Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen

         Blog Koma - Setelah mempelajari materi "pernyataan majemuk" dan jenis-jenisnya, pada artikel ini kita akan membahas materi Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen yang merupakan bagian dari submateri pada "logika matematika". Ekuivalen suatu pernyataan berarti kita mencari bentuk lain dimana nilai kebenarannya setara atau sama dengan pernyataan semula. Biasanya ada dua pernyataan majemuk yang sering ditanyakan bentuk ekuvalensinya yaitu implikasi dan biimplikasi. Untuk memudahkan mempelajari materi Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen ini, kita harus menguasai materi "pernyataan majemuk", "nilai kebenaran dan ingkaran pernyataan", dan "nilai kebenearan pernyataan majemuk" serta materi "konvers, invers, dan kontraposisi". Untuk menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan majemuk, kita juga harus mengetahui cara membuat tabel kebenarannya. Berikut langsung saja kita bahas materi Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen yang akan kita mulai dari pengertian dan simbolnya, lalu contoh-contoh soal yang berkaitan Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen.

Pengertian Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen

       Dua pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen atau setara dalam logika (berekivalensi logis) jika memiliki nilai kebenaran yang sama. Jika pernyataan majemuk X dan Y ekuivalen, ditulis $ X \equiv Y $, maka nilai kebenaran pernyataan majemuk X dan Y sama.

$ \clubsuit \, $ Pernyataan majemuk yang ekuivalen :
*). Bentuk implikasi $ p \Rightarrow q $ ekuivalen dengan bentuk :
    (i). disjungsi : $ \sim p \vee q $
    (ii). kontraposisi : $ \sim q \Rightarrow \sim p $
    Dapat kita tulis :
    $ p \Rightarrow q \equiv \sim p \vee q \equiv \sim q \Rightarrow \sim p $.
*). Bentuk biimplikasi $ p \Leftrightarrow q $ ekuvalen dengan $ (p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow p) $.
    ditulis : $ p \Leftrightarrow q \equiv (p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow p) $
          atau
    ditulis : $ p \Leftrightarrow q \equiv (\sim p \vee q) \wedge (\sim q \vee p) $

Berikut tabel kebenaran bentuk ekuivalensi dari pernyataan majemuk di atas :
*). Bentuk : $ p \Rightarrow q \equiv \sim p \vee q $
Tabel kebenarannya :

Nampak bahwa nilai kebenaran $ p \Rightarrow q $ sama dengan nilai kebenaran $ \sim p \vee q $.

*). Bentuk : $ p \Rightarrow q \equiv \sim q \Rightarrow \sim p $
Tabel kebenarannya :
$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline p & q & \sim p & \sim q & p \Rightarrow q & \sim q \Rightarrow \sim p \\ \hline B & B & S & S & B & B \\ \hline B & S & S & B & S & S \\ \hline S & B & B & S & B & B \\ \hline S & S & B & B & B & B \\ \hline \end{array} $
Nampak bahwa nilai kebenaran $ p \Rightarrow q $ sama dengan nilai kebenaran $ \sim q \Rightarrow \sim p $.

*). Bentuk : $ p \Leftrightarrow q \equiv (p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow p) $
Tabel kebenarannya :

Nampak bahwa nilai kebenaran $ p \Leftrightarrow q $ sama dengan nilai kebenaran $ (p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow p) $.

*). Selain bentuk pernyataan majemuk yang ekuivalen di atas, ada bentuk ekuivalen yang lain yaitu :
-). Hukum Komutatif pada disjungsi dan konjungsi :
       $ p \vee q \equiv q \vee p $
       $ p \wedge q \equiv q \wedge p $
-). Hukum Asosiatif pada disjungsi dan konjungsi :
       $ (p \vee q)\vee r \equiv p \vee (q \vee r) $
       $ (p \wedge q) \wedge r \equiv p \wedge (q \wedge r ) $
-). Hukum Distirbutif pada disjungsi dan konjungsi :
       $ (p \vee q) \wedge r \equiv (p \wedge r) \vee (q \wedge r) $
       $ (p \wedge q) \vee r \equiv (p \vee r) \wedge (q \vee r) $
       $ p \vee ( q \wedge r) \equiv (p \vee q) \wedge (p \vee r) $
       $ p \wedge (q \vee r) \equiv (p \wedge q) \vee (p \wedge r) $

Catatan :
*). Jika kita diminta untuk menunjukkan apakah dua pernyataan majemuk ekuivalen atau tidak, cukup menggunkan tabel kebenaran,
Jika kedua pernyataan majemuk memiliki nilai kebenaran yang sama, maka ekuivalen.
Jika kedua pernyataan majemuk memiliki nilai kebenaran yang tidak sama, maka tidak ekuivalen.

*). Trik mudah mengingat ekuivalensi implikasi dan disjungsi :
"Berikan negasi pada pernyataan sebelah kiri".
Misalkan :
$ p \Rightarrow q \equiv \sim p \vee q $
$ \sim p \Rightarrow q \equiv \sim (\sim p) \vee q \equiv p \vee q $
$ p \vee q \equiv \sim p \Rightarrow q $
$ \sim p \vee q \equiv \sim (\sim p) \Rightarrow q \equiv p \Rightarrow q $

*). Untuk memudahkan dalam menentukan kesetaraan atau ekuivalensi pernyataan majemuk, kita ubah dulu menjadi notasi-notasi dengan huruf kecil.

Contoh soal Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen :

1). Pernyataan majemuk :
"Jika hari ini hujan, maka jalan basah"
ekuivalen (setara) dengan pernyataan?
Penyelesaian :
*). Kita ubah menjadi simbol-simbol :
$ p \Rightarrow q $ : Jika $\underbrace{\text{hari ini hujan}}_{p}$, maka $\underbrace{\text{jalan basah}}_{q} $
Artinya :
$ p $ mewakili hari ini hujan
$ q $ mewakili jalan basah.
*). Berdasarkan ekuivalensi, pernyataan $ p \Rightarrow q $ ekuivalen dengan $ \sim p \vee q $ dan $ \sim q \Rightarrow \sim p $ . Sehingga dalam kalimat :
$ \sim p \vee q $ : "hari ini tidak hujan atau jalan basah"
$ \sim q \Rightarrow \sim p $ : "Jika jalan tidak basah, maka hari ini tidak hujan".
Jadi, pernyataan "Jika hari ini hujan, maka jalan basah" setara atau ekuivalen dengan pernyataan "hari ini tidak hujan atau jalan basah" atau setara dengan "Jika jalan tidak basah, maka hari ini tidak hujan".

2). Pernyataan majemuk :
"Iwan lulus UN jika dan hanya jika Iwan Rajin belajar"
ekuivalen (setara) dengan pernyataan?
Penyelesaian :
*). Kita ubah menjadi simbol-simbol :
$ p \Leftrightarrow q $ : $\underbrace{\text{Iwan lulus UN}}_{p}$ jika dan hanya jika $\underbrace{\text{Iwan Rajin belajar}}_{q} $
Artinya :
$ p $ mewakili Iwan lulus UN
$ q $ mewakili Iwan Rajin belajar.
*). Berdasarkan ekuivalensi, pernyataan $ p \Leftrightarrow q $ ekuivalen dengan $ (p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow p) $ atau $ (\sim p \vee q) \wedge (\sim q \vee p) $ . Sehingga dalam kalimat :
$(p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow p) $ : "Jika Iwan lulus UN maka ia rajin belajar dan jika Iwan rajin belajar maka ia lulus UN"
$ (\sim p \vee q) \wedge (\sim q \vee p) $ : "Iwan tidak lulus UN atau rajin belajar dan Iwan tidak rajin belajar atau lulus UN".
Jadi, pernyataan "Iwan lulus UN jika dan hanya jika Iwan Rajin belajar" setara atau ekuivalen dengan pernyataan "Jika Iwan lulus UN maka ia rajin belajar dan jika Iwan rajin belajar maka ia lulus UN" atau setara dengan "Iwan tidak lulus UN atau rajin belajar dan Iwan tidak rajin belajar atau lulus UN".

3). Pernyataan majemuk :
"Wati gadis cerdas atau ia menjadi guru"
ekuivalen (setara) dengan pernyataan?
Penyelesaian :
*). Kita ubah menjadi simbol-simbol :
$ p \vee q $ : $\underbrace{\text{Wati gadis cerdas}}_{p}$, atau $\underbrace{\text{ia menjadi guru}}_{q} $
Artinya :
$ p $ mewakili Wati gadis cerdas
$ q $ mewakili ia menjadi guru.
*). Berdasarkan ekuivalensi, pernyataan $ p \vee q $ ekuivalen dengan $ \sim p \Rightarrow q $ dan $ \sim q \Rightarrow p $ . Sehingga dalam kalimat :
$ \sim p \Rightarrow q $ : "Jika Wati bukan gadis cerdas, maka ia menjadi guru"
$ \sim q \Rightarrow p $ : "Jika Wati tidak menjadi guru, maka ia gadis cerdas".
Jadi, pernyataan "Wati gadis cerdas atau ia menjadi guru" setara atau ekuivalen dengan pernyataan "Jika Wati bukan gadis cerdas, maka ia menjadi guru" atau setara dengan "Jika Wati tidak menjadi guru, maka ia gadis cerdas".

       Demikian pembahasan materi Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan logika matematika yaitu "negasi dari pernyataan majemuk".