Rumus ABC : $ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $
Untuk membuktikan rumus ABC di atas, kita akan menggunakan cara melengkapkan kuadrat sempurna. Sobat masih ingatkan cara melengkapkan kuadrat sempurna? sifat yang digunakan pada kuadrat sempurna adalah $ x^2+px=(x+\frac{p}{2})^2 - (\frac{p}{2})^2 \, $ .
Berikut pembuktian rumus ABC dengan kuadrat sempurna :
Diketahui Persamaan Kuadrat : $ ax^2+bx+c=0 $
$\begin{align} ax^2+bx+c & = 0 \, \, \, \, \text{ (bagi } a \text{ kedua ruas)} \\ x^2 + \frac{b}{a}x+\frac{c}{a} & = 0 \\ x^2 + \frac{b}{a}x & = - \frac{c}{a} \\ \text{ gunakan } x^2+px & =(x+\frac{p}{2})^2 - (\frac{p}{2})^2 \\ (x + \frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2 & = - \frac{c}{a} \\ (x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a^2} & = - \frac{c}{a} \\ (x + \frac{b}{2a})^2 & = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a} \\ (x + \frac{b}{2a})^2 & = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{4ac}{4a^2} \\ (x + \frac{b}{2a})^2 & = \frac{b^2-4ac}{4a^2} \\ (x + \frac{b}{2a}) & = \pm \sqrt{ \frac{b^2-4ac}{4a^2} } \\ (x + \frac{b}{2a}) & = \pm \frac{ \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ x & = - \frac{b}{2a} \pm \frac{ \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ x & = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a} \end{align}$
Jadi terbukti rumus ABC nya.
$\begin{align} ax^2+bx+c & = 0 \, \, \, \, \text{ (bagi } a \text{ kedua ruas)} \\ x^2 + \frac{b}{a}x+\frac{c}{a} & = 0 \\ x^2 + \frac{b}{a}x & = - \frac{c}{a} \\ \text{ gunakan } x^2+px & =(x+\frac{p}{2})^2 - (\frac{p}{2})^2 \\ (x + \frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2 & = - \frac{c}{a} \\ (x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a^2} & = - \frac{c}{a} \\ (x + \frac{b}{2a})^2 & = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a} \\ (x + \frac{b}{2a})^2 & = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{4ac}{4a^2} \\ (x + \frac{b}{2a})^2 & = \frac{b^2-4ac}{4a^2} \\ (x + \frac{b}{2a}) & = \pm \sqrt{ \frac{b^2-4ac}{4a^2} } \\ (x + \frac{b}{2a}) & = \pm \frac{ \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ x & = - \frac{b}{2a} \pm \frac{ \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ x & = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a} \end{align}$
Jadi terbukti rumus ABC nya.
Contoh
Tentukan akar-akar dari Persamaan kuadrat $ -5x^2 - 3x +2 =0 \, $ ?
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ PK $ -5x^2 - 3x +2 =0 \rightarrow a = -5, \, b = -3, \, c = 2 $
$\spadesuit \, $ Dengan rusmus ABC
$\begin{align} x & = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ x & = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2-4.(-5).2}}{2.(-5)} \\ x & = \frac{3 \pm \sqrt{9+40}}{-10} \\ x & = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{-10} \\ x & = \frac{3 \pm 7}{-10} \\ x & = \frac{3 + 7}{-10} = \frac{10}{-10} = -1 \\ x & = \frac{3 - 7}{-10} = \frac{-4}{-10} = \frac{2}{5} \end{align}$
Jadi, akar-akarnya adalah $ x = -1 \, $ atau $ x = \frac{2}{5} . \heartsuit $
$\spadesuit \, $ PK $ -5x^2 - 3x +2 =0 \rightarrow a = -5, \, b = -3, \, c = 2 $
$\spadesuit \, $ Dengan rusmus ABC
$\begin{align} x & = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ x & = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2-4.(-5).2}}{2.(-5)} \\ x & = \frac{3 \pm \sqrt{9+40}}{-10} \\ x & = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{-10} \\ x & = \frac{3 \pm 7}{-10} \\ x & = \frac{3 + 7}{-10} = \frac{10}{-10} = -1 \\ x & = \frac{3 - 7}{-10} = \frac{-4}{-10} = \frac{2}{5} \end{align}$
Jadi, akar-akarnya adalah $ x = -1 \, $ atau $ x = \frac{2}{5} . \heartsuit $
Rumus ABC ini sangat berguna bagi kita, terutama bagi teman-teman yang masih kesulitan dalam menentukan akar-akar persamaan kuadrat. Rumus ABC ini selain bergna untuk menentukan akar-akar juga bisa sangat berguna untuk membuktikan rumus operasi akar-akar persamaan kuadrat.
Semoga materi "pembuktian rumus ABC" ini bisa berguna untuk kita dalam mempelajari persamaan kuadrat baik bagi teman-teman SMP atau SMA atau yang ingin mempersiapkan diri mengikuti seleksi masuk perguruan tinggi negeri atau swasta.
