Rumus jumlah tak hingga deret geometri
Misalkan ada deret $ u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + .... \, $ yang dijumlahkan sampai tak hingga yang disimbolkan dengan $ s_\infty $.
Hasil jumlah tak hingganya ($s_\infty$) tergantng dari nilai rasionya ($r$).
a). Jika $ r > 1 , \, $ maka hasil penjumlahannya : $ s_\infty = + \infty $
b). Jika $ -1 < r < 1 , \, $ maka hasil penjumlahannya : $ s_\infty = \frac{a}{1-r} $
c). Jika $ r < -1 , \, $ maka hasil penjumlahannya : $ s_\infty = - \infty $
Secara umum nilai jumlah tak hingga deret geometri dengan rasio $ -1 < r < 1 \, $ adalah $ s_\infty = \frac{\text{suku pertama}}{1 - \text{ rasio}} $
Pada penjumlahan deret geometri tak hingga, ada dua istilah yaitu :
1). Konvergen (deret konvergen) syaratnya $ -1 < r < 1 , \, $ artinya jumlah sampai tak hingganya memberikan hasil angka tertentu (hasilnya bukan $ +\infty \, $ atau $ - \infty $)
2). Divergen (deret divergen) syaratnya $ r < -1 \, $ atau $ r > 1 , \, $ artinya jumlah sampai tak hingganya memberikan hasil $ +\infty \, $ atau $ - \infty $
a). Jika $ r > 1 , \, $ maka hasil penjumlahannya : $ s_\infty = + \infty $
b). Jika $ -1 < r < 1 , \, $ maka hasil penjumlahannya : $ s_\infty = \frac{a}{1-r} $
c). Jika $ r < -1 , \, $ maka hasil penjumlahannya : $ s_\infty = - \infty $
Secara umum nilai jumlah tak hingga deret geometri dengan rasio $ -1 < r < 1 \, $ adalah $ s_\infty = \frac{\text{suku pertama}}{1 - \text{ rasio}} $
Pada penjumlahan deret geometri tak hingga, ada dua istilah yaitu :
1). Konvergen (deret konvergen) syaratnya $ -1 < r < 1 , \, $ artinya jumlah sampai tak hingganya memberikan hasil angka tertentu (hasilnya bukan $ +\infty \, $ atau $ - \infty $)
2). Divergen (deret divergen) syaratnya $ r < -1 \, $ atau $ r > 1 , \, $ artinya jumlah sampai tak hingganya memberikan hasil $ +\infty \, $ atau $ - \infty $
Contoh :
1). Tentukan hasil penjumlahan dari deret geometri tak hingga berikut :
a). $ 2 + 4 + 8 + 16 + ..... $
b). $ 2 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ..... $
c). $ 3 + (-6) + 12 + (-24) + ..... $
Penyelesaian :
a). Rasio deretnya : $ r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{4}{2} = 2 $
Karena nilai rasionya = 2 ($r>1$), maka deret ini termasuk divergen dan hasilnya $ + \infty $
Jadi, nilai $ 2 + 4 + 8 + 16 + ..... = \infty $
b). Rasio deretnya : $ r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{1}{2} $
Karena nilai rasionya = $ \frac{1}{2} $ ($-1 < r < 1$), maka deret ini termasuk konvergen
Hasilnya : $ s_\infty = \frac{a}{1-r} = \frac{2}{1-\frac{1}{2}} = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4 $
Jadi, nilai $ 2 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ..... = 4 $
c). Rasio deretnya : $ r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{-6}{3} = -2 $
Karena nilai rasionya = -2 ($r < - 1$), maka deret ini termasuk divergen dan hasilnya $ - \infty $
Jadi, nilai $ 3 + (-6) + 12 + (-24) + ..... = - \infty $
2). Diketahui jumlah tak hingga suatu deret geometri adalah 6 dan suku pertamanya 2, tentukan nilai rasionya?
Penyelesaian :
Diketahui : $ a = 2, \, $ dan $ s_\infty = 6 $
*). Menentukan nilai rasionya ($r$)
$ \begin{align} s_\infty & = 6 \\ \frac{a}{1-r} & = 6 \\ \frac{2}{1-r} & = 6 \\ 1 - r & = \frac{2}{6} \\ 1-r & = \frac{1}{3} \\ r & = 1 - \frac{1}{3} \\ r & = \frac{2}{3} \end{align} $
Jadi, nilai rasionya adalah $ r = \frac{2}{3} $
3). Jika suku pertama deret geometri tak hingga adalah $ a \, $ dan jumlahnya 4, maka nilai $ a \, $ yang memenuhi adalah ... ?
Penyelesaian :
*). Karena jumlah takhingganya adalah 4 ($s_\infty = 4$) , artinya hasilnya bukan $ + \infty \, $ atau $ - \infty \, $ , maka deret ini termasuk deret konvergen dengan syarat $ -1 < r < 1 $
*). Menentukan hubungan suku pertama ($ a $) dan $ r \, $ dari jumlah tak hingganya.
$ \begin{align} s_\infty & = 4 \\ \frac{a}{1-r} & = 4 \\ 1-r & = \frac{a}{4} \\ r & = 1 - \frac{a}{4} \end{align} $
*). Substitusikan bentuk $ r = 1 - \frac{a}{4} \, $ ke syarat konvergen :
$ \begin{align} -1 < & r < 1 \\ -1 < 1 - & \frac{a}{4} < 1 \, \, \, \, \text{(jumlahkan -1)} \\ -1 + (-1) < 1 - & \frac{a}{4} + (-1) < 1 +(-1) \\ -2 < - & \frac{a}{4} < 0 \, \, \, \, \text{(kalikan -4, tanda dibalik)} \\ -2 \times (-4) < - & \frac{a}{4} \times (-4) < 0 \times (-4) \\ 8 > & a > 0 \\ 0 < & a < 8 \end{align} $
Catatan : jika pertidaksamaan dikalikan negatif, maka tanda ketaksamaan harus dibalik.
Jadi, agar deretnya konvergen, nilai $ a \, $ yang memenuhi adalah $ 0 < a < 8 $
Deret geometri takhingga suku-suku genap dan suku-suku ganjil
Misalkan ada deret geomeri tak hingga $ u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + u_5 .... \, $
Deret tersebut bisa dibagi menjadi dua bagian yaitu suku-suku bernomor genap dan ganjil
$ \begin{align} s_\infty & = u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + u_5 + u_6 .... \\ s_\infty & = (u_1 + u_3 + u_5+... ) + (u_2 + u_4 + u_6 ....) \\ s_\infty & = s_{\infty \text{ ganjil}} + s_{\infty \text{ genap}} \end{align} $
Artinya jumlah takhingga merupakan penjumlahan jumlah takhingga nomor ganjil dengan jumlah takhingga nomor genap.
Rumus takhingga nomor ganjil dan nomor genap.
$ \begin{align} s_{\infty \text{ ganjil}} & = u_1 + u_3 + u_5+... \\ & = a + ar^2 + ar^3 +... \\ & \left( \text{rasio} = \frac{ar^2}{a} = r^2 \right) \\ & \left( \text{suku pertama} = a \right) \\ & = \frac{\text{suku pertama}}{1 - \text{ rasio}} \\ s_{\infty \text{ ganjil}} & = \frac{a}{1 - r^2} \end{align} $
Sehingga rumus jumlah takhingga nomor ganjil : $ s_{\infty \text{ ganjil}} = \frac{a}{1 - r^2} $
$ \begin{align} s_{\infty \text{ genap}} & = u_2 + u_4 + u_6+... \\ & = ar + ar^3 + ar^5 +... \\ & \text{rasio} = \frac{ar^3}{ar} = r^2 \\ & \text{suku pertama} = ar \\ & = \frac{\text{suku pertama}}{1 - \text{ rasio}} \\ s_{\infty \text{ genap}} & = \frac{ar}{1 - r^2} \end{align} $
Sehingga rumus jumlah takhingga nomor genap : $ s_{\infty \text{ genap}} = \frac{ar}{1 - r^2} $
Menentukan rasio dari jumlah takhingga nomor ganjil dan genap.
$ \begin{align} \frac{s_{\infty \text{ genap}}}{s_{\infty \text{ ganjil}}} & = \frac{\frac{ar}{1 - r^2}}{\frac{a}{1 - r^2}} \\ & = \frac{\frac{ar}{1 - r^2}}{\frac{a}{1 - r^2}} \\ & = \frac{ar}{1 - r^2} . \frac{1-r^2}{a} \\ & = \frac{ar(1-r^2)}{a(1 - r^2)} \\ \frac{s_{\infty \text{ genap}}}{s_{\infty \text{ ganjil}}} & = r \end{align} $
Artinya untuk menentukan rasionya, cukup gunakan $ r = \frac{s_{\infty \text{ genap}}}{s_{\infty \text{ ganjil}}} $
Deret tersebut bisa dibagi menjadi dua bagian yaitu suku-suku bernomor genap dan ganjil
$ \begin{align} s_\infty & = u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + u_5 + u_6 .... \\ s_\infty & = (u_1 + u_3 + u_5+... ) + (u_2 + u_4 + u_6 ....) \\ s_\infty & = s_{\infty \text{ ganjil}} + s_{\infty \text{ genap}} \end{align} $
Artinya jumlah takhingga merupakan penjumlahan jumlah takhingga nomor ganjil dengan jumlah takhingga nomor genap.
Rumus takhingga nomor ganjil dan nomor genap.
$ \begin{align} s_{\infty \text{ ganjil}} & = u_1 + u_3 + u_5+... \\ & = a + ar^2 + ar^3 +... \\ & \left( \text{rasio} = \frac{ar^2}{a} = r^2 \right) \\ & \left( \text{suku pertama} = a \right) \\ & = \frac{\text{suku pertama}}{1 - \text{ rasio}} \\ s_{\infty \text{ ganjil}} & = \frac{a}{1 - r^2} \end{align} $
Sehingga rumus jumlah takhingga nomor ganjil : $ s_{\infty \text{ ganjil}} = \frac{a}{1 - r^2} $
$ \begin{align} s_{\infty \text{ genap}} & = u_2 + u_4 + u_6+... \\ & = ar + ar^3 + ar^5 +... \\ & \text{rasio} = \frac{ar^3}{ar} = r^2 \\ & \text{suku pertama} = ar \\ & = \frac{\text{suku pertama}}{1 - \text{ rasio}} \\ s_{\infty \text{ genap}} & = \frac{ar}{1 - r^2} \end{align} $
Sehingga rumus jumlah takhingga nomor genap : $ s_{\infty \text{ genap}} = \frac{ar}{1 - r^2} $
Menentukan rasio dari jumlah takhingga nomor ganjil dan genap.
$ \begin{align} \frac{s_{\infty \text{ genap}}}{s_{\infty \text{ ganjil}}} & = \frac{\frac{ar}{1 - r^2}}{\frac{a}{1 - r^2}} \\ & = \frac{\frac{ar}{1 - r^2}}{\frac{a}{1 - r^2}} \\ & = \frac{ar}{1 - r^2} . \frac{1-r^2}{a} \\ & = \frac{ar(1-r^2)}{a(1 - r^2)} \\ \frac{s_{\infty \text{ genap}}}{s_{\infty \text{ ganjil}}} & = r \end{align} $
Artinya untuk menentukan rasionya, cukup gunakan $ r = \frac{s_{\infty \text{ genap}}}{s_{\infty \text{ ganjil}}} $
Contoh :
Jika jumlah semua suku deret geometri tak hingga adalah 6, sedangkan jumlah suku-sukunya yang bernomor genap adalah 2, maka tentukan suku pertama deret tersebut ?
Penyelesaian :
Diketahui : $ s_\infty = 6 \, $ dan $ s_{\infty \text{ genap}} = 2 $
*). Menentukan nilai jumlah suku bernomor ganjil ($s_{\infty \text{ ganjil}}$) dan $ r $
$ \begin{align} s_\infty & = s_{\infty \text{ ganjil}} + s_{\infty \text{ genap}} \\ 6 & = s_{\infty \text{ ganjil}} + 2 \\ s_{\infty \text{ ganjil}} & = 6 - 2 = 4 \\ r & = \frac{s_{\infty \text{ genap}}}{s_{\infty \text{ ganjil}}} \\ r & = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \end{align} $
*). Menentukan nilai suku pertama ($a$)
untuk menentukan nilai $ a \, $ bisa menggunakan $ s_\infty \, $ atau $ s_{\infty \text{ ganjil}} \, $ atau $ s_{\infty \text{ genap}} $
$ \begin{align} s_\infty & = 6 \\ \frac{a}{1-r} & = 6 \\ a & = 6(1-r) \\ a & = 6(1-\frac{1}{2}) \\ a & = 6(\frac{1}{2}) \\ a & = 3 \end{align} $
Jadi, nilai suku pertamanya adalah $ a = 3 $
Penerapan jumlah takhingga deret geometri pada benda yang dijatuhkan/dilempar
Kejadian pelemparan benda yang dimaksud biasanya bola yang dijatuhkan atau bola dilempar ke atas. Berikut penjelasan
dua kasus yang dimaksud :
Bola dilempar ke atas
Misalkan bola dilempar ke atas, terbentuklah lintasan yang dilalui oleh bola tersebut seperti gambar berikut :
keterangan :
$ a = \, $ ketianggian awal yang dicapai oleh bola
$ r = \, $ rasio ketinggian setelah terjadi pantulan dari ketinggian sebelumnya.
Dari lintasan yang dilalui oleh bola, ada bagian yang naik dan ada bagian yang turun. Masing-masing bagian naik total panjang lintasannya adalah $ s_\infty \, $ dan bagian yang turun juga panjang lintasannya $ s_\infty $. Sehingga total panjang lintasan (PL) yang dilalui oleh bola adalah :
$ \begin{align} \text{total panjang lintasan} & = \text{Lintasan naik } + \text{ lintasan turun} \\ PL & = s_\infty + s_\infty \\ PL & = 2s\infty \\ PL & = 2\left( \frac{a}{1-r} \right) \\ PL & = \frac{2a}{1-r} \end{align} $
Bola dijatuhkan dari ketinggian awal $ a $
Lintasan yang terbentuk ketika bola dijatuhkan hampir sama dengan lintasan yang terbentuk ketika bola dilempar ke atas. Hanya saja satu lintasan awal (lintasan naik awal) tidak dihitung karena bola langsung dijatukan. Berikut gambar lintasannya :
Dari gambar bola dijatuhkan, terlihat bahwa lintasannya sama dengan bola dilempar ke atas, hanya saja satu lintasan naik ($a$) tidak dihitung. Sehingga total panjang lintasannya adalah :
$ PL = 2s_\infty - a $
$ PL = 2\left( \frac{a}{1-r} \right) - a $
Panjang Lintasan setelah pantulan ke-$k$
Untuk kasus panjang lintasan setelah pantulan ke-$k \, $ baik bola dijatuhkan atau dilempar ke atas hasilnya akan selalu sama.
Dari gambar terlihat bahwa setelah pantulan ke-1 maka suku pertamanya adalah suku ke-2 ($u_2$), setelah pantulan ke-2 maka suku pertamanya adalah suku ke-3 ($u_3$), setelah pantulan ke-3 maka suku pertamanya adalah suku ke-4 ($u_4$), dan seterusnya sampai setelah pantulan ke-$k\,$ maka suku pertamanya adalah suku ke-$k+1\,$ ($u_{k+1}$)
Dapat disusun rumus panjang lintasannya dengan $ u_n = ar^{n-1} $ :
Panjang lintasan setelah pantulan ke-1 :
$ PL = 2s_\infty = 2. \frac{\text{suku pertama}}{1 - \text{ rasio}} = 2. \frac{u_2}{1 - r} = 2. \frac{ar}{1 - r} $
Panjang lintasan setelah pantulan ke-2 :
$ PL = 2s_\infty = 2. \frac{\text{suku pertama}}{1 - \text{ rasio}} = 2. \frac{u_3}{1 - r} = 2. \frac{ar^2}{1 - r} $
Panjang lintasan setelah pantulan ke-3 :
$ PL = 2s_\infty = 2. \frac{\text{suku pertama}}{1 - \text{ rasio}} = 2. \frac{u_4}{1 - r} = 2. \frac{ar^3}{1 - r} $
dan seterusnya .....
Panjang lintasan setelah pantulan ke-$k$ :
$ PL = 2s_\infty = 2. \frac{\text{suku pertama}}{1 - \text{ rasio}} = 2. \frac{u_{k+1}}{1 - r} = 2. \frac{ar^k}{1 - r} $
Jadi dapat diperumum, panjang lintasan bila bola dijatuhkan atau dilempar ke atas setelah pantulan ke-$k \, $ adalah
$ PL = 2 \times \frac{ar^k}{1 - r} $
Bola dilempar ke atas
Misalkan bola dilempar ke atas, terbentuklah lintasan yang dilalui oleh bola tersebut seperti gambar berikut :
keterangan :
$ a = \, $ ketianggian awal yang dicapai oleh bola
$ r = \, $ rasio ketinggian setelah terjadi pantulan dari ketinggian sebelumnya.
Dari lintasan yang dilalui oleh bola, ada bagian yang naik dan ada bagian yang turun. Masing-masing bagian naik total panjang lintasannya adalah $ s_\infty \, $ dan bagian yang turun juga panjang lintasannya $ s_\infty $. Sehingga total panjang lintasan (PL) yang dilalui oleh bola adalah :
$ \begin{align} \text{total panjang lintasan} & = \text{Lintasan naik } + \text{ lintasan turun} \\ PL & = s_\infty + s_\infty \\ PL & = 2s\infty \\ PL & = 2\left( \frac{a}{1-r} \right) \\ PL & = \frac{2a}{1-r} \end{align} $
Bola dijatuhkan dari ketinggian awal $ a $
Lintasan yang terbentuk ketika bola dijatuhkan hampir sama dengan lintasan yang terbentuk ketika bola dilempar ke atas. Hanya saja satu lintasan awal (lintasan naik awal) tidak dihitung karena bola langsung dijatukan. Berikut gambar lintasannya :
Dari gambar bola dijatuhkan, terlihat bahwa lintasannya sama dengan bola dilempar ke atas, hanya saja satu lintasan naik ($a$) tidak dihitung. Sehingga total panjang lintasannya adalah :
$ PL = 2s_\infty - a $
$ PL = 2\left( \frac{a}{1-r} \right) - a $
Panjang Lintasan setelah pantulan ke-$k$
Untuk kasus panjang lintasan setelah pantulan ke-$k \, $ baik bola dijatuhkan atau dilempar ke atas hasilnya akan selalu sama.
Dari gambar terlihat bahwa setelah pantulan ke-1 maka suku pertamanya adalah suku ke-2 ($u_2$), setelah pantulan ke-2 maka suku pertamanya adalah suku ke-3 ($u_3$), setelah pantulan ke-3 maka suku pertamanya adalah suku ke-4 ($u_4$), dan seterusnya sampai setelah pantulan ke-$k\,$ maka suku pertamanya adalah suku ke-$k+1\,$ ($u_{k+1}$)
Dapat disusun rumus panjang lintasannya dengan $ u_n = ar^{n-1} $ :
Panjang lintasan setelah pantulan ke-1 :
$ PL = 2s_\infty = 2. \frac{\text{suku pertama}}{1 - \text{ rasio}} = 2. \frac{u_2}{1 - r} = 2. \frac{ar}{1 - r} $
Panjang lintasan setelah pantulan ke-2 :
$ PL = 2s_\infty = 2. \frac{\text{suku pertama}}{1 - \text{ rasio}} = 2. \frac{u_3}{1 - r} = 2. \frac{ar^2}{1 - r} $
Panjang lintasan setelah pantulan ke-3 :
$ PL = 2s_\infty = 2. \frac{\text{suku pertama}}{1 - \text{ rasio}} = 2. \frac{u_4}{1 - r} = 2. \frac{ar^3}{1 - r} $
dan seterusnya .....
Panjang lintasan setelah pantulan ke-$k$ :
$ PL = 2s_\infty = 2. \frac{\text{suku pertama}}{1 - \text{ rasio}} = 2. \frac{u_{k+1}}{1 - r} = 2. \frac{ar^k}{1 - r} $
Jadi dapat diperumum, panjang lintasan bila bola dijatuhkan atau dilempar ke atas setelah pantulan ke-$k \, $ adalah
$ PL = 2 \times \frac{ar^k}{1 - r} $
Contoh :
1). Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 4 m dan memantul kembali menjadi $ \frac{2}{3} \, $ tinggi sebelumnya. Tentukan panjang lintasan bola tersebut sampai berhenti?
Penyelesaian:
Diketahui : $ a = 4 \, $ dan $ r = \frac{2}{3} $
Panjang lintasannya :
$ \begin{align} PL & = 2s_\infty - a \\ & = 2\left( \frac{a}{1-r} \right) - a \\ & = 2\left( \frac{4}{1-\frac{2}{3}} \right) - 4 \\ & = 2\left( \frac{4}{\frac{1}{3}} \right) - 4 \\ & = 2\left( 4 . 3 \right) - 4 \\ & = 2\left( 12 \right) - 4 \\ & = 24 - 4 = 20 \end{align} $
Jadi, panjang lintasan sampai berhenti adalah 20 m.
2). Sebuah bola dilempar ke atas sehingga mencapai ketinggian 5 m dan memantul kembali menjadi $ \frac{4}{5} \, $ tinggi sebelumnya. Tentukan panjang lintasan setelah pantulan ke-3 samapi berhenti?
Penyelesaian :
Diketahui : $ a = 5 \, $ dan $ r = \frac{4}{5} $
Panjang lintasan setelah pantulan ke-3 ($k = 3$)
$ \begin{align} PL & = 2 \times \frac{ar^k}{1 - r} \\ & = 2 \times \frac{5\left( \frac{4}{5} \right)^3}{1 - \frac{4}{5} } \\ & = 2 \times \frac{5\left( \frac{64}{125} \right)}{ \frac{1}{5} } \\ & = 2 \times 5 \times \frac{64}{125} \times \frac{5}{1} \\ & = \frac{128}{5} \end{align} $
Jadi, panjang lintasan setelah pantulan ke-3 sampai berhenti adalah $ \frac{128}{5} \, $ m.
waww tengkyu banget minn.. guna bangett sumpah ;) jadi ngerti deh hehe :D
BalasHapusterima kasih untuk kunjungannya ke blog ini.
Hapussemoga selalu bisa bermanfaat untuk kita semua
Makasih min,,, sangat membantu
BalasHapusterima kasih kunjungannya ke blog koma ini.
Hapussemoga terus bisa membantu.
wah disekolah ga paham ama guru buka web ini jadi cerah pikiran :) thanks konsepnya jadi bisa ngerjain soal" dari guru saya terus kembangkan min !
BalasHapusane paham sekarang..........
BalasHapusudah muter - muter nyari tapi gagal paham terus
tokcer dah konsepnya
Min soal terakhir salah deh, bukannya k harusnya 4?
BalasHapusHallow @Roy Ardika.
HapusTerima kasih untuk kunjungannya ke blog koma ini.
Dan terima kasih juga untuk koreksinya.
Namun penjelasan untuk soal terakhir sudah benar ($k=3$). Coba @Roy baca teorinya dibagian atasnya tentang panjang lintasan setelah pantulan ke-$k$. Di sana juga sudah kami lengkapi dengan gambarnya agar mudah dipahami.
Rumus $ 2\times \frac{ar^k}{1-r} $ sudah kita modifikasi dan kita perumum dari penjabaran bentuk gambarnya.
Jika ingin menggunakan 4, maka rumus yang kita gunakan adalah $ 2 \times \frac{ar^{n-1}}{1-r} $ dengan $ n = 4 $.
Terima kasih. Semoga bisa menjawab penjelasannya.
Penjelasannya mudah banget dipahami. Ngerjain soal jadi nggak bingung lagi..., terima kasih.
BalasHapusHallow @Nur Afifah
HapusTerima kasih untuk kunjungannya ke blog koma ini. Semoga selalu bisa membantu. ^_^
gan untuk rumus panjang lintasan setelah pantulan ke k, itu klo misal bola jatuh bknnya di kurang "a" jg? mksh
BalasHapushallow @Rifqi A,
HapusTerima kasih untuk kunjungannya ke blog koma ini.
Untuk kasus panjang lintasan setelah pantulan ke-$k$, rumusnya akan sama baik untuk kejadian bola dijauhkan atau bola dilempar ke atas. Coba lihat gambarnya di atas, setelah pantulan ke-$k$ misalkan setelah pantulan ke-1, tidak melibatkan jenis kejadiannya (baik dijatuhkan atau dilempar) karena setelah pantulan ke-1 bolanya akan selalu bergerak dari lantai dasar.
Semoga bisa menjawab pertanyaannya.
Terima kasih.
Terima kasih...........
BalasHapusMenarik juga untuk di cerna..... Gbu.
Mohon ditambahkan soal-soal yang menarik yang bersentuhan dengan kehidupan nyata. Thanks.
BalasHapusTerima kasih ! Ulasannya menarik dan menyegarkan.
BalasHapusTerima kasih pak @James untuk kunjungannya ke blog KOMA ini.
HapusTerima kasih juga untuk masukannya.
Semoga terus bisa membantu.
bagaimana jika hasil rasionya berbeda tidak terpusat / tidak tetap dan rasionya diantara -1<r<1 terus dikatakan apa???? selain konvergen dan divergen
BalasHapusHallow @Halik,
HapusTerimakasih untuk pertanyaannya.
Sesuai judul artikel ini, kita membahas deret geometri tak hingga, dimana perbandingan dua suku berurutan tetap sama yang kita sebut dengan rasio.
Jika perbandingannya berbeda antara dua suku berdekatan, maka tidak bisa kita sebut sebagai rasio. Meskipun nilai perbandingannya berkisar natara $ -1 $ dan $ 1 $, jenis deret ini bukan termasuk deret geometri tak hingga sehingga tidak bisa kita golongkan menjadi deret konvergen atau deret divergen secara geometri.
Mungkin untuk analisanya, bukan pada ranah deretnya, melainnya pada barisannya (suku-sukunya), yang bisa terbentuk barisan yang konvergen atau barisan divergen.
Terimakasih untuk kunjungannya ke blog koma ini.
Terima kasih, penjel
BalasHapusasan sangat baik, mudah dimengerti dan sangat membantu.
Hallow @ryan,
HapusTerimakasih untuk kunjungannya ke blog koma ini.
Selamat belajar.
bang koma, ada pembahasan tentang hasil kali barisan geometri ga ??
BalasHapusHallow @Ah reum Lim,
HapusTerimakasih untuk pertanyaannya.
COba cek pada artikel "kumpulan soal barisan dan deret seleksi masuk PTN
Semoga bisa membantu.
Terimakasih untuk kunjungannya ke blog koma ini.
Thanks min, ngebantu banget! ^^
BalasHapusThanks min, ngebantu banget! ^^
BalasHapusHallow @Claudia,
HapusTerimakasih untuk kunjungannya ke blog koma ini.
Semoga terus bisa membantu.
Tetap semangat belajar.
Gan mau tanya nih. Kalau soalnya tentang ayunan konsepnya gimana? Apakah sama dengan konsep deret geometri tak terhingga yang bola dilemparkan ke atas?
BalasHapusHallow @Naufal,
HapusTerima kasih untuk pertanyaannya.
Iya, logikanya mirip dengan bola di lempar ke atas, hanya saja ayunan pertama dari pelepasan pertama tidak sama dengan kemvalinya, sehingga tidak perlu dikalu 2, cukup panjang lintasan = $S_\infty $.
Kalau @naufal punya soal berkaitan ayunan, mohon di share di sini ya, biar sy juga buatkan pembahasannya untuk memperkaya variasi soal di blog koma.
Terima kasih untuk kunjungannya ke blog koma.
Syarat rasio deret geometri tak hingga, -1 < r < 1, berarti untuk r=0 berlaku, akibatnya barisan menjadi suku tunggal saja yaitu u1 = a. Apakah masih bisa disebut barisan/deret ? terima kasih
BalasHapusHallow @Irwansyah,
HapusTerima kasih untuk tanggapannya terhadap materi pada artikel ini.
Iya, secara kekonvergenan diperbolehkan untuk $ r = 0 $.
Lalu bagaimana dengan barisan atau deretnya? Jika $ r = 0 $ , maka terbentuk :
Barisan : $a, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ..... $
Deret : $ a + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + .... $
Barisan atau deret di atas diperbolehkan, artinya barisan dan deret tersebut masih bisa.
Terima kasih untuk kunjungannya ke blog koma ini.
Terima kasih gan, sangat bermanfaat dan sekarang jadi inget lagi, soalnya sempet lupa rumusnya v: ... Saya dari IADP Blogger, manpir mampir ya gan ke blog ane www.naufalrajailmu.blogspot.com
BalasHapusHallow @naufal
HapusTerima kasih untuk kunjungannya ke blog koma ini.
Blognya sudah sy kunjungi, blognya bagus banget.
Kalau deret Tak hingga di moifikasi seperti ini bagaimana min?
BalasHapus1+ 4/2 +9/4 +16/8 + 25/16 +36/32 +... =
Hallow @imam Arif.
HapusTerima kasih untuk pertanyaannya dan mohon maaf baru bisa balas karena bulan kemarin saya sibuk intensif persiapan SBMPTN.
Berikut pembahasan pertanyaannya:
Misalkan hasilnya adala P yaitu :
$ P = 1 + \frac{4}{2} + \frac{9}{4} + \frac{16}{8} + \frac{25}{16} + \frac{36}{32} + .... $
(bentuk 1)
Kalikan $ \frac{1}{2} $ kedua ruas sehingga kita peroleh :
$ \frac{1}{2}P = \frac{1}{2} + \frac{4}{4} + \frac{9}{8} + \frac{16}{16} + \frac{25}{32} + \frac{36}{64} + .... $
(bentuk 2)
Lalu kita kurangkan kedua bentuk di atas, kita peroleh :
$ \frac{1}{2}P = 1 + \frac{3}{2} + \frac{5}{4}+ \frac{7}{8} + \frac{9}{16} + \frac{11}{32} + .... $
(bentuk 3).
Bentuk 3 di atas kita kalikan $ \frac{1}{2} $ sehingga kita peroleh :
$ \frac{1}{4}P = \frac{1}{2} + \frac{3}{4} + \frac{5}{8}+ \frac{7}{16} + \frac{9}{32} + \frac{11}{64} + .... $
(bentuk 4).
Kita kurangkan bentuk 3 dan bentuk 4, kita peroleh :
$ \frac{1}{4}P = 1 + \frac{2}{2} + \frac{2}{4}+ \frac{2}{8} + \frac{2}{16} + \frac{2}{32} + .... $
(bentuk 5).
Kita modifikasi bentuk 4 dengan bantuan rumus deret tak hingga :
$ \begin{align}
\frac{1}{4}P & = 1 + \frac{2}{2} + \frac{2}{4}+ \frac{2}{8} + \frac{2}{16} + \frac{2}{32} + .... \\
\frac{1}{4}P & = 1 + 2\left( \frac{1}{2} + \frac{1}{4}+ \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + .... \right)\\
\frac{1}{4}P & = 1 + 2\left( \frac{a}{1-r} \right)\\
\frac{1}{4}P & = 1 + 2\left( \frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}} \right)\\
\frac{1}{4}P & = 1 + 2\left( \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} \right)\\
\frac{1}{4}P & = 1 + 2\left( 1 \right)\\
\frac{1}{4}P & = 3 \\
P & = 12
\end{align} $
Jadi, hasilnya adalah
$ 1 + \frac{4}{2} + \frac{9}{4} + \frac{16}{8} + \frac{25}{16} + \frac{36}{32} + .... = P = 12 $.
Demikian penjelasannya.
Jika ada yang salah atau kurang teliti, mohon untuk dikoreksi ya.
Terima kasih untuk kunjungannya ke blog koma ini.
Semoga terus bermanfaat.
Maksudnya modifikasi bentuk 5.
HapusMateri dan contoh soalnya enak banget dicerna.. makasih gannn
BalasHapusHallow @Wiwi,
HapusTerima kasih untuk kunjungannya ke blog koma ini.
Semoga terus bermanfaat.
Orra paham tambah bingung
BalasHapusHallow @Fitnawan,
HapusMateri di halaman ini memang dikhususkan untuk tingkat SMA bukan SMP sehingga contoh soalnya juga cukup sulit. Dan lebih baik lagi jika digunakan untuk persiapan SBMPTN.
Jika masih kurang paham, silahkan dibaca lagi secara mendetail. Semoga bisa membantu.
Terimakasih untuk kunjungannya ke blog koma ini.
Salam semangat belajar.