlahannya : $ s_\infty = + \infty $
b). Jika $ -1 < r < 1 , \, $ maka hasil penjumlahannya : $ s_\infty = \frac{a}{1-r} $
c). Jika $ r < -1 , \, $ maka hasil penjumlahannya : $ s_\infty = - \infty $
Secara umum nilai jumlah tak hingga deret geometri dengan rasio $ -1 < r < 1 \, $ adalah $ s_\infty = \frac{\text{suku pertama}}{1 - \text{ rasio}} $
Pada penjumlahan deret geometri tak hingga, ada dua istilah yaitu :
1). Konvergen (deret konvergen) syaratnya $ -1 < r < 1 , \, $ artinya jumlah sampai tak hingganya memberikan hasil angka tertentu (hasilnya bukan $ +\infty \, $ atau $ - \infty $)
2). Divergen (deret divergen) syaratnya $ r < -1 \, $ atau $ r > 1 , \, $ artinya jumlah sampai tak hingganya memberikan hasil $ +\infty \, $ atau $ - \infty $
a). Jika $ r > 1 , \, $ maka hasil penjumlahannya : $ s_\infty = + \infty $
b). Jika $ -1 < r < 1 , \, $ maka hasil penjumlahannya : $ s_\infty = \frac{a}{1-r} $
c). Jika $ r < -1 , \, $ maka hasil penjumlahannya : $ s_\infty = - \infty $
Secara umum nilai jumlah tak hingga deret geometri dengan rasio $ -1 < r < 1 \, $ adalah $ s_\infty = \frac{\text{suku pertama}}{1 - \text{ rasio}} $
Pada penjumlahan deret geometri tak hingga, ada dua istilah yaitu :
1). Konvergen (deret konvergen) syaratnya $ -1 < r < 1 , \, $ artinya jumlah sampai tak hingganya memberikan hasil angka tertentu (hasilnya bukan $ +\infty \, $ atau $ - \infty $)
2). Divergen (deret divergen) syaratnya $ r < -1 \, $ atau $ r > 1 , \, $ artinya jumlah sampai tak hingganya memberikan hasil $ +\infty \, $ atau $ - \infty $
Contoh :
1). Tentukan hasil penjumlahan dari deret geometri tak hingga berikut :
a). $ 2 + 4 + 8 + 16 + ..... $
b). $ 2 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ..... $
c). $ 3 + (-6) + 12 + (-24) + ..... $
Penyelesaian :
a). Rasio deretnya : $ r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{4}{2} = 2 $
Karena nilai rasionya = 2 ($r>1$), maka deret ini termasuk divergen dan hasilnya $ + \infty $
Jadi, nilai $ 2 + 4 + 8 + 16 + ..... = \infty $
b). Rasio deretnya : $ r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{1}{2} $
Karena nilai rasionya = $ \frac{1}{2} $ ($-1 < r < 1$), maka deret ini termasuk konvergen
Hasilnya : $ s_\infty = \frac{a}{1-r} = \frac{2}{1-\frac{1}{2}} = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4 $
Jadi, nilai $ 2 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ..... = 4 $
c). Rasio deretnya : $ r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{-6}{3} = -2 $
Karena nilai rasionya = -2 ($r < - 1$), maka deret ini termasuk divergen dan hasilnya $ - \infty $
Jadi, nilai $ 3 + (-6) + 12 + (-24) + ..... = - \infty $
2). Diketahui jumlah tak hingga suatu deret geometri adalah 6 dan suku pertamanya 2, tentukan nilai rasionya?
Penyelesaian :
Diketahui : $ a = 2, \, $ dan $ s_\infty = 6 $
*). Menentukan nilai rasionya ($r$)
$ \begin{align} s_\infty & = 6 \\ \frac{a}{1-r} & = 6 \\ \frac{2}{1-r} & = 6 \\ 1 - r & = \frac{2}{6} \\ 1-r & = \frac{1}{3} \\ r & = 1 - \frac{1}{3} \\ r & = \frac{2}{3} \end{align} $
Jadi, nilai rasionya adalah $ r = \frac{2}{3} $
3). Jika suku pertama deret geometri tak hingga adalah $ a \, $ dan jumlahnya 4, maka nilai $ a \, $ yang memenuhi adalah ... ?
Penyelesaian :
*). Karena jumlah takhingganya adalah 4 ($s_\infty = 4$) , artinya hasilnya bukan $ + \infty \, $ atau $ - \infty \, $ , maka deret ini termasuk deret konvergen dengan syarat $ -1 < r < 1 $
*). Menentukan hubungan suku pertama ($ a $) dan $ r \, $ dari jumlah tak hingganya.
$ \begin{align} s_\infty & = 4 \\ \frac{a}{1-r} & = 4 \\ 1-r & = \frac{a}{4} \\ r & = 1 - \frac{a}{4} \end{align} $
*). Substitusikan bentuk $ r = 1 - \frac{a}{4} \, $ ke syarat konvergen :
$ \begin{align} -1 < & r < 1 \\ -1 < 1 - & \frac{a}{4} < 1 \, \, \, \, \text{(jumlahkan -1)} \\ -1 + (-1) < 1 - & \frac{a}{4} + (-1) < 1 +(-1) \\ -2 < - & \frac{a}{4} < 0 \, \, \, \, \text{(kalikan -4, tanda dibalik)} \\ -2 \times (-4) < - & \frac{a}{4} \times (-4) < 0 \times (-4) \\ 8 > & a > 0 \\ 0 < & a < 8 \end{align} $
Catatan : jika pertidaksamaan dikalikan negatif, maka tanda ketaksamaan harus dibalik.
Jadi, agar deretnya konvergen, nilai $ a \, $ yang memenuhi adalah $ 0 < a < 8 $
Deret geometri takhingga suku-suku genap dan suku-suku ganjil
Misalkan ada deret geomeri tak hingga $ u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + u_5 .... \, $
Deret tersebut bisa dibagi menjadi dua bagian yaitu suku-suku bernomor genap dan ganjil
$ \begin{align} s_\infty & = u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + u_5 + u_6 .... \\ s_\infty & = (u_1 + u_3 + u_5+... ) + (u_2 + u_4 + u_6 ....) \\ s_\infty & = s_{\infty \text{ ganjil}} + s_{\infty \text{ genap}} \end{align} $
Artinya jumlah takhingga merupakan penjumlahan jumlah takhingga nomor ganjil dengan jumlah takhingga nomor genap.
Rumus takhingga nomor ganjil dan nomor genap.
$ \begin{align} s_{\infty \text{ ganjil}} & = u_1 + u_3 + u_5+... \\ & = a + ar^2 + ar^3 +... \\ & \left( \text{rasio} = \frac{ar^2}{a} = r^2 \right) \\ & \left( \text{suku pertama} = a \right) \\ & = \frac{\text{suku pertama}}{1 - \text{ rasio}} \\ s_{\infty \text{ ganjil}} & = \frac{a}{1 - r^2} \end{align} $
Sehingga rumus jumlah takhingga nomor ganjil : $ s_{\infty \text{ ganjil}} = \frac{a}{1 - r^2} $
$ \begin{align} s_{\infty \text{ genap}} & = u_2 + u_4 + u_6+... \\ & = ar + ar^3 + ar^5 +... \\ & \text{rasio} = \frac{ar^3}{ar} = r^2 \\ & \text{suku pertama} = ar \\ & = \frac{\text{suku pertama}}{1 - \text{ rasio}} \\ s_{\infty \text{ genap}} & = \frac{ar}{1 - r^2} \end{align} $
Sehingga rumus jumlah takhingga nomor genap : $ s_{\infty \text{ genap}} = \frac{ar}{1 - r^2} $
Menentukan rasio dari jumlah takhingga nomor ganjil dan genap.
$ \begin{align} \frac{s_{\infty \text{ genap}}}{s_{\infty \text{ ganjil}}} & = \frac{\frac{ar}{1 - r^2}}{\frac{a}{1 - r^2}} \\ & = \frac{\frac{ar}{1 - r^2}}{\frac{a}{1 - r^2}} \\ & = \frac{ar}{1 - r^2} . \frac{1-r^2}{a} \\ & = \frac{ar(1-r^2)}{a(1 - r^2)} \\ \frac{s_{\infty \text{ genap}}}{s_{\infty \text{ ganjil}}} & = r \end{align} $
Artinya untuk menentukan rasionya, cukup gunakan $ r = \frac{s_{\infty \text{ genap}}}{s_{\infty \text{ ganjil}}} $
Deret tersebut bisa dibagi menjadi dua bagian yaitu suku-suku bernomor genap dan ganjil
$ \begin{align} s_\infty & = u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + u_5 + u_6 .... \\ s_\infty & = (u_1 + u_3 + u_5+... ) + (u_2 + u_4 + u_6 ....) \\ s_\infty & = s_{\infty \text{ ganjil}} + s_{\infty \text{ genap}} \end{align} $
Artinya jumlah takhingga merupakan penjumlahan jumlah takhingga nomor ganjil dengan jumlah takhingga nomor genap.
Rumus takhingga nomor ganjil dan nomor genap.
$ \begin{align} s_{\infty \text{ ganjil}} & = u_1 + u_3 + u_5+... \\ & = a + ar^2 + ar^3 +... \\ & \left( \text{rasio} = \frac{ar^2}{a} = r^2 \right) \\ & \left( \text{suku pertama} = a \right) \\ & = \frac{\text{suku pertama}}{1 - \text{ rasio}} \\ s_{\infty \text{ ganjil}} & = \frac{a}{1 - r^2} \end{align} $
Sehingga rumus jumlah takhingga nomor ganjil : $ s_{\infty \text{ ganjil}} = \frac{a}{1 - r^2} $
$ \begin{align} s_{\infty \text{ genap}} & = u_2 + u_4 + u_6+... \\ & = ar + ar^3 + ar^5 +... \\ & \text{rasio} = \frac{ar^3}{ar} = r^2 \\ & \text{suku pertama} = ar \\ & = \frac{\text{suku pertama}}{1 - \text{ rasio}} \\ s_{\infty \text{ genap}} & = \frac{ar}{1 - r^2} \end{align} $
Sehingga rumus jumlah takhingga nomor genap : $ s_{\infty \text{ genap}} = \frac{ar}{1 - r^2} $
Menentukan rasio dari jumlah takhingga nomor ganjil dan genap.
$ \begin{align} \frac{s_{\infty \text{ genap}}}{s_{\infty \text{ ganjil}}} & = \frac{\frac{ar}{1 - r^2}}{\frac{a}{1 - r^2}} \\ & = \frac{\frac{ar}{1 - r^2}}{\frac{a}{1 - r^2}} \\ & = \frac{ar}{1 - r^2} . \frac{1-r^2}{a} \\ & = \frac{ar(1-r^2)}{a(1 - r^2)} \\ \frac{s_{\infty \text{ genap}}}{s_{\infty \text{ ganjil}}} & = r \end{align} $
Artinya untuk menentukan rasionya, cukup gunakan $ r = \frac{s_{\infty \text{ genap}}}{s_{\infty \text{ ganjil}}} $
Contoh :
Jika jumlah semua suku deret geometri tak hingga adalah 6, sedangkan jumlah suku-sukunya yang bernomor genap adalah 2, maka tentukan suku pertama deret tersebut ?
Penyelesaian :
Diketahui : $ s_\infty = 6 \, $ dan $ s_{\infty \text{ genap}} = 2 $
*). Menentukan nilai jumlah suku bernomor ganjil ($s_{\infty \text{ ganjil}}$) dan $ r $
$ \begin{align} s_\infty & = s_{\infty \text{ ganjil}} + s_{\infty \text{ genap}} \\ 6 & = s_{\infty \text{ ganjil}} + 2 \\ s_{\infty \text{ ganjil}} & = 6 - 2 = 4 \\ r & = \frac{s_{\infty \text{ genap}}}{s_{\infty \text{ ganjil}}} \\ r & = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \end{align} $
*). Menentukan nilai suku pertama ($a$)
untuk menentukan nilai $ a \, $ bisa menggunakan $ s_\infty \, $ atau $ s_{\infty \text{ ganjil}} \, $ atau $ s_{\infty \text{ genap}} $
$ \begin{align} s_\infty & = 6 \\ \frac{a}{1-r} & = 6 \\ a & = 6(1-r) \\ a & = 6(1-\frac{1}{2}) \\ a & = 6(\frac{1}{2}) \\ a & = 3 \end{align} $
Jadi, nilai suku pertamanya adalah $ a = 3 $
Penerapan jumlah takhingga deret geometri pada benda yang dijatuhkan/dilempar
Kejadian pelemparan benda yang dimaksud biasanya bola yang dijatuhkan atau bola dilempar ke atas. Berikut penjelasan
dua kasus yang dimaksud :
Bola dilempar ke atas
Misalkan bola dilempar ke atas, terbentuklah lintasan yang dilalui oleh bola tersebut seperti gambar berikut :
keterangan :
$ a = \, $ ketianggian awal yang dicapai oleh bola
$ r = \, $ rasio ketinggian setelah terjadi pantulan dari ketinggian sebelumnya.
Dari lintasan yang dilalui oleh bola, ada bagian yang naik dan ada bagian yang turun. Masing-masing bagian naik total panjang lintasannya adalah $ s_\infty \, $ dan bagian yang turun juga panjang lintasannya $ s_\infty $. Sehingga total panjang lintasan (PL) yang dilalui oleh bola adalah :
$ \begin{align} \text{total panjang lintasan} & = \text{Lintasan naik } + \text{ lintasan turun} \\ PL & = s_\infty + s_\infty \\ PL & = 2s\infty \\ PL & = 2\left( \frac{a}{1-r} \right) \\ PL & = \frac{2a}{1-r} \end{align} $
Bola dijatuhkan dari ketinggian awal $ a $
Lintasan yang terbentuk ketika bola dijatuhkan hampir sama dengan lintasan yang terbentuk ketika bola dilempar ke atas. Hanya saja satu lintasan awal (lintasan naik awal) tidak dihitung karena bola langsung dijatukan. Berikut gambar lintasannya :
Dari gambar bola dijatuhkan, terlihat bahwa lintasannya sama dengan bola dilempar ke atas, hanya saja satu lintasan naik ($a$) tidak dihitung. Sehingga total panjang
lintasannya adalah :
$ PL = 2s_\infty - a $
$ PL = 2\left( \frac{a}{1-r} \right) - a $
Panjang Lintasan setelah pantulan ke-$k$
Untuk kasus panjang lintasan setelah pantulan ke-$k \, $ baik bola dijatuhkan atau dilempar ke atas hasilnya akan selalu sama.
Dari gambar terlihat bahwa setelah pantulan ke-1 maka suku pertamanya adalah suku ke-2 ($u_2$), setelah pantulan ke-2 maka suku pertamanya adalah suku ke-3 ($u_3$), setelah pantulan ke-3 maka suku pertamanya adalah suku ke-4 ($u_4$), dan seterusnya sampai setelah pantulan ke-$k\,$ maka suku pertamanya adalah suku ke-$k+1\,$ ($u_{k+1}$)
Dapat disusun rumus panjang lintasannya dengan $ u_n = ar^{n-1} $ :
Panjang lintasan setelah pantulan ke-1 :
$ PL = 2s_\infty = 2. \frac{\text{suku pertama}}{1 - \text{ rasio}} = 2. \frac{u_2}{1 - r} = 2. \frac{ar}{1 - r} $
Panjang lintasan setelah pantulan ke-2 :
$ PL = 2s_\infty = 2. \frac{\text{suku pertama}}{1 - \text{ rasio}} = 2. \frac{u_3}{1 - r} = 2. \frac{ar^2}{1 - r} $
Panjang lintasan setelah pantulan ke-3 :
$ PL = 2s_\infty = 2. \frac{\text{suku pertama}}{1 - \text{ rasio}} = 2. \frac{u_4}{1 - r} = 2. \frac{ar^3}{1 - r} $
dan seterusnya .....
Panjang lintasan setelah pantulan ke-$k$ :
$ PL = 2s_\infty = 2. \frac{\text{suku pertama}}{1 - \text{ rasio}} = 2. \frac{u_{k+1}}{1 - r} = 2. \frac{ar^k}{1 - r} $
Jadi dapat diperumum, panjang lintasan bila bola dijatuhkan atau dilempar ke atas setelah pantulan ke-$k \, $ adalah
$ PL = 2 \times \frac{ar^k}{1 - r} $
Bola dilempar ke atas
Misalkan bola dilempar ke atas, terbentuklah lintasan yang dilalui oleh bola tersebut seperti gambar berikut :
$ a = \, $ ketianggian awal yang dicapai oleh bola
$ r = \, $ rasio ketinggian setelah terjadi pantulan dari ketinggian sebelumnya.
Dari lintasan yang dilalui oleh bola, ada bagian yang naik dan ada bagian yang turun. Masing-masing bagian naik total panjang lintasannya adalah $ s_\infty \, $ dan bagian yang turun juga panjang lintasannya $ s_\infty $. Sehingga total panjang lintasan (PL) yang dilalui oleh bola adalah :
$ \begin{align} \text{total panjang lintasan} & = \text{Lintasan naik } + \text{ lintasan turun} \\ PL & = s_\infty + s_\infty \\ PL & = 2s\infty \\ PL & = 2\left( \frac{a}{1-r} \right) \\ PL & = \frac{2a}{1-r} \end{align} $
Bola dijatuhkan dari ketinggian awal $ a $
Lintasan yang terbentuk ketika bola dijatuhkan hampir sama dengan lintasan yang terbentuk ketika bola dilempar ke atas. Hanya saja satu lintasan awal (lintasan naik awal) tidak dihitung karena bola langsung dijatukan. Berikut gambar lintasannya :
$ PL = 2s_\infty - a $
$ PL = 2\left( \frac{a}{1-r} \right) - a $
Panjang Lintasan setelah pantulan ke-$k$
Untuk kasus panjang lintasan setelah pantulan ke-$k \, $ baik bola dijatuhkan atau dilempar ke atas hasilnya akan selalu sama.
Dari gambar terlihat bahwa setelah pantulan ke-1 maka suku pertamanya adalah suku ke-2 ($u_2$), setelah pantulan ke-2 maka suku pertamanya adalah suku ke-3 ($u_3$), setelah pantulan ke-3 maka suku pertamanya adalah suku ke-4 ($u_4$), dan seterusnya sampai setelah pantulan ke-$k\,$ maka suku pertamanya adalah suku ke-$k+1\,$ ($u_{k+1}$)
Dapat disusun rumus panjang lintasannya dengan $ u_n = ar^{n-1} $ :
Panjang lintasan setelah pantulan ke-1 :
$ PL = 2s_\infty = 2. \frac{\text{suku pertama}}{1 - \text{ rasio}} = 2. \frac{u_2}{1 - r} = 2. \frac{ar}{1 - r} $
Panjang lintasan setelah pantulan ke-2 :
$ PL = 2s_\infty = 2. \frac{\text{suku pertama}}{1 - \text{ rasio}} = 2. \frac{u_3}{1 - r} = 2. \frac{ar^2}{1 - r} $
Panjang lintasan setelah pantulan ke-3 :
$ PL = 2s_\infty = 2. \frac{\text{suku pertama}}{1 - \text{ rasio}} = 2. \frac{u_4}{1 - r} = 2. \frac{ar^3}{1 - r} $
dan seterusnya .....
Panjang lintasan setelah pantulan ke-$k$ :
$ PL = 2s_\infty = 2. \frac{\text{suku pertama}}{1 - \text{ rasio}} = 2. \frac{u_{k+1}}{1 - r} = 2. \frac{ar^k}{1 - r} $
Jadi dapat diperumum, panjang lintasan bila bola dijatuhkan atau dilempar ke atas setelah pantulan ke-$k \, $ adalah
$ PL = 2 \times \frac{ar^k}{1 - r} $
Contoh :
1). Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 4 m dan memantul kembali menjadi $ \frac{2}{3} \, $ tinggi sebelumnya. Tentukan panjang lintasan bola tersebut sampai berhenti?
Penyelesaian:
Diketahui : $ a = 4 \, $ dan $ r = \frac{2}{3} $
Panjang lintasannya :
$ \begin{align} PL & = 2s_\infty - a \\ & = 2\left( \frac{a}{1-r} \right) - a \\ & = 2\left( \frac{4}{1-\frac{2}{3}} \right) - 4 \\ & = 2\left( \frac{4}{\frac{1}{3}} \right) - 4 \\ & = 2\left( 4 . 3 \right) - 4 \\ & = 2\left( 12 \right) - 4 \\ & = 24 - 4 = 20 \end{align} $
Jadi, panjang lintasan sampai berhenti adalah 20 m.
2). Sebuah bola dilempar ke atas sehingga mencapai ketinggian 5 m dan memantul kembali menjadi $ \frac{4}{5} \, $ tinggi sebelumnya. Tentukan panjang lintasan setelah pantulan ke-3 samapi berhenti?
Penyelesaian :
Diketahui : $ a = 5 \, $ dan $ r = \frac{4}{5} $
Panjang lintasan setelah pantulan ke-3 ($k = 3$)
$ \begin{align} PL & = 2 \times \frac{ar^k}{1 - r} \\ & = 2 \times \frac{5\left( \frac{4}{5} \right)^3}{1 - \frac{4}{5} } \\ & = 2 \times \frac{5\left( \frac{64}{125} \right)}{ \frac{1}{5} } \\ & = 2 \times 5 \times \frac{64}{125} \times \frac{5}{1} \\ & = \frac{128}{5} \end{align} $
Jadi, panjang lintasan setelah pantulan ke-3 sampai berhenti adalah $ \frac{128}{5} \, $ m.
