Rabu, 30 Desember 2015

Dalil Menelaus pada Segitiga dan Pembuktiannya

         Blog Koma - Pada artikel kali ini kita akan membahas materi dalil menelaus pada segitiga yang merupakan bagian dari "geometri bidang datar" yang ada pada matematika peminatan kelas X. Silahkan baca juga materi "Dalil Titik Tengah dan Intercep Segitiga" untuk lebih melengkapi materi yang ada.

Konsep Dalil Menelaus pada Segitiga
       Diberikan sebuah segitiga ABC, titik D terletak pada garis AC dan titik E terletak pada garis BC. Kemudian titik D dan E dihubungkan membentuk garis DE. Garis AB dan DE diperpanjang sehingga keduanya berpotongan di titik F seperti nampak pada gambar berikut.

Dalil Menelaus berbunyi :
Titik D, E, dan F segaris (Kolinear)
jika dan hanya jika memenuhi $ \, \frac{BE}{EC}\times \frac{CD}{DA}\times \frac{AF}{FB} = 1 $.


Untuk memudahkan dalam mengingat, perhatikan alur panah berikut :
Contoh soal Dalil Menelaus pada Segitiga :
1). Dari gambar berikut, tentukan nilai $ x $?
Penyelesaian :
*). Panjang LO = OM sehingga $ \frac{LO}{OM} = 1 $.
*). Kita menggunakan dalil Menenlaus pada segitiga :
$ \begin{align} \frac{LO}{OM} . \frac{MN}{NK} . \frac{KP}{LP} & = 1 \\ 1 . \frac{2}{3} . \frac{8+x}{8} & = 1 \\ \frac{16 + 2x}{24} & = 1 \\ 16 + 2x & = 24 \\ 2x & = 8 \\ x & = 4 \end{align} $
Jadi, panjang $ x = 4 $.

2). Perhatikan gambar berikut,
Tentukan nilai $ y $?
Penyelesaian :
*). Panjang PS = SR sehingga $ \frac{PR}{RS} = \frac{2}{1} $.
*). Langsung kita gunakan dalil menelaus :
$ \begin{align} \frac{ST}{TU} . \frac{UQ}{QP} . \frac{PR}{RS} & = 1 \\ \frac{2}{y}. \frac{4x}{x} . \frac{2}{1} & = 1 \\ \frac{16}{y} & = 1 \\ y & = 16 \end{align} $
Jadi, panjang $ y = 16 $.

3). Diketahui gambar seperti berikut dengan BE : EC = 2 : 3
dan AB : FB = 5 : 3. Tentukan nilai AD : AC?
Penyelesaian :
*). Nilai AB : FB = 5 : 3 sehingga AF : FB = 8 : 3 .
*). Langsung kita gunakan dalil menelaus :
$ \begin{align} \frac{BE}{EC} . \frac{CD}{DA} . \frac{AF}{FB} & = 1 \\ \frac{2}{3} . \frac{CD}{DA} . \frac{8}{3} & = 1 \\ \frac{CD}{DA} . \frac{16}{9} & = 1 \\ \frac{CD}{DA} & = \frac{9}{16} \end{align} $
Karena nilai CD : DA = 9 : 16 , maka AD : AC = 16 : 25.
Jadi, nilai AD : AC = 16 : 26 .

4). Pada segitiga ABC, titik D terletak pada sisi AB dengan perbandingan AD : DB = 2 : 3 dan titik E terletak pada sisi BC dengan perbandingan BE : EC = 5 : 4 seperti gambar berikut.
Tentukan :
a). perbandingan luas AOD dan luas COE,
b). perbandingan luas AOD dan luas segiempat EODB,
c). perbandingan luas AOC dan luas segiempat EODB.
Penyelesaian :
Kita menggunakan dalil Menelaus dan luas segitiga dengan tinggi sama.
*). perbandingan DO : OC dengan dalil Menelaus
$ \begin{align} \frac{DO}{OC} . \frac{CE}{EB} . \frac{BA}{DA} & = 1 \\ \frac{DO}{OC} . \frac{4}{5} . \frac{5}{2} & = 1 \\ \frac{DO}{OC} . 2 & = 1 \\ \frac{DO}{OC} & = \frac{1}{2} \end{align} $
*). perbandingan EO : OA dengan dalil Menelaus
$ \begin{align} \frac{EO}{OA} . \frac{AD}{DB} . \frac{BC}{EC} & = 1 \\ \frac{EO}{OA} . \frac{2}{3} . \frac{9}{4} & = 1 \\ \frac{EO}{OA} . \frac{3}{2} & = 1 \\ \frac{EO}{OA} & = \frac{2}{3} \end{align} $
Sehingga gambar lengkapnya :
*). Misalkan [ABC] menyatakan luas segitiga ABC.
Kita misalkan juga luas AOD adalah $ [AOD]= x $.
*). Perhatikan segitiga ADC,
$\Delta$AOD dengan alas DO dan $\Delta$AOC dengan alas OC memiliki tinggi yang sama yaitu misalkan $t_1$.
$ \begin{align} \frac{[AOC]}{[AOD]} & = \frac{\frac{1}{2}.OC.t_1}{\frac{1}{2}.DO.t_1} \\ \frac{[AOC]}{x} & = \frac{ OC }{DO} \\ \frac{[AOC]}{x} & = \frac{ 2 }{1} \\ [AOC] & = 2x \end{align} $
*). Perhatikan segitiga ACE,
$\Delta$AOC dengan alas AO dan $\Delta$COE dengan alas OE memiliki tinggi yang sama yaitu misalkan $t_2$.
$ \begin{align} \frac{[COE]}{[AOC]} & = \frac{\frac{1}{2}.OE.t_2}{\frac{1}{2}.AO.t_2} \\ \frac{[COE]}{2x} & = \frac{ OE }{AO} \\ \frac{[COE]}{2x} & = \frac{ 2 }{3} \\ [COE] & = \frac{4}{3}x \end{align} $
sehingga : [ACD] = [AOD] + [AOC] = $ x + 2x = 3x $.
*). Perhatikan segitiga ABC,
$\Delta$ACD dengan alas AD dan $\Delta$BCD dengan alas DB memiliki tinggi yang sama yaitu misalkan $t_3$.
$ \begin{align} \frac{[BCD]}{[ACD]} & = \frac{\frac{1}{2}.DB.t_3}{\frac{1}{2}.AD.t_3} \\ \frac{[COE] + [EODB]}{3x} & = \frac{ DB }{AD} \\ \frac{\frac{4}{3}x + [EODB]}{3x} & = \frac{3 }{2} \\ \frac{4}{3}x + [EODB] & = \frac{9}{2}x \\ [EODB] & = \frac{9}{2}x - \frac{4}{3}x \\ [EODB] & = \frac{19}{6}x \end{align} $

*). Menentukan perbandingan masing-masing soal,
a). perbandingan luas AOD dan luas COE,
$ \begin{align} \frac{[AOD]}{[COE]} = \frac{x}{\frac{4}{3}x} = \frac{3}{4} \end{align} $.
b). perbandingan luas AOD dan luas segiempat EODB,
$ \begin{align} \frac{[AOD]}{[EODB]} = \frac{x}{\frac{19}{6}x } = \frac{6}{19} \end{align} $.
c). perbandingan luas AOC dan luas segiempat EODB.
$\begin{align} \frac{[AOC]}{[EODB]} = \frac{2x}{\frac{19}{6}x } = \frac{12}{19} \end{align} $.

Cara II :
untuk soal 4 bagian (b). perbandingan luas AOD dan luas segiempat EODB
Perhatikan gambar berikut, kita tarik garis DE.
*). Misalkan luas AOD adalah $ [AOD]=x$,
*). Perhatikan segitiga ADE,
$\Delta$AOD dengan alas AO dan $\Delta$DOE dengan alas OE memiliki tinggi yang sama yaitu misalkan $t_1$.
$ \begin{align} \frac{[DOE]}{[AOD]} & = \frac{\frac{1}{2}.OE.t_1}{\frac{1}{2}.AO.t_1} \\ \frac{[DOE]}{x} & = \frac{ OE }{ AO } \\ \frac{[DOE]}{x} & = \frac{ 2 }{ 3 } \\ [DOE] & = \frac{ 2 }{ 3 }x \end{align} $
sehingga : [ADE] = [AOD] + [DOE] = $ x + \frac{ 2 }{ 3 }x = \frac{ 5 }{ 3 }x $.
*). Perhatikan segitiga AEB,
$\Delta$AED dengan alas AD dan $\Delta$BED dengan alas DB memiliki tinggi yang sama yaitu misalkan $t_2$.
$ \begin{align} \frac{[BED]}{[AED]} & = \frac{\frac{1}{2}.DB.t_2}{\frac{1}{2}.AD.t_2} \\ \frac{[BED]}{\frac{ 5 }{ 3 }x} & = \frac{ DB }{ AD } \\ \frac{[BED]}{\frac{ 5 }{ 3 }x} & = \frac{ 3 }{ 2 } \\ [BED] & = \frac{ 3 }{ 2 } . \frac{ 5 }{ 3 }x \\ [BED] & = \frac{ 5 }{ 2 }x \end{align} $
sehingga : [EODB] = [BED] + [DOE] = $ \frac{ 5 }{ 2 }x + \frac{ 2 }{ 3 }x = \frac{ 19 }{ 6 }x $.
*). perbandingan luas AOD dan luas segiempat EODB,
$ \begin{align} \frac{[AOD]}{[EODB]} = \frac{x}{\frac{19}{6}x } = \frac{6}{19} \end{align} $.

Pembuktian Dalil Menelaus pada Segitiga
       Untuk membuktikan dalil menelaus pada segitiga, ada tiga cara pembuktian yang akan ditampilkan pada artikel ini yaitu menggunakan kesebangunan, menggunakan luas segitiga, dan menggunakan aturan sinus pada segitiga.

       Pada dalil menelaus terdapat kata "jika dan hanya jika", artinya pembuktiannya ada dua arah yaitu dari kiri dan dari kanan , kedua arah harus dibuktikan.
Pembuktian dari kiri ke kanan :
Jika titik D, E, dan F segaris (Kolinear),
maka berlaku $ \, \frac{BE}{EC}\times \frac{CD}{DA}\times \frac{AF}{FB} = 1 $
.
Pembuktian dari kanan ke kiri :
Jika berlaku $ \, \frac{BE}{EC}\times \frac{CD}{DA}\times \frac{AF}{FB} = 1 , \, $
maka titik D, E, dan F segaris (Kolinear)
.

Pembuktian Dari kiri ke kanan
Jika titik D, E, dan F segaris (Kolinear),
maka berlaku $ \, \frac{BE}{EC}\times \frac{CD}{DA}\times \frac{AF}{FB} = 1 $
.
Pembuktian Dalil Menelaus pada Segitiga Dengan Konsep Kesebangunan
       Proyeksi titik A, B, dan C pada garis DEF, akan diperoleh seperti gambar berikut.
Hasil proyeksi titik A pada garis DEF adalah titik P.
Hasil proyeksi titik B pada garis DEF adalah titik R.
Hasil proyeksi titik C pada garis DEF adalah titik Q.

Dua bangun datar dikatakan sebangun jika perbandingan sisi yang bersesuaian sama.
*). $\Delta $BER sebangun dengan $\Delta $QEC , sehingga :
perbandingannya : $ \frac{BE}{EC} = \frac{BR}{QC} \, $ ....pers(i).
*). $\Delta $CDQ sebangun dengan $\Delta $ADP , sehingga :
perbandingannya : $ \frac{CD}{DA} = \frac{QC}{PA} \, $ ....pers(ii).
*). $\Delta $BRF sebangun dengan $\Delta $APF , sehingga :
perbandingannya : $ \frac{AF}{FB} = \frac{PA}{BR} \, $ ....pers(iii).
*). Kalikan ketiga perbandingan yang diperoleh :
$ \begin{align} \frac{BE}{EC}\times \frac{CD}{DA}\times \frac{AF}{FB} & = \frac{BR}{QC}\times \frac{QC}{PA}\times \frac{PA}{BR} = 1 \end{align} $
Jadi, terbukti bahwa Jika titik D, E, dan F segaris (Kolinear),
maka berlaku $ \, \frac{BE}{EC}\times \frac{CD}{DA}\times \frac{AF}{FB} = 1 $
.
Pembuktian Dalil Menelaus pada Segitiga dengan Luas segitiga
       Perpanjang garis ED, kemudian beri titik P dan Q serta hubungan beberapa titik seperti gambar berikut.

*). Kita misalkan $ [ABC] \, $ menyatakan luas segitiga ABC.
*). Menentukan perbandingan BE : EC .
*). Perhatikan $\Delta$BPC,
$\Delta$BPE dengan alas BE dan $\Delta$EPC dengan alas EC memiliki tinggi yang sama misalkan $ \, t_1 $.
$ [BPE] = \frac{1}{2}.BE . t_1 \, $ dan $ [EPC] = \frac{1}{2}.EC.t_1 $
*). Perhatikan $\Delta$BQC,
$\Delta$BQE dengan alas BE dan $\Delta$EQC dengan alas EC memiliki tinggi yang sama misalkan $ \, t_2 $.
$ [BQE] = \frac{1}{2}.BE . t_2 \, $ dan $ [EQC] = \frac{1}{2}.EC.t_2 $
*). Menentukan luas segitiga BQP dan luas segitiga CQP .
$ [BQP] = [BQE]-[BPE] $.
$ [BQP] = \frac{1}{2}.BE.t_2 - \frac{1}{2}.BE . t_1 = \frac{1}{2}.BE . (t_2 - t_1) $.
$ [CQP] = [EQC]-[EPC] $ .
$ [CQP] = \frac{1}{2}.EC.t_2 - \frac{1}{2}.EC.t_1 = \frac{1}{2}.EC.(t_2-t_1) $ .
*). Perbandingan BE : EC ,
$ \begin{align} \frac{[BQP]}{[CQP]} & = \frac{\frac{1}{2}.BE . (t_2 - t_1)}{\frac{1}{2}.EC.(t_2-t_1)} \\ \frac{[BQP]}{[CQP]} & = \frac{BE}{EC} \end{align} $
Kita peroleh : $ \frac{BE}{EC} = \frac{[BQP]}{[CQP]} \, $ ....pers(a).

Dengan cara yang sama kita peroleh :
*). Menggunakan segitiga APC dan segitiga AQC kita peroleh,
Perbandingan : $ \frac{CD}{DA} = \frac{[CQP]}{[AQP]} \, $ ....pers(b).
*). Menggunakan segitiga APF dan segitiga AQF kita peroleh,
Perbandingan : $ \frac{AF}{FB} = \frac{[AQP]}{[BQP]} \, $ ....pers(c).

*). Kalikan ketiga perbandingan yang diperoleh :
$ \begin{align} \frac{BE}{EC}\times \frac{CD}{DA}\times \frac{AF}{FB} & = \frac{[BQP]}{[CQP]} \times \frac{[CQP]}{[AQP]} \times \frac{[AQP]}{[BQP]} = 1 \end{align} $
Jadi, terbukti bahwa Jika titik D, E, dan F segaris (Kolinear),
maka berlaku $ \, \frac{BE}{EC}\times \frac{CD}{DA}\times \frac{AF}{FB} = 1 $
.
Pembuktian Dalil Menelaus pada Segitiga dengan Aturan Sinus
       Perhatikan gambar berikut,
untuk aturan sinus, silahkan baca materinya di "Penerapan Trigonometri pada Segitiga : Aturan Sinus, Aturan Cosinus, Luas Segitiga".

Kita terapkan aturan sinus pada segitiga yang ada berikut,
*). Segitiga CDE,
$ \frac{CE}{\sin \angle CDE} = \frac{CD}{\sin \angle CED} \rightarrow \frac{CD}{CE} = \frac{\sin \angle CED}{\sin \angle CDE} \, $ ....pers(1).
*). Segitiga ADF,
$ \frac{AF}{\sin \angle ADF} = \frac{AD}{\sin \angle AFD} \rightarrow \frac{AF}{AD} = \frac{\sin \angle ADF}{\sin \angle AFD} \, $ ....pers(2).
*). Segitiga BEF,
$ \frac{EB}{\sin \angle EFB} = \frac{FB}{\sin \angle BEF} \rightarrow \frac{EB}{FB} = \frac{\sin \angle EFB}{\sin \angle BEF} \, $ ....pers(3).
Catatan :
$ \sin \angle CED = \sin \angle BEF , \, \sin \angle EFB = \sin \angle AFD $.
dan $ \sin \angle ADF = \sin (180^\circ - \angle CDE ) = \sin \angle CDE $.
*). Kalikan ketiga persamaan yang diperoleh :
$ \begin{align} \frac{CD}{CE} . \frac{AF}{AD} . \frac{EB}{FB} & = \frac{\sin \angle CED}{\sin \angle CDE} . \frac{\sin \angle ADF}{\sin \angle AFD} . \frac{\sin \angle EFB}{\sin \angle BEF} \\ \frac{BE}{EC}\times \frac{CD}{DA}\times \frac{AF}{FB} & = 1 \end{align} $
Jadi, terbukti bahwa Jika titik D, E, dan F segaris (Kolinear),
maka berlaku $ \, \frac{BE}{EC}\times \frac{CD}{DA}\times \frac{AF}{FB} = 1 $
.

Pembuktian dari kanan ke kiri
Jika berlaku $ \, \frac{BE}{EC}\times \frac{CD}{DA}\times \frac{AF}{FB} = 1 , \, $
maka titik D, E, dan F segaris (Kolinear)
.
       Sebelumnya telah terbukti dari kiri ke kanan :
Jika titik D, E, dan F segaris (Kolinear),
maka berlaku $ \, \frac{BE}{EC}\times \frac{CD}{DA}\times \frac{AF}{FB} = 1 $
.

Misalkan perpanjangan garis DE pada perpanjangan sisi AB di titik F', cukup kita tunjukkan F = F'.
Dari pembuktian dari kiri ke kanan, maka berlaku :
$ \frac{BE}{EC}\times \frac{CD}{DA}\times \frac{AF'}{F'B} = 1 \, $ ....pers(i).
Sementara dari arah kanan ke kiri berlaku :
$ \frac{BE}{EC}\times \frac{CD}{DA}\times \frac{AF}{FB} = 1 \, $ ....pers(ii).
Dari pers(i) dan pers(ii), kita peroleh :
$ \frac{AF'}{F'B} = \frac{AF}{FB} $
artinya F = F', sehingga garis DEF' berimpit dengan garis DEF karena titik F dan F' sama. Sehingga terbukti bahwa titik D, E, dan F segaris (kolinear), atau lebih lengkapnya :
Jika berlaku $ \, \frac{BE}{EC}\times \frac{CD}{DA}\times \frac{AF}{FB} = 1 , \, $
maka titik D, E, dan F segaris (Kolinear)
.

Dalil Titik Tengah dan Intercep Segitiga

         Blog Koma - Pada kesempatan kali ini kita melanjutkan materi "geometri bidang datar", khususnya materi dalil titik tengah dan dalil intercep segitiga.

Dalil Titik Tengah Segitiga
Perhatikan segitiga ABC berikut,
Pada segitiga ABC di atas, titik D dan E adalah titik tengah masing-masing sisi AC dan BC, kemudian ditarik garis DE (gambar (ii)) yang memenuhi dalil titik tengah.

       Dalil Titik Tengah Segitiga yaitu segmen garis penghubung titik-titik tengah dari kedua sisi segitiga (garis DE) adalah sejajar dengan sisi segitiga (sisi AB) dan panjangnya adalah setengah kali panjang sisi ketiga segitiganya (sisi AB).
Artinya panjang $ DE = \frac{1}{2} \times AB$.
Contoh :
1). Pada segitiga ABC diketahui panjang AB = 14 cm, CD = DA, CE = EB, dan DE sejajar dengan garis AB. Tentukan panjang garis DE?
Penyelesaian :
*). Berdasarkan dalil titik tengah segitiga,
panjang $ DE = \frac{1}{2} \times AB = \frac{1}{2} \times 14 = 7 $.
Jadi, panjang DE = 7 cm.

2). perhatikan gambar segitiga berikut.
.
Tentukan panjang sisi AB.?
Penyelesaian :
*). Dari gambarnya, maka berlaku dalil titik tengah segitiga.
$ DE = \frac{1}{2} \times AB \rightarrow AB = 2 \times DE = 2 \times 3 = 6 $.
Jadi, panjang AB = 6 cm.

Dalil Intercep Segitiga
Perhatikan gambar segitiga PQR berikut,
Pada segitiga PQR ditarik garis TU yang sejajar dengan sisi QR.

       Dalil intercep segitiga yaitu Jika sebuah garis sejajar dengan salah satu sisi sebuah segitiga PQR (misalkan garis TU sejajar dengan sisi QR pada segitiga PQR) memotong dua sisi lain dari segitiga PQR (garis TU memotong sisi PQ dan PR) di titik T dan U, maka berlaku perbandingan PT : TQ = PU : UR dan PT : PQ = PU : PR = TU : QR..
Contoh :
3). perhatikan segitiga berikut,
Tentukan nilai $ x \, $ dan $ y $.?
Penyelesaian :
*). Kita akan menggunakan dalil intercep segitiga.
*). Menentukan nilai $ x $ ,
$ \begin{align} \frac{PU}{UR} & = \frac{PT}{TQ} \\ \frac{x}{3} & = \frac{3}{2} \\ x & = \frac{3}{2} \times 3 \\ & = \frac{9}{2} \\ & = 4,5 \end{align} $.
Sehingga panjang $ PU = x = 4,5 $.
*). Menentukan nilai $ y $ ,
$ \begin{align} \frac{TU}{QR} & = \frac{PT}{PQ} \\ \frac{y}{10} & = \frac{3}{5} \\ y & = \frac{3}{5} \times 10 \\ & = \frac{30}{5} \\ & = 6 \end{align} $.
Sehingga panjang $ TU = y = 6 $.

4). Dari gambar berikut, tentukan nilai $ m + n $.
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai $ m $.
Perhatikan segitiga AFG,
$ \frac{DE}{FG} = \frac{AD}{AF} \rightarrow \frac{m}{10} = \frac{1}{2} \rightarrow m = 5 $.
*). Menentukan nilai $ n $.
Perhatikan segitiga ABC,
$ \frac{FG}{BC} = \frac{AF}{AB} \rightarrow \frac{10}{n} = \frac{2}{3} \rightarrow n = 15 $.
Sehingga nilai $ m + n = 5 + 15 = 20 $.

Cara II :
Untuk soal seperti gambar pada soal nomor 4 ini, maka berlaku :
$ m + n = 2 \times 10 = 20 $.
Maksudnya, jika panjang garis $ FG = a , \, $ maka $ m + n = 2a $.

Pembuktian Dalil Titik Tengah dan Intercep Segitiga
Perhatikan gambar segitiga PQR berikut,
Garis TU sejajar dengan sisi QR pada segitiga PQR.

       Untuk membuktikan kedua dalil ini, konsep yang digunakan adalah "kesebangunan" pada segitiga. Segitiga PTU sebangun dengan segitiga PQR sehingga berlaku perbandingan yang sama pada sisi-sisi yang bersesuaian.
Perbandingan yang berlaku : $ \frac{PT}{PQ}=\frac{TU}{QR}=\frac{PU}{PR} \, $ ....pers(i).
sehingga terbukti untuk dalil intercep : $ \frac{PT}{PQ}=\frac{TU}{QR}=\frac{PU}{PR} $

*). Pembuktian dalil intercep : $ \frac{PT}{TQ} = \frac{PU}{UR} $.
Dari segitiga PQR, maka $ PQ = PT + TQ \, $ dan $ PR = PU + UR $.
kita gunakan pers(i) :
$\begin{align} \frac{PT}{PQ} & =\frac{PU}{PR} \\ PT.PR & = PU.PQ \\ PT.(PU+UR) & = PU.(PT+TQ) \\ PT.PU + PT.UR & = PU.PT + PU.TQ \\ PT.UR & = PU.TQ \\ \frac{PT}{TQ} & =\frac{PU}{PR} \end{align} $
Sehingga terbukti dalil intercep : $ \frac{PT}{TQ} = \frac{PU}{UR} $.

*). Pembuktian dalil titik tengah : $ TU = \frac{1}{2} \times QR $.
Untuk dalil titik tengah, maka PT = TQ sehingga $ \frac{PT}{PQ} = \frac{1}{2} $.
Kita gunakan pers(i) :
$\begin{align} \frac{PT}{PQ} & = \frac{TU}{QR} \\ \frac{1}{2} & = \frac{TU}{QR} \\ TU & = \frac{1}{2} \times QR \end{align} $
Jadi, terbukti dalil titik tengah : $ TU = \frac{1}{2} \times QR $.

Geometri Bidang Datar Secara Umum

         Blog Koma - Geometri bidang datar merupakan materi SMA kelas X Kurikulum 2013 bidang matematika peminatan. Geometri bidang datar secara umum membahas materi "titik, garis, dan bidang", "Sudut : pengertian sudut, pengukuran sudut, hubungan sudut, dan sudut garis sejajar", "dalil titik tengah segitiga", "dalil intercep", "dalil Menelaus", "dalil de ceva", dan "dalil segmen garis : dalil stewart, garis sumbu, garis tinggi, garis berat, dan garis bagi". Juga membahas tentang luas sgitiga yang bisa dicari materinya pada blog konsep-matematika ini. Dari sub materi yang ada, terlihat bahwa kebanyakan membahas bidang datar khususnya segitiga.

         Selain materi yang sudah disebutkan di atas, pada artikel Geometri Bidang Datar juga membahas konsep jarak baik antara dua titik ataupun jarak titik ke garis. Di samping itu juga dibahas tentang titik tengah antara dua titik. Materi jarak ini bisa kita baca pada artikel "Jarak Dua Titik dan Titik ke Garis".

         Untuk lebih jelas materi-materi yang dibahas pada geometri bidang datar, langsung saja klik link-link yang berkaitan dengan materinya. Sementara untuk sedikit mengingatkan kembali teori-teori yang ada, berikut kami akan sajikan contoh-contoh soalnya langsung beserta penyelesaiannya.

Contoh :
1). Tentukan jarak dan titik tengah dari dua titik A(1,4) dan B(-3,1)?
Penyelesaian :
*). Menentukan jarak titik A dan B :
$ \begin{align} \text{Jarak AB } & = \sqrt{(x_2-x+1)^2 + (y_2-y_1)^2} \\ & = \sqrt{(1 - (-3))^2 + (4 - 1)^2} \\ & = \sqrt{(4)^2 + (3)^2} \\ & = \sqrt{16 + 9} \\ & = \sqrt{25} \\ & = 5 \end{align} $
Sehingga jarak titik A dan B adalah 25 satuan.
*). Menentukan titik tengah A dan B.
$ \begin{align} \text{Jarak AB } & = \left( \frac{x_1+x_2}{2} , \frac{y_1+y_2}{2} \right) \\ & = \left( \frac{1 + (-3)}{2} , \frac{4 + 1}{2} \right) \\ & = \left( \frac{-2}{2} , \frac{5}{2} \right) \\ & = \left( -1 , \frac{5}{2} \right) \end{align} $
Sehingga titik tengan AB adalah $ \left( -1 , \frac{5}{2} \right) $.

2). Perhatikan gambar sudut berikut,
Tentukan nilai $ x $ .
Penyelesaian :
*). Sudut $(2x+10^\circ) \, $ dan $ (3x + 20^\circ) \, $ adalah luar sepihak, sehingga jumlahnya $ 180^\circ$.
$ \begin{align} (2x+10^\circ) + (3x + 20^\circ) & = 180^\circ \\ 5x + 30^\circ & = 180^\circ \\ 5x & = 150^\circ \\ x & = \frac{150^\circ }{5} \\ x & = 30^\circ \end{align} $
Jadi, nilai $ x = 30^\circ $ .

3). Perhatikan gambar segitiga berikut,
Diketahui sebarang segitiga PQR, dengan panjang sisi PQ, QR, dan RP diperpanjang berturut-turut sehingga PQ = QB, QR = RC, dan RP = PA. Tentukan perbandingan luas segitiga PQR dan luas segitiga ABC.
Penyelesaian :
*). Konsep luas segitiga : Luas $ = \frac{1}{2} \times \text{ alas } \times \text{ tinggi}$.
Misalkan luas segitiga PQR adalah $ y \, $ satuan luas.
*). Kita buat garis RB, QA dan garis PC seperti gambar berikut,
*). Perhatikan segitiga PBR,
segitiga PQR dan BQR memiliki panjang alas dan tinggi yang sama, sehingga luasnya sama.
artinya luas BQR = luas PQR = $ y $.
*). Perhatikan segitiga BQC,
segitiga BCR dan BQR memiliki panjang alas dan tinggi yang sama, sehingga luasnya sama.
artinya luas BCR = luas BQR = $ y $.
*). Hal yang sama juga bisa diterapkan pada segitiga AQR dan segitiga APB, begitu juga segitiga PQC dan segitiga ARC.
Dapat disimpulkan bahwa luas semua segitiga kecil-kecil itu sama, yaitu
$\Delta APQ = \Delta AQB = \Delta BQR = \Delta BRC = \Delta CRP = \Delta CPA = \Delta PQR = y $ .
*). Luas segitiga ABC adalah :
$\begin{align} \text{Luas ABC } & = \Delta APQ + \Delta AQB + \Delta BQR + \Delta BRC + \Delta CRP + \Delta CPA + \Delta PQR \\ & = y + y + y + y + y + y + y \\ & = 7y \end{align} $
*). Perbandingan segitiga PQR dan segitiga ABC
$\begin{align} \frac{\text{Luas PQR}}{\text{Luas ABC}} & = \frac{y}{7y} = \frac{1}{7} \end{align} $
Jadi, perbandingan luasnya adalah 1 : 7 .

Menaksir Luas Bangun Datar Tidak Beraturan

         Blog Koma - Matematika SMP : Luas bangun datar tak beraturan merupakan bangun-bangun datar yang tak dapat dihitung secara langsung menggunakan rumus luas daerah beraturan. Contoh bangun-bangun datar yang tidak beratuan yaitu : seperti daun, batang pohon, penghapus pulpen yang sudah digunakan, telapak tangan dan lainnya.

Langkah-langkah Menaksir Luas Bangun Datar Tidak Beraturan
       Langkah-langkah dalam Penaksiran Luasnya :
i). Salin dan gambarlah bangun tersebut pada kertas berpetak dengan memberikan garis pada bagian tepinya.
ii). Hitunglah petak yang menutupi bangun tersebut. Untuk petak yang tidak utuh, jika petak yang menutupi bangun lebih dari setengahnya, maka petak tersebut dihitung satu petak.
Berikut ilustrasi gambar bidang datar pada petak.
Contoh :
Perhatikan bangun-bangun datar tidak beraturan berikut. Hitunglah luasnya masing-masing.
Penyelesaian :
*). Menentukan tanda petak yang memiliki luas 1 satuan dan petak yang lebih dari setengah juga dianggap sebagai 1 satuan. Untuk memudahkan, kita beri tanda huruf "a" pada petak yang dihitung memiliki luas 1 satuan seperti gambar berikut.
*). Menghitung luas maasing-masing bangun datar dengan menghitung jumlah banyaknya huruf"a".
gambar (a), Luasnya = 12 satuan.
gambar (b), Luasnya = 6 satuan.
gambar (c), Luasnya = 7 satuan.

Catatan : Tentu luas yang kita peroleh ini tidak akurat 100% karena sifatnya hanya penaksiran saja, hasilnya bisa mendekati saja (bisa kurang sedikit atau lebih sedikit).

Melukis Garis Tinggi, Garis Bagi, Garis Sumbu, dan Garis Berat pada Segitiga

         Blog Koma - Matematika SMP : Sebelumnya kita telah belajar materi "Cara Melukis Segitiga". Pada artikel kali ini, kita akan membahas materi Melukis Garis Tinggi, Garis Bagi, Garis Sumbu, dan Garis Berat pada Segitiga. Garis tinggi, garis bagi, garis sumbu, dan garis berat disebut sebagai garis-garis istimewa pada segitiga.

Melukis Garis Tinggi
       Garis tinggi segitiga adalah garis yang ditarik dari sebuah titik sudut segitiga tegak lurus sisi di hadapannya.

Misalkan kita akan melukis garis tinggi $\Delta$PQR di titik Q.
Langkah-langkahnya sebagai berikut.
a). Lukislah busur lingkaran dari titik Q sehingga memotong PR di titik A dan B.
b). Dari titik A dan B, masing-masing lukislah busur lingkaran dengan jari-jari yang sama sehingga berpotongan di titik C.
c). Hubungkan titik Q dan titik C sehingga memotong PR di titik S. Garis QS adalah garis tinggi sisi PR.

Melukis Garis Bagi
       Garis bagi segitiga adalah garis yang ditarik dari titik sudut segitiga dan membagi sudut menjadi dua sama besar.

Diketahui $\Delta$KLM siku-siku di K seperti gambar berikut,
Langkah-langkah untuk melukis garis bagi $\angle$L pada $\Delta$KLM.
a). Lukislah busur lingkaran dari titik L sehingga memotong KL di titik A dan LM di titik B.
b). Dari titik A dan B, masing-masing lukislah busur lingkaran dengan jari-jari yang sama sehingga saling berpotongan di titik C.
c). Hubungkan titik L dan titik C sehingga memotong KM di titik D. LD adalah garis bagi sudut L.

Melukis Garis Sumbu
       Garis sumbu suatu segitiga adalah garis yang membagi sisi-sisi segitiga menjadi dua bagian sama panjang dan tegak lurus pada sisi-sisi tersebut.

Misalkan diketahui $\Delta$KLM seperti gambar di bawah ini.
Langkah-langkah melukis garis sumbu sisi LM sebagai berikut.
a). Lukislah busur lingkaran dari titik L dengan jari-jari lebih dari $\frac{1}{2}$LM.
b). Kemudian dengan jari-jari yang sama lukislah busur lingkaran dari titik M, sehingga memotong busur pertama di titik P dan Q.
c). Hubungkan titik P dan Q, sehingga terbentuk garis PQ. Garis PQ merupakan garis sumbu pada sisi LM.

Melukis Garis Berat
       Garis berat suatu segitiga adalah garis yang ditarik dari titik sudut suatu segitiga dan membagi sisi di hadapannya menjadi dua bagian sama panjang.

Misalkan diketahui $\Delta$DEF sebarang seperti pada gambar berikut.
Langkah-langkah untuk melukis garis berat $\angle$F sebagai berikut.
a). Lukislah garis sumbu pada sisi DE sehingga memotong DE di titik G.
b). Hubungkan titik F dan titik G. Garis FG adalah garis berat $\angle$F.

Cara Melukis Segitiga

         Blog Koma - Matematika SMP : Pada artikel ini kita membahas materi Cara Melukis Segitiga. Suatu segitiga dapat dilukis jika diketahui panjang ketiga sisinya, panjang dua buah sisi dan besar sudut yang mengapit kedua sisi tersebut, panjang dua buah sisi dan besar sudut di hadapan salah satu sisi tersebut, dan besar dua buah sudut dan panjang sisi di antara sudut tersebut.

Melukis Segitiga Apabila Diketahui Panjang Ketiga Sisinya (Sisi, Sisi, Sisi)
       Apabila sebuah segitiga diketahui panjang sisi-sisinya, maka segitiga tersebut dapat dilukis dengan menggunakan jangka dan penggaris.

       Misalkan kita akan melukis $\Delta$ABC jika diketahui AB = 7 cm, BC = 5 cm, dan AC = 4 cm.
Langkah-langkahnya sebagai berikut.
1) Buatlah ruas garis AB dengan panjang 7 cm.
2) Dengan pusat titik A buatlah busur lingkaran dengan jari-jari 4 cm.
3) Kemudian dengan pusat titik B buatlah busur lingkaran dengan jari-jari 5 cm sehingga memotong busur pertama di titik C.
4) Hubungkan titik A dengan titik C dan titik B dengan titik C, sehingga terbentuk $\Delta$ABC.

Melukis Segitiga jika Diketahui Dua Sisi dan Sudut Apit Kedua Sisi Tersebut (Sisi, Sudut, Sisi)
       Misalkan kita akan melukis $\Delta$KLM jika diketahui panjang KL = 3 cm, $\angle$LKM = 70$^\circ$, dan panjang KM = 4 cm.
Langkah-langkahnya sebagai berikut.
1) Buatlah ruas garis KL dengan panjang 3 cm.
2) Dengan menggunakan busur derajat, pada titik K buatlah sudut yang besarnya 70$^\circ$.
3) Kemudian dari titik K buatlah busur lingkaran dengan panjang jari-jari 4 cm, sehingga berpotongan di titik M.
4) Hubungkan titik L dan M sehingga terlukislah $\Delta$KLM.

Melukis Segitiga jika Diketahui Dua Sisi dan Satu Sudut di Hadapan Salah Satu dari Kedua Sisi Tersebut
       Misalkan kita akan melukis $\Delta$PQR dengan PQ = 5 cm; PR = 3 cm; dan $\angle$PQR = 40$^\circ$.
Langkah-langkahnya sebagai berikut.
1) Buatlah ruas garis PQ dengan panjang 5 cm.
2) Lukislah sudut di titik Q sebesar 40$^\circ$ dengan menggunakan busur derajat.
3) Dengan titik P sebagai pusat, buatlah busur lingkaran dengan jari-jari 3 cm, sehingga memotong garis tersebut di titik R$_1$ dan R$_2$.
4) Hubungkan titik P dengan R$_1$ dan titik P dengan R$_2$, sehingga diperoleh $\Delta$PQR$_1$ dan $\Delta$PQR$_2$.

Melukis Segitiga jika Diketahui Satu Sisi dan Dua Sudut pada Kedua Ujung Sisi Tersebut (Sudut, Sisi, Sudut)
       Misalkan kita akan melukis $\Delta$RST apabila diketahui panjang RS = 5 cm, $\angle$TRS = 45$^\circ$, dan $\angle$TSR = 65$^\circ$.
Langkah-langkahnya sebagai berikut.
1) Buatlah ruas garis RS dengan panjang 5 cm.
2) Dari titik R, buatlah sudut yang besarnya 45$^\circ$ dengan menggunakan busur derajat.
3) Kemudian dari titik S, buatlah sudut yang besarnya 65$^\circ$ sehingga berpotongan di titik T.
4) $\Delta$RST adalah segitiga yang dimaksud.

Senin, 21 Desember 2015

Keliling dan Luas Segitiga

         Blog Koma - Matematika SMP : Pada artikel ini kita akan membahas materi Keliling dan Luas Segitiga . Untuk mempermudah dan melengkapi dalam mempelajarinya, baca juga materi lain yang bekaitan dengan segitiga yaitu "Jenis-jenis dan Sifat-sifat Segitiga" dan "Sudut-sudut pada Segitiga".

Keliling Segitiga
       Keliling suatu bangun datar merupakan jumlah dari panjang sisi-sisi yang membatasinya, sehingga untuk menghitung keliling dari sebuah segitiga dapat ditentukan dengan menjumlahkan panjang dari setiap sisi segitiga tersebut. Perhatikan gambar segitiga ABC berikut,
$ \begin{align} \text{Keliling } \Delta \, ABC & = AB + BC + CD \\ & = a + b + c \end{align} $
Jadi, keliling segitiga ABC adalah $ a + b + c $.
Luas Segitiga
       Perhatikan gambar segitiga ABC berikut ini,
*). Segitiga ABC pada gambar (i) kita bagi menjadi dua segitiga yang dipisah oleh garis tinggi (CD) yaitu segitiga ADC dan segitiga BDC.
*). Pada gambar (ii),
Luas $\Delta$ADC = $ \frac{1}{2} \, $ luas persegi panjang ADCE
$ \begin{align} \text{Luas } \Delta ADC & = \frac{1}{2} \times \text{ Luas persegi panjang ADCE} \\ & = \frac{1}{2} \times AD \times DC \\ \text{Luas } \Delta BDC & = \frac{1}{2} \times \text{ Luas persegi panjang BDCF} \\ & = \frac{1}{2} \times BD \times DC \end{align} $
*). Luas segitiga ABC adalah jumlah luas segitiga ADC dan segitiga BDC,
$ \begin{align} \text{Luas } \Delta ABC & = \text{Luas } \Delta ADC + \text{Luas } \Delta BDC \\ \text{Luas } \Delta ABC & = \frac{1}{2} \times AD \times DC + \frac{1}{2} \times BD \times DC \\ & = \frac{1}{2} \times DC \times (AD + BD) \\ & = \frac{1}{2} \times DC \times AB \end{align} $
dimana AB adalah sisi alas dan DC adalah tinggi segitiga.

Secara umum luas segitiga dengan panjang alas $ a \, $ dan tinggi $ t \, $ adalah
$ L = \frac{1}{2} \times a \times t $.
Contoh soal keliling dan luas segitiga :
1). Perhatikan segitiga berikut,
Pada $\Delta$DEF di atas diketahui DE = 14 cm, DF = 21 cm, EG = 5 cm, dan FG = 12 cm. Hitunglah keliling dan luas $\Delta$DEF.
Penyelesaian :
*). Pada segitiga EFG berlaku teorema pythagoras,
$ \begin{align} EF^2 & = EG^2 + GF^2 \\ EF & = \sqrt{EG^2 + GF^2 } \\ & = \sqrt{5^2 + 12^2 } \\ & = \sqrt{25 + 144 } \\ & = \sqrt{ 169 } \\ & = 13 \end{align} $
*). Keliling $\Delta$DEF
$ \begin{align} \text{Keliling } \Delta DEF & = DE + EF + FD \\ & = 14 + 13 + 21 \\ & = 48 \end{align} $
sehingga keliling $\Delta$DEF adalah 48 cm.
*). Menentukan luas $\Delta$DEF, alasnya DE = 14 dan tingginya FG = 12,
$ \begin{align} \text{Luas } \Delta DEF & = \frac{1}{2} \times DE \times FG \\ & = \frac{1}{2} \times 14 \times 12 \\ & = 7 \times 12 \\ & = 84 \end{align} $
Jadi, luas $\Delta$DEF adalah 84 cm$^2$.

2). Sebuah syal berbentuk segitiga sama kaki dengan panjang sisi yang sama 12 cm dan panjang sisi lainnya 30 cm. Jika tinggi syal tersebut 9 cm, tentukan
a). keliling syal;
b). luas syal.
Penyelesaian :
*). Gambar segitiganya untuk mewakili bentuk syalnya :
a). Keliling syal adalah keliling segitiga,
$ \begin{align} \text{Keliling } \Delta & = 12 + 12 + 30 \\ & = 54 \end{align} $
keliling syal adalah 54 cm.
b). Luas syal adalah luas segitiga,
$ \begin{align} \text{Luas } \Delta DEF & = \frac{1}{2} \times a \times t \\ & = \frac{1}{2} \times 30 \times 9 \\ & = 15 \times 9 \\ & = 135 \end{align} $
Jadi, luas syal adalah 135 cm$^2$.

3). Tentukan luas dua bangun datar berikut,
Penyelesaian :
*). Luas bangun datar gambar (a),
$ \begin{align} L_1 & = \frac{1}{2} \times 5 \times 8 \\ & = 20 \\ L_2 & = \frac{1}{2} \times 7 \times 6 \\ & = 21 \end{align} $
Luas bangun seluruhnya pada gambar (a),
Luas total $ = L_1 + L_2 = 20 + 21 = 41 \, $ dm$^2$ .

*). Luas bangun datar gambar (b),
$ \begin{align} L_1 & = L_{ABE} = \frac{1}{2} \times 13 \times 8 \\ & = 52 \\ L_2 & = L_{BDE} = \frac{1}{2} \times 5 \times 12 \\ & = 30 \\ L_3 & = L_{BCD} = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 \\ & = 6 \end{align} $
Luas bangun seluruhnya pada gambar (b),
Luas total $ = L_1 + L_2 + L_3 = 52 + 30 + 6 = 88 \, $ cm$^2$ .

4). Diketahui luas sebuah segitiga adalah 165 cm$^2$ dan panjang alasnya 22 cm. Hitunglah tinggi segitiga.
Penyelesaian :
*). Diketahui : $ L = 165 \, $ dan $ a = 22 $.
*). Menentukan tinggi segitiga ($t$),
$ \begin{align} L & = 165 \\ \frac{1}{2} \times a \times t & = 165 \\ \frac{1}{2} \times 22 \times t & = 165 \\ 11 \times t & = 165 \\ t & = \frac{165}{11} = 15 \end{align} $
Jadi, tinggi segitiga adalah 15 cm.

Sudut-sudut pada Segitiga

         Blog Koma - Matematika SMP : Sebelumnya kita telah mempelajari materi "Jenis-jenis dan Sifat-sifat Segitiga", pada artikel kali ini kita khusus membahas materi Sudut-sudut pada Segitiga. Untuk mempermudah, juga baca materi yang ada kaitannya dengan sudut-sudut yaitu "hubungan antar sudut".

Jumlah ketiga Sudut pada Segitiga
       Perhatikan gambar segitiga ABC berikut,
*). gambar b), pada sudut-sudut segitiga ABC dipotong berdasarkan garis k, l dan m sehingga terbentuk tiga potongan yang sudah diberi nomor seperti gambar b.
*). dari ketiga potongan pada gambar (b) kemudian disatukan sedemikian terbentuk seperti gambar (c), dimana ketiga bangun membentuk garis lurus. Artinya ketiga sudut segitiga jumlahnya $180^\circ$.

Sehingga Jumlah ketiga sudut pada segitiga adalah 180$^\circ \, $
yaitu $ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ $.
Contoh :
1). Diketahui pada $\Delta$PQR, besar $\angle$P =48$^\circ$ dan $\angle$Q = 72$^\circ$.
Hitunglah besar $\angle$R.
Penyelesaian :
*). Jumlah ketiga sudut segitiga adalah $ 180^\circ$.
$ \begin{align} \angle P + \angle Q + \angle R & = 180^\circ \\ 48^\circ + 72^\circ + \angle R & = 180^\circ \\ 120^\circ + \angle R & = 180^\circ \\ \angle R & = 180^\circ - 120^\circ \\ \angle R & = 60^\circ \end{align} $
Jadi, besar $ \angle R = 60^\circ $.

2). Perhatikan segitiga KLM berikut,
Dari segitiga KLM di atas, tentukan nilai $ x \, $ dan besar semua sudut-sudut segitiganya.
Penyelesaian :
*). Jumlah ketiga sudut segitiga adalah $ 180^\circ$.
$ \begin{align} \angle K + \angle L + \angle M & = 180^\circ \\ x + 2x + 3x & = 180^\circ \\ 6x & = 180^\circ \\ x & = \frac{180^\circ}{6} \\ x & = 30^\circ \end{align} $
sehingga nilai $ x = 30^\circ $.
*). Menentukan besar sudut-sudut segitiganya :
$ \begin{align} \angle K & = x = 30^\circ \\ \angle L & = 2x = 2\times 30^\circ = 60^\circ \\ \angle M & = 3x = 3\times 30^\circ = 90^\circ \end{align} $
Jadi, besar $\angle $K, $\angle $L, dan $\angle $M berturut-turut adalah 30$^\circ$, 60$^\circ$, dan 90$^\circ$.

3).Pada $\Delta$ABC diketahui $\angle $A = 50$^\circ$. Jika B : C = 2 : 3, tentukan besar $\angle $B dan $\angle $C.
Penyelesaian :
*). Kita kalikan $a $ untuk perbandingan yang ada,
$ \frac{B}{C} = \frac{2}{3} \rightarrow \frac{B}{C} = \frac{2a}{3a} $
artinya besar $ \angle B = 2a \, $ dan $ \angle C = 3a $.
*). Menentukan nilai $ a $,
$ \begin{align} \angle A + \angle B + \angle C & = 180^\circ \\ 50^\circ + 2a + 3a & = 180^\circ \\ 5a & = 130^\circ \\ a & = \frac{130^\circ}{5} = 26^\circ \end{align} $
*). Menentukan besar sudut B dan C dengan $ a = 26^\circ $
$ \begin{align} \angle B & = 2a = 2 \times 26^\circ = 52^\circ \\ \angle C & = 3a = 3 \times 26^\circ = 78^\circ \end{align} $
Jadi, besar $\angle $B, dan $\angle $C berturut-turut adalah 52$^\circ$, dan 78$^\circ$.

Hubungan Panjang sisi dan Sudut pada Segitiga
Perhatikan segitiga ABC berikut yang lengkap dengan panjang sisi-sisinya,
$\clubsuit$ Ketidaksamaan Segitiga
       Pada setiap segitiga selalu berlaku bahwa jumlah dua buah sisinya selalu lebih panjang daripada sisi ketiga. Jika suatu segitiga memiliki sisi a, b, dan c maka berlaku salah satu dari ketidaksamaan berikut.
(i). $ a + b > c $
(ii). $ a + c > b $
(iii). $ b + c > a $
Ketidaksamaan tersebut disebut ketidaksamaan segitiga.

$\clubsuit$ Hubungan Besar Sudut dan Panjang Sisi Suatu Segitiga
       Pada setiap segitiga berlaku sudut terbesar terletak berhadapan dengan sisi terpanjang, sedangkan sudut terkecil terletak berhadapan dengan sisi terpendek.

$\clubsuit$ Hubungan Sudut Dalam dan Sudut Luar Segitiga
       Besar sudut luar suatu segitiga sama dengan jumlah dua sudut dalam yang tidak berpelurus dengan sudut luar tersebut.
Keterangan :
*). Pada segitiga ABC, $ \angle CBD \, $ adalah sudut luar segitiga ABC dan sudut dalamnya adalah sudut ABC, sudut ACB, dan sudut BAC.
*). Dari hubungan sudut luar dan sudut dalam, kita peroleh persamaan :
$ \angle CBD = \angle BAC + \angle ACB $.
Contoh :
4). Berdasarkan gambar berikut, tentukan nilai $ x $ dan $ y $. gambar soal 4.
Penyelesaian :
*). Jumlah sudut-sudut pada segitiga adalah $ 180^\circ$.
$ \begin{align} 80^\circ + 60^\circ + x^\circ & = 180^\circ \\ 140^\circ + x^\circ & = 180^\circ \\ x^\circ & = 40^\circ \end{align} $
sehingga nilai $ x^\circ = 40^\circ $.
*). Menentukan besar sudut $ y^\circ $ , ada dua cara yaitu :
Cara I : $ x \, $ dan $ y \, $ berpelurus jumlahnya $ 180^\circ $.
$ \begin{align} x^\circ + y^\circ & = 180^\circ \\ 40^\circ + y^\circ & = 180^\circ \\ y^\circ & = 140^\circ \end{align} $
Cara II : Hubungan sudut luar dan sudut dalam,
$ y \, $ adalah sudut luar, sehingga :
$ y = 80^\circ + 60^\circ = 140^\circ $.
Jadi, besar sudut $ x^\circ = 40^\circ \, $ dan $ y^\circ = 140^\circ$.

5). Selidikilah, apakah panjang sisi-sisi berikut dapat dibuat sebuah segitiga.
a. 3 cm, 6 cm, dan 8 cm
b. 4 cm, 7 cm, dan 11 cm
c. 5 cm, 8 cm, dan 14 cm
d. 10 cm, 10 cm, dan 12 cm
e. 6 cm, 9 cm, dan 16 cm
Penyelesaian :
*). Kita cek berdasarkan ketidaksamaan segitiga. Panjang tiga sisi dapat membentuk sisi-sisi segitiga jika ketiga sisinya memenuhi ketidaksamaan segitiga.
*). Agar kita tidak memeriksa ketiga sayarat, maka cukup cek untuk sisi terpanjang saja.
a). 3 cm, 6 cm, dan 8 cm
$ 3 + 6 = 9 > 8 \, $ (memenuhi syarat ketidaksamaan segitiga).
b). 4 cm, 7 cm, dan 11 cm
$ 4 + 7 = 11 \not{>} 11 \, $ (tidak memenuhi syarat ketidaksamaan segitiga).
c). 5 cm, 8 cm, dan 14 cm
$ 5 + 8 = 13 < 14 \, $ (tidak memenuhi syarat ketidaksamaan segitiga).
d). 10 cm, 10 cm, dan 12 cm
$ 10 + 10 = 20 > 12 \, $ (memenuhi syarat ketidaksamaan segitiga).
e). 6 cm, 9 cm, dan 16 cm
$ 6 + 9 = 15 < 16 \, $ (tidak memenuhi syarat ketidaksamaan segitiga).

Jadi, panjang sisi-sisi yang akan membentuk segitiga adalah bagian (a) dan (d).

6). Diketahui sudut suatu segitiga PQR berbanding $\angle$P : $\angle$Q : $\angle$R = 9 : 5 : 4.
Tentukan :
a). besar $\angle$P, $\angle$Q, dan $\angle$R;
b). sisi yang terpanjang;
c). sisi yang terpendek.
Penyelesaian :
*). Untuk mempermudah pengerjaan, kita kalikan $ a $ pada perbandingannya,
$ \angle P : \angle Q : \angle R = 9 : 5 : 4 \rightarrow \angle P : \angle Q : \angle R = 9a : 5a : 4a $
artinya besar $ \angle P = 9a , \, \angle Q = 5a , \, $ dan $ \angle R = 4a $.
*). Jumlah ketiga sudut segitiga adalah $ 180^\circ$.
$ \begin{align} \angle P + \angle Q + \angle R & = 180^\circ \\ 9a + 5a + 4a & = 180^\circ \\ 18a & = 180^\circ \\ a & = \frac{180^\circ}{18} \\ a & = 10^\circ \end{align} $
sehingga nilai $ a = 10^\circ $.
a). Menentukan besar sudut-sudut segitiganya :
$ \begin{align} \angle P & = 9a = 9\times 10^\circ = 90^\circ \\ \angle Q & = 5a = 5\times 10^\circ = 50^\circ \\ \angle R & = 4a = 4\times 10^\circ = 40^\circ \end{align} $
b). Sisi terpanjang adalah sisi yang ada dihadapan sudut terbesar yaitu sudut P, sehingga sisi terpanjangnya adalah QR.
c). Sisi terpendek adalah sisi yang ada dihadapan sudut terkecil yaitu sudut R, sehingga sisi terpendeknya adalah PQ.

7). Perhatikan gambar berikut,
Pada gambar tersebut $\angle B_1 = \angle B_2, \, \angle C_3 =\angle C_4, \, \angle A = 70^\circ$, dan $\angle B = 60^\circ$.
Hitunglah
a. besar $\angle C_3 + \angle C_4$;
b. besar $\angle B_2$;
c. besar $\angle D$.
Penyelesaian :
a). Perhatikan segitiga ABC, sudut $C_3 + C_4 \, $ adalah sudut luar dari segitiga ABC, sehingga :
$ \angle C_3 + \angle C_4 = \angle B + \angle A = 60^\circ + 70^\circ = 130^\circ $.
Jadi, nilai $ \angle C_3 + \angle C_4 = 130^\circ $.
b). Sudut $ B_1 = B_2 \, $ artinya
$ \angle B_2 = \frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{2} \times 60^\circ = 30^\circ $.
c). Perhatikan segitiga ABC,
$ \angle C = 180^\circ - (\angle B + \angle C) = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ $.
*). Pada bagian a), sudut $ C_3 = C_4 \, $ artinya
$ \angle C_3 = \frac{1}{2} \times 130^\circ = 65^\circ $.
*). Perhatikan segitiga BCD,
$ \angle C = 50^\circ + 65^\circ = 115^\circ $ .
$ \angle B = \angle B_2 = 30^\circ $ .
*). Menentukan besar sudut D,
$ \begin{align} \angle B + \angle C + \angle D & = 180^\circ \\ 30^\circ + 115^\circ + \angle D & = 180^\circ \\ 145^\circ + \angle D & = 180^\circ \\ \angle D & = 35^\circ \end{align} $
Jadi, besar $ \angle D = 35^\circ $ .

Sabtu, 19 Desember 2015

Jenis-jenis dan Sifat-sifat Segitiga

         Blog Koma - Matematika SMP : Sebelumnya kita telah mempelajari materi "Bangun Datar Segi Empat Secara Umum". Pada artikel ini kita akan mempelajari segitiga yaitu Jenis-jenis dan Sifat-sifat Segitiga. Hal-hal yang akan dibahas bekaitan dengan segitiga pada artikel ini adalah pengertian segitiga, jenis-jenis segitiga, dan sifat-sifat segitiga.

Pengertian Segitiga
       Segitiga adalah bangun datar yang dibatasi oleh tiga buah sisi dan mempunyai tiga buah titik sudut. Berikut gambar segitiga ABC.
Keterangan :
*). Ada tiga sisi yaitu : AB, BC, dan AC.
*). Ada tiga sudut yaitu :
i). $ \angle A \, $ atau $ \, \angle BAC \, $ atau $ \, \angle CAB $.
ii). $ \angle B \, $ atau $ \, \angle ABC \, $ atau $ \, \angle CBA $.
iii). $ \angle C \, $ atau $ \, \angle ACB \, $ atau $ \, \angle BCA $.

       Alas segitiga merupakan salah satu sisi dari suatu segitiga, sedangkan tingginya adalah garis yang tegak lurus dengan sisi alas dan melalui titik sudut yang berhadapan dengan sisi alas. perhatikan gambar segitiga berikut, alasnya adalah garis AB dan tinggi segitiga adalah garis CD.
Jenis-jenis Segitiga
       Jenis-jenis suatu segitiga dapat ditinjau berdasarkan
a. panjang sisi-sisinya;
b. besar sudut-sudutnya;
c. panjang sisi dan besar sudutnya.

a). Jenis-jenis segitiga berdasarkan panjang sisinya :
*). Segitiga sebarang, gambar (i),
       Segitiga sebarang adalah segitiga yang sisi-sisinya tidak sama panjang, pada gambar (i) berlaku $ AB \neq BC \neq CA $.
*). Segitiga sama kaki, gambar (ii),
       Segitiga sama kaki adalah segitiga yang mempunyai dua buah sisi sama panjang. Pada Gambar (ii) berlaku $ AB = BC $.
*). Segitiga sama sisi, gambar (iii),
       Segitiga sama sisi adalah segitiga yang memiliki tiga buah sisi sama panjang dan tiga buah sudut sama besar. Segitiga ABC pada Gambar (iii) merupakan segitiga sama sisi. Sisi yang sama panjang : $ AB = BC = CA \, $ dan sudut yang sama : $ \angle ABC = \angle BCA = \angle BAC $ .

b). Jenis-jenis segitiga berdasarkan besar sudutnya :
Secara umum ada tiga jenis sudut, yaitu :
1). sudut lancip ($0^\circ < x < 90^\circ $);
2). sudut tumpul ($90^\circ < x < 180^\circ $);
3). sudut refleks ($180^\circ < x < 360^\circ $).

*). Segitiga lancip, gambar (a)
       Segitiga lancip adalah segitiga yang ketiga sudutnya merupakan sudut lancip, sehingga sudut-sudut yang terdapat pada segitiga tersebut besarnya antara $0^\circ $ dan $ 90^\circ $. Pada Gambar (a) , ketiga sudut pada $\Delta $ABC adalah sudut lancip.
*). Segitiga tumpul, gambar (b)
       Segitiga tumpul adalah segitiga yang salah satu sudutnya merupakan sudut tumpul. Pada gambar (b) $\Delta $ABC , $\angle$ABC adalah sudut tumpul.
*). Segitiga siku-siku, gambar (b)
       Segitiga siku-siku adalah segitiga yang salah satu sudutnya merupakan sudut siku-siku (besarnya 90o$^\circ$). Pada Gambar (c) , $\angle$ABC siku-siku di titik C.

c). Jenis-jenis segitiga berdasarkan pajang sisi dan sudutnya :
*). Segitiga siku-siku sama kaki, gambar (1)
       Segitiga siku-siku sama kaki adalah segitiga yang kedua sisinya sama panjang dan salah satu sudutnya merupakan sudut siku-siku (90$^\circ$).
*). Segitiga tumpul sama kaki, gambar (2)
       Segitiga tumpul sama kaki adalah segitiga yang kedua sisinya sama panjang dan salah satu sudutnya merupakan sudut tumpul.
Sifat-Sifat Segitiga Istimewa
       Segitiga istimewa adalah segitiga yang mempunyai sifat-sifat khusus (istimewa). Dalam hal ini yang dimaksud segitiga istimewa adalah segitiga siku-siku, segitiga sama kaki, dan segitiga sama sisi. Berikut ini akan kita bahas mengenai sifat-sifat dari segitiga istimewa tersebut.

a. Sifat-sifat Segitiga siku-siku
Besar salah satu sudut pada segitiga siku-siku adalah 90$^\circ$.
b. Sifat-sifat Segitiga sama kaki
*). Segitiga sama kaki dapat dibentuk dari dua buah segitiga siku-siku yang sama besar dan sebangun.
*). Segitiga sama kaki mempunyai dua buah sisi yang sama panjang dan dua buah sudut yang sama besar.
*). Segitiga sama kaki mempunyai sebuah sumbu simetri (garis D).
c. Sifat-sifat Segitiga sama sisi
*). Segitiga sama sisi mempunyai tiga buah sisi yang sama panjang dan tiga buah sudut yang sama besar.
*). Setiap segitiga sama sisi mempunyai tiga sumbu simetri(AE, FB,CD).
Contoh :
1). Pada gambar di bawah diketahui $\Delta$KLM sama kaki dengan LM = 13 cm dan MN = 5 cm. Jika $\angle$KLN = 20$^\circ$, tentukan
a). besar $\angle$MLN ;
b). panjang KL dan MK.
Penyelesaian :
a). besar $\angle MLN = \angle KLN = 20^\circ$.

b). Karena $\Delta$KLM sama kaki, maka KL = LM = 13 cm.
Pada $\Delta$KLM , LN adalah sumbu simetri, sehingga
$ \begin{align} MK & = 2 \times MN \\ & = 2 \times 5 \\ & = 10 \end{align} $.
Sehingga panjang MK = 20 cm.

2). Dari segitiga-segitiga pada gambar di bawah ini, kelompokkan yang merupakan
a. segitiga sama kaki;
b. segitiga sama sisi;
c. segitiga sebarang;
d. segitiga lancip;
e. segitiga siku-siku;
f. segitiga tumpul;
g. segitiga siku-siku sama kaki;
h. segitiga tumpul sama kaki.
Penyelesaian :
*). Berikut pengelompokkan segitiga yang ada:
a. segitiga sama kaki : Segitiga a, b, d, i, j, n, dan o.
b. segitiga sama sisi: tidak ada.
c. segitiga sebarang : segitiga c, e, h, k, dan m.
d. segitiga lancip : segitiga a, d, e, h, i, j, m, dan n.
e. segitiga siku-siku : segitiga b, f, g, dan l.
f. segitiga tumpul : segitiga c, k, dan o.
g. segitiga siku-siku sama kaki : segitiga b, dan l.
h. segitiga tumpul sama kaki : segitiga o.

3). Tentukan jenis segitiga-segitiga berikut.
a). $\Delta$ABC dengan $\angle$A = 60$^\circ$, $\angle$B = 60$^\circ$, dan $\angle$C = 60$^\circ$.
b). $\Delta$PQR dengan PQ = 7 cm, PR = 5 cm, dan RQ = 7 cm.
c). $\Delta$KLM dengan $\angle$K = 90$^\circ$, $\angle$L = 50$^\circ$, dan $\angle$M = 40$^\circ$.
d). $\Delta$PQR dengan PQ = 5 cm, QR = 3 cm, dan RQ = 6 cm.
Penyelesaian :
a). segitiga sama sisi dan segitiga lancip.
b). segitiga sama kaki.
c). segitiga siku-siku.
d). segitiga sebarang.

4). Gambar di bawah menunjukkan enam segitiga sama sisi yang sama dan sebangun sehingga membentuk segi enam beraturan.
a). Berapakah besar $\angle$AOB? Sebutkan dua ruas garis yang sama panjang dengan AD.
b). Berapakah banyaknya garis yang sama panjang dengan AB?
Penyelesaian :
a). Perhatikan segitiga AOB, karena AOB adalah segitiga sama sisi maka besar sudutnya masing-masing $ 60^\circ $. Sehingga besar $ \angle AOB = 60^\circ $.
*).Dua garis yang sama panjang dengan AD adalah BE dan CF.
b). Garis-garis yang sama panjang dengan garis AB yaitu :
BC, CD, DE,EF,FA,AO,BO,CO,DO,EO, dan FO.
artinya 11 garis yang sama panjang dengan garis AB.

5). Perhatikan gambar di bawah ini.
Gambar di atas menunjukkan pengubinan segitiga sama sisi, dengan panjang sisi masing-masing 1 cm. Tentukan banyak segitiga sama sisi yang panjangnya
a. 1 cm; b. 2 cm; c. 3 cm.
Penyelesaian :
a). ada 18 segitiga sama sisi yang panjangnya 1 cm.
b). ada 8 segitiga sama sisi yang panjangnya 2 cm.
c). ada 2 segitiga sama sisi yang panjangnya 3 cm.