Ciri-ciri Grafik Fungsi Kuadrat (parabola)

         Blog Koma - Grafik fungsi kuadrat $ f(x) = ax^2 + bx + c \, $ disebut juga parabola karena lintasannya yang menyerupai parabola. Ternyata parabola $ f(x) = ax^2 + bx + c \, $ (di sini yang dimaksud adalah grafik fungsi kuadrat) memiliki beberapa karakteristik yang menarik untuk kita pelajari berdasarkan nilai $ a , \, b, \, $ dan $ c \, $ . Berikut beberapa ciri-ciri parabola yang akan berguna dalam memahami grafik fungsi kuadrat lebih mendalam.
         Ciri-ciri Grafik Fungsi Kuadrat (parabola) kita pelajari untuk menganalisa grafik fungsi kuadrat secara khusus. Misalkan ada fungsi kuadratnya, kita akan langsung sketsa grafiknya berdasarkan nilai $ a, \, b , \, $ dan $ c \, $ tanpa harus menentukan titik potong sumbu-sumbu dan tanpa menentukan titik puncaknya. Begitu juga sebaliknya, jika diketahui grafiknya (berupa parabola), kita akan bisa menentukan kisaran nilai $ a , \, b , \, $ dan $ c \, $ , apakah positif atau negatif.

         Untuk soal-soal seleksi masuk perguruan tinggi, biasanya soal-soal yang ada kaitannya dengan Ciri-ciri Grafik Fungsi Kuadrat sering muncul. Sehingga penting bagi teman-teman untuk menguasainya, karena sebenarnya di sini kita tidak memerlukan perhitungan yang sulit, hanya kita perlu mengetahui dan menghafal ciri-ciri grafiknya saja. Namun sebaliknya, jika kita tidak menguasai materinya, maka akan sangat sulit bagi kita untuk menjawab soalnya karena setiap pilihan jawaban (opsi A, B, C, D, dan E) hampir mirip semua.
Berdasarkan nilai $ a , \, b, \, $ dan $ c \, $
         Parabola $ f(x) = ax^2 + bx + c \, $ bergantung dari nilai $ a , \, b, \, $ dan $ c \, $ nya. Berikut penjelasannya :
(i). Nilai $ a $
         Nilai $ a \, $ pada grafik fungsi kuadrat (parabola) berfungsi untuk menentukan arah parabola yaitu terbuka ke atas atau terbuka ke bawah.
(*). Jika nilai $ a > 0 \, $ (positif), maka parabola terbuka ke atas yang mengakibatkan nilai minimum.
(*). Jika nilai $ a < 0 \, $ (negatif), maka parabola terbuka ke bawah yang mengakibatkan nilai maksimum.
(ii). Nilai $ b $
         Nilai $ b \, $ dan $ a \, $ pada grafik fungsi kuadrat (parabola) berfungsi untuk menentukan letak titik puncak .


         Untuk memudahkan mengingat posisi titik puncak berdasarkan nilai $ a \, $ dan $ b \, $, gunakan singkatan berikut :
                           BeKa SaKi = Beda Kanan Sama Kiri
Artinya , jika tanda $ a \, $ dan $ b \, $ berbeda ($ a < 0 \, $ dan $ b > 0 \, $ atau $ a > 0 \, $ dan $ b < 0 $ ) , maka posisi titik puncaknya ada di kanan sumbu Y. dan jika tanda $ a \, $ dan $ b \, $ sama ($ a < 0 \, $ dan $ b < 0 \, $ atau $ a > 0 \, $ dan $ b > 0 $ ) , maka posisi titik puncaknya ada di kiri sumbu Y. yang dimaksud tanda disini adalah nilai positif atau negatif saja tanpa memperhatikan besarnya.
(iii). Nilai $ c \, $
         Nilai $ c \, $ menunjukkan perpotongan grafik dengan sumbu Y, bisa positip, negatif, atau tepat di pusat koordinat.
Kedudukan Parabola pada Sumbu X
         Kedudukan yang dimaksud adalah posisi parabola , apakah memotong sumbu X, menyinggung sumbu X, atau tidak memotong dan menyinggung sumbu X , yang ditentukan berdasarkan nilai Diskriminaanya $(D=b^2-4ac)$ .
Definit Positif dan Definit Negatif
         Bentuk definit tergantung dari nilai Diskriminan ($D$) dan nilai $ a \, $
*). Definit Positif (kurva selalu di atas sumbu X) artinya nilai fungsi kuadrat selalu positif untuk semua $ x \, $ . Syaratnya : $ D < 0 \, $ dan $ a > 0 $
*). Definit Negatif (kurva selalu di bawah sumbu X) artinya nilai fungsi kuadrat selalu negatif untuk semua $ x \, $ . Syaratnya : $ D < 0 \, $ dan $ a < 0 $
         Untuk lebih memahami ciri-ciri parabola , mari kita simak contoh-contoh berikut.
Contoh 1.
Tentukan nilai $ a, \, b, \, c \, $ dan $ D \, $ berdasarkan grafik FK di bawah ini.
Penyelesaian :
*). Kurva menghadap ke atas, maka nilai $ a > 0 \, $ (positif)
*). titik puncak ada disebelah kiri sumbu Y, berarti singkatan yang digunakan adalah SaKi (Sama Kiri) , artinya tanda $ a \, $ dan $ b \, $ sama. Karena nilai $ a > 0 \, $ , maka nilai $ b > 0 \, $ juga.
*). Kurva memotong sumbu Y negatif, sehingga nilai $ c < 0 $
*). Kurva memotong sumbu X di dua titik, sehingga nilai $ D > 0 $ .
Jadi, diperoleh nilai-nilai $ a > 0, \, b > 0 , \, c < 0 , \, $ dan $ D > 0 $
Contoh 2.
Agar grafik FK $ y = px^2 + (p+1)x + (p+2) \, $ memenuhi grafik di bawah ini, tentukan nilai $ p \, $ yang memenuhi?
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ FK : $ y = px^2 + (p+1)x + (p+2) \rightarrow a = p, \, b = p+1, \, c = p+2 $
*). Kurva menghadap ke bawah, maka nilai $ a < 0 \Leftrightarrow p < 0 \, $ ...(HP1)
*). Titik puncak ada di sebelah kanan sumbu Y, berarti singkatan yang digunakan adalah BeKa (Beda Kanan) , artinya tanda $ a \, $ dan $ b \, $ berbeda. Karena $ a < 0 \, $ , maka nilai $ b > 0 \, $ (berbeda).
sehingga : $ b > 0 \rightarrow p+1 > 0 \rightarrow p > -1 \, $ ....(HP2)
*). Kurva memotong sumbu Y positif, sehingga $ c > 0 \rightarrow p+2 > 0 \rightarrow p > -2 \, $ ....(HP3)
$\clubsuit \,$ Nilai $ p \, $ yang memenuhi grafik adalah nilai $ p \, $ yang memenuhi ketiga syarat di atas.
$\begin{align} HP & = HP1 \cap HP2 \cap HP3 \\ & = \{ p < 0 \} \cap \{ p > -1 \} \cap \{ p > -2 \} \\ & = \{ -1 < p < 0 \} \end{align} $
Jadi, nilai $ p \, $ nya adalah $ \{ -1 < p < 0 \} $ .
Contoh 3.
Tentukan nilai $ k \, $ agar FK $ y = (k-1)x^2 -2x-1 \, $ selalu bernilai negatif untuk semua $ x $ . ?
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ FK : $ y = (k-1)x^2 -2x-1 \rightarrow a = k-1, \, b = -2, \, c = -1 $
$\clubsuit \,$ Grafik selalu benilai negatif, artinya definit negatif , syarat : $ a < 0 \, $ dan $ D < 0 $
$\clubsuit \,$ Menyelesaikan syaratnya :
Syarat pertama : $ a < 0 $
$\begin{align} a & < 0 \rightarrow k - 1 < 0 \rightarrow k < 1 \, \, \, \, \text{...(HP1)} \end{align} $
Syarat kedua : $ D < 0 $
$\begin{align} D = b^2 - 4ac & < 0 \\ (-2)^2 - 4.(k-1).(-1) & < 0 \\ 4 + 4k - 4 & < 0 \\ 4k & < 0 \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ k & < 0 \, \, \, \, \text{...(HP2)} \end{align} $
Nilai $ k \, $ yang memenuhi adalah irisan dari kedua syaratnya.
HP = HP1 $ \cap \, $ HP2 = $ \{ k < 0 \} $
Jadi, nilai $ k \, $ yang memenuhi adalah $ \{ k < 0 \} $ .
         Catatan penting yang harus kita ketahui dalam materi "ciri-ciri grafik fungsi kuadrat (parabola)" terutama yang berkaitan langsung dengan soal-soalnya adalah harus sudah ada grafiknya terlebih dahulu. Setelah ada grafiknya baru kita bisa menganalisa nilai $ a, \, b, \, $ dan $ c, \, $ serta nilai diskriminannya secara cermat dan tepat. Artinya untuk kebanyakan soal, kita harus menggambar grafiknya terlebih dahulu, karena ada beberapa soal yang grafiknya belum ada tetapi kita diminta untuk menganalisa ciri-ciri grafiknya.

5 komentar:

  1. Maksih banyak bermanfaat banget

    BalasHapus
  2. Untuk nilai b ada yang salah
    Titik puncak di kiri seharusnya ab>0 karena kiri sama, titik puncak di kanan seharusnya ab<0 karena kanan beda

    BalasHapus
  3. Min bgmna klo menentukan letak titik balik dgn a&b,dikatakan klo a dan b sama2 positif atau negatif maka titik balik ada di kiri smb.y tpi kalo a.b>0 titik balik di kanan smb.y
    Saya mau tanya kalo tandanya sama kan kalo dikalikan dpat positif(a.b>0) jadi otomatis kalo a dan b sama2 negatif/positif maka
    Titik balik akan selalu di kanan.

    BalasHapus
  4. Hallow @Aditya, @Anis, @Dewatama, dan @zul,

    Terimakasih untuk kunjungannya ke blog koma ini.

    terimakasih juga untuk koreksinya, ini sangat membantu untuk perbaikan kualitas artikel di blog koma ini.

    @zul, memang terjadi kesalahan di gambarnya untuk syarat perkalian $ab$. Tapi sudah kami perbaiki.

    Lagi sekali terimakasih.

    Jika ada kesalahan lain di artikel blog koma, mohon untuk di share ya di bagian kolom komentar.

    semoga membantu.

    BalasHapus