15. Fungsi Kuadrat
A). Bentuk Umum
Bentuk umum dari fungsi kuadrat adalah:
\[ y = f(x) = ax^2 + bx + c \quad \text{dengan } a \neq 0 \]Diketahui fungsi kuadrat \( f(x) = ax^2 - 3x + c \). Jika \( f(1) = 4 \) dan \( f(2) = 7 \), maka nilai \( f(-1) = .... \)?
Substitusi nilai yang diketahui ke dalam fungsi \( f(x) \):
- Untuk \( f(1) = 4 \): \[ a(1)^2 - 3(1) + c = 4 \implies a - 3 + c = 4 \implies a + c = 7 \quad \text{--- (Pers. 1)} \]
- Untuk \( f(2) = 7 \): \[ a(2)^2 - 3(2) + c = 7 \implies 4a - 6 + c = 7 \implies 4a + c = 13 \quad \text{--- (Pers. 2)} \]
Eliminasi variabel \( c \) dengan mengurangi Pers. (2) dan Pers. (1):
\[ (4a + c) - (a + c) = 13 - 7 \implies 3a = 6 \implies a = 2 \]Substitusi \( a = 2 \) ke Pers. (1):
\[ 2 + c = 7 \implies c = 5 \]Sehingga rumus fungsinya adalah \( f(x) = 2x^2 - 3x + 5 \).
Maka nilai \( f(-1) \) adalah:
\[ f(-1) = 2(-1)^2 - 3(-1) + 5 = 2(1) + 3 + 5 = \mathbf{10} \]B). Grafik Fungsi Kuadrat
(i). Karakteristik Grafik Fungsi Kuadrat (Parabola)
- Titik puncak/balik/ekstrim \( (x_p, y_p) \): \[ x_p = -\frac{b}{2a} \quad \text{dan} \quad y_p = \frac{D}{-4a} = \frac{b^2 - 4ac}{-4a} \]
- Persamaan Sumbu Simetri: \[ x = x_p \iff x = -\frac{b}{2a} \]
- Nilai Maksimum/Minimum/Ekstrim: \( = y_p \)
-
Titik Potong (Tipot) Sumbu-Sumbu:
- Tipot sumbu X \(\rightarrow\) substitusi \( y = 0 \)
- Tipot sumbu Y \(\rightarrow\) substitusi \( x = 0 \)
(ii). Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat
Langkah-langkah menggambar grafik fungsi kuadrat yaitu:
- Tentukan nilai \( a \).
- Tentukan titik potong sumbu X dan sumbu Y.
- Tentukan titik puncaknya.
- Bila perlu, tentukan titik lainnya.
Gambarlah grafik fungsi kuadrat \( y = x^2 - 3x - 28 \) dengan menentukan:
a). Titik puncak
b). Persamaan sumbu simetri
c). Nilai minimum fungsi
d). Titik potong sumbu X dan sumbu Y.
Diketahui \( a = 1, b = -3, c = -28 \).
a). Titik Puncak \( (x_p, y_p) \):
\[ x_p = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2(1)} = \frac{3}{2} = 1{,}5 \] \[ y_p = \frac{b^2 - 4ac}{-4a} = \frac{(-3)^2 - 4(1)(-28)}{-4(1)} = \frac{9 + 112}{-4} = -\frac{121}{4} = -30{,}25 \]Jadi, titik puncak adalah \( \left(\frac{3}{2}, -\frac{121}{4}\right) \) atau \( (1{,}5\,;\, -30{,}25) \).
b). Persamaan Sumbu Simetri: \( x = \frac{3}{2} = 1{,}5 \)
c). Nilai Minimum Fungsi: \( y_{\text{min}} = -\frac{121}{4} = -30{,}25 \)
d). Titik Potong Sumbu X dan Y:
- Tipot Sumbu X (\( y = 0 \)): \[ x^2 - 3x - 28 = 0 \implies (x - 7)(x + 4) = 0 \implies x = 7 \text{ atau } x = -4 \] Titiknya adalah \( (-4, 0) \) dan \( (7, 0) \).
- Tipot Sumbu Y (\( x = 0 \)): \[ y = (0)^2 - 3(0) - 28 = -28 \] Titiknya adalah \( (0, -28) \).
Sumbu simetri grafik \( f(x) = ax^2 + bx + c \) adalah \( x = 1 \). Jika \( f(0) = 0 \) dan \( f(4) = -16 \), maka nilai \( b - a \) adalah ....
- Sumbu simetri \( x_p = 1 \implies -\frac{b}{2a} = 1 \implies b = -2a \).
- \( f(0) = 0 \implies a(0)^2 + b(0) + c = 0 \implies c = 0 \).
- \( f(4) = -16 \implies a(4)^2 + b(4) + c = -16 \implies 16a + 4b = -16 \).
Substitusi \( b = -2a \) ke persamaan \( 16a + 4b = -16 \):
\[ 16a + 4(-2a) = -16 \implies 8a = -16 \implies a = -2 \]Maka \( b = -2(-2) = 4 \).
Sehingga nilai \( b - a = 4 - (-2) = \mathbf{6} \).
Diketahui \( f(x) = -2x^2 - (p + 1)x + 2p \). Fungsi \( f(x) \) mempunyai nilai maksimum 8. Jika \( p \) bernilai \( p_1 \) atau \( p_2 \), maka nilai \( p_1 + p_2 \) adalah ....
Diketahui \( a = -2 \), \( b = -(p + 1) \), dan \( c = 2p \). Nilai maksimum \( y_p = 8 \):
\[ y_p = \frac{b^2 - 4ac}{-4a} = 8 \] \[ \frac{(-(p + 1))^2 - 4(-2)(2p)}{-4(-2)} = 8 \] \[ \frac{p^2 + 2p + 1 + 16p}{8} = 8 \implies p^2 + 18p + 1 = 64 \implies p^2 + 18p - 63 = 0 \]Berdasarkan rumus Vieta untuk persamaan kuadrat dalam \( p \), nilai \( p_1 + p_2 \) adalah:
\[ p_1 + p_2 = -\frac{B}{A} = -\frac{18}{1} = \mathbf{-18} \]C. Analisa Grafik
(a). Nilai \( a, b, \) dan \( c \):
- (*). Nilai \( a \): menentukan arah kurva (terbuka ke atas jika \( a > 0 \), terbuka ke bawah jika \( a < 0 \)).
- (*). Nilai \( b \): menentukan letak titik puncak terhadap sumbu Y
- \( b = 0 \rightarrow \) titik puncak tepat di sumbu Y.
- \( b \neq 0 \rightarrow \) BeKa SaRi (Beda Kanan, Sama Ri/Kiri): Jika tanda \( a \) dan \( b \) berbeda, puncak di kanan sumbu Y. Jika tanda sama, puncak di kiri sumbu Y.
- (*). Nilai \( c \): titik potong kurva terhadap sumbu Y
- \( c > 0 \rightarrow \) memotong sumbu Y positif (di atas origin).
- \( c = 0 \rightarrow \) melalui titik pusat \( (0,0) \).
- \( c < 0 \rightarrow \) memotong sumbu Y negatif (di bawah origin).
Tentukan interval nilai \( a, b, \) dan \( c \) dari fungsi kuadrat \( y = ax^2 + bx + c \) untuk masing-masing grafik berikut:
- a). Terbuka ke atas \( \implies a > 0 \). Puncak di kanan sumbu Y (beda tanda dengan \( a \)) \( \implies b < 0 \). Memotong sumbu Y di 0 \( \implies c = 0 \).
- b). Terbuka ke atas \( \implies a > 0 \). Puncak di kiri sumbu Y \( \implies b > 0 \). Memotong sumbu Y positif \( \implies c > 0 \).
- c). Terbuka ke bawah \( \implies a < 0 \). Puncak di kanan sumbu Y \( \implies b > 0 \). Memotong sumbu Y positif \( \implies c > 0 \).
- d). Terbuka ke bawah \( \implies a < 0 \). Puncak di kiri sumbu Y (sama tanda dengan \( a \)) \( \implies b < 0 \). Memotong sumbu Y positif \( \implies c > 0 \).
(b). Nilai \( D = b^2 - 4ac \) (Titik Potong pada Sumbu X):
Jika fungsi \( y = x^2 - kx + 9 \) dengan \( k > 0 \) menyinggung sumbu X, maka nilai \( k - 4 = .... \)?
Fungsi menyinggung sumbu X jika Diskriminan \( D = 0 \):
\[ a = 1, \quad b = -k, \quad c = 9 \] \[ D = b^2 - 4ac = 0 \implies (-k)^2 - 4(1)(9) = 0 \implies k^2 - 36 = 0 \implies k^2 = 36 \]Karena diketahui \( k > 0 \), maka \( k = 6 \).
Sehingga nilai \( k - 4 = 6 - 4 = \mathbf{2} \).
Grafik fungsi \( y = x^2 - px + (p + 8) \) tidak memotong sumbu X. Tentukan interval nilai \( p \) yang memenuhi ....?
Grafik tidak memotong sumbu X jika Diskriminan \( D < 0 \):
\[ a = 1, \quad b = -p, \quad c = p + 8 \] \[ D = (-p)^2 - 4(1)(p + 8) < 0 \implies p^2 - 4p - 32 < 0 \]Faktorkan pertidaksamaan kuadrat:
\[ (p - 8)(p + 4) < 0 \]Pembuat nol adalah \( p = 8 \) dan \( p = -4 \). Karena tanda lebih kecil (\( < \)), interval solusi adalah:
\[ \mathbf{-4 < p < 8} \]Jika fungsi \( f(x) = a^2 x^2 - 12x + c^2 \) menyinggung sumbu X di titik \( x = \frac{2}{3} \), maka \( a^2 - c^2 = .... \)
Titik singgung pada sumbu X merupakan titik puncak parabola \( x_p = \frac{2}{3} \):
\[ x_p = -\frac{b}{2A} = -\frac{-12}{2a^2} = \frac{6}{a^2} = \frac{2}{3} \implies 2a^2 = 18 \implies a^2 = 9 \]Karena menyinggung sumbu X, nilai Diskriminan \( D = 0 \):
\[ D = b^2 - 4Ac = (-12)^2 - 4(a^2)(c^2) = 0 \] \[ 144 - 4(9)(c^2) = 0 \implies 144 - 36c^2 = 0 \implies 36c^2 = 144 \implies c^2 = 4 \]Maka nilai \( a^2 - c^2 = 9 - 4 = \mathbf{5} \).
(c). Definit Positif atau Definit Negatif:
Agar fungsi \( f(x) = mx^2 + 2mx + (m + 2) \) definit positif, maka nilai \( m \) yang memenuhi adalah ....
Syarat Definit Positif adalah \( a > 0 \) dan \( D < 0 \):
- Syarat \( a > 0 \implies \mathbf{m > 0} \).
- Syarat \( D < 0 \): \[ (2m)^2 - 4(m)(m + 2) < 0 \implies 4m^2 - 4m^2 - 8m < 0 \implies -8m < 0 \implies \mathbf{m > 0} \]
Irisan dari kedua syarat tersebut adalah \( \mathbf{m > 0} \).
D. Kedudukan Garis dan Parabola
Grafik fungsi kuadrat \( f(x) = x^2 + bx + 4 \) menyinggung garis \( y = 3x + 4 \). Nilai \( b \) yang memenuhi adalah ....
Samakan persamaan kurva parabola dengan persamaan garis:
\[ x^2 + bx + 4 = 3x + 4 \implies x^2 + (b - 3)x = 0 \]Karena menyinggung, maka nilai Diskriminan campuran \( D = 0 \):
\[ A = 1, \quad B = b - 3, \quad C = 0 \] \[ D = B^2 - 4AC = (b - 3)^2 - 4(1)(0) = 0 \] \[ (b - 3)^2 = 0 \implies b - 3 = 0 \implies \mathbf{b = 3} \]E). Menyusun Fungsi Kuadrat (FK)
- Diketahui FK memotong sumbu X di \( (x_1, 0) \) dan \( (x_2, 0) \): \[ \text{FK}: y = a(x - x_1)(x - x_2) \]
- Diketahui titik puncak \( (x_p, y_p) \): \[ \text{FK}: y = a(x - x_p)^2 + y_p \]
- Diketahui tiga titik sembarang: substitusi ketiga titik ke bentuk umum \( y = ax^2 + bx + c \), kemudian gunakan eliminasi/substitusi untuk memperoleh nilai \( a, b, \) dan \( c \).
Persamaan grafik fungsi kuadrat yang melalui titik \( A(1, 0) \), \( B(3, 0) \), dan \( C(0, -6) \) adalah ....
Karena memotong sumbu X di \( (1,0) \) dan \( (3,0) \), gunakan rumus (i):
\[ y = a(x - 1)(x - 3) \]Substitusi titik ketiga \( C(0, -6) \) untuk menentukan nilai \( a \):
\[ -6 = a(0 - 1)(0 - 3) \implies -6 = 3a \implies a = -2 \]Persamaan fungsi kuadratnya adalah:
\[ y = -2(x - 1)(x - 3) = -2(x^2 - 4x + 3) = \mathbf{-2x^2 + 8x - 6} \]Tentukan persamaan fungsi kuadrat dari grafik berikut!
Dari grafik diketahui titik puncak \( (x_p, y_p) = (1, 4) \) dan grafik memotong sumbu X di titik \( (3,0) \) dan \( (-1,0) \).
Gunakan rumus titik puncak:
\[ y = a(x - x_p)^2 + y_p \implies y = a(x - 1)^2 + 4 \]Substitusi titik \( (3,0) \):
\[ 0 = a(3 - 1)^2 + 4 \implies 0 = 4a + 4 \implies 4a = -4 \implies a = -1 \]Sehingga persamaan fungsi kuadratnya adalah:
\[ y = -1(x - 1)^2 + 4 = -(x^2 - 2x + 1) + 4 = \mathbf{-x^2 + 2x + 3} \]Soal Latihan
Diketahui kurva \( y = x^2 + 7x + 2 \) dan garis \( y = 2x + 8 \) saling berpotongan di titik A dan titik B. Jarak titik A dan B adalah ....?
Fungsi \( f(x) = x^2 + ax \) mempunyai grafik berikut:
Grafik fungsi \( g(x) = x^2 - ax + 5 \) adalah ....
Jika \( a > 2 \), maka grafik fungsi \( f(x) = ax^2 + 2ax + 2 \)
Grafik fungsi \( f(x) = mx^2 + (2m - 3)x + m + 3 \) berada di atas sumbu X. Batas-batas nilai \( m \) yang memenuhi adalah ....
Jika \( 2a + 1 < 0 \) dan grafik \( y = x^2 - 4ax + a \) bersinggungan dengan grafik \( y = 2x^2 + 2x \), maka \( a^2 + 1 = .... \)
Jika garis \( 2x - 3y + 5k - 1 = 0 \) memotong parabola \( y = x^2 - 2x + k + 1 \) di dua titik, maka interval nilai \( k \) yang memenuhi adalah ....
Fungsi kuadrat yang melalui titik \( (-1, 3) \) dan titik terendahnya sama dengan puncak dari grafik \( f(x) = x^2 + 4x + 3 \) adalah ....
Agar kurva \( y = mx^2 - 2mx + m \) seluruhnya terletak di atas kurva \( y = 2x^2 - 3 \), maka interval konstanta \( m \) memenuhi ....
Diketahui sistem persamaan:
\[ \begin{cases} y = -mx + c \\ y = (x + 4)^2 \end{cases} \]Jika sistem persamaan tersebut memiliki tepat satu penyelesaian, maka jumlah semua nilai \( m \) adalah ....
Jika puncak grafik fungsi \( y = px^2 - qx - 1 \) sama dengan puncak grafik fungsi \( y = x^2 - 2x + 4 \), maka nilai \( p + q \) adalah ....
Fungsi kuadrat \( y = x^2 - 2x - 5 \) memotong sumbu X di A dan B serta memiliki titik puncak di C. Tentukan luas segitiga ABC?
Tentukan persamaan garis yang melalui titik puncak \( f(x) = x^2 - 6x + 5 \) serta melalui titik potong garis \( 2x + 5y = 14 \) dan \( 3x - 4y + 25 = 0 \)!
Demikian pembahasan materi Fungsi kuadrat Olim Matik SMP dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Jika ada kritik dan saran, atau koreksi dari isi artikel di halaman ini, mohon bantuannya untuk menuliskannya di kolom komentar di bagian bawah setiap artikel. Ini sangat membantu untuk memperbaiki kualitas dari artikel di blog koma. Semoga bermanfaat. Terimakasih.
