Dalam melakukan penghitungan integral tertentu sebenarnya mudah karena cukup memasukkan batas atas dan batas bawahnya ke fungsi hasil integralnya. Jadi, tetap penekanannya pada integral Tak tentu. Maka dari itu, ada baiknya kita mempelajari dan menguasai cara mengintegralkan seperti integral fungsi aljabar, integral fungsi trigonometri, serta beberapa teknik integral yaitu substitusi aljabar, parsial, substitusi trigonometri, dan membagi pecahan yang bisa dibaca pada artikel terkait bagian akhir artikel ini. Setelah bisa menghitung hasil bentuk tak tentu, baru kita masukkan batas-batasnya. Silahkan juga baca materi "Apa Bedanya Integral Tertentu dan Tak Tentu".
Selain cara penghitungan integral tertentu, pada artikel ini kita akan bahas sifat-sifat integral tertentu yang sangat penting untuk kita ketahui dalam mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan integral tertentu. Terkadang ada soal-soal yang memang mengharuskan kita menggunakan sifat-sifat integral tertentu untuk mengerjakannya, sehingga harus kita kuasai dengan baik.
Penghitungan Integral Tertentu
Untuk menghitung bentuk integral tertentu kita menggunakan teorema fundamental kalkulus II (TFK II),
Jika $ f $ kontinu pada $ [a, b] $ dan $ F $ antiturunan $ f $ pada $ [a, b]$,
maka berlaku : $ \int \limits_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a) $
Jika $ f $ kontinu pada $ [a, b] $ dan $ F $ antiturunan $ f $ pada $ [a, b]$,
maka berlaku : $ \int \limits_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a) $
1). Hitunglah hasil integral berikut ini :
a). $ \int 3x^2 - 4x + 1 dx $
b). $ \int \limits_0^2 3x^2 - 4x + 1 dx $
Penyelesaian :
a). Bentuk $ \int 3x^2 - 4x + 1 dx \, $ disebut integral tak tentu karena tidak ada batasnya.
Hasilnya : $ \int 3x^2 - 4x + 1 dx = \frac{3}{2+1}x^{2+1} - \frac{4}{1+1}x^{1+1} + x + c = x^3 - 2x^2 + x + c $.
b). Bentuk $ \int \limits_0^2 3x^2 - 4x + 1 dx \, $ disebut integral tertentu dengan batas bawah $ 0 \, $ dan batas atas $ 2 $.
*). Menghitung hasilnya :
$ \begin{align} \int \limits_0^2 3x^2 - 4x + 1 dx & = [x^3 - 2x^2 + x]_0^2 \\ & = F(2) - F(0) \\ & = [2^3 - 2.2^2 + 2] - [0^3 - 2.0^2 + 0] \\ & = [8 - 8 + 2] - [0 - 0 + 0] \\ & = [ 2] - [0 ] \\ & = 2 \end{align} $
Jadi, hasil dari $ \int \limits_0^2 3x^2 - 4x + 1 dx = 2 $ .
2). Tentukan hasil integral dari
a). $ \int \limits_0^{30^\circ} (\sin x + \cos 2x ) dx $
b). $ \int \limits_0^1 2x\sqrt{x^2 + 1 } dx $
Penyelesaian :
a). $ \int \limits_0^{30^\circ} (\sin x + \cos 2x ) dx $
Integral fungsi trigonometri :
$ \int \sin x = -\cos x + c \, $ dan $ \int \cos 2x = \frac{1}{2} \sin 2x $.
*). Menentukan hasilnya :
$ \begin{align} \int \limits_0^{30^\circ} (\sin x + \cos 2x ) dx & = [-\cos x + \frac{1}{2} \sin 2x ]_0^{30^\circ} \\ & = [-\cos 30^\circ + \frac{1}{2} \sin 2 . 30^\circ ] - [-\cos 0 + \frac{1}{2} \sin 2. 0 ] \\ & = [-\cos 30^\circ + \frac{1}{2} \sin 60^\circ ] - [-\cos 0 + \frac{1}{2} \sin 0 ] \\ & = [-\frac{1}{2}\sqrt{3} + \frac{1}{2} .\frac{1}{2}\sqrt{3} ] - [- 1 + 0 ] \\ & = [-\frac{1}{2}\sqrt{3} + \frac{1}{4} \sqrt{3} ] + 1 \\ & = [-\frac{2}{4}\sqrt{3} + \frac{1}{4} \sqrt{3} ] + 1 \\ & = [-\frac{1}{4}\sqrt{3} ] + 1 \\ & = 1 -\frac{1}{4}\sqrt{3} \end{align} $
Jadi, hasil dari $ \int \limits_0^{30^\circ} (\sin x + \cos 2x ) dx = 1 -\frac{1}{4}\sqrt{3} $ .
b). $ \int \limits_0^1 2x\sqrt{x^2 + 1 } dx $
*). Integral substitusi aljabar, misalkan $ u = x^2 + 1 \rightarrow u^\prime = 2x $
$ \begin{align} \int \limits_0^1 2x\sqrt{x^2 + 1 } dx & = \int \limits_0^1 2x\sqrt{ u } \frac{du}{u^\prime } \\ & = \int 2x\sqrt{ u } \frac{du}{u^\prime } \\ & = \int 2x\sqrt{ u } \frac{du}{ 2x } \\ & = \int \sqrt{ u } du \\ & = \int u^\frac{1}{2} du \\ & = \frac{2}{3} u^\frac{3}{2} \\ & = [\frac{2}{3} (x^2 + 1) ^\frac{3}{2} ]_0^1 \\ & = [\frac{2}{3} (1^2 + 1) ^\frac{3}{2} ] - [\frac{2}{3} (0^2 + 1) ^\frac{3}{2} ] \\ & = [\frac{2}{3} (2) ^\frac{3}{2} ] - [\frac{2}{3} ( 1) ^\frac{3}{2} ] \\ & = [\frac{2}{3} 2^1 . (2) ^\frac{1}{2} ] - [\frac{2}{3} ] \\ & = [\frac{2}{3} 2 . \sqrt{2}] - [\frac{2}{3} ] \\ & = \frac{2}{3} ( 2 \sqrt{2} - 1) \end{align} $
Jadi, hasil dari $ \int \limits_0^1 2x\sqrt{x^2 + 1 } dx = \frac{2}{3} ( 2 \sqrt{2} - 1) $ .
3). Jika diketahui $ \frac{df(x)}{dx} = g(x) \, $ kontinu pada interval $ p \leq x \leq q \, $ , maka hasil dari $ \int \limits_p^q f(x)g(x) dx $
Penyelesaian :
*). Bentuk $ \frac{df(x)}{dx} = g(x) \, $ artinya $ f^\prime (x) = g(x) $.
Misalkan $ u = f(x) \rightarrow u^\prime = f^\prime (x) = g(x) $
*). Menyelesaikan soalnya dengan substitusi aljabar :
$ \begin{align} \int \limits_p^q f(x)g(x) dx & = \int \limits_p^q u . g(x) \frac{du}{u^\prime} \\ & = \int u . g(x) \frac{du}{g(x)} \\ & = \int u du \\ & = \frac{1}{2} u^2 + c \\ & = [\frac{1}{2} [f(x)]^2 ]_p^q \\ & = [\frac{1}{2} [f(q)]^2 ] - [\frac{1}{2} [f(p)]^2 ] \\ & = \frac{[f(q)]^2 - [f(p)]^2}{2} \end{align} $
Jadi, hasil dari $ \int \limits_p^q f(x)g(x) dx = \frac{[f(q)]^2 - [f(p)]^2}{2} $ .
Sifat-sifat Integral Tertentu
Adapun sifat-sifat integral tertentu yaitu :
1). $ \int \limits_a^b k f(x) dx = k \int \limits_a^b f(x) dx $
2). $ \int \limits_a^b [ f(x) + g(x) ] dx = \int \limits_a^b f(x) dx + \int \limits_a^b g(x) dx $
3). $ \int \limits_a^b [ f(x) - g(x) ] dx = \int \limits_a^b f(x) dx - \int \limits_a^b g(x) dx $
4). $ \int \limits_a^b f(x) dx = - \int \limits_b^a f(x) dx $
5). $ \int \limits_a^a f(x) dx = 0 $
6). $ \int \limits_a^b f(x) dx = \int \limits_a^c f(x) dx + \int \limits_c^b f(x) dx \, , $ dengan $ a < c < b $
7). $ \int \limits_a^b f(x) dx = \int \limits_{a+c}^{b+c} f(x-c) dx $
8). $ \int \limits_a^b f(x) dx = \int \limits_{a-c}^{b-c} f(x+c) dx $
1). $ \int \limits_a^b k f(x) dx = k \int \limits_a^b f(x) dx $
2). $ \int \limits_a^b [ f(x) + g(x) ] dx = \int \limits_a^b f(x) dx + \int \limits_a^b g(x) dx $
3). $ \int \limits_a^b [ f(x) - g(x) ] dx = \int \limits_a^b f(x) dx - \int \limits_a^b g(x) dx $
4). $ \int \limits_a^b f(x) dx = - \int \limits_b^a f(x) dx $
5). $ \int \limits_a^a f(x) dx = 0 $
6). $ \int \limits_a^b f(x) dx = \int \limits_a^c f(x) dx + \int \limits_c^b f(x) dx \, , $ dengan $ a < c < b $
7). $ \int \limits_a^b f(x) dx = \int \limits_{a+c}^{b+c} f(x-c) dx $
8). $ \int \limits_a^b f(x) dx = \int \limits_{a-c}^{b-c} f(x+c) dx $
4). Tentuk bentuk integral berikut berdasarkan sifat-sifat integral tertentu :
a). $ \int \limits_1^5 3 (x^2- 1) dx $
b). $ \int \limits_1^5 x^3 + 2x dx $
c). $ \int \limits_1^5 x^3 - 2x dx $
d). $ \int \limits_1^5 x^5 + 2x - 1 dx $
e). $ \int \limits_1^1 x^5 + 2x - 1 dx $
f). $ \int \limits_1^9 (x^3 + 3x ) dx $
g). $ \int \limits_1^7 (x^3 + 3x ) dx $
h). $ \int \limits_{1000}^{1007} (x^3 + 3x ) dx $
Penyelesaian :
a). Sifat (1) : $ \int \limits_1^5 3 (x^2- 1) dx = 3 \int \limits_1^5 (x^2- 1) dx $
b). Sifat (2) : $ \int \limits_1^5 x^3 + 2x dx = \int \limits_1^5 x^3 dx + \int \limits_1^5 2x dx $
c). Sifat (3) : $ \int \limits_1^5 x^3 - 2x dx = \int \limits_1^5 x^3 dx - \int \limits_1^5 2x dx $
d). Sifat (4) : $ \int \limits_1^5 x^5 + 2x - 1 dx = - \int \limits_5^1 x^5 + 2x - 1 dx $
e). Sifat (5) : $ \int \limits_1^1 x^5 + 2x - 1 dx = 0 $
f). Sifat (6) : $ \int \limits_1^9 (x^3 + 3x ) dx = \int \limits_1^5 (x^3 + 3x ) dx + \int \limits_5^9 (x^3 + 3x ) dx $
g). Sifat (7) : $ \int \limits_1^7 (x^3 + 3x ) dx = \int \limits_{1+5}^{7+5} ((x-5)^3 + 3(x-5) ) dx = \int \limits_{6}^{12} ((x-5)^3 + 3(x-5) ) dx $
h). Sifat (8) :
$ \begin{align} \int \limits_{1000}^{1007} (x^3 + 3x ) dx & = \int \limits_{1000-1000}^{1007 -1000} ((x+1000)^3 + 3(x+1000) ) dx \\ & = \int \limits_{0}^{7} ((x+1000)^3 + 3(x+1000) ) dx \end{align} $
5). Jika $ \int \limits_1^b (2x - 3) dx = 12 \, $ dengan $ b > 0 \, $ , maka nilai $ b = .... $
Penyelesaian :
$ \begin{align} \int \limits_1^b (2x - 3) dx & = 12 \\ [x^2 - 3x ]_1^b & = 12 \\ [b^2 - 3b ] - [1^2 - 3.1 ] & = 12 \\ [b^2 - 3b ] - [1 - 3 ] & = 12 \\ b^2 - 3b - 10 & = 0 \\ (b +2)(b - 5) & = 0 \\ b = -2 \vee b & = 5 \end{align} $
Karena yang diminta adalah $ b > 0 \, $ maka yang memenuhi adalah $ b = 5 $.
Jadi, nilai $ b = 5 $.
6). Diketahui $ \int \limits_0^3 f(x) dx = -4 \, $ dan $ \int \limits_0^9 f(x) dx = 16 \, $ , tentukan nilai $ \int \limits_3^9 f(x) dx $
Penyelesaian :
*). Kita gunakan sifat (6) : $ \int \limits_a^b f(x) dx = \int \limits_a^c f(x) dx + \int \limits_c^b f(x) dx $
Kita pecah batas dari 0 sampai 9 menjadi dua bagian yaitu 0 sampai 3 dan 3 samapi 9.
$ \begin{align} \int \limits_0^9 f(x) dx & = \int \limits_0^3 f(x) dx + \int \limits_3^9 f(x) dx \\ 16 & = -4 + \int \limits_3^9 f(x) dx \\ \int \limits_3^9 f(x) dx & = 16 + 4 \\ \int \limits_3^9 f(x) dx & = 20 \end{align} $
Jadi, nilai $ \int \limits_3^9 f(x) dx = 20 $
7). Diketahui $ \int \limits_0^2 3f(x) dx = 6 \, $ dan $ \int \limits_4^2 4f(x) dx = 20 \, $ , tentukan nilai $ 5\int \limits_0^4 f(x) dx $
Penyelesaian :
*). Menyederhanakan yang diketahui dengan sifat (1) :
$ \int \limits_0^2 3f(x) dx = 6 \rightarrow 3 \int \limits_0^2 f(x) dx = 6 \rightarrow \int \limits_0^2 f(x) dx = \frac{6}{3} = 2 $
$ \int \limits_4^2 4f(x) dx = 20 \rightarrow 4 \int \limits_4^2 f(x) dx = 20 \rightarrow \int \limits_4^2 f(x) dx = \frac{20}{4} = 5 $
Sifat (4) : $ \int \limits_2^4 f(x) dx = - \int \limits_4^2 f(x) dx = -5 $
*). Kita gunakan sifat (6) : $ \int \limits_a^b f(x) dx = \int \limits_a^c f(x) dx + \int \limits_c^b f(x) dx $
Kita pecah batas dari 0 sampai 4 menjadi dua bagian yaitu 0 sampai 2 dan 2 samapi 4.
$ \begin{align} 5\int \limits_0^4 f(x) dx & = 5[ \int \limits_0^2 f(x) dx + \int \limits_2^4 f(x) dx ] \\ & = 5[ 2 + (-5) ] \\ & = 5[ -3 ] \\ & = -15 \end{align} $
Jadi, nilai $ 5\int \limits_0^4 f(x) dx = -15 $
8). Jika diketahui $ \int \limits_0^7 (x + 5) dx = a , \, $ maka nyatakan bentuk $ \int \limits_{1000}^{1007} (2x - 2005) dx \, $ dalam $ a $ .
Penyelesaian :
*). Kita akan mengarahkan pertanyaan yang diketahui dengan sifat (8)
$ \int \limits_a^b f(x) dx = \int \limits_{a-c}^{b-c} f(x+c) dx $
*). Memodifikasi soalnya dengan kurangkan 1000 ada batasnya
$ \begin{align} \int \limits_{1000}^{1007} (2x - 2005) dx & = \int \limits_{1000-1000}^{1007-1000} (2(x+1000) - 2005) dx \\ & = \int \limits_{0}^{7} (2x+2000 - 2005) dx \\ & = \int \limits_{0}^{7} (2x - 5 ) dx \\ & = \int \limits_{0}^{7} 2x + (10 - 10) - 5 dx \\ & = \int \limits_{0}^{7} (2x + 10 ) - 10 - 5 dx \\ & = \int \limits_{0}^{7} 2(x + 5 ) - 15 dx \\ & = \int \limits_{0}^{7} 2(x + 5 ) dx - \int \limits_{0}^{7} 15 dx \\ & = 2 \int \limits_{0}^{7} (x + 5 ) dx - [15x]_0^7 \\ & = 2 a - ([15.7] - [15.0]) \\ & = 2 a - ( 105 - 0 ) \\ & = 2 a - 105 \end{align} $
Jadi, kita peroleh $ \int \limits_{1000}^{1007} (2x - 2005) dx = 2 a - 105 $ .
9). Fungsi kecepatan dari suatu objek adalah $ V(t) = \left\{ \begin{array}{cc} 3t & \text{ jika } 0 \leq t \leq 1 \\ 3 & \text{ jika } 1 \leq t \leq 6 \end{array} \right. $
Anggap objek berada pada titik (0,0) pada saat $ t = 0 \, $ , carilah posisi objek pada saat $ t = 5 $ ?
Penyelesaian :
*). Kita tahu bahwa $ V(t) = \frac{ds}{dt} \, $ , sehingga $ s(t) = \int V(t) dt $.
*). Menentukan posisi benda pada saat $ t = 5 $
$ \begin{align} s & = \int \limits_0^5 V(t) dt \\ & = \int \limits_0^1 3t dt + \int \limits_1^5 3 dt \\ & = [\frac{3}{2}t^2]_0^1 + [3t]_1^5 \\ & = ([\frac{3}{2}.1^2] - [\frac{3}{2}.0^2]) + ([3.5] - [3.1]) \\ & = ([\frac{3}{2}] - [0]) + ([15] - [3]) \\ & = (\frac{3}{2} ) + (12) \\ & = 13\frac{1}{2} \end{align} $
Jadi, posisi objek pada saat $ t = 5 \, $ adalah $ 13\frac{1}{2} \, $ satuan.
Khusus untuk soal nomor 6, nomor 7 dan nomor 8 di atas wajib menggunakan sifat-sifat integral tertentu. Soal-soal yang melibatkan sifat-sifat integral tertentu memang terlihat lebih menantang terutama bentuk-bentuk seperti contoh di atas. Dengan sering berlatih dan teliti, kami yakin teman-teman bisa menguasai materi ini dengan baik dan benar.
