Variasi Soal Kedudukan Dua Lingkaran

         Blog Koma - Setelah mempelajari materi "kedudukan dua lingkaran", pada artikel ini kita akan membahas tentang kelanjutan materi tersebut yaitu Variasi Soal Kedudukan Dua Lingkaran. Tujuan materi Variasi Soal Kedudukan Dua Lingkaran ini adalah untuk memantapkan pemahaman materi melalui beberapa variasi tipe soal. Namun sebelumnya, akan kita tuliskan kembali beberapa kemungkinan kedudukan dua lingkaran dengan syarat-syaratnya. Teman-teman sebaiknya juga membaca dulu artikel kedudukan dua lingkaran yang sudah kita upload sebelumnya.

         Agar memudahkan dalam mempelajari artikel variasi soal kedudukan dua lingkaran, teman-teman harus menguasai materi "persamaan lingkaran" (khususnya menentukan pusat dan jari-jarinya) , jarak antara dua titik (untuk mencari jarak antara dua pusat lingkaran), bentuk mutlak dan sifat pertidaksamaan bentuk mutlak

Beberapa Jenis kedudukan dua lingkaran
       Dari artikel "kedudukan dua lingkaran" sebelumnya, ada 8 jenis kedudukan dua lingkaran. Misalkan ada dua lingkaran dengan jari-jari masing-masing $ r_1 $ dan $ r_2 $, serta jarak kedua pusat lingkarannya adalah $ d $ dan kita tidak tahu lingkaran mana yang lebih besar. Berikut syarat masing-masing kedudukan dua lingkarannya :

$\spadesuit \, $ Lima jenis kedudukan dua lingkaran
Untuk memudahkan mengingat, perhatikan gambar berikut ini.
Dari gambar, ada 5 kemungkinan kedudukan dua lingkaran. Perhatikan gerakan lingkaran kecil (warna merah), seolah-olah bergerak terus menurus ke arah kanan lingkaran besar (warna biru) yang tetap. Nah untuk syaratnya, perhatikan garis bilangan di bawahnya, kedudukan (i) berada dipaling kiri $|r_1-r_2|$, kedudukan (ii) berada tepat di $|r_1-r_2|$, kedudukan (iii) diantara $|r_1-r_2| \, $ dan $ r_1 + r_2 $ , kedudukan (iv) berada tepat di $ r_1+r_2$ , dan kedudukan (v) berada di kanan $ r_1 + r_2 $.
Kedudukan dan syarat-syaratnya :
(i). Lingkaran berada di dalam lingkaran lain, syaratnya $ d < |r_1 - r_2| $
(ii). bersinggungan dalam, syaratnya $ d = |r_1 - r_2| $
(iii). berotongan, syaratnya $ |r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2 $
(iv). bersinggungan luar, syaratnya $ d = r_1 + r_2 $
(v). tidak berpotongan, syaratnya $ d > r_1 + r_2 $

$\clubsuit \, $ Tiga jenis kedudukan dua lingkaran sisanya
Tiga jenis kedudukan lainnya adalah :
(vi). Kosentris (sepusat), syaratnya kedua pusat lingkaran sama.
(vii). Ortogonal (tegak lurus), syaratnya $ d^2 = r_1^2 + r_2^2 $
(viii). berpotongan tepat pada diameter, syaratnya $ d^2 = | r_1^2 - r_2^2 | $
Catatan :
*). Untuk gambar kedudukan (vi), (vii), dan (viii), teman-teman langsung bisa melihat gambarnya pada artikel "kedudukan dua lingkaran" sebelumnya.
*). bentuk $ |r_1 - r_2 | $ bertujuan agar hasil pengurangannya selalu positif karena nilai $ d $ (jarak pusat) juga selalu positif.
*). Bentuk mutlak $ |f(x) | = \sqrt{[f(x)]^2} $
*). Sifat pertidaksamaan mutlak yang kita gunakan yaitu :
$ |f(x)| < a , \, $ maka $ -a < f(x) < a \, $ dan
$ | f(x) > a , \, $ maka $ f(x) < -a \, $ atau $ f(x) > a $
berlaku sama juga untuk tanda ketaksamaan $ \leq \, $ dan $ \geq $.


Contoh variasi soal kedudukan dua lingkaran :
1). Diketahui dua lingkaran dengan persamaan masing-masing :
L1 : $ x^2 + y^2 -2px + 4y + p^2 - 5p - 16 = 0 \, $ dan
L2 : $ x^2 + y^2 -2x - 2qy + q^2 - q - 2 = 0 $ .
Jika kedua lingkaran kosentris, maka tentukan nilai $ p + q \, $ dan jari-jari kedua lingkaran!

Penyelesaian :
*). Menentukan jari-jari dan pusat kedua lingkaran :
L1 : $ x^2 + y^2 -2px + 4y + p^2 - 5p - 16 = 0 $
nilai $ A = -2p, B = 4, C = p^2 - 5p - 16 $
Pusat L1,
$ a = -\frac{1}{2}A = - \frac{1}{2}(-2p) = p $
$ b = -\frac{1}{2}B = - \frac{1}{2}(4) = -2 $ Sehingga pusatnya : $ (a,b) = ( p , -2) $
Jari-jari L1,
$ r_1 = \sqrt{a^2 + b^2 - C } = \sqrt{p^2 + (-2)^2 - (p^2 - 5p - 16)} = \sqrt{5p + 20} $
L2 : $ x^2 + y^2 -2x - 2qy + q^2 - q - 2 = 0 $
nilai $ A = -2, B = -2q, C = q^2 - q - 2 $
Pusat L2,
$ a = -\frac{1}{2}A = - \frac{1}{2}(-2) = 1 $
$ b = -\frac{1}{2}B = - \frac{1}{2}(-2q) = q $ Sehingga pusatnya : $ (a,b) = ( 1,q) $
Jari-jari L2,
$ r_2 = \sqrt{a^2 + b^2 - C } = \sqrt{1^2 + q^2 - (q^2 - q - 2)} = \sqrt{q+3} $
*). Kedua lingkaran kosentris, artinya kedua lingkaran memiliki pusat yang sama sehingga :
$ \begin{align} \text{pusat L1 } & = \text{ pusat L_2} \\ ( p , -2) & = ( 1,q) \end{align} $
Artinya nilai $ p = 1 \, $ dan $ q = -2 $.
*). Nilai $ p + q = 1 + (-2) = -1 $.
*). Menentukan besar jari-jari kedua lingkaran :
$ r_1 = \sqrt{5p + 20} = \sqrt{5 . 1 + 20} = \sqrt{25} = 5 $
$ r_2 = \sqrt{q + 3} = \sqrt{-2 + 3} = \sqrt{1} = 1 $
Jadi, nilai $ p + q = -1 \, $ dan $ r_1 = 5, \, r_2 = 1. \, \heartsuit $.

2). Diketahui dua lingkaran dengan persamaan masing-masing
L1 : $ (x+2)^2 + (y-2)^2 = r^2 \, $ dan
L2 : $ (x-2)^2 + (y+1)^2 = 9 $.
Tentukan besarnya jari-jari lingkaran kedua jika kedua lingkaran memiliki kedudukan :
a). Salah satu ada di dalam lingkaran lainnya,
b). bersinggungan dalam,
c). berpotongan,
d). bersinggungan luar,
e). tidak berpotongan dan bersinggungan,
f). ortogonal,
g). berpotngan tepat pada diameter.

Penyelesaian :
*). Menentukan pusat, jarak pusat, dan jari-jari :
L1 : $ (x+2)^2 + (y-2)^2 = r^2 $
Pusat L1 : $(-2,2) \, $ dan $ r_1 = \sqrt{r^2} = r $
L2 : $ (x-2)^2 + (y+1)^2 = 9 $
Pusat L2 : $(2,-1) \, $ dan $ r_2 = \sqrt{9} = 3 $
Jarak kedua pusat lingkaran ($d$) :
$ d = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2} = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (-1 - 2)^2} = \sqrt{25} = 5 $.

*). Menentukan besar jari-jari lingkaran pertama ($r$) jika
a). Salah satu ada di dalam lingkaran lainnya,
Syarat : $ d < |r_1 - r_2 | $
sehingga :
$ \begin{align} d & < |r_1 - r_2 | \\ 5 & < |r - 3| \, \, \, \, \, \, \text{(atau sama dengan)} \\ |r - 3 | & > 5 \\ r - 3 & < -5 \vee r - 3 > 5 \\ r & < -5 + 3 \vee r > 5 + 3 \\ r & < -2 \vee r > 8 \end{align} $
Karena jari-jari positif, maka yang memenuhi $ r > 8 $.
Jadi, agar salah satu lingkaran ada di dalam lingkaran lainnya, maka jari-jari lingkaran pertama adalah $ r > 8 $.

b). bersinggungan dalam,
Syaratnya $ d = | r_1 - r_2 | $
Sehingga :
$\begin{align} d & = | r_1 - r_2 | \\ 5 & = | r - 3 | \\ | r - 3 | & = 5 \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ ( r - 3 )^2 & = 5^2 \\ ( r - 3 )^2 - 5^2 & = 0 \\ ( r - 3 + 5 )(r - 3 - 5) & = 0 \\ ( r +2 )(r- 8) & = 0 \\ r = - 2 \vee r & = 8 \end{align} $
Jadi, jari-jari lingkaran pertama adalah $ r = 8 $.

c). berpotongan,
Syarat $ |r_1 - r_2 | < d < r_1 + r_2 $
Sehingga :
$ \begin{align} |r_1 - r_2 | < & d < r_1 + r_2 \\ |r - 3 | < & 5 < r + 3 \\ |r - 3 | < 5 & \cap 5 < r + 3 \\ -5 < r - 3 < 5 & \cap r + 3 > 5 \\ -5 + 3 < r - 3 + 3 < 5 + 3 & \cap r > 5 - 3 \\ -2 < r < 8 & \cap r > 2 \end{align} $
solusinya adalah irisan dari $ -2 < r < 8 \, $ dan $ r > 2 $ yaitu $ 2 < r < 8 $.
Jadi, agar kedua lingkaran berpotongan, maka besar jari-jarinya adalah $ 2 < r < 8 $.

d). bersinggungan luar,
Syarat $ d = r_1 + r_2 $
sehingga : $ d = r_1 + r_2 \rightarrow 5 = r + 3 \rightarrow r = 2 $.
Jadi, agar kedua bersinggungan luar, maka jari-jari lingkaran pertama $ r = 2 $.

e). tidak berpotongan dan bersinggungan,
Syarat : $ d > r_1 + r_2 $.
sehingga :
$ \begin{align} d & > r_1 + r_2 \\ 5 & > r + 3 \, \, \, \, \, \, \text{(atau sama dengan)} \\ r + 3 & < 5 \\ r & < 5 - 3 \\ r & < 2 \end{align} $
Jadi, agar kedua lingkaran tidak berpotongan maka jari-jari lingkaran pertama adalah $ 0 < r < 2 $.

f). ortogonal,
Syarat : $ d^2 = r_1^2 + r_2^2 $.
sehingga :
$ \begin{align} d^2 & = r_1^2 + r_2^2 \\ 5^2 & = r^2 + 3^2 \\ 25 & = r^2 + 9 \\ r^2 & = 16 \\ r & = 4 \end{align} $
Jadi, agar kedua lingkaran ortogonal maka jari-jari lingkaran pertama adalah $ r = 4 $.

g). berpotngan tepat pada diameter.
Syarat : $ d^2 = |r_1^2 - r_2^2| $.
sehingga :
$ \begin{align} d^2 & = |r_1^2 - r_2^2| \\ 5^2 & = |r^2 - 3^2| \\ 25 & = |r^2 - 9| \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ 25^2 & = (r^2 - 9)^2 \\ (r^2 - 9 + 25)(r^2 - 9 - 25) & = 0 \\ (r^2 + 16)(r^2 -34) & = 0 \\ r^2 = - 16 \vee r^2 = 34 \end{align} $
yang memenuhi $ r^2 = 34 \rightarrow r = \sqrt{34} $
Jadi, jari-jari lingkaran pertama adalah $ r = \sqrt{34} $ .


3). Diketahui dua lingkaran dengan jari-jari masing-masing adalah 4 dan 7. $ d $ menyatakan jarak kedua pusat lingkaran. Tentukan nilai $ d $ jika kedua lingkaran memiliki keduduka :
a). Salah satu ada di dalam lingkaran lainnya,
b). bersinggungan dalam,
c). berpotongan,
d). bersinggungan luar,
e). tidak berpotongan dan bersinggungan,
f). ortogonal,
g). berpotngan tepat pada diameter.

Penyelesaian :
a). Salah satu ada di dalam lingkaran lainnya,
Syarat : $ d < |r_1 - r_2 | $
Sehingga :
$ \begin{align} d & < |r_1 - r_2 | \\ d & < |4 - 7 | \\ d & < | - 3 | \\ d & < 3 \end{align} $
Jadi, nilai $ 0 < d < 3 \, $ karena selalu positif.

b). bersinggungan dalam,
Syarat : $ d = |r_1 - r_2 | $
Sehingga :
$ \begin{align} d & = |r_1 - r_2 | \\ d & = |4 - 7 | \\ d & = |-3| \\ d & = 3 \end{align} $
Jadi, nilai $ d = 3 $.

c). berpotongan,
Syarat : $ |r_1 - r_2 | < d < r_1 + r_2 $
Sehingga :
$ \begin{align} |r_1 - r_2 | < & d < r_1 + r_2 \\ |4 - 7 | < & d < 4 + 7 \\ |-3 | < & d < 11 \\ 3 < & d < 11 \end{align} $
Jadi, nilai $ d $ adalah $ 3 < d < 11 $.

d). bersinggungan luar,
Syarat : $ d = r_1 + r_2 $
Sehingga :
$ \begin{align} d & = r_1 + r_2 \\ d & = 4 + 7 \\ d & = 11 \end{align} $
Jadi, nilai $ d = 11 $.

e). tidak berpotongan dan bersinggungan,
Syarat : $ d > r_1 + r_2 $
Sehingga :
$ \begin{align} d & > r_1 + r_2 \\ d & > 4 + 7 \\ d & > 11 \end{align} $
Jadi, nilai $ d > 11 $.

f). ortogonal,
Syarat : $ d^2 = r_1^2 + r_2^2 $
Sehingga :
$ \begin{align} d^2 & = r_1^2 + r_2^2 \\ d & = \sqrt{4^2 + 7^2 } \\ & = \sqrt{16 + 49 } \\ & = \sqrt{65 } \end{align} $
Jadi, nilai $ d =\sqrt{65} $

g). berpotngan tepat pada diameter.
Syarat : $ d^2 = |r_1^2 - r_2^2| $
Sehingga :
$ \begin{align} d^2 & = |r_1^2 - r_2^2| \\ d & = \sqrt{|4^2 - 7^2| } \\ & = \sqrt{|16 - 49| } \\ & = \sqrt{|-33| } \\ & = \sqrt{33 } \end{align} $
Jadi, nilai $ d =\sqrt{33} $

4). Diketahui dua lingkaran dengan persamaan
L1 : $(x-p)^2 + y^2 = 25 \, $ dan
L2 : $ x^2 + y^2 = 9 $.
Tentukan nilai $ p \, $ jika kedudukan kedua lingkarannya :
a). Salah satu ada di dalam lingkaran lainnya,
b). bersinggungan dalam,
c). berpotongan,
d). bersinggungan luar,
e). tidak berpotongan dan bersinggungan,
f). ortogonal,
g). berpotngan tepat pada diameter.

Penyelesaian :
*). Menentukan pusat, jarak pusat, dan jari-jari lingkarannya :
L1 : $(x-p)^2 + y^2 = 25 \, $ dan
Pusat L1 : $( p,0) \, $ dan $ r_1 = \sqrt{25} = 5 $
L2 : $ x^2 + y^2 = 9 $.
Pusat L2 : $ ( 0,0 ) \, $ dan $ r_2 = \sqrt{9} = 3 $
Jarak kedua pusat ($d$) :
$ d =\sqrt{(p-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{p^2} = |p| $

a). Salah satu ada di dalam lingkaran lainnya,
Syarat : $ d < |r_1 - r_2 | $
Sehingga :
$ \begin{align} d & < |r_1 - r_2 | \\ |p| & < |5 - 3 | \\ |p| & < 2 \\ -2 < p & < 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ -2 < d < 2 \, $ untuk kedudukan pertama ini.

b). bersinggungan dalam,
Syarat : $ d = |r_1 - r_2 | $
Sehingga :
$ \begin{align} d & = |r_1 - r_2 | \\ |p| & = |5-3| \\ |p| & = 2 \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ p^2 & = 2^2 \\ p & = \pm \sqrt{4} \\ p & = \pm 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ p= -2 \, $ atau $ p = 2 $.

c). berpotongan,
Syarat : $ |r_1 - r_2 | < d < r_1 + r_2 $
Sehingga :
$ \begin{align} |r_1 - r_2 | < & d < r_1 + r_2 \\ |5 - 3 | < & |p| < 5 + 3 \\ 2 < & |p| < 8 \\ 2 < & p < 8 \end{align} $
Jadi, nilai $ p $ adalah $ 2 < p < 8 $.

d). bersinggungan luar,
Syarat : $ d = r_1 + r_2 $
Sehingga :
$ \begin{align} d & = r_1 + r_2 \\ |p| & = 5 + 3 \\ p & = \pm 8 \end{align} $
Jadi, nilai $ p = -8 \, $ atau $ p = 8 $.

e). tidak berpotongan dan bersinggungan,
Syarat : $ d > r_1 + r_2 $
Sehingga :
$ \begin{align} d & > r_1 + r_2 \\ |p| & > 5 + 3 \\ |p| & > 8 \\ p < -8 & \vee p > 8 \end{align} $
Jadi, nilai $ p < -8 \, $ atau $ p > 8 $.

f). ortogonal,
Syarat : $ d^2 = r_1^2 + r_2^2 $
Sehingga :
$ \begin{align} d^2 & = r_1^2 + r_2^2 \\ |p|^2 & = 5^2 + 3^2 \\ p ^2 & = 34 \\ p & = \pm \sqrt{34} \end{align} $
Jadi, nilai $ p = \sqrt{34} \, $ atau $ p = \sqrt{34} $

g). berpotngan tepat pada diameter.
Syarat : $ d^2 = |r_1^2 - r_2^2| $
Sehingga :
$ \begin{align} d^2 & = |r_1^2 - r_2^2| \\ |p|^2 & = |5^2 - 3^2| \\ p^2 & = |16| \\ p^2 & = 16 \\ p & = \pm 4 \end{align} $
Jadi, nilai $ p = -4 \, $ atau $ p = 4 $.

         Demikian pembahasan materi Variasi Soal Kedudukan Dua Lingkaran beserta contoh-contohnya. Selanjutnya silahkan baca juga materi lain yang berkaitan dengan irisan dua lingkaran. Semoga materi ini bisa bermanfaat. Terima kasih.

Menentukan Fungsi Invers dari Grafiknya

         Blog Koma - Setelah sebelumnya kita membahas materi menentukan fungsi eksponen dan fungsi logaritma dari grafiknya, kita lanjutkan dengan pembahasan materi Menentukan Fungsi Invers dari Grafiknya. Pada artikel ini kita akan lebih menekankan pada dua jenis grafik yaitu grafik fungsi eksponen dan grafik fungsi logaritma. Meskipun demikian, sebenarnya cara yang akan kita pelajari pada artikel ini bisa diterapkan pada semua jenis grafik fungsi yang diketahui. Namun, kita lebih fokus ke grafik fungsi eksponen dan grafik fungsi logaritma karena kedua jenis grafik fungsi ini yang biasanya keluar di soal-soal Ujian Nasional.

         Menentukan fungsi invers dari grafiknya artinya diketahui grafik suatu fungsi dan kita diminta mencari fungsi inversnya langsung. Untuk memudahkan dalam pengerjaannya, sebaiknya teman-teman memepelajari materi invers fungsi eksponen dan logaritma.

Cara Menentukan Fungsi Invers dari Grafiknya
       Ada dua cara dalam menentukan fungsi invers dari grafiknya, yaitu :
$\clubsuit $ Cara I : Menentukan fungsi awal
       Kita tentukan dulu fungsi awal (fungsi asli) dari grafiknya, setelah itu baru kita cari inversnya.

$\spadesuit $ Cara II : Teknik Substitusi
       Kita substitusikan langsung titik yang dilalui oleh grafiknya ke pilihan gandanya.
*). Untuk menentukan fungsi awal, kita substiusi $x$ dan hasilnya $y$, teknik ini sudah kita aplikasikan pada materi menetukan fungsi eksponen dan fungsi logaritma dari grafiknya.
*). Untuk menentukan fungsi invers, kita substitusikan $y$ dan hasilnya $x$, teknik ini akan kita terapkan pada artikel ini.
Catatan :
Soal-soal yang akan kita bahas adalah tipe-tipe soal yang ada pilihan gandanya, dimana tipe soal inilah yang sering diujikan di Ujian Nasional. Dan perlu teman-teman ketahui, cara II : teknik substitusi hanya bisa dilakukan untuk soal yang ada fungsinya yaitu pada pilihan gandanya.


Contoh Soal :
1). Perhatikan grafik fungsi berikut ini.
Fungsi invers dari grafik tersebut adalah ....
A). $ g(x) = 3^{x-2} - 9 $
B). $ g(x) = {}^2 \log \left( \frac{x-1}{3} \right) $
C). $ g(x) = 2^x - 1 $
D). $ g(x) = 5^{x - 4} + 1 $
E). $ g(x) = {}^3 \log (x+5) $

Penyelesaian :
Cara I : Menentukan fungsi awal,
*). Contoh soal 1 ini sama dengan contoh soal nomor 4 pada artikel "menentukan fungsi eksponen dari grafiknya", dima fungsi awal (fungsi asli) dari grafik tersebut adalah $ f(x) = 3 \times 2^x + 1 $. Silahkan teman-teman baca penjelasannya pada artikel tersebut.
*). Kita tentukan invers dari fungsi awal : $ f(x) = 3 \times 2^x + 1 $. Silahkan baca cara menginverskan fungsi eksponen dan fungsi logaritma.
$ \begin{align} f(x) & = 3 \times 2^x + 1 \\ y & = 3 \times 2^x + 1 \\ 3 \times 2^x & = y - 1 \\ 2^x & = \frac{y - 1}{3} \\ x & = {}^2 \log \frac{y - 1}{3} \end{align} $
Sehingga inversnya adalah $ g(x) = {}^2 \log \frac{x - 1}{3} $ .
Jadi, invers dari grafik tersebut adalah opsion B yaitu $ g(x) = {}^2 \log \frac{x - 1}{3} $ .

Catatan : Cara I ini tingkat kesulitannya adalah untuk menentukan fungsi awal dan lalu mencari fungsi inversnya.

Cara II: Teknik Substitusi,
*). Grafik melalui titik $(0,4), \, (1,7), \, $ dan $ (2,13)$. Karena yang ditanya fungsi inversnya, maka kita substitusikan $y$ dan hasilnya $x$.
Titik pertama $(0,4) $, kita substitusikan $ x = 4 $ dan hasilnya harus 0 :
A). $ g(x) = 3^{x-2} - 9 = 3^{4-2} - 9 = 9 - 9 =0 $ (BENAR)
B). $ g(x) = {}^2 \log \left( \frac{x-1}{3} \right) = {}^2 \log \left( \frac{4-1}{3} \right) = {}^2 \log \left( \frac{3}{3} \right) = {}^2 \log 1 = 0 $ (BENAR)
C). $ g(x) = 2^x - 1 = 2^4 - 1 = 16 - 1 =15 $ (SALAH)
D). $ g(x) = 5^{x - 4} + 1 = 5^{4 - 4} + 1 = 5^0 + 1 = 1 + 1 = 2 $ (SALAH)
E). $ g(x) = {}^3 \log (x+5) = {}^3 \log (4+5) = {}^3 \log 9 = 2 $ (SALAH)
*). Yang BENAR tersisa pilihan (A) dan (B), kita lanjutkan substitusi titik lainnya ke kedua pilihan tersebut.
Titik kedua $(1,7) $ , kita substitusi $ x = 7 $ dan hasilnya harus 1 :
A). $ g(x) = 3^{x-2} - 9 = 3^{7-2} - 9 = 3^5 - 9 = 243 - 9 = 234 $ (SALAH)
B). $ g(x) = {}^2 \log \left( \frac{x-1}{3} \right) = {}^2 \log \left( \frac{7-1}{3} \right) = {}^2 \log \left( \frac{6}{3} \right) = {}^2 \log 2 = 1 $ (BENAR)
Yang tersisa BENAR adalah pilihan B, sehingga itulah jawabannya.
Jadi, invers dari grafik tersebut adalah opsion B yaitu $ g(x) = {}^2 \log \frac{x - 1}{3} $ .

2).Jika $g(x) $ adalah fungsi invers dari grafik fungsi berikut ini, maka tentukan fungsi $ g(x) $ tersebut!

A). $ g(x) = 3^x - 1 $
B). $ g(x) = {}^3 \log (2x+3) + 1 $
C). $ g(x) = \frac{1}{2} \left( 3^{-x} - 5 \right) $
D). $ g(x) = 5^{x+1} - 3 $
E). $ g(x) = {}^2 \log (x+2) - 3 $

Penyelesaian :

*). Untuk contoh soal nomor 2 ini kita langsung menggunakan cara II yaitu teknik substitusi. Namun, bagi teman-teman yang ingin mencoba cara pertama silahkan saja, untuk perbandingan hasil akhirnya apakah sama atau tidak. Dan untuk fungsi awal dari grafiknya sama dengan contoh soal nomor 2 pada artikel "menentukan fungsi logaritma dari grafiknya", silahkan teman-teman lihat artikelnya untuk pembahasannya.
*). Grafik melalui titik-titik : $(-2,0), \, (-1,-1) $ dan $ (2,-2) $.
Karena yang ditanya fungsi inversnya, maka kita substitusikan $y$ dan hasilnya $x$.
Titik pertama $(-2,0) $, kita substitusikan $ x = 0 $ dan hasilnya harus $-2$ :
A). $ g(x) = 3^x - 1 = 3^0 - 1 = 1 - 1 = 0 $ (SALAH)
B). $ g(x) = {}^3 \log (2x+3) + 1 = {}^3 \log (2 \times 0 +3) + 1 = {}^3 \log 3 + 1 = 1 + 1 = 2$ (SALAH)
C). $ g(x) = \frac{1}{2} \left( 3^{-x} - 5 \right) = \frac{1}{2} \left( 3^{-0} - 5 \right) = \frac{1}{2} \left( 1 - 5 \right) = \frac{1}{2} \left( -4 \right) = -2 $ (BENAR)
D). $ g(x) = 5^{x+1} - 3 = 5^{0+1} - 3 = 5^{1} - 3 = 2 $ (SALAH)
E). $ g(x) = {}^2 \log (x+2) - 3 = {}^2 \log (0+2) - 3 = {}^2 \log ( 2) - 3 = 1 - 3 = -2 $ (BENAR)
*). Yang BENAR tersisa pilihan (C) dan (D), kita lanjutkan substitusi titik lainnya ke kedua pilihan tersebut.
Titik kedua $(2,-2) $ , kita substitusi $ x = -2 $ dan hasilnya harus 2 :
C). $ g(x) = \frac{1}{2} \left( 3^{-x} - 5 \right) = \frac{1}{2} \left( 3^{-(-2)} - 5 \right) = \frac{1}{2} \left( 3^2 - 5 \right) = \frac{1}{2} \left( 9 - 5 \right) = \frac{1}{2} \left( 4 \right) = 2 $ (BENAR)
E). $ g(x) = {}^2 \log (x+2) - 3 = {}^2 \log (-2+2) - 3 = {}^2 \log ( 0) - 3 $ (SALAH) karena numerus tidak boleh 0.
Yang tersisa BENAR adalah pilihan C, sehingga itulah jawabannya.
Jadi, invers dari grafik tersebut adalah opsion C yaitu $ g(x) = \frac{1}{2} \left( 3^{-x} - 5 \right) $ .

         Demikian pembahasan materi Menentukan Fungsi Invers dari Grafiknya beserta contoh-contohnya. Selanjutnya silahkan baca juga materi lain yang berkaitan dengan fungsi dan grafiknya. Semoga materi ini bisa bermanfaat. Terima kasih.

Menentukan Fungsi Logaritma dari Grafiknya

         Blog Koma - Setelah mempelajari artikel "fungsi logaritma dan menggambar grafiknya", kita lanjutkan pembahasan berikut ini yaitu Menentukan Fungsi Logaritma dari Grafiknya. Pada artikel ini, akan diketahui grafik fungsi logaritma yang melalui beberapa titik, dan tugas kita untuk menentukan persamaan fungsi logaritmanya. Soal-soal Menentukan Fungsi Logaritma dari Grafiknya biasanya juga muncul untuk Ujian Nasional, jadi perlu juga kita pelajari secara seksama teman-teman.

         Untuk memudahkan mempelajari materi Menentukan Fungsi Logaritma dari Grafiknya ini, sebaiknya kita harus menguasai dulu materi "definisi logaritma" dan "sifat-sifat pada eksponen" karena akan melibatkan bentuk perpangkatan dalam perhitungannya nanti. Secara garis besar, pembahasan pada artikel Menentukan Fungsi Logaritma dari Grafiknya kita bagi menjadi dua yaitu pertama dengan menggunakan bentuk umum fungsi logaritma (yang sederhana) dan kedua diketahui soalnya dalam bentuk pilihan ganda yang biasanya keluar di Ujian Nasional.

Menentukan Fungsi Logaritma dari Grafiknya I
       Secara umum ada dua bentuk fungsi logaritma sebagai permisalan yang akan kita gunakan yaitu $ f(x) = {}^a \log (bx) \, $ dan $ f(x) = {}^a \log (bx+c) $ .
*). Bentuk $ f(x) = {}^a \log (bx) \, $ kita gunakan jika grafik diketahui hanya melalu dua titik saja.
*). Bentuk $ f(x) = {}^a \log (bx + c) \, $ kita gunakan jika grafik diketahui hanya melalu lebih dari dua titik.

       Langkah kerjanya adalah kita substitusi semua titik yang dilalui oleh grafik sehingga membentuk beberapa persamaan, setelah itu kita selesaikan persamaan yang terbentuk dengan teknik substitusi dan eliminasi.

Adapun rumus-rumus dasar yang paling berperan disini adalah :
*). Definisi logaritma :
       $ {}^a \log b = c \leftrightarrow b = a^c $
dengan syarat : $ a > 0, \, a \neq 1, \, $ dan $ b > 0 $.
*). Sifat-sifat eksponen :
$ a^ 0 = 1 \, $ dengan $ a \neq 0 $.
$ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $

Contoh Soal :
1). Tentukan fungsi logaritma dari grafik di bawah ini.

Penyelesaian :
*). Karena grafik hanya melalui dua titik, maka kita gunakan fungsi $ f(x) = {}^a \log (bx) $.
*). Grafik melalui titik $(\frac{1}{3},0) \, $ dan $ (\frac{4}{3},2) $. Kita substitusikan kedua titik tersebut ke fungsi logaritmanya.
Substitusi titik pertama :
$ \begin{align} (x,y) = (\frac{1}{3},0) \rightarrow f(x) & = {}^a \log (bx) \\ 0 & = {}^a \log (b \frac{1}{3} ) \\ 0 & = {}^a \log (\frac{b}{3} ) \, \, \, \, \, \text{(definisi log)} \\ \frac{b}{3} & = a^0 \\ \frac{b}{3} & = 1 \\ b & = 3 \times 1 = 3 \end{align} $
Sehingga fungsinya menjadi : $ f(x) = {}^a \log (bx) = {}^a \log (3x) $
Substitusi titik kedua :
$ \begin{align} (x,y) = (\frac{4}{3},2) \rightarrow f(x) & = {}^a \log (3x) \\ 2 & = {}^a \log (3 \times \frac{4}{3} ) \\ 2 & = {}^a \log 4 \, \, \, \, \, \text{(definisi log)} \\ a^2 & = 4 \\ a & = \pm \sqrt{4} \\ a & = \pm 2 \end{align} $
Karena syarat basis adalah positif, maka yang memenuhi $ a = 2 $.
Sehingga fungsinya menjadi : $ f(x) = {}^a \log (3x) = {}^2 \log (3x) $
Jadi, fungsi logaritma dari grafik tersebut di atas adalah $ f(x) = {}^2 \log (3x) $.


2). Tentukan fungsi logaritma dari grafik berikut ini.

Penyelesaian :
*). Karena grafik melalui leih dari dua titik, maka kita gunakan fungsi $ f(x) = {}^a \log (bx + c) $.
*). Grafik melalui titik $(-2,0) , \, (-1,-1)$, dan $ (2,-2) $. Kita substitusikan ketiga titik tersebut ke fungsi logaritmanya.
Substitusi titik pertama :
$ \begin{align} (x,y) = (-2,0) \rightarrow f(x) & = {}^a \log (bx + c) \\ 0 & = {}^a \log (b \times (-2) + c ) \\ 0 & = {}^a \log (-2b + c ) \, \, \, \, \, \text{(definisi log)} \\ -2b + c & = a^0 \\ -2b + c & = 1 \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
Substitusi titik kedua :
$ \begin{align} (x,y) = (-1,-1) \rightarrow f(x) & = {}^a \log (bx + c) \\ -1 & = {}^a \log (b \times (-1) + c ) \\ -1 & = {}^a \log (-b + c ) \, \, \, \, \, \text{(definisi log)} \\ -b + c & = a^{-1} \\ -b + c & = \frac{1}{a} \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
Substitusi titik ketiga :
$ \begin{align} (x,y) = (2,-2) \rightarrow f(x) & = {}^a \log (bx + c) \\ -2 & = {}^a \log (b \times (2) + c ) \\ -2 & = {}^a \log (2b + c ) \, \, \, \, \, \text{(definisi log)} \\ 2b + c & = a^{-2} \\ 2b + c & = \frac{1}{a^2} \, \, \, \, \, \text{....(iii)} \end{align} $
*). Eliminasi pers(i) dan pers(iii) :
Kurangkan :
$\begin{array}{cc} -2b + c = 1 & \\ 2b + c = \frac{1}{a^2} & - \\ \hline -4b = 1 - \frac{1}{a^2} & \\ b = -\frac{1}{4}(1 - \frac{1}{a^2}) & \end{array} $
Jumlahkan :
$\begin{array}{cc} -2b + c = 1 & \\ 2b + c = \frac{1}{a^2} & + \\ \hline 2c = 1 + \frac{1}{a^2} & \\ c = \frac{1}{2}(1 + \frac{1}{a^2}) & \end{array} $
*). Dari pers(ii) , kita substitusi bentuk $ b $ dan $ c $ yang kita peroleh:
$ \begin{align} -b + c & = \frac{1}{a} \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \\ -[-\frac{1}{4}(1 - \frac{1}{a^2})] + \frac{1}{2}(1 + \frac{1}{a^2}) & = \frac{1}{a} \, \, \, \, \, \, \text{(kalikan } 4a^2) \\ 4a^2 \times [\frac{1}{4}(1 - \frac{1}{a^2})] + 4a^2 \times \frac{1}{2}(1 + \frac{1}{a^2}) & = 4a^2 \times \frac{1}{a} \\ a^2 \times (1 - \frac{1}{a^2}) + 2a^2 \times (1 + \frac{1}{a^2}) & = 4a \\ a^2 - 1 + 2a^2 + 2 & = 4a \\ 3a^2 - 4a + 1 & = 0 \\ (3a - 1)(a-1) & = 0 \\ a = \frac{1}{3} \vee a & = 1 \end{align} $
Karena syarat basis tidak sama dengan 1, maka $ a = \frac{1}{3} \, $ yang memenuhi.
*). Menentukan nilai $ b $ dan $ c $ :
$ b = -\frac{1}{4}(1 - \frac{1}{a^2}) = -\frac{1}{4}(1 - \frac{1}{\frac{1}{9}}) = -\frac{1}{4}(1 - 9) = 2 $
$ c = \frac{1}{2}(1 + \frac{1}{a^2}) = \frac{1}{2}(1 + \frac{1}{\frac{1}{9}}) = \frac{1}{2}(1 + 9) = 5 $
Sehingga fungsinya :
$ f(x) = {}^a \log (bx + c) \rightarrow f(x) = {}^\frac{1}{3} \log (2x + 5) $
Jadi, fungsi logaritma dari grafik tersebut di atas adalah $ f(x) = {}^\frac{1}{3} \log (2x + 5) $.

       Dari contoh penghitungan untuk soal nomor (2) di atas, terlihat bahwa proses menyelesaikan persamaannya yang agak sulit. Namun, dengan penuh kesabaran, pasti kita akan bisa menyelesaikannya dengan baik dan benar. Memang untuk bentuk fungsi logaritma lebih sulit dibandingkan dengan materi "menentukan fungsi eksponen dari grafiknya".

Menentukan Fungsi Logaritma dari Grafiknya II
       Tipe-tipe soal menentukan fungsi logaritma dari grafiknya juga bisa muncul di UJIAN NASIONAL. Namun di soal-soal Ujian Nasional biasanya dalam bentuk pilihan ganda, sehingga akan memudahkan kita untuk menentukan fungsi dari sebuah grafik yaitu dengan cara langsung SUBSTITUSI titik yang dilewati oleh grafik ke opsionnya (pilihan gandanya), dan kita pilih yang sesuai hasil dengan titik yang dilalui. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini.

Contoh Soal :
3). Perhatikan grafik fungsi berikut ini.
Fungsi yang sesuai dengan grafik di atas adalah .....
A). $ y = {}^3 \log ( x + 1) $
B). $ y = 2^x - 1 $
C). $ y = {}^2 \log x + 1 $
D). $ y = \left( \frac{1}{2} \right)^{-x + 1} - 2 $
E). $ y = {}^2 \log (x - 1) $

Penyelesaian :
*). Titik - titik yang dilalui oleh grafik yaitu $(2,0) \, $ dan $ (3,1) $.
*). Kita substitusi titik pertama $(2,0)$ , untuk $ x = 2 \, $ maka nilai $ y \, $ haruslah $ 0 $.
Pilihan A: $ y = {}^3 \log ( x + 1) = {}^3 \log ( 2 + 1) = {}^3 \log 3 = 1 $ (SALAH).
Pilihan B: $ y = 2^x - 1 = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3 $ (SALAH)
Pilihan C: $ y = {}^2 \log x + 1 = {}^2 \log 2 + 1 = 1 + 1 = 2$ (SALAH)
Pilihan D: $ y = \left( \frac{1}{2} \right)^{-x + 1} - 2 = \left( \frac{1}{2} \right)^{-2 + 1} - 2 = \left( \frac{1}{2} \right)^{- 1} - 2 = 2 - 2 = 0 $ (BENAR)
Pilihan E: $ y = {}^2 \log (x - 1) = {}^2 \log (2 - 1) = {}^2 \log 1 = 0 $ (BENAR)
*). Karena opsi D dan E BENAR, maka kita substitusi titik lain ke kedua opsion yang benar tersebut.
*). Kita substitusi titik kedua $(3,1)$ , untuk $ x = 3 \, $ maka nilai $ y \, $ haruslah $ 1 $.
Pilihan D: $ y = \left( \frac{1}{2} \right)^{-x + 1} - 2 = \left( \frac{1}{2} \right)^{-3 + 1} - 2 = \left( \frac{1}{2} \right)^{-2} - 2 = 4 - 2 = 2 $ (SALAH)
Pilihan E: $ y = {}^2 \log (x - 1) = {}^2 \log (3 - 1) = {}^2 \log 2 = 1 $ (BENAR)
Sehingga opsion yang tersisa benar adalah opsi E.
Jadi, persamaan fungsi dari grafik tersebut adalah $ f(x) = {}^2 \log (x-1) $, yaitu opsion E.

         Demikian pembahasan materi Menentukan Fungsi Logaritma dari Grafiknya beserta contoh-contohnya. Selanjutnya silahkan baca juga materi lain yang berkaitan dengan logaritma. Semoga materi ini bisa bermanfaat. Terima kasih.

Menentukan Fungsi Eksponen dari Grafiknya

         Blog Koma - Setelah mempelajari materi "menggambar grafik fungsi eksponen", kita lanjutkan dengan membahas materi Menentukan Fungsi Eksponen dari Grafiknya. Pada materi menggambar grafik fungsi eksponen, akan diketahui fungsi eksponennya dan kita diminta untuk menggambar grafiknya. Hal sebaliknya terjadi untuk materi menentukan fungsi eksponen dari grafiknya, kita disajikan grafik fungsi eksponennya dan kita akan menentukan fungsi eksponennya. Menentukan fungsi eksponen dari grafiknya juga merupakan salah satu tipe soal yang dikeluarkan dalam Ujian Nasional.

         Sebenarnya untuk ujian Nasional, Menentukan Fungsi Eksponen dari Grafiknya tidaklah sulit karena kita tidak perlu menghafal banyak rumus, namun cukup dengan TEKNIK SUBSTITUSI titik-titik yang dilalui oleh grafik fungsi eksponen pada opsionnya (pilihan gandanya) langsung. Nanti akan kita coba beberapa tipe soal yang ada pilihan gandanya. Modal utama yang kita butuhkan di sini hanya kecakapan dalam berhitung saja.

         Untuk memudahkan mempelajari materi Menentukan Fungsi Eksponen dari Grafiknya, teman-teman harus menguasai sifat-sifat eksponen dalam keperluan untuk menghitung, bentuk fungsi eksponen, dan terakhir adalah menyelesaikan sistem persamaan. Pada pembahasan di blog koma ini, secara garis besar kita bagi menjadi dua jenis grafik. Untuk lebih jelasnya kita ikuti pembahasannya berikut ini.

Menentukan Fungsi Eksponen dari Grafiknya I
       Secara umum ada dua fungsi eksponen yang akan kita gunakan sebagai permisalan yaitu $ f(x) = b \times a^x \, $ dan $ \, f(x) = b \times a^x + c $ . Bentuk $ f(x) = b \times a^x \, $ kita gunakan jika pada grafik fungsi eksponennya melalui dua titik saja. Dan bentuk $ \, f(x) = b \times a^x + c \, $ kita gunakan jika grafiknya melalui lebih dari dua titik. Catatan penting, grafik eksponen yang kita bahas dalam artikel ini adalah grafik eksponen yang monoton, baik monoton naik ataupun monoton turun.

Contoh soal :
1). Tentukan fungsi eksponen dari grafik berikut ini.

Penyelesaian :
*). Grafik pada gambar contoh soal 1 ini melalui dua titik yaitu (0,1) dan (1,3), sehingga permisalan fungsi ekponen yang kita gunakan adalah $ f(x) = b \times a^x $. Kita substitusikan kedua titik tersebut.
$ \begin{align} (x,y)=(0,1) \rightarrow f(x) & = b \times a^x \\ 1 & = b \times a^0 \\ 1 & = b \times 1 \\ 1 & = b \end{align} $
Sehingga fungsinya menjadi : $ f(x) = b \times a^x \rightarrow f(x) = a^x $.
$ \begin{align} (x,y)=(1,3) \rightarrow f(x) & = a^x \\ 3 & = a^1 \\ 3 & = a \end{align} $
Sehingga fungsinya : $ f(x) = a^x \rightarrow f(x) = 3^x $.
Jadi, fungsi eksponen dari grafik tersebut adalah $ f(x) = 3^x $.

2). Tentukan fungsi eksponen dari grafik berikut ini.

Penyelesaian :
*). Grafik pada gambar contoh soal 2 ini melalui dua titik yaitu (1,6) dan (2,12), sehingga permisalan fungsi ekponen yang kita gunakan adalah $ f(x) = b \times a^x $. Kita substitusikan kedua titik tersebut.
$ \begin{align} (x,y)=(1,6) \rightarrow f(x) & = b \times a^x \\ 6 & = b \times a^1 \\ 6 & = b a \\ a & = \frac{6}{b} \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align} $
$ \begin{align} (x,y)=(2,12) \rightarrow f(x) & = b \times a^x \\ 12 & = b \times a^2 \\ 12 & = b a^2 \, \, \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align} $
Substitusi $ a = \frac{6}{a} \, $ ke pers(ii) :
$ \begin{align} 12 & = b a^2 \\ 12 & = b \left( \frac{6}{b} \right)^2 \\ 12 & = b \left( \frac{36}{b^2} \right) \\ 12 & = \frac{36}{b} \\ b & = \frac{36}{12} = 3 \end{align} $
Sehingga nilai $ a = \frac{6}{b} = \frac{6}{3} = 2 $.
Artinya fungsinya : $ f(x) = b \times a^x = 3 \times 2^x $ .
Jadi, fungsi eksponen dari grafik tersebut adalah $ f(x) = 3 \times 2^x $.


3). Tentukan fungsi eksponen dari grafik berikut ini.

Penyelesaian :
*). Grafik pada gambar contoh soal 3 ini melalui dua titik yaitu (0,4) dan (1,2), sehingga permisalan fungsi ekponen yang kita gunakan adalah $ f(x) = b \times a^x $. Kita substitusikan kedua titik tersebut.
$ \begin{align} (x,y)=(0,4) \rightarrow f(x) & = b \times a^x \\ 4 & = b \times a^0 \\ 4 & = b \times 1 \\ 4 & = b \end{align} $
Sehingga fungsinya menjadi : $ f(x) = b \times a^x \rightarrow f(x) = 4 \times a^x $.
$ \begin{align} (x,y)=(1,2) \rightarrow f(x) & = 4 \times a^x \\ 2 & = 4 \times a^1 \\ 2 & = 4a \\ a & = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \end{align} $
Sehingga fungsinya : $ f(x) = 4 \times a^x \rightarrow f(x) = 4 \times \left( \frac{1}{2} \right)^x $.
*). Kita sederhanakan bentuk fungsi yang kita peroleh :
$ \begin{align} f(x) & = 4 \times \left( \frac{1}{2} \right)^x \\ f(x) & = 2^2 \times \left( 2^{-1}\right)^x \\ f(x) & = 2^2 \times 2^{-x} \\ f(x) & = 2^{2 - x} \end{align} $
Jadi, fungsi eksponen dari grafik tersebut adalah $ f(x) = 2^{2 - x} $.

4). Tentukan fungsi eksponen dari grafik berikut ini.


Penyelesaian :
*). Grafik pada gambar contoh soal 4 ini melalui dua titik yaitu (0,4), (1,7), dan (2,13) sehingga permisalan fungsi ekponen yang kita gunakan adalah $ f(x) = b \times a^x + c $. Kita substitusikan kedua titik tersebut.
$ \begin{align} (x,y)=(0,4) \rightarrow f(x) & = b \times a^x + c \\ 4 & = b \times a^0 + c \\ 4 & = b \times 1 + c \\ 4 & = b + c \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \\ (x,y)=(1,7) \rightarrow f(x) & = b \times a^x + c \\ 7 & = b \times a^1 + c \\ 7 & = b \times a + c \\ 7 & = ba + c \, \, \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \\ (x,y)=(2,13) \rightarrow f(x) & = b \times a^x + c \\ 13 & = b \times a^2 + c \\ 13 & = ba^2 + c \, \, \, \, \, \, \text{...pers(iii)} \\ \end{align} $
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{array}{cc} ba + c = 7 & \\ b + c = 4 & - \\ \hline ba - b = 3 & \end{array} $
Kita peroleh : $ ba - b = 3 \, $ ....pers(iv).
*). Eliminasi pers(ii) dan pers(iii) :
$ \begin{array}{cc} ba^2 + c = 13 & \\ ba + c = 7 & - \\ \hline ba^2 - ba = 6 & \\ a(ba - b) = 6 & \end{array} $
Kita peroleh : $ a(ba - b) = 6 \, $ ....pers(v).
*). Dari pers(iv) dan (v),
$ a(ba - b) = 6 \rightarrow a \times 3 = 6 \rightarrow a = 2 $.
Pers(iv) : $ ba - b = 3 \rightarrow 2b - b = 3 \rightarrow b = 3 $.
Pers(i) : $ b + c = 4 \rightarrow 3 + c = 4 \rightarrow c = 1 $.
Sehingga fungsinya : $ f(x) = b \times a^x + c = 3 \times 2^x + 1 $.
Jadi, fungsi eksponen dari grafik tersebut adalah $ f(x) = 3 \times 2^x + 1 $.

Menentukan Fungsi Eksponen dari Grafiknya II
       Bagaimana dengan cara menentukan fungsi eksponen yang soal-soalnya dalam bentuk pilihan ganda seperti soal-soal UN? Cara terbaik yang bisa selain menentukan fungsi eksponen dengan cara di atas yaitu dengan langsung mengecek setiap pilihan gandanya dengan cara mensubstitusikan titik yang dilalui oleh grafik eksponennya. Fungsi yang benar adalah fungsi yang melalui semua titik tersebut.

Contoh Soal :
5). Perhatikan grafik fungsi berikut ini.
Dari grafik tersebut, fungsi yang mewakili grafik tersebut adalah ....
A). $ f(x) = 3^x + 1 $
B). $ f(x) = 2^{x - 1} + 3 $
C). $ f(x) = \left( \frac{1}{2} \right)^x + \frac{7}{2} $
D). $ f(x) = {}^2 \log x + 4 $
E). $ f(x) = {}^3 \log ( x+ 2) + 3 $.

Penyelesaian :
*). Kita substitusi titik yang dilewati oleh grafik ke fungsi-fungsi yang ada pada pilihan gandanya. Trik untuk memilih titik adalah, pilihlah titik yang selain titik pertama karena biasanya akan banyak fungsi di pilihan ganda yang memenuhi. Sehingga kita pilih titik kedua yaitu (2,5). Titik (2,5) artinya ketika kita substitusi $ x = 2 \, $ maka nilai fungsinya harus 5 atau $ f(2) = 5 $.
Pilihan (A) : $ f(2) = 3^2 + 1 = 9 + 1 = 10 \, $ (SALAH).
Pilihan (B) : $ f(2) = 2^{2 - 1} + 3 = 2 + 3 = 5 \, $ (BENAR).
Pilihan (C) : $ f(2) = \left( \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{7}{2} = \frac{1}{4} + \frac{7}{2} = \frac{19}{4} \, $ (SALAH).
Pilihan (D) : $ f(2) = {}^2 \log 2 + 4 = 1 + 4 = 5 \, $ (BENAR).
Pilihan (E) : $ f(2) = {}^3 \log ( 2+ 2) + 3 = {}^3 \log 4 + 3 = 1, + 4 = 5,.. \, $ (SALAH).
*). Karena yang BENAR masih ada lebih dari satu fungsi, maka kita akan cek untuk titik lain yaitu titik (3,7) untuk pilihan B dan D. Titik (3,7) artinya ketika kita substitusi $ x = 3 \, $ maka nilai fungsinya harus 7 atau $ f(3) = 7 $.
Pilihan (B) : $ f(3) = 2^{3 - 1} + 3 = 4 + 3 = 7 \, $ (BENAR).
Pilihan (D) : $ f(2) = {}^2 \log 3 + 4 = 1, + 4 = 5,.. \, $ (SALAH).
Sehingga yang benar tersisa pilihan B, ini artinya fungsi grafik tersebut adalah $ f(x) = 2^{x - 1} + 3 $.
Jadi, fungsi grafiknya adalah $ f(x) = 2^{x - 1} + 3 $.

         Demikian pembahasan materi Menentukan Fungsi Eksponen dari Grafiknya beserta contoh-contohnya. Selanjutnya silahkan baca juga materi lain yang berkaitan dengan eksponen lainnya dengan mengikuti artikel terkait berikut ini.

Invers Fungsi Eksponen dan Logaritma

         Blog Koma - Setelah sebelumnya kita membahas artikel "fungsi invers dan komposisi", kita lanjutkan dengan pembahasan materi Invers Fungsi Eksponen dan Logaritma. Invers fungsi eksponen dan logaritma ini sengaja kita bahas sendiri karena bentuknya yang unik dan perlu teman-teman ketahui bahwa fungsi eksponen dan fungsi logaritma adalah dua fungsi yang saling invers. Ini artinya, invers fungsi eksponen adalah fungsi logartima, dan berlaku juga sebaliknya yaitu invers fungsi logaritma adalah fungsi eksponen.

         Materi-materi yang harus kita kuasai untuk memudahkan mempelajari materi Invers Fungsi Eksponen dan Logaritma yaitu definisi logaritma, definisi invers fungsi, dan invers fungsi komposisi. Mari kita simak penjelasannya berikut ini.

Definisi logaritma
       Definisi logartima :
$ \begin{align} {}^a \log b = c \Leftrightarrow b = a^c \end{align} $
dengan $ a, \, b, \, c \, $ adalah bilangan real
dan syaratnya $ a > 0, \, a \neq 1 , \, $ dan $ b > 0 $.
Definisi Invers Fungsi
       Misalkan ada fungsi $ y = f(x) \, $ yang bijektif, maka invers fungsinya adalah :
$ \begin{align} y = f(x) \Leftrightarrow x = f^{-1} (y) \end{align} $
Invers Fungsi Komposisi
       Berikut adalah invers fungsi komposisi :
$ \begin{align} (f \circ g)^{-1} (x) & = (g^{-1} \circ f^{-1} ) (x) \\ (g \circ f)^{-1} (x) & = (f^{-1} \circ g^{-1} ) (x) \end{align} $

Contoh soal invers fungsi eksponen dan logaritma :
1). Tentukan invers dari fungsi $ f(x) = 3^x $?
Penyelesaian :
*). Untuk menentukan invers fungsi, kita ubah $ f(x) = y $ setelah itu kita gunakan definisi invers fungsi sehingga menjadi $ x = f^{-1} (y) $. Untuk bisa menentukan inversnya, kita harus menggunakan definisi logaritma.
*). Menentukan inversnya :
$ \begin{align} f(x) & = 3^x \\ y & = 3^x \end{align} $
Definisi logaritma :
$ \begin{align} {}^a \log b = c \Leftrightarrow b = a^c \end{align} $
atau
$ \begin{align} b = a^c \Leftrightarrow c = {}^a \log b \end{align} $
Sehingga :
$ \begin{align} y = 3^x \Leftrightarrow x = {}^3 \log y \end{align} $
Artinya $ f^{-1} (y) = {}^3 \log y \, $ atau $ f^{-1} (x) = {}^3 \log x $ .
Jadi, invers dari $ f(x) = 3^x \, $ adalah $ f^{-1} (x) = {}^3 \log x. \, \heartsuit $

2). Tentukan invers dari fungsi eksponen $ g(x) = 5^{2x + 1} $ ?
Penyelesaian :
*). Menentukan inversnya :
$ \begin{align} g(x) & = 5^{2x + 1} \\ y & = 5^{2x + 1} \, \, \, \, \, \, \, \text{(definisi logaritma)} \\ 2x + 1 & = {}^5 \log y \\ 2x & = {}^5 \log y - 1 \\ 2x & = {}^5 \log y - {}^5 \log 5 \, \, \, \, \, \, \, \text{(sifat logaritma)} \\ 2x & = {}^5 \log \frac{y}{5} \\ x & = \frac{1}{2} \times {}^5 \log \frac{y}{5} \, \, \, \, \, \, \, \text{(sifat logaritma)} \\ x & = {}^5 \log \left( \frac{y}{5} \right)^\frac{1}{2} \\ x & = {}^5 \log \sqrt{\frac{y}{5} } \\ g^{-1} (y) & = {}^5 \log \sqrt{\frac{y}{5} } \\ \text{ atau } & \\ g^{-1} (x) & = {}^5 \log \sqrt{\frac{x}{5} } \end{align} $
Jadi, invers fungsi $ g(x) = 5^{2x + 1} \, $ adalah $ g^{-1} (x) = {}^5 \log \sqrt{\frac{x}{5} } $.


3). Tentukan invers dari fungsi eksponen $ f(x) = {}^2 \log x $ ?
Penyelesaian :
*). Definisi logaritma :
$ \begin{align} {}^a \log b = c \Leftrightarrow b = a^c \end{align} $
atau
$ \begin{align} c = {}^a \log b \Leftrightarrow b = a^c \end{align} $
*). Menentukan inversnya :
$ \begin{align} f(x) & = {}^2 \log x \\ y & = {}^2 \log x \, \, \, \, \, \, \, \text{(definisi logaritma)} \\ x & = 2^y \\ f^{-1} (y) & = 2^y \\ \text{atau} & \\ f^{-1} (x) & = 2^x \end{align} $
Jadi, invers fungsi $ f(x) = {}^2 \log x \, $ adalah $ f^{-1} (x) = 2^x $.

4). Tentukan invers dari fungsi eksponen $ h(x) = {}^7 \log ( 3x - 5) $ ?
Penyelesaian :
*). Definisi logaritma :
$ \begin{align} {}^a \log b = c \Leftrightarrow b = a^c \end{align} $
atau
$ \begin{align} c = {}^a \log b \Leftrightarrow b = a^c \end{align} $
*). Menentukan inversnya :
$ \begin{align} h(x) & = {}^7 \log ( 3x - 5) \\ y & = {}^7 \log ( 3x - 5) \, \, \, \, \, \, \, \text{(definisi logaritma)} \\ 3x - 5 & = 7^y \\ 3x & = 7^y + 5 \\ x & = \frac{7^y + 5}{3} \\ x & = \frac{1}{3}(7^y + 5) \\ h^{-1}(y) & = \frac{1}{3}(7^y + 5) \\ \text{atau} & \\ h^{-1}(x) & = \frac{1}{3}(7^x + 5) \end{align} $
Jadi, invers fungsi $ h(x) = {}^7 \log ( 3x - 5) \, $ adalah $ h^{-1}(x) = \frac{1}{3}(7^x + 5) $.

5). Diketahui fungsi $ f(x) = 3^x \, $ dan $ g(x) = {}^2 \log x $.
Tentukan :
a). $ (f \circ g)^{-1} (x) $
b). $ (g \circ f)^{-1} (x) $
Penyelesaian :
*). Menentukan invers masing-masing fungsi terlebih dahulu :
Invers fungsi $ f(x) = 3^x $ :
$ \begin{align} f(x) & = 3^x \\ y & = 3^x \\ x & = {}^3 \log y \\ f^{-1}(x) & = {}^3 \log x \end{align} $
Invers fungsi $ g(x) = {}^2 \log x $ :
$ \begin{align} g(x) & = {}^2 \log x \\ y & = {}^2 \log x \\ x & = 2^y \\ g^{-1}(x) & = 2^x \end{align} $
*). Menentukan invers komposisi dengan sifat invers komposisinya :
a). Hasil bentuk $ (f \circ g)^{-1} (x) $
$ \begin{align} (f \circ g)^{-1} (x) & = (g^{-1} \circ f^{-1})(x) \\ & = g^{-1}(f^{-1}(x)) \\ & = g^{-1}({}^3 \log x ) \\ & = 2^{{}^3 \log x} \end{align} $
Jadi, bentuk $ \begin{align} (f \circ g)^{-1} (x) = 2^{{}^3 \log x} \end{align} $

b). Hasil bentuk $ (g \circ f)^{-1} (x) $
$ \begin{align} (g \circ f)^{-1} (x) & = (f^{-1} \circ g^{-1})(x) \\ & = f^{-1}(g^{-1}(x)) \\ & = f^{-1}(2^x ) \\ & = {}^3 \log 2^x \end{align} $
Jadi, bentuk $ \begin{align} (g \circ f)^{-1} (x) = {}^3 \log 2^x \end{align} $

6). Diketahui fungsi $ f(x) = {}^3 \log x \, $ dan $ g(x) = \frac{5x - 2}{4x + 7} $. Tentukan hasil $ (f \circ g)^{-1} (x) $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan invers masing-masing fungsi :
Invers fungsi $ f(x) = {}^3 \log x $ :
$ \begin{align} f(x) & = {}^3 \log x \\ y & = {}^3 \log x \\ x & = 3^y \\ f^{-1} (x) & = 3^x \end{align} $
Invers fungsi $ g(x) = \frac{5x - 2}{4x + 7} $ :
$ \begin{align} g(x) & = \frac{5x - 2}{4x + 7} \\ y & = \frac{5x - 2}{4x + 7} \\ y(4x + 7) & = 5x - 2 \\ 4xy + 7y & = 5x - 2 \\ 4xy - 5x & = -7y - 2 \\ x(4y - 5) & = -7y - 2 \\ x & = \frac{-7y - 2}{4y - 5} \\ g^{-1} & = \frac{-7x - 2}{4x - 5} \end{align} $
*). Menentukan hasil $ (f \circ g)^{-1} (x) $ :
$ \begin{align} (f \circ g)^{-1} (x) & = (g^{-1} \circ f^{-1}) (x) \\ & = g^{-1} ( f^{-1}(x)) \\ & = g^{-1} (3^x) \\ & = \frac{-7 \times 3^x - 2}{4 \times 3^x - 5} \end{align} $
Jadi, hasilnya $ \begin{align} (f \circ g)^{-1} (x) = \frac{-7 \times 3^x - 2}{4 \times 3^x - 5} \end{align} $

         Demikian pembahasan materi Invers Fungsi Eksponen dan Logaritma beserta contoh-contohnya. Selanjutnya silahkan baca juga materi lain yang berkaitan dengan fungsi dan invers fungsi. Semoga materi ini bisa bermanfaat. Terima kasih.

Grafik Fungsi Eksponen dan Logaritma

         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas materi grafik fungsi eksponen dan logaritma. Grafik fungsi eksponen merupakan suatu grafik yang bentuknya monoton yaitu monoton naik atau monoton turun. Namun pada artikel Grafik Fungsi Eksponen dan Logaritma yang kita bahas hanya grafik fungsi eksponennya saja. Dan untuk grafik fungsi logaritma, sebenarnya sudah kami share sebelumnya dengan artikel yang berjudul "fungsi logaritma". Silahkan teman-teman langsung ke link artikel tersebut untuk mempelajari grafik fungsi logaritma.

         Untuk menggambar Grafik Fungsi Eksponen tidaklah begitu sulit teman-teman. Bentuk fungsi eksponen yang paling sederhana adalah $ f(x) = a^x \, $. Silahkan teman-teman baca juga materi "fungsi eksponen" agar lebih memudahkan dalam mempelajari dan membuat/menggambar grafik fungsi eksponen. Hal utama yang menentukan bentuk grafik fungsi eksponen adalah nilai $ a \, $ nya atau biasa disebut basis (silahkan baca : Bentuk Umum Eksponen atau Perpangkatan), jika nilai $ a > 1 \, $ maka grafik umumnya monoton naik dan jika $ 0 < a < 1 \, $ maka grafik monoton turun.

Grafik Fungsi Eksponen $ f(x) = a^x$
Grafik fungsi eksponen $ f(x) = a^x \, $ dapat dilihat dari nilai $ a \, $ yaitu :
$ \clubsuit \, $ Untuk nilai $ a > 1 $ :
       Grafik memotong sumbu Y di $ y = 1 $ dan monoton naik.
Bentuk grafiknya :
$ \clubsuit \, $ Untuk nilai $ 0 < a < 1 $ :
       Grafik memotong sumbu Y di $ y = 1 $ dan monoton turun.
Bentuk grafiknya :

Catatan :
Kita boleh mengambil beberapa titik $(x,y)$ yang memenuhi fungsi eksponen tersebut dengan cara mensubstitusikan nilai $ x \, $ yang kita pilih terlebih dahulu sehingga setelah kita substitusikan maka kita akan mendapatkan nilai $ y \, $ nya. Titik-titik ini akan membantu kita dalam memudahkan menggambar grafiknya.
Contoh Soal :
1). Buatlah grafik dari fungsi eksponen berikut ini :
a). $ f(x) = 2^x $
b). $ f(x) = 5^x $
c). $ f(x) = 9^x $
d). $ f(x) = \left(\frac{1}{2} \right)^x $
e). $ f(x) = \left(\frac{1}{5} \right)^x $
f). $ f(x) = \left(\frac{1}{9} \right)^x $

Penyelesaian :
*). Untuk fungsi $ f(x) = 2^x, \, f(x) = 5^x, \, $ dan $ f(x) = 9^x \, $ memiliki basis lebih dari 1 sehingga grafiknya monoton naik seperti gambar berikut ini.
*). Untuk fungsi $ f(x) = \left(\frac{1}{2} \right)^x , \, f(x) = \left(\frac{1}{5} \right)^x , \, $ dan $ f(x) = \left(\frac{1}{9} \right)^x \, $ memiliki basis lebih dari 1 sehingga grafiknya monoton naik seperti gambar berikut ini.

Catatan :
grafik fungsi $ \begin{align} f(x) = \left( \frac{1}{a} \right) ^x \end{align} \, $ bisa diperoleh dengan mencerminkan bentuk grafik $ f(x) = a^x \, $ dan berlaku sebaliknya.

Grafik Fungsi Eksponen $ f(x) = b \times a^x$
Grafik fungsi eksponen $ f(x) = b \times a^x \, $ dapat dilihat dari nilai $ a \, $ yaitu :
$ \clubsuit \, $ Untuk nilai $ a > 1 $ :
       Grafik memotong sumbu Y di $ y = b $ dan monoton naik.
Bentuk grafiknya :
$ \clubsuit \, $ Untuk nilai $ 0 < a < 1 $ :
       Grafik memotong sumbu Y di $ y = b $ dan monoton turun.
Bentuk grafiknya :

Contoh Soal :
2). Buatlah grafik fungsi eksponen dari fungsi $ f(x) = 2 \times 5^x \, $ dan $ f(x) = 2 \times \left( \frac{1}{5} \right)^x $!.
Penyelesaian :
grafiknya sebagai berikut.

Grafik Fungsi Eksponen $ f(x) = b \times a^x + c $
Grafik fungsi eksponen $ f(x) = b \times a^x + c \, $ dapat dilihat dari nilai $ a \, $ yaitu :
$ \clubsuit \, $ Untuk nilai $ a > 1 $ :
       Grafik memotong sumbu Y di $ y = b + c $ dan monoton naik.
$ \clubsuit \, $ Untuk nilai $ 0 < a < 1 $ :
       Grafik memotong sumbu Y di $ y = b + c $ dan monoton turun.
Contoh Soal :
3). Gambarlah grafik fungsi eksponen berikut ini :
a). $ f(x) = 2 \times 3^x + 1 $
b). $ f(x) = 2 \times 3^x - 3 $
c). $ f(x) = 2 \times \left( \frac{1}{3} \right)^x + 1 $
d). $ f(x) = 2 \times \left( \frac{1}{3} \right)^x - 3 $
Penyelesaian :
*). Gambar (a) dan (c): nilai $ b = 2 \, $ dan $ c = 1 \, $ sehingga titik potong sumbu Y adalah $ y = 2 + 1 \rightarrow y = 3 $
*). Gambar (b) dan (d): nilai $ b = 2 \, $ dan $ c = -3 \, $ sehingga titik potong sumbu Y adalah $ y = 2 - 3 \rightarrow y = -1 $
grafik gambar (a) dan (b) monoton naik yaitu :
grafik gambar (c) dan (d) monoton turun yaitu :

Grafik Fungsi Eksponen Negatif
Grafik fungsi eksponen $ f(x) = -a^x, \, f(x) = -b \times a^x \, $ dan $ f(x) = - ( b \times a^x + c ) \, $ diperoleh dengan mencerminkan grafik fungsi eksponen $ f(x) = a^x, \, f(x) = b \times a^x \, $ dan $ f(x) = b \times a^x + c \, $ terhadap sumbu X.
Contoh Soal :
4). Gambarlah grafik fungsi eksponen berikut ini :
a). $ f(x) = - 2 \times 3^x $
b). $ f(x) = - 2 \times 3^x + 3 $
Penyelesaian :
a). Grafik $ f(x) = -2\times 3^x \, $ diperoleh dengan mencerminkan grafik $ f(x) = 2\times 3^x $ . Kita peroleh seperti gambar berikut ini.
b). Grafik $ f(x) = -2\times 3^x + 3 = -(2\times 3^x - 3) \, $ diperoleh dengan mencerminkan grafik $ f(x) = 2\times 3^x - 3 $ . Kita peroleh seperti gambar berikut ini.


         Demikian pembahasan materi Grafik fungsi eksponen dan logaritma beserta contoh-contohnya. Selanjutnya silahkan baca juga materi lain yang berkaitan dengan menentukan fungsi eksponen dari grafiknya. Semoga materi ini bisa bermanfaat. Terima kasih.

Fungsi Eksponen dan Penerapannya

         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas materi fungsi eksponen dan Penerapannya. Fungsi eksponen adalah fungsi yang memuat bentuk eksponen, artinya fungsi tersebut memuat bentuk pangkat dimana pangkatnya berisi variabel-variabel. Adapun penerapan fungsi eksponen salah satunya tentang "pertumbuhan" dan "peluruhan" yang teman-teman bisa pelajari pada materi matematika wajib kelas XII SMA.

         Untuk memudahkan mempelajari materi Fungsi Eksponen dan Penerapannya, kita harus menguasai terlebih dahulu materi sifat-sifat eksponen. Dalam pembahasan kali ini, pertama kita bahas fungsi eksponen, lalu akan kita lanjutkan pada penerapan fungsi eksponen. Langsung saja kita simak pemaparan materinya berikut ini.

Fungsi Eksponen
       Berikut adalah bentuk-bentuk fungsi eksponen :
$\clubsuit \, $ fungsi eksponen sederhana :
$ \begin{align} f(x) = a^x \end{align} $
dengan $ a \, $ sebagai basis dan $ x \, $ sebagai pangkatnya (eksponennya).

$\clubsuit \, $ fungsi eksponen kompleks :
$ \begin{align} f(x) = b \times a^{g(x)} \, + c \end{align} $
dengan $ a \, $ sebagai basis dan $ g(x) \, $ sebagai pangkatnya (eksponennya).

Contoh Soal :
1). Berikut adalah beberapa contoh dari fungsi eksponen yaitu :
a). $ f(x) = 2^x $
b). $ g(x) = 3^{5x} $
c). $ h(x) = \left( \frac{1}{5} \right) ^x $
d). $ f(x) = 3 \times 5^x $
e). $ f(x) = 2 \times 3^x + 5 $
f). $ f(x) = 3^{x^2+2x-8} $
g). $ f(x) = 2 \times 5^{x^3 - x +1} -1 $

2). Diketahui fungsi eksponen $ f(x) = 3^{x+1} - 2 $ . Tentukan nilai dari $ f(1) $ ?
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai $ f(1) \, $ dengan substitusi $ x = 1 $ :
$ \begin{align} x = 1 \rightarrow f(x) & = 3^{x+1} - 2 \\ f(1) & = 3^{1+1} - 2 \\ & = 3^{2} - 2 \\ & = 9 - 2 \\ & = 7 \end{align} $
Jadi, nilai $ f(1) = 7. \, \heartsuit $.

3). Diketahui suatu fungsi eksponen berbentuk $ f(x) = 2^{x-1} - 1 $ . Jika $ f(a) = 31 \, $ , maka nilai dari $ a^2 - 30 = .... $
Penyelesaian :
*). Dari fungsi $ f(x) = 2^{x-1} - 1 \, $ maka
$ f(a) = 2^{a-1} - 1 $
*). Menentukan nilai $ a \, $ dari bentuk $ f(a) = 31 $ :
$ \begin{align} f(a) & = 31 \\ 2^{a-1} - 1 & = 31 \\ 2^{a-1} & = 32 \\ 2^{a-1} & = 2^5 \, \, \, \, \, \text{(coret basisnya)} \\ a - 1 & = 5 \\ a & = 6 \end{align} $
Sehingga nilai :
$ a^2 - 30 = 6^2 - 30 = 36 - 30 = 6 $.
Jadi, nilai $ a^2 - 30 = 6. \, \heartsuit $.

4). Suatu fungsi eksponen berbentuk $ f(x) = 3^{2x} $ . Nyatakan bentuk $ f(3a+b-c) \, $ dalam bentuk $ f(a), \, f(b), \, $ dan $ f(c) $.
Penyelesaian :
*). Sifat eksponen : $ a^{m+n} = a^m . a^n \, $ dan $ a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} $.
*). Dari bentuk fungsi awal $ f(x) = 3^{2x} $ , kita peroleh :
$ f(a) = 3^{2a} , \, f(b) = 3^{2b} , \, $ dan $ f(c) = 3^{2c} $.
*). Agar bentuk $ f(a^2+b-c) \, $ menjadi bentuk $ f(a), \, f(b), \, $ dan $ f(c) $ , maka kita harus mengarahkan hasilnya kebentuk di atas.
*). Memodifikasi dan menyelesaikan soal :
$ \begin{align} f(x) & = 3^{2x} \\ f(3a+b-c) & = 3^{2(3a+b-c)} \\ & = 3^{6a+2b-2c} \\ & = \frac{3^{6a} \times 3^{2b}}{3^{2c}} \\ & = \frac{\left( 3^{2a} \right)^3 \times 3^{2b}}{3^{2c}} \\ & = \frac{\left( f(a) \right)^3 \times f(b)}{f(c)} \end{align} $
Jadi, kita peroleh $ \begin{align} f(3a+b-c) = \frac{\left( f(a) \right)^3 \times f(b)}{f(c)} \end{align} . \, \heartsuit $.


Penerapan Fungsi Eksponen
       Salah satu penerapan fungsi eksponen adalah tentang model pertumbuhan dan peluruhan yang bisa teman-teman baca materi lengkapnya pada artikel "pertumbuhan dalam matematika" dan "peluruhan dalam matematika". Namun untuk soal-soal tertentu, biasanya bentuk fungsi eksponensialnya sudah diberikan terlebih dahulu. Adapun bentuk fungsi eksponen atau fungsi eksponensial untuk pertumbuhan dan peluruhan adalah
$ \begin{align} A_t = A_0 \times (r)^t \end{align} $.
Keterangan :
$ A_t = \, $ besarnya pertumbuhan atau peluruhan pada waktu ke-$t$
$ A_0 = \, $ besarnya pertumbuhan atau peluruhan pada awal periode
$ r = \, $ rasio (tingkat perubahan) .

Contoh soal :
5). Dalam ilmu biologi ada yang namanya pertumbuhan jenis amoeba tertentu. Misalkan pertumbuhannya mengikuti fungsi eksponensial $ A_t = A_0 \times (2)^t \, $ dengan $ A_0 \, $ adalah banyaknya amoeba pada awal pengamatan dan $ t \, $ adalah waktu pada pengamatan terjadi (satuannya menit). Jika diketahui pada awal pengamatan pukul 09.00 ada 100 amoeba , tentukan banyak amoeba setelah dilakukan pengamatan lagi pada pukul 09.10?
Penyelesaian :
*). Diketahui : $ A_0 = 100 \, $ amoeba.
dari pukul 09.00 ke pukul 09.10, nilai $ t = 10 \, $ menit.
*). Menentukan banyak amoeba pada $ t = 10 $
$ \begin{align} A_t & = A_0 \times (2)^t \\ A_{10} & = 100 \times (2)^{10} \\ & = 100 \times 1024 \\ & = 102.400 \end{align} $
Jadi, akan ada 102.400 amoeba pada pengamatan pukul 09:10 $. \, \heartsuit $.

         Demikian pembahasan materi Fungsi Eksponen dan Penerapannya beserta contoh-contohnya. Selanjutnya silahkan baca juga materi lain yang berkaitan dengan grafik fungsi eksponen dan logaritma.

Sistem Pertidaksamaan Kuadrat dan Kuadrat

         Blog Koma - Setelah sebelumnya kita mempelajari materi "sistem pertidaksamaan linear dan kuadrat" yang melibatkan bentuk fungsi linear dan fungsi kuadrat, pada artikel ini akan kita lanjutkan pembahasan Sistem Pertidaksamaan Kuadrat dan Kuadrat yang melibatkan beberapa bentuk fungsi kuadrat. Untuk memudahkan dalam mempelajari materi ini, sebaiknya teman-teman pelajari dulu cara menggambar grafik atau kurva fungsi kuadrat baik secara sketsa maupun dengan teknik menggeser.

         Sebenarnya materi Sistem Pertidaksamaan Kuadrat dan Kuadrat tidak jauh berbeda dengan materi sistem pertidaksamaan sebelumnya. Kita akan menekankan pada solusi sistem atau himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan yang kita sajikan dalam bentuk daerah arsiran yang biasa disebut DHP (daerah himpunan penyelesaian). Teknik untuk menentukan daerah arsirannya juga menggunakan uji sebarang titik pada bidang kartesius. Untuk lebih jelasnya, mari kita simak penjelasannya berikut ini.

Menentukan Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Kuadrat dan Kuadrat
*). Penyelesaian Sistem Pertidaksamaannya
       Misalkan ada sistem pertidaksamaan kuadrt dan kuadrat :
$ \left\{ \begin{array}{c} a_1x^2 + b_1x + c_1y \leq d_1 \\ a_2x^2 + b_2x + c_2y \leq d_2 \end{array} \right. $
Yang namanya penyelesaian adalah semua himpunan $(x,y) \, $ yang memenuhi semua pertidaksamaan. Jika nilai $ x \, $ dan $ y \, $ yang diminta adalah bilangan real, maka akan ada tak hingga solusinya yang bisa diwakili oleh suatu daerah arsiran yang memenuhi sistem pertidaksamaannya.

Langkah-langkah Menentukan daerah arsiran :
i). Gambar dulu grafik masing-masing fungsi.
ii). Tentukan daerah arsiran setiap pertidaksamaan yang sesuai dengan perminataan soal dengan cara uji sembarang titik.
iii). Daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan adalah daerah yang memenuhi semua pertidaksamaan dengan cara mengiriskan setiap daerah arsiran setiap pertidaksamaan atau carilah daerah yang memuat arsiran terbanyak.

Contoh Soal :
1). Tentukan Himpunan penyelesaian dari $ y \geq x^2 + x - 6 \, $ ?
Penyelesaian :
*). Kita gambar dulu grafik $ y = x^2 + x - 6 $ :
menentukan titik potong sumbu-sumbu :
Sumbu X substitusi $ y = 0 \rightarrow 0 = x^2 + x - 6 \rightarrow (x-2)(x+3) = 0 \, $ $ \rightarrow x = 2 \vee x = -3 $.
Sumbu Y substitusi $ x = 0 \rightarrow y = 0^2 + 0 - 6 \rightarrow y = -6 $.
Nilai $ a = 1 \, $ dari fungsi kuadrat $ y = x^2 + x - 6 \, $ maka grafik hadap ke atas (senyum).
Substitusi titik uji yaitu $(0,0) \, $ :
$ \begin{align} (x,y)=(0,0) \rightarrow y & \geq x^2 + x - 6 \\ 0 & \geq 0^2 + 0 - 6 \\ 0 & \geq -6 \, \, \, \, \, \, \, \text{(BENAR)} \end{align} $
Artinya daerah yang memuat titik (0,0) benar (solusi yang diminta), sehingga solusinya adalah daerah di dalam kurva parabola
*). Berikut himpunan penyelesaiannya :

2). Tentukan Himpunan penyelesaian dari $ y \leq -x^2 + 1 \, $ ?
Penyelesaian :
*). Kita gambar dulu grafik $ y = -x^2 + 1 $ :
menentukan titik potong sumbu-sumbu :
Sumbu X substitusi $ y = 0 \rightarrow 0 = -x^2 + 1 \rightarrow x^2 = 1 \rightarrow x = \pm \sqrt{1} \, $ $ \rightarrow x = 1 \vee x = -1 $.
Sumbu Y substitusi $ x = 0 \rightarrow y = -0^2 + 1 \rightarrow y = 1 $.
Nilai $ a = -1 \, $ dari fungsi kuadrat $ y = -x^2 + 1 \, $ maka grafik hadap ke bawah (cemberut).
Substitusi titik uji yaitu $(0,0) \, $ :
$ \begin{align} (x,y)=(0,0) \rightarrow y & \leq -x^2 + 1 \\ 0 & \leq -0^2 + 1 \\ 0 & \leq 1 \, \, \, \, \, \, \, \text{(BENAR)} \end{align} $
Artinya daerah yang memuat titik (0,0) benar (solusi yang diminta), sehingga solusinya adalah daerah di dalam kurva parabola
*). Berikut himpunan penyelesaiannya :

3). Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan
              $ \left\{ \begin{array}{c} y \geq x^2 + x - 6 \\ y \leq -x^2 + 1 \end{array} \right. $
Penyelesaian :
*). Karena ada dua pertidaksamaannya, maka kita harus menentukan daerah arsiran yang memenuhi keduanya yang nantinya akan menjadi himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan pada soal nomor 3 ini.
*). Berdasarkan jawaban soal nomor 1 dan nomor 2 di atas, maka daerah arisan yang diminta yang memenuhi keduanya yaitu :

Pada contoh soal berikutnya, kita akan coba modifikasi tanda ketaksamaannya $( \leq , \, \geq )$ untuk contoh soal nomor 3 di atas.

4). Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan
              $ \left\{ \begin{array}{c} y \leq x^2 + x - 6 \\ y \leq -x^2 + 1 \end{array} \right. $
Penyelesaian :
Daerah penyelesaiannya adalah daerah irisan dari kedua pertidaksamaan seperti gambar yang paling kanan.

5). Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan
              $ \left\{ \begin{array}{c} y \geq x^2 + x - 6 \\ y \geq -x^2 + 1 \end{array} \right. $
Penyelesaian :
Daerah penyelesaiannya adalah daerah irisan dari kedua pertidaksamaan seperti gambar yang paling kanan.


6). Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan
              $ \left\{ \begin{array}{c} y \leq x^2 + x - 6 \\ y \geq -x^2 + 1 \end{array} \right. $
Penyelesaian :
Daerah penyelesaiannya adalah daerah irisan dari kedua pertidaksamaan seperti gambar yang paling kanan.

7). Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan
              $ \left\{ \begin{array}{c} y \leq -x^2 + 4 \\ y \leq -x^2 + 2x + 3 \\ y \geq x^2 -x- 6 \end{array} \right. $
Penyelesaian :
*). Untuk menyelesaikan soal sistem pertidaksamaan nomor 7 ini, pertama teman-teman harus menggambar dulu masing-masing kurva parabolanya dan menentukan daerah arsirannya, kemudia terakhir kita iriskan ketiga daerah masing-masing yang terbentuk sehingga daerah hasil irisan inilah yang menjadi himpunan penyelesaiannya.
Untuk menggambar masing-masing kurva, kami silahkan untuk pembaca mencobanya sendiri, dan kami juga telah menyertakan gambar ketiga kurva beserta daerah arsirannya seperti gambar berikut ini.
Daerah penyelesaiannya adalah daerah irisan dari ketiga pertidaksamaan seperti gambar yang paling kanan bawah.

       Demikian pembahasan materi Sistem Pertidaksamaan Kuadrat dan Kuadrat dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan sistem pertidaksamaan atau sistem persamaan.

Pembahasan Soal Trigonometri 1

         Blog Koma - Pada artikel kali ini kita akan membahas Pembahasan Soal Trigonometri 1. Soal Trigonometri ada banyak sekali, dan tentu tidak bagi kita untuk menyelesaikan soal-soalnya karena begitu banyaknya rumus yang dilibatkan. Salah satu soal trigonometri yang akan kita bahas berikut ini. Tentu untuk memudahkan dalam mempelajarinya, teman-teman harus menguasai materi trigonometri diantaranya "perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku" yang didalamnya juga ada identitas trigonometri, dan "Rumus Trigonometri untuk Sudut Ganda ".

Soal Trigonometri 1
Diketahui nilai trigonometri $ \frac{\sin x}{\sin y} = 3 \, $ dan $ \, \frac{\cos x}{\cos y} =\frac{1}{2} $. Tentukan nilai dari $ \frac{\sin 2x}{\sin 2y} + \frac{\cos 2x }{\cos 2y} \, $ adalah ....

       Untuk menyelesaikan soal trigonometri 1 ini, kita akan menggunakan beberapa konsep trigonometri berikut ini.

Konsep Trigonometri yang digunakan
*). Perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku :
$ \sin A = \frac{de}{mi} \, $ dan $ \, \cos A = \frac{sa}{mi} $
*). Identitas trigonometri :
$ \sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 \, $ atau $ \, \cos ^2 A = 1 - \sin ^2 A $
*). Sudut Rangkap :
$ \sin 2A = 2\sin A \cos A $
$ \cos 2A = 1 - 2\sin ^2 A $

Pembahasannya :
*). Pertama kita tentukan nilai $ \frac{\sin 2x}{\sin 2y} $ :
Kalikan bentuk $ \frac{\sin x}{\sin y} = 3 \, $ dan $ \, \frac{\cos x}{\cos y} =\frac{1}{2} $
Dan gunakan : $ \sin 2x = 2\sin x \cos x \, $ dan $ \, \sin 2y = 2\sin y \cos y $
$\begin{align} \frac{\sin x}{\sin y} \times \frac{\cos x}{\cos y} & = 3 \times \frac{1}{2} \\ \frac{\sin x \cos x}{\sin y \cos y} & = \frac{3}{2} \\ \frac{2\sin x \cos x}{2\sin y \cos y} & = \frac{3}{2} \\ \frac{\sin 2 x }{\sin 2y } & = \frac{3}{2} \end{align} $

*). Menentukan bentuk $ \sin ^2 x \, $ dan $ \cos ^2 x $ :
$ \frac{\sin x}{\sin y} = 3 \rightarrow \sin x = 3\sin y \, $ atau
$ \sin x = \frac{3\sin y}{1} = \frac{de}{mi} $
Sehingga panjang sampingnya $(sa) $ :
$ sa = \sqrt{(mi)^2 - (de)^2} = \sqrt{1^2 - (3\sin y)^2} = \sqrt{1 - 9\sin ^2 y } $
gambar segitiganya :
Sehingga nilai $ \cos x $ :
$ \cos x = \frac{sa}{mi} = \frac{\sqrt{1 - 9\sin ^2 y }}{1} = \sqrt{1 - 9\sin ^2 y } $
Kita peroleh :
$ \sin x = 3\sin y \rightarrow \sin ^2 x = 9\sin ^2 y $
$ \cos x = \sqrt{1 - 9\sin ^2 y } \rightarrow \cos ^2 x = 1 - 9\sin ^2 y $

*). Menentukan nilai $ \sin ^2 y \, $ dan $ \sin ^2 x $ :
$ \begin{align} \frac{\cos x}{\cos y} & =\frac{1}{2} \\ \cos y & = 2 \cos x \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ \cos ^2 y & = 4 \cos ^2 x \\ \cos ^2 y & = 4 (1 - 9\sin ^2 y) \, \, \, \, \, \, \text{(identitas)} \\ 1 - \sin ^2 y & = 4 - 36\sin ^2 y \\ 35 \sin ^2 y & = 3 \\ \sin ^2 y & = \frac{3}{35} \end{align} $
Sehingga nilai $ \sin ^2 x $
$ \sin ^2 x = 9\sin ^2 y = 9 \times \frac{3}{35} = \frac{27}{35} $

*). Menentukan nilai $ \frac{\cos 2x }{\cos 2 y} \, $ dengan sudut rangkap :
$ \begin{align} \frac{\cos 2x }{\cos 2 y} & = \frac{1 - 2\sin ^2 x}{1 - 2\sin ^2 y} \\ & = \frac{1 - 2 \times \frac{27}{35} }{1 - 2 \times \frac{3}{35} } \\ & = \frac{1 - \frac{54}{35} }{1 - \frac{6}{35} } \\ & = \frac{1 - \frac{54}{35} }{1 - \frac{6}{35} } \times \frac{35}{35} \\ & = \frac{35 - 54 }{ 35 - 6 } \\ & = \frac{-9}{ 29} \end{align} $

*). Menentukan hasil akhir :
$ \begin{align} \frac{\sin 2x}{\sin 2y} + \frac{\cos 2x }{\cos 2y} & = \frac{3}{2} + \frac{-9}{ 29} \\ & = \frac{3 \times 29}{2 \times 29} + \frac{-9 \times 2}{ 29 \times 2 } \\ & = \frac{87}{58} + \frac{-18}{ 58 } \\ & = \frac{87 - 18}{58} \\ & = \frac{69}{58} \end{align} $

Jadi, nilai $ \begin{align} \frac{\sin 2x}{\sin 2y} + \frac{\cos 2x }{\cos 2y} = \frac{69}{58} \end{align} $ .

Catatan :
Sebenarnya untuk menentukan bentuk $\sin ^2 x \, $ dan $ \cos ^2 x \, $ bisa juga tanpa menggunakan perbandingan segitiga siku-siku seperti di atas, yaitu cukup menggunakan identitas trigonometri saja.
Diketahui : $ \sin x = 3\sin y \rightarrow \sin ^2 x = 9\sin ^2 y $
$ \cos ^2 x = 1 - \sin ^2 x = 1 - 9\sin ^2 y $
Bentuk $ \cos ^2 x = 1 - 9\sin ^2 y \, $ sama dengan hasil cara di atas sebelumnya, namun cara ini lebih sederhana.

         Demikian Pembahasan Soal Trigonometri 1. Jika teman-teman memiliki pertanyaan tentang trigonometri, silahkan share di blog koma ini, kita akan bahas bersama-sama. Terima kasih, semoga pembahasan soal trigonometri ini bermanfaat.

Cara Menggambar atau Melukis Kubus

         Kubus adalah salah satu bangun ruang dimensi tiga yang memiliki semua rusuk sama panjang. Pernahkan teman-teman diminta untuk menggambar atau melukis sebuah kubus? Jika kita diminta untuk menggambar atau melukis sebuah kubus, maka setiap orang pasti akan menghasilkan bentuk yang berbeda seperti pada gambar 1 di bawah ini. Dari gambar 1 di bawah ini, manakah yang paling benar menurut kalian? Jika tidak ada syarat khusus, maka semua gambar kubus benar. Namun, jika ada ketentuan khusus yang diminta dalam membuat kubus, maka hanya salah satu yang benar. Pada artikel ini kita akan membahas materi Cara Menggambar atau Melukis Kubus.
gambar 1 beberapa bentuk kubus.

Isitilah-istilah dalam menggambar Kubus
       Berikut ini beberapa istilah yang harus kita ketahui dalam menggambar atau melukis kubus yaitu : Bidang gambar, bidang frontal, bidang orthogonal, garis frontal, garis orthogonal, sudut surut atau sudut miring atau sudut menyisi, dan perbandingan orthogonal. Untuk penjelasannya, kita simak berikut ini.

Penjelasan Isitilah-istilah dalam menggambar Kubus

Berikut penjelasan masing-maasing istilah pada menggambar kubus :
1). Bidang Gambar
       Bidang gambar adalah suatu bidang tempat untuk menggambar atau melukis suatu bangun ruang (kubus). Bidang gambar selalu ada di hadapan pengamat. Perhatikan kubus berikut ini, bidang gambar ditunjukkan oleh bidang $ \beta $ yaitu bidang yang dibatasi warna biru.

2). Bidang Frontal
       Bidang Frontal adalah bidang yang sejajar dengan bidang gambar. Ukuran bidang frontal sesuai dengan ukuran pada kubusnya. perhatikan contoh berikut ini, bidang frontal ditunjukkan oleh bidang ABFE dan bidang CDHG.

3). Bidang Orthogonal
       Bidang orthogonal adalah bidang yang tegak lurus dengan bidang gambar. Bidang orthogonal digambarkan tidak sesuai dengan ukuran sebenarnya. pada gambar berikut, bidang orthogonalnya adalah ABCD, EFGH, BCGF, dan ADHE.

4). Garis frontal
       Garis frontal adalah garis yang terletak pada bidang frontal (sejajar bidang frontal). Pada gambar berikut ini, garis frontalnya yaitu : garis frontal horizontal adalah AB, EF, CD, dan GH, garis frontal vertikal adalah AE, BF, CG, dan DH.

5). Garis Orthogonal
       Garis orthogonal adalah garis yang tegak lurus dengan bidang frontal (sejajar bidang orthogonal). Panjang garis frontal tidak sama dengan panjang sebenarnya. Panjang garis ortogonal ditentukan dengan menggunakan perbandingan ortogonalnya.

Pada gambar berikut ini, garis orthogonalnya yaitu AD, BC, FG, dan EH.

6). Sudut Surut
       Sudut surut adalah sudut dalam gambar yang besarnya ditentukan oleh garis frontal horisontal ke kanan dengan garis ortogonal ke belakang. Perhatikan gambar berikut, sudut surutnya adalah sudut BAD dan sudut FEH.



7). Perbandingan Orthogonal
       Perbandingan ortogonal adalah perbandingan antara panjang garis ortogonal yang dilukiskan atau digambar dengan panjang garis ortogonal yang sebenarnya.
Pada gambar, ada 4 garis orthogonalnya yang memiliki panjang sama yaitu AD=BC=FG=EH.
Perbandingan orthogonal dapat dirumuskan :
$ \frac{\text{panjang garis yang dilukiskan}}{\text{panjang garis yang sebenarnya}}$.

Misalkan panjang AD sebenarnya adalah 6 cm dan perbandingan orthogonalnya adalah $ \frac{2}{3} $ , maka panjang AD yang dilukis dapat dihitung yaitu :
$ \begin{align} \text{perbandingan orthogonal} & = \frac{2}{3} \\ \frac{\text{AD dilukis}}{\text{AD sebenarnya}} & = \frac{2}{3} \\ \frac{\text{AD dilukis}}{6} & = \frac{2}{3} \\ \text{AD dilukis} & = \frac{2}{3} \times 6 \\ \text{AD dilukis} & = 4 \end{align} $
Artinya pada gambar, panjang AD yang kita lukis adalah 4 cm.

Contoh soal :
Lukislah atau gambarlah kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 9 cm, sudut surut 45$^\circ \, $ dan perbandingan ortogonalnya $ \frac{2}{3} $.

Penyelesaian :
Langkah-langkah menggambar kubus ABCD.EFGH adalah :
1). Gambar bidang ABFE berupa persegi dengan panjang AB = 9 cm, AE = 9 cm
2). Gambar garis AD yang akan dilukis dengan perbandingan ortogonalnya $ \frac{2}{3} $.
panjang AD yang dilukis = $ \frac{2}{3} \times 9 = 6 \, $ cm.
3). Gambar garis AD yang membentuk sudut 45$^\circ \, $ (sudut surutnya) dengan garis horisontal AB.
4). Buat garis BC sejajar AD, CD sejajar AB, CG dan DH sejajar AE.
5). Lengkapkan garis-garis yang belum ada sehingga lengkap membentuk kubus berikut ini.

       Demikian pembahasan materi Cara Menggambar atau Melukis Kubus dan contohnya. Semoga materi ini bisa bermanfaat buat kita.