Hasil Limit Bentuk Tentu dan Bentuk Tak Tentu
Secara umum, untuk menyelesaikan limit fungsi baik aljabar maupun trigonometri adalah substitusi nilai $ x \, $ ke
fungsi $ f(x) $. Setelah disubstitusikan, akan diperoleh nilai limitnya yang dibagi menjadi dua yaitu bentuk tentu dan bentuk tak tentu.
Bentuk Tentu : $ a, \, \frac{a}{b}, \, \frac{a}{0} = \infty , \, \frac{0}{b} = 0 $
Bentuk tak Tentu : $ \frac{0}{0}, \, \frac{\infty}{\infty} , \, \infty - \infty , \, 0^0 , \, \infty ^ \infty $
dengan $ a \, $ dan $ b \, $ adalah bilangan real.
Jika hasilnya bentuk tentu, maka bentuk tak tentu tersebut adalah hasil limitnya, dan jika hasilnya bentuk tak tentu, maka fungsinya harus diproses lagi dengan cara difaktorkan atau di kalikan dengan bentuk sekawannya. Biasanya kebanyakan soal limit pasti hasilnya bentuk tak tentu sehingga harus diproses lagi.
Bentuk Tentu : $ a, \, \frac{a}{b}, \, \frac{a}{0} = \infty , \, \frac{0}{b} = 0 $
Bentuk tak Tentu : $ \frac{0}{0}, \, \frac{\infty}{\infty} , \, \infty - \infty , \, 0^0 , \, \infty ^ \infty $
dengan $ a \, $ dan $ b \, $ adalah bilangan real.
Jika hasilnya bentuk tentu, maka bentuk tak tentu tersebut adalah hasil limitnya, dan jika hasilnya bentuk tak tentu, maka fungsinya harus diproses lagi dengan cara difaktorkan atau di kalikan dengan bentuk sekawannya. Biasanya kebanyakan soal limit pasti hasilnya bentuk tak tentu sehingga harus diproses lagi.
1). Tentukan nilai limit fungsi aljabar berikut :
a). $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } 3x^2 $
b). $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{x^2 + 1}{3x} $
c). $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{3x - 2}{x-2} $
d). $ \displaystyle \lim_{x \to -1 } \frac{x+1}{2x-1} $
e). $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{x^2 - 1}{x-1} $
Penyelesaian :
a). $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } 3x^2 = 3.(2)^2 = 3.4 = 12 $
Hasilnya 12 (bentuk tentu), artinya nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } 3x^2 = 12 $
b). $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{x^2 + 1}{3x} = \frac{1^2 + 1}{3.1} = \frac{2}{3} $
Hasilnya $ \frac{2}{3} $ (bentuk tentu), artinya nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{x^2 + 1}{3x} = \frac{2}{3} $
c). $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{3x - 2}{x-2} = \frac{3.2 - 2}{2-2} = \frac{4}{0} = \infty $
Hasilnya $ \infty $ (bentuk tentu), artinya nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{3x - 2}{x-2} = \infty $
d). $ \displaystyle \lim_{x \to -1 } \frac{x+1}{2x-1} = \frac{(-1) + 1}{2(-1) - 1} = \frac{0}{-3} = 0 $
Hasilnya 0 (bentuk tentu), artinya nilai $ \displaystyle \lim_{x \to -1 } \frac{x+1}{2x-1} = 0 $
e). $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{x^2 - 1}{x-1} = \frac{1^2 - 1}{1-1} = \frac{0}{0} $
Hasilnya $ \frac{0}{0} $ (bentuk tak tentu), sehingga fungsinya harus diproses lagi
Penyelesaian Limit fungsi aljabar dengan pemfaktoran
Setalah disubstitusi nilai $ x \, $ ke fungsi $ f(x) \, $ dan hasilnya bentuk tak tentu, maka salah satu
cara penyelesaiannya adalah dengan pemfaktoran, kemudian bentuk faktor yang sama dicoret sehingga pembuat nol nya tidak ada lagi.
Bentuk-bentuk pemfaktoran yang sering digunakan adalah :
*). Pemfaktoran bentuk kuadrat, baca artikel "Menentukan akar-akar Persamaan Kuadrat(PK)"
*). $ p^2 - q^2 = (p+q)(p-q) $
*). $ p^3 - q^3 = (p-q)(p^2 + pq + q^2) $
*). $ p^3 + q^3 = (p+q)(p^2 - pq + q^2) $
Bentuk-bentuk pemfaktoran yang sering digunakan adalah :
*). Pemfaktoran bentuk kuadrat, baca artikel "Menentukan akar-akar Persamaan Kuadrat(PK)"
*). $ p^2 - q^2 = (p+q)(p-q) $
*). $ p^3 - q^3 = (p-q)(p^2 + pq + q^2) $
*). $ p^3 + q^3 = (p+q)(p^2 - pq + q^2) $
2). Tentukan hasil limit fungsi aljabar berikut :
a). $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{x^2 - 1}{x-1} $
b). $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{x^3 - 8}{x-2} $
c). $ \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{2x^2-7x+3}{x^2-2x-3} $
Penyelesaian :
a). $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{x^2 - 1}{x-1} = \frac{1^2-1}{1-1} = \frac{0}{0} $
Hasilnya bentuk tak tentu ( $ \frac{0}{0} $ ) , sehingga harus diproses lagi.
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{x^2 - 1}{x-1} & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } (x+1) \\ & = 1 + 1 = 2 \end{align} $
Sehingga, nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{x^2 - 1}{x-1} = 2 $
b). $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{x^3 - 8}{x-2} = \frac{2^3-8}{2-2} = \frac{0}{0} $
Hasilnya bentuk tak tentu ( $ \frac{0}{0} $ ) , sehingga harus diproses lagi.
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{x^3 - 8}{x-2} & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{x^3 - 2^2}{x-2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{(x-2)(x^2 + 2x + 2^2)}{x-2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } (x^2 + 2x + 4 ) \\ & = 2^2 + 2.2 + 4 = 12 \end{align} $
Sehingga, nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{x^3 - 8}{x-2} = 12 $
c). $ \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{2x^2-7x+3}{x^2-2x-3} = \frac{2.3^2-7.3+3}{3^2-2.3-3} = \frac{0}{0} $
Hasilnya bentuk tak tentu ( $ \frac{0}{0} $ ) , sehingga harus diproses lagi.
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{2x^2-7x+3}{x^2-2x-3} & = \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{(x-3)(2x-1)}{(x-3)(x+1)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{(2x-1)}{(x+1)} \\ & = \frac{(2.3-1)}{(3+1)} \\ & = \frac{5}{4} \end{align} $
Sehingga, nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{2x^2-7x+3}{x^2-2x-3} = \frac{5}{4} $
Penyelesaian Limit Fungsi Aljabar dengan kalikan sekawan
Untuk hasil limit bentuk tak tentu, terutama fungsinya berbentuk akar, maka untuk menyelesaikannya bisa
menggunakan cara kalikan dengan bentuk sekawannya.
Berikut bentuk sekawan dari beberapa fungsi :
*). $ \sqrt{x} + \sqrt{b} \, $ bentuk sekawannya : $ \sqrt{x} - \sqrt{b} $
*). $ a\sqrt{x} - p \sqrt{b} \, $ bentuk sekawannya : $ a\sqrt{x} + p \sqrt{b} $
*). $ a\sqrt{x} + b \, $ bentuk sekawannya : $ a\sqrt{x} - b $
Catatan : dari bentuk sekawan di atas, bentuk sekawan positif adalah negatif (dan sebaliknya).
Berikut bentuk sekawan dari beberapa fungsi :
*). $ \sqrt{x} + \sqrt{b} \, $ bentuk sekawannya : $ \sqrt{x} - \sqrt{b} $
*). $ a\sqrt{x} - p \sqrt{b} \, $ bentuk sekawannya : $ a\sqrt{x} + p \sqrt{b} $
*). $ a\sqrt{x} + b \, $ bentuk sekawannya : $ a\sqrt{x} - b $
Catatan : dari bentuk sekawan di atas, bentuk sekawan positif adalah negatif (dan sebaliknya).
3). tentukan hasil limit fungsi aljabar berikut :
a). $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{\sqrt{2x} - 2}{x-2} $
b). $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{\sqrt{x + 1} - \sqrt{2} }{x - 1} $
c). $ \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{x^2 - 9 }{3 - \sqrt{x + 6 } } $
Penyelesaian :
a). $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{\sqrt{2x} - 2}{x-2} = \frac{\sqrt{2.2} - 2}{2-2} = \frac{0}{0} $
Hasilnya bentuk tak tentu ( $ \frac{0}{0} $ ) , sehingga harus diproses lagi.
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{\sqrt{2x} - 2}{x-2} & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{\sqrt{2x} - 2}{x-2} \times \frac{\sqrt{2x} + 2}{\sqrt{2x} + 2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{2x - 4}{(x-2)(\sqrt{2x} + 2)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{2(x - 2)}{(x-2)(\sqrt{2x} + 2)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{2}{\sqrt{2x} + 2} \\ & = \frac{2}{\sqrt{2.2} + 2} \\ & = \frac{2}{2 + 2} \\ & = \frac{2}{4} \\ & = \frac{1}{2} \end{align} $
Sehingga, nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{\sqrt{2x} - 2}{x-2} = \frac{1}{2} $
b). $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{\sqrt{x + 1} - \sqrt{2} }{x - 1} = \frac{\sqrt{1 + 1} - \sqrt{2} }{1 - 1} = \frac{0}{0} $
Hasilnya bentuk tak tentu ( $ \frac{0}{0} $ ) , sehingga harus diproses lagi.
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{\sqrt{x + 1} - \sqrt{2} }{x - 1} & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{\sqrt{x + 1} - \sqrt{2} }{x - 1} \times \frac{\sqrt{x + 1} + \sqrt{2}}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{2}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{(x+1) - 2 }{(x - 1)(\sqrt{x + 1} + \sqrt{2} )} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{(x-1) }{(x - 1)(\sqrt{x + 1} + \sqrt{2} )} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{1}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{2} } \\ & = \frac{1}{\sqrt{1 + 1} + \sqrt{2} } \\ & = \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{2} } \\ & = \frac{1}{2\sqrt{2}} \\ & = \frac{1}{2\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\ & = \frac{\sqrt{2}}{2.2} \\ & = \frac{1}{4}\sqrt{2} \end{align} $
Sehingga, nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{\sqrt{x + 1} - \sqrt{2} }{x - 1} = \frac{1}{4}\sqrt{2} $
c). $ \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{x^2 - 9 }{3 - \sqrt{x + 6 } } = \frac{3^2 - 9 }{3 - \sqrt{3 + 6 } } = \frac{0}{0} $
Hasilnya bentuk tak tentu ( $ \frac{0}{0} $ ) , sehingga harus diproses lagi.
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{x^2 - 9 }{3 - \sqrt{x + 6 } } & = \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{x^2 - 9 }{3 - \sqrt{x + 6 } } \times \frac{3 + \sqrt{x + 6 }}{3 + \sqrt{x + 6 }} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{(x^2 - 9)(3 + \sqrt{x + 6 }) }{9 - (x + 6 ) } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{(x-3)(x+3)(3 + \sqrt{x + 6 }) }{3 - x } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{(x-3)(x+3)(3 + \sqrt{x + 6 }) }{-(x-3) } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{(x+3)(3 + \sqrt{x + 6 }) }{-1 } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 3 } -(x+3)(3 + \sqrt{x + 6 }) \\ & = -(3+3)(3 + \sqrt{3 + 6 }) \\ & = -(6)(3 + \sqrt{9}) \\ & = -(6)(6) \\ & = -36 \end{align} $
Sehingga, nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{x^2 - 9 }{3 - \sqrt{x + 8 } } = -36 $
4). Tentukan nilai $ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(x+h) - f(x) }{h} \, $ untuk fungsi $ f(x) = 3x - 5 $
Penyelesaian :
*). Fungsi $ f(x+h) = 3(x+h) - 5 = 3x + 3h - 5 $
*). Menentukan hasilnya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(x+h) - f(x) }{h} & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ ( 3x + 3h - 5 ) - (3x - 5 ) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ 3h }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } 3 \\ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(x+h) - f(x) }{h} & = 3 \end{align} $
Salah satu kegunaan dari limit fungsi aljabar adalah untuk menentukan persamaan asimtot tegak fungsi aljabar.
