Tampilkan postingan dengan label limit. Tampilkan semua postingan
Tampilkan postingan dengan label limit. Tampilkan semua postingan

Soal-soal Latihan Limit Fungsi Aljabar

         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan belajar mengerjakan Soal-soal Latihan Limit Fungsi Aljabar sebagai bahan untuk memantapkan materi "Penyelesaian Limit Fungsi Aljabar". Sebelumnya juga telah dibahas materi "Pengertian Limit Fungsi" dan "Sifat-sifat Limit Fungsi". Berikut soal-soal latihan limit fungsi aljabar yang bisa kita kerjakan untuk bahan latihan.
         Soal-soal Latihan Limit Fungsi Aljabar bentuk atau tipenya bermacam-macam, tapi kebanyakan berbentuk pecahan karena akan mengarahkan ke hasil bentuk tak tentu yaitu $ \frac{0}{0} \, $ sehingga harus kita proses lagi dengan beberapa cara diantaranya dengan pemfaktoran, merasionalkan bentuk akar (kalikan dengan bentuk sekawannya), dan satu lagi yaitu menggunakan turunan yang disebut Dalil L'Hospital (silahkan baca materinya pada artikel "Penyelesaian Limit Fungsi dengan Dalil L'Hospital atau Turunan").

         Harapan kami, dengan teman-teman mengerjakan semakin banyak soal-soal latihan limit fungsi aljabar, maka akan memantapkan dan memperdalam penguasaan materi limit fungsi aljabar. Mungkin soal yang sulit untuk limit fungsi aljabar adalah yang berkaitan dengan fungsi berbentuk akar, tapi dengan sering berlatih pasti kita akan bisa dan akan terbiasa untuk menyelesaikannya.

Berikut soal-soal latihan limit fungsi aljabar :
1). $ \displaystyle \lim_{x \to -3 } \frac{x^2 - 9}{x + 3} $

2). $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{2x^2 -5x + 2}{x - 2} $

3). $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{2 - \sqrt{5-x}}{x - 1} $

4). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{x + \sqrt{x}}{\sqrt{x}} $

5). $ \displaystyle \lim_{x \to 8 } \frac{x - 8 }{\sqrt[3]{x} - 2 } $

6). $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \left( \frac{x^3 - 8 }{x - 2 } + \frac{x^2 - 2x }{2x - 4 } \right) $

7). $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{ 4 - x^2 }{ 3 - \sqrt{x^2 + 5 } } $

8). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ 4x }{ \sqrt{1 + 2x} - \sqrt{1-2x}} $

9). $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{ \sqrt{x} - \sqrt{2x-1}}{ x - 1} $

10). $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{ x - 1 }{ \sqrt{x} - 1} $

11). $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{ x^{10} - 1 }{ x-1} $

12). $ \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{ (x-3)(\sqrt{x} + \sqrt{3}) }{ \sqrt{x} - \sqrt{3} } $

13). $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \left( \frac{ 1 }{ 1 - x } - \frac{ 2 }{ 1 - x^2 } \right) $

14). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \sqrt{x^4 - 2x^2} - x^2 }{ x^2 } $

15). $ \displaystyle \lim_{t \to 0 } \frac{ \sqrt[3]{ t+1 } - 1 }{ t } $

16). $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{ \sqrt{6-x} - 2 }{ \sqrt{3-x - 1} } $

17). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \sqrt[3]{ 1 + ax } - 1 }{ x } \, $ dengan $ a \, $ konstanta.

       Demikian artikel Soal-soal Latihan Limit Fungsi Aljabar dengan berbagai variasi soalnya. Jika ada masukkan atau pertanyaan tentang soal-soal di atas, silahkan beri komentar di kotak komentar di bawah ini. Terima kasih.

Penyelesaian Limit Fungsi Aljabar

         Blog Koma - Sebelumnya telah dibahas artikel "Pengertian Limit Fungsi" dan "Sifat-sifat Limit Fungsi" , untuk artikel kali ini kita membahas materi Penyelesaian Limit Fungsi Aljabar yang merupakan kelanjutan materi sebelumnya. Untuk menyelesaikan suatu limit fungsi, ada beberapa cara yaitu substitusi, pemfaktoran, kali sekawan, dan menggunakan turunan. Untuk kali ini kita akan membahas cara substitusi, pemfaktoran dan kali sekawan.

Hasil Limit Bentuk Tentu dan Bentuk Tak Tentu
       Secara umum, untuk menyelesaikan limit fungsi baik aljabar maupun trigonometri adalah substitusi nilai $ x \, $ ke fungsi $ f(x) $. Setelah disubstitusikan, akan diperoleh nilai limitnya yang dibagi menjadi dua yaitu bentuk tentu dan bentuk tak tentu.

Bentuk Tentu : $ a, \, \frac{a}{b}, \, \frac{a}{0} = \infty , \, \frac{0}{b} = 0 $
Bentuk tak Tentu : $ \frac{0}{0}, \, \frac{\infty}{\infty} , \, \infty - \infty , \, 0^0 , \, \infty ^ \infty $
dengan $ a \, $ dan $ b \, $ adalah bilangan real.

Jika hasilnya bentuk tentu, maka bentuk tak tentu tersebut adalah hasil limitnya, dan jika hasilnya bentuk tak tentu, maka fungsinya harus diproses lagi dengan cara difaktorkan atau di kalikan dengan bentuk sekawannya. Biasanya kebanyakan soal limit pasti hasilnya bentuk tak tentu sehingga harus diproses lagi.
Contoh :
1). Tentukan nilai limit fungsi aljabar berikut :
a). $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } 3x^2 $
b). $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{x^2 + 1}{3x} $
c). $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{3x - 2}{x-2} $
d). $ \displaystyle \lim_{x \to -1 } \frac{x+1}{2x-1} $
e). $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{x^2 - 1}{x-1} $
Penyelesaian :
a). $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } 3x^2 = 3.(2)^2 = 3.4 = 12 $
Hasilnya 12 (bentuk tentu), artinya nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } 3x^2 = 12 $
b). $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{x^2 + 1}{3x} = \frac{1^2 + 1}{3.1} = \frac{2}{3} $
Hasilnya $ \frac{2}{3} $ (bentuk tentu), artinya nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{x^2 + 1}{3x} = \frac{2}{3} $
c). $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{3x - 2}{x-2} = \frac{3.2 - 2}{2-2} = \frac{4}{0} = \infty $
Hasilnya $ \infty $ (bentuk tentu), artinya nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{3x - 2}{x-2} = \infty $
d). $ \displaystyle \lim_{x \to -1 } \frac{x+1}{2x-1} = \frac{(-1) + 1}{2(-1) - 1} = \frac{0}{-3} = 0 $
Hasilnya 0 (bentuk tentu), artinya nilai $ \displaystyle \lim_{x \to -1 } \frac{x+1}{2x-1} = 0 $
e). $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{x^2 - 1}{x-1} = \frac{1^2 - 1}{1-1} = \frac{0}{0} $
Hasilnya $ \frac{0}{0} $ (bentuk tak tentu), sehingga fungsinya harus diproses lagi

Penyelesaian Limit fungsi aljabar dengan pemfaktoran
       Setalah disubstitusi nilai $ x \, $ ke fungsi $ f(x) \, $ dan hasilnya bentuk tak tentu, maka salah satu cara penyelesaiannya adalah dengan pemfaktoran, kemudian bentuk faktor yang sama dicoret sehingga pembuat nol nya tidak ada lagi.

Bentuk-bentuk pemfaktoran yang sering digunakan adalah :
*). Pemfaktoran bentuk kuadrat, baca artikel "Menentukan akar-akar Persamaan Kuadrat(PK)"
*). $ p^2 - q^2 = (p+q)(p-q) $
*). $ p^3 - q^3 = (p-q)(p^2 + pq + q^2) $
*). $ p^3 + q^3 = (p+q)(p^2 - pq + q^2) $
Contoh :
2). Tentukan hasil limit fungsi aljabar berikut :
a). $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{x^2 - 1}{x-1} $
b). $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{x^3 - 8}{x-2} $
c). $ \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{2x^2-7x+3}{x^2-2x-3} $
Penyelesaian :
a). $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{x^2 - 1}{x-1} = \frac{1^2-1}{1-1} = \frac{0}{0} $
Hasilnya bentuk tak tentu ( $ \frac{0}{0} $ ) , sehingga harus diproses lagi.
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{x^2 - 1}{x-1} & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } (x+1) \\ & = 1 + 1 = 2 \end{align} $
Sehingga, nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{x^2 - 1}{x-1} = 2 $

b). $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{x^3 - 8}{x-2} = \frac{2^3-8}{2-2} = \frac{0}{0} $
Hasilnya bentuk tak tentu ( $ \frac{0}{0} $ ) , sehingga harus diproses lagi.
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{x^3 - 8}{x-2} & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{x^3 - 2^2}{x-2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{(x-2)(x^2 + 2x + 2^2)}{x-2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } (x^2 + 2x + 4 ) \\ & = 2^2 + 2.2 + 4 = 12 \end{align} $
Sehingga, nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{x^3 - 8}{x-2} = 12 $

c). $ \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{2x^2-7x+3}{x^2-2x-3} = \frac{2.3^2-7.3+3}{3^2-2.3-3} = \frac{0}{0} $
Hasilnya bentuk tak tentu ( $ \frac{0}{0} $ ) , sehingga harus diproses lagi.
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{2x^2-7x+3}{x^2-2x-3} & = \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{(x-3)(2x-1)}{(x-3)(x+1)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{(2x-1)}{(x+1)} \\ & = \frac{(2.3-1)}{(3+1)} \\ & = \frac{5}{4} \end{align} $
Sehingga, nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{2x^2-7x+3}{x^2-2x-3} = \frac{5}{4} $

Penyelesaian Limit Fungsi Aljabar dengan kalikan sekawan
       Untuk hasil limit bentuk tak tentu, terutama fungsinya berbentuk akar, maka untuk menyelesaikannya bisa menggunakan cara kalikan dengan bentuk sekawannya.

Berikut bentuk sekawan dari beberapa fungsi :
*). $ \sqrt{x} + \sqrt{b} \, $ bentuk sekawannya : $ \sqrt{x} - \sqrt{b} $
*). $ a\sqrt{x} - p \sqrt{b} \, $ bentuk sekawannya : $ a\sqrt{x} + p \sqrt{b} $
*). $ a\sqrt{x} + b \, $ bentuk sekawannya : $ a\sqrt{x} - b $

Catatan : dari bentuk sekawan di atas, bentuk sekawan positif adalah negatif (dan sebaliknya).
Contoh :
3). tentukan hasil limit fungsi aljabar berikut :
a). $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{\sqrt{2x} - 2}{x-2} $
b). $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{\sqrt{x + 1} - \sqrt{2} }{x - 1} $
c). $ \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{x^2 - 9 }{3 - \sqrt{x + 6 } } $
Penyelesaian :
a). $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{\sqrt{2x} - 2}{x-2} = \frac{\sqrt{2.2} - 2}{2-2} = \frac{0}{0} $
Hasilnya bentuk tak tentu ( $ \frac{0}{0} $ ) , sehingga harus diproses lagi.
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{\sqrt{2x} - 2}{x-2} & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{\sqrt{2x} - 2}{x-2} \times \frac{\sqrt{2x} + 2}{\sqrt{2x} + 2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{2x - 4}{(x-2)(\sqrt{2x} + 2)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{2(x - 2)}{(x-2)(\sqrt{2x} + 2)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{2}{\sqrt{2x} + 2} \\ & = \frac{2}{\sqrt{2.2} + 2} \\ & = \frac{2}{2 + 2} \\ & = \frac{2}{4} \\ & = \frac{1}{2} \end{align} $
Sehingga, nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{\sqrt{2x} - 2}{x-2} = \frac{1}{2} $

b). $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{\sqrt{x + 1} - \sqrt{2} }{x - 1} = \frac{\sqrt{1 + 1} - \sqrt{2} }{1 - 1} = \frac{0}{0} $
Hasilnya bentuk tak tentu ( $ \frac{0}{0} $ ) , sehingga harus diproses lagi.
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{\sqrt{x + 1} - \sqrt{2} }{x - 1} & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{\sqrt{x + 1} - \sqrt{2} }{x - 1} \times \frac{\sqrt{x + 1} + \sqrt{2}}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{2}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{(x+1) - 2 }{(x - 1)(\sqrt{x + 1} + \sqrt{2} )} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{(x-1) }{(x - 1)(\sqrt{x + 1} + \sqrt{2} )} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{1}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{2} } \\ & = \frac{1}{\sqrt{1 + 1} + \sqrt{2} } \\ & = \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{2} } \\ & = \frac{1}{2\sqrt{2}} \\ & = \frac{1}{2\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\ & = \frac{\sqrt{2}}{2.2} \\ & = \frac{1}{4}\sqrt{2} \end{align} $
Sehingga, nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{\sqrt{x + 1} - \sqrt{2} }{x - 1} = \frac{1}{4}\sqrt{2} $

c). $ \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{x^2 - 9 }{3 - \sqrt{x + 6 } } = \frac{3^2 - 9 }{3 - \sqrt{3 + 6 } } = \frac{0}{0} $
Hasilnya bentuk tak tentu ( $ \frac{0}{0} $ ) , sehingga harus diproses lagi.
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{x^2 - 9 }{3 - \sqrt{x + 6 } } & = \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{x^2 - 9 }{3 - \sqrt{x + 6 } } \times \frac{3 + \sqrt{x + 6 }}{3 + \sqrt{x + 6 }} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{(x^2 - 9)(3 + \sqrt{x + 6 }) }{9 - (x + 6 ) } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{(x-3)(x+3)(3 + \sqrt{x + 6 }) }{3 - x } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{(x-3)(x+3)(3 + \sqrt{x + 6 }) }{-(x-3) } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{(x+3)(3 + \sqrt{x + 6 }) }{-1 } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 3 } -(x+3)(3 + \sqrt{x + 6 }) \\ & = -(3+3)(3 + \sqrt{3 + 6 }) \\ & = -(6)(3 + \sqrt{9}) \\ & = -(6)(6) \\ & = -36 \end{align} $
Sehingga, nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{x^2 - 9 }{3 - \sqrt{x + 8 } } = -36 $

4). Tentukan nilai $ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(x+h) - f(x) }{h} \, $ untuk fungsi $ f(x) = 3x - 5 $
Penyelesaian :
*). Fungsi $ f(x+h) = 3(x+h) - 5 = 3x + 3h - 5 $
*). Menentukan hasilnya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(x+h) - f(x) }{h} & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ ( 3x + 3h - 5 ) - (3x - 5 ) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ 3h }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } 3 \\ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(x+h) - f(x) }{h} & = 3 \end{align} $


   Salah satu kegunaan dari limit fungsi aljabar adalah untuk menentukan persamaan asimtot tegak fungsi aljabar.

Sifat-sifat Limit Fungsi

         Blog Koma - Untuk memudahkan dalam menentukan nilai limit suatu fungsi, kita butuh yang namanya sifat-sifat limit fungsi. Sifat-sifat limit fungsi merupakan suatu teorema yang digunakan dalam menyelesaikan limit suatu fungsi. Untuk menyelesaikan limit suatu fungsi ada berbagai cara, salah satu adalah dengan substitusi yang akan kita gunakan pada artikel kali ini. Silahkan juga baca materi "pengertian limit fungsi".
Menyelesaikan limit dengan cara substitusi
       Cara substitusi maksudnya langsung nilai $ x \, $ kita substitusi ke fungsi $ f(x) $. Contohnya : $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = f(a) $
Contoh :
1). Tentukan nilai limit dari bentuk berikut :
a). $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } 2x + 1 $
b). $ \displaystyle \lim_{x \to -1 } \frac{x^2 + 2}{2x - 1 } $
Penyelesaian :
a). $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } 2x + 1 = 2(2) + 1 = 4 + 1 = 5 $
artinya nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } 2x + 1 = 5 $

b). $ \displaystyle \lim_{x \to -1 } \frac{x^2 + 2}{2x - 1 } = \frac{(-1)^2 + 2}{2(-1) - 1 } = \frac{1 + 2 }{-2-1} = \frac{3}{-3} = -1 $
artinya nilai $ \displaystyle \lim_{x \to -1 } \frac{x^2 + 2}{2x - 1 } = -1 $

Sifat-sifat Limit Fungsi
       Berikut sifat-sifat limit fungsi :
i). $ \displaystyle \lim_{x \to a } k = k \, $ dengan $ k \, $ adalah konstanta.
ii). $ \displaystyle \lim_{x \to a } k f(x) = k \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) $
iii). $ \displaystyle \lim_{x \to a } [f(x) \pm g(x) ] = \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) \pm \displaystyle \lim_{x \to a } g(x) $
iv). $ \displaystyle \lim_{x \to a } [f(x). g(x)] = \left( \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) \right) \left( \displaystyle \lim_{x \to a } g(x) \right) $
v). $ \displaystyle \lim_{x \to a } \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) }{\displaystyle \lim_{x \to a } g(x) } $
vi). $ \displaystyle \lim_{x \to a } [f(x)]^n = \left[ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) \right]^n $
vii). $ \displaystyle \lim_{x \to a } \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\displaystyle \lim_{x \to a } f(x) } $
Contoh :
2). Tentukan nilai limit fungsi berikut dengan menggunakan sifat-sifat yang ada,
a). $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } 5 $
b). $ \displaystyle \lim_{x \to 3 } 2x^3 $
c). $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } x^2 + x $
d). $ \displaystyle \lim_{x \to -1 } x^2 - 3x $
e). $ \displaystyle \lim_{x \to -2 } x^3.x^2 $
f). $ \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{x^2 - 1}{x + 1} $
g). $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } (2x^2 + 3)^9 $
h). $ \displaystyle \lim_{x \to 3 } \sqrt[3]{ x^2 - 1 } $
Penyelesaian :
a). $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } 5 = 5 $

b). $ \displaystyle \lim_{x \to 3 } 2x^3 = 2 . \displaystyle \lim_{x \to 3 } x^3 = 2. 3^3 = 2. 37 = 74 $

c). $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } x^2 + x = ..... $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 1 } x^2 + x & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } x^2 + \displaystyle \lim_{x \to 1 } x \\ & = 1^2 + 1 \\ & = 1 + 1 = 2 \end{align} $

d). $ \displaystyle \lim_{x \to -1 } x^2 - 3x = ..... $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to -1 } x^2 - 3x & = \displaystyle \lim_{x \to -1 } x^2 - \displaystyle \lim_{x \to -1 } 3x \\ & = \displaystyle \lim_{x \to -1 } x^2 - 3.\displaystyle \lim_{x \to -1 } x \\ & = (-1)^2 - 3.(-1) \\ & = 1 + 3 = 4 \end{align} $

e). $ \displaystyle \lim_{x \to -2 } x^3.x^2 = ..... $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to -2 } x^3.x^2 & = \displaystyle \lim_{x \to -2 } x^3 . \displaystyle \lim_{x \to -2 } x^2 \\ & = (-2)^3 . (-2)^2 \\ & = -8 . 4 = -32 \end{align} $

f). $ \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{x^2 - 1}{x + 1} = ..... $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{x^2 - 1}{x + 1} & = \frac{ \displaystyle \lim_{x \to 3 } x^2 - 1}{ \displaystyle \lim_{x \to 3 } x + 1} \\ & = \frac{ \displaystyle \lim_{x \to 3 } x^2 - \displaystyle \lim_{x \to 3 } 1}{ \displaystyle \lim_{x \to 3 } x + \displaystyle \lim_{x \to 3 } 1} \\ & = \frac{ 3^2 - 1 }{ 3 + 1 } \\ & = \frac{ 8 }{ 4 } = 2 \end{align} $

g). $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } (2x^2 + 3)^9 = ..... $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 2 } (2x^2 + 3)^9 & = \left( \displaystyle \lim_{x \to 2 } 2x^2 + 3 \right)^9 \\ & = \left( \displaystyle \lim_{x \to 2 } 2x^2 + \displaystyle \lim_{x \to 2 } 3 \right)^9 \\ & = \left( 2. \displaystyle \lim_{x \to 2 } x^2 + \displaystyle \lim_{x \to 2 } 3 \right)^9 \\ & = \left( 2. 2^2 + 3 \right)^9 \\ & = \left( 8 + 3 \right)^9 \\ & = \left( 11 \right)^9 \end{align} $

h). $ \displaystyle \lim_{x \to 3 } \sqrt[3]{ x^2 - 1 } = ..... $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 3 } \sqrt[3]{ x^2 - 1 } & = \sqrt[3]{ \displaystyle \lim_{x \to 3 } x^2 - 1 } \\ & = \sqrt[3]{ \displaystyle \lim_{x \to 3 } x^2 - \displaystyle \lim_{x \to 3 } 1 } \\ & = \sqrt[3]{ 3^2 - 1 } \\ & = \sqrt[3]{ 8 } = 2 \end{align} $

Catatan : Untuk menyelesaikan limit, bisa langsung substitusi saja tanpa harus dipecah menggunakan sifat-sifat yang ada karena hasilnya juga sama.
Contoh :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 3 } \sqrt[3]{ x^2 - 1 } = \sqrt[3]{ 3^2 - 1 } = \sqrt[3]{ 8 } = 2 . \end{align} $

Pengertian Limit Fungsi

         Blog Koma - Dalam kehidupan sehari-hari, seringkali kita mendengar kata-kata hampir atau mendekati. Misalnya, Messi hampir mencetak gol, kecepatan motor itu mendekati 110 km/jam, dan sebagainya. Kata hampir atau mendekati dalam matematika disebut limit. Pada artikel ini kita akan mempelajari Pengertian Limit Fungsi. Limit Fungsi yang dimaksud adalah "limit fungsi aljabar" dan "limit fungsi trigonometri" yang akan dibahas pada artikel lainnya. Dalam matematika, limit merupakan nilai hampiran suatu variabel pada suatu bilangan real. Berikut adalah notasi limit.
Definisi/Pengertian Limit Fungsi
       Berikut definisi/pengertian dari limit fungsi :
Misalkan $ f $ sebuah fungsi $ f : R \rightarrow R \, $ dan misalkan $ L $ dan $ a $ bilangan real.
$ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = L \, $ jika dan hanya jika $ f(x) $ mendekati $ L $ untuk semua $ x $ mendekati $ a $ .

Cara Membaca notasi limit fungsi :
$ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = L \, $ dibaca limit fungsi $ f(x) \, $ untuk $ x $ mendekati $ a $ sama dengan $ L $ .
Penyelesaian limit fungsi
       Untuk menentukan nilai limit suatu fungsi, ada beberapa cara :
1). Metode Numerik
2). Subsitusi
3). Pemfaktoran
4). Kali sekawannya
5). Menggunakan Turunan

Pada artikel Pengertian limit fungsi ini, kita akan menggunakan metode numerik saja. Metode numerik maksudnya suatu metode penghitungan limit dengan cara substitusi dari ruas kiri dan ruas kanan dengan beberapa angka yang kita daftar dalam bentuk tabel. Hanya saja cara ini kurang efektif karena akan memakan waktu yang lebih lama untuk membuat suatu tabel.
Contoh :
1). Tentukan nilai limit fungsi $ f(x) = x + 1 \, $ untuk $ x \, $ mendekati 2?
Penyelesaian :
*). Bentuk soal bisa ditulis : $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } (x + 1) = ... ? $
*). Dengan metode numerik, kita pilih nilai $ x \, $ yang mendekati 2 dari kiri dan kanan lalu kita substitusi ke fungsi $ (x + 1) $ , hasilnya terlihat pada tabel berikut.
*). Dari tabel di atas, terlihat bahwa dari ruas kiri 2, nilai fungsinya mendekati 2,999 . Dan dari ruas kanan 2, nilai fungsinya mendekati 3,001. Ini artinya nilai limit fungsi $ f(x) = x+1 \, $ untuk $ x $ mendekati 2 adalah 3. Sehingga nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } (x + 1) = 3 $ .
*). Berikut grafik beserta nilai limitnya.

Syarat suatu Fungsi Mempunyai Limit di titik tertentu
       Suatu limit dikatakan ada jika limit tersebut memiliki limit kiri dan limit kanan yang sama. Limit kiri adalah pendekatan nilai fungsi real dari sebelah kiri yang dinotasikan $ \displaystyle \lim_{x \to a^{-} } f(x) $ . Sedangkan limit kanan adalah pendekatan nilai fungsi real dari sebelah kanan yang dinotasikan $ \displaystyle \lim_{x \to a^{+} } f(x) $ .
Artinya, jika nilai $ \displaystyle \lim_{x \to a^{-} } f(x) = L \, $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to a^{+} } f(x) = L \, $ , maka nilai $ \displaystyle \lim_{x \to a^{-} } f(x) = \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = \displaystyle \lim_{x \to a^{+} } f(x) = L \, $ atau $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = L $ .

Berikut deskripsi ada tidaknya limit suatu fungsi $ f(x) $ untuk $ x \, $ mendekati $ c $ .
Dari gambar grafik di atas,
*). Gambar A : mempunyai limit karena limit kiri sama dengan limit kanan.
*). Gambar B : tidak mempunyai limit karena limit kiri tidak sama dengan limit kanan.
*). Gambar C : mempunyai limit karena limit kiri sama dengan limit kanan.
*). Gambar D : tidak mempunyai limit karena limit kiri tidak sama dengan limit kanan.
Contoh :
2). Apakah fungsi berikut ini mempunyai limit atau tidak :
$ f(x) = \left\{ \begin{array}{ccc} x^2 & \text{jika} & x \leq 1 \\ x+1 & \text{jika} & x > 1 \end{array} \right. $
untuk $ x \, $ mendekati 1.?
penyelesaian :
*). Keterangan fungsi :
Jika nilai $ x \leq 1 \, $ maka berlaku $ f(x) = x^2 $
Jika nilai $ x > 1 \, $ maka berlaku $ f(x) = x + 1 $
*). Tabel pendekatan dari kiri dan dari kanan untuk $ x \, $ mendekati 1.
*). Analisa hasil limit kiri dan limit kanan dari tabel.
Limit Kiri : dari kiri mendekati satu, nilai limitnya mendekati 0,998 = 1 atau $ \displaystyle \lim_{x \to 1^{-} } f(x) = 1 $
Limit Kanan : dari kanan mendekati satu, nilai limitnya mendekati 2,001 = 2 atau $ \displaystyle \lim_{x \to 1^{+} } f(x) = 2 $
Karnena nilai limit kiri dan kananya tidak sama, maka fungsi $ f(x) = \left\{ \begin{array}{ccc} x^2 & \text{jika} & x \leq 1 \\ x+1 & \text{jika} & x > 1 \end{array} \right. \, $ untuk $ x \, $ mendekati 1 tidak mempunyai limit.
*). Grafik fungsi $ f(x) $ untuk $ x \, $ mendekati 1.
Jadi, fungsi $ f(x) = \left\{ \begin{array}{ccc} x^2 & \text{jika} & x \leq 1 \\ x+1 & \text{jika} & x > 1 \end{array} \right. \, $ untuk $ x \, $ mendekati 1 tidak mempunyai limit.