Jumat, 02 September 2016

Anuitas yang Dibulatkan


         Blog Koma - Dalam transaksi perbankan, pembayaran pinjaman baik menggunakan sistem anuitas maupun lainnya nilainya bulat. Oleh karena itu, besarnya anuitas dibulatkan ke atas atau ke bawah dengan kelipatan berdasarkan persetujuan penerima hutang dengan pihak perbankan, dengan tujuan agar pembayaran mudah untuk dilaksanakan. Misalkan anuitas dibulatkan ke bawah atau ke atas dengan kelipatan Rp1.000,00 atau Rp100,00 dan lain-lain. Pada artikel ini kita khusus membahas materi anuitas yang dibulatkan.

         Jika anuitas di bulatkan ke atas, maka akan terjadi kelebihan pembayaran. Sebaliknya jika anuitas dibulatkan ke bawah, maka akan terjadi kekurangan pembayaran. Kelebihan atau kekurangan pembayaran tersebut akan diperhitungkan pada pembayaran anuitas terakhir.

a). Anuitas dibulatkan ke atas
       Setiap bilangan yang akan dibulatkan ke atas dalam puluhan, ratusan, ribuan, puluhan ribu atau yang lainnya selalu ditambah satu dari nilai sebelumnya. Lambang untuk pembulatan anuitas ke atas adalah: A$^+$

$\spadesuit \, $ Jika $a_1 = A^+ - b_1 = A^+ - M . i$, maka kelebihan pembayaran dari semua angsuran (NL) adalah:
$ \begin{align} NL & = (a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n) - M \\ & = (a_1 + a_1(1+i) + a_1(1+i)^2 + ... + a_1(1+i)^{n-1}) - M \\ & = (a_1 + a_1[(1+i) +(1+i)^2 + ... + (1+i)^{n-1}]) - M \\ & = (a_1 + a_1[\displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} (1+i)^r]) - M \end{align} $
Keterangan :
NL = Nilai Lebih,
$ \displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} (1+i)^r = \, $ daftar nilai akhir rente kolom i% baris (n-1).

$ \clubsuit \, $ Dengan cara lain, jika $ L = A^+ - A$, maka nilai akhir kelebihan dari anuitas pertama sampai anuitas terakhir = nilai akhir rente post numerando, yaitu:
$ \begin{align} NL & = L + L(1+i) + L(1+i)^2 + ... + L(1+i)^{n-1} \\ & = L + L[(1+i) +(1+i)^2 + ... + (1+i)^{n-1}] \\ & = L + L[\displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} (1+i)^r] \end{align} $

$ \heartsuit \, $ Besarnya anuitas terakhir (At):
$ At = A - NL $

Contoh soal anuitas dibulatkan ke atas :
1). Hasil perhitungan nilai anuitas diperoleh A = Rp2.351.405,78. Bulatkan anuitas di atas dalam:
a. Puluhan ke atas
b. Ratusan ke atas
c. Ribuan ke atas
d. Puluhan ribu ke atas

Penyelesaian :
a. Dibulatkan puluhan ke atas: A$^+$ = Rp2.351.410,00
b. Dibulatkan ratusan ke atas: A$^+$ = Rp2.351.500,00
c. Dibulatkan ribuan ke atas: A$^+$ = Rp2.352.000,00
d. Dibulatkan puluhan ribu ke atas: A$^+$ = Rp2.360.000,00

2). Suatu pinjaman Rp20.000.000.00 akan dilunasi dengan anuitas tahunan dengan suku bunga 6%/tahun selama 20 tahun. Jika pembayaran anuitas dibulatkan ke atas dalam puluhan ribu, tentukan:
a. Besarnya nilai anuitas sebelum dan sesudah dibulatkan
b. Total kelebihan pembayaran anuitas
c. Pembayaran anuitas terakhir!

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 20.000.000, $ i = 6\% \, $/tahun, dan $ n = 20 \, $ tahun
a). Menentukan nilai anuitasnya :
$ \begin{align} A & = M \times \text{ tabel anuitas kolom 6% baris 20} \\ & = 20.000.000 \times 0,087184557 \\ & = 1.743.691,14 \end{align} $
Artinya kita peroleh anuitas : A = Rp1.743.691,14
Dibulatkan puluhan ribu ke atas: A$^+$ = Rp1.750.000,00

b). Kelebihan tiap anuitas (L) :
$ \begin{align} L & = A^+ - A \\ & = 1.750.000,00 - 1.743.691,14 \\ & = 6.308,86 \end{align} $

Total kelebihan pembayaran anuitas (NL) :
$\begin{align} NL & = L + L[\displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} (1+i)^r] \\ NL & = L + L \times \text{ Daftar Nilai akhir rente kolom i% baris (n - 1)} \\ & = 6.308,86 + 6.308,86 \times \text{ Daftar Nilai akhir rente kolom 6% baris 19} \\ & = 6.308,86 + 6.308,86 \times 35,785591204 \\ & = Rp232.075,14 \end{align} $

Dengan menggunakan cara lain:
$ \begin{align} a_1 & = A^+ - M.i \\ & = 1.750.000,00 - 20.000.000,00 \times 6\% \\ & = 1.750.000,00 - 1.200.000,00 \\ & = 550.000,00 \\ NL & = (a_1 + a_1 \times \text{ daftar nilai akhir rente kolom 6% baris (20-1)}) - M \\ NL & = (550.000,00 + 550.000,00 \times 35,785591204) - 20.000.000 \\ & = 232.075,14 \end{align} $
(hasilnya sama yaitu NL = Rp232.075,14).

c). Pembayaran anuitas terakhir (At) :
$ At = A - NL = 1.743.691.14 - 232.075.14 = Rp 1.511.616.00 $


b). Anuitas dibulatkan ke bawah
       Setiap bilangan yang akan dibulatkan ke bawah dalam puluhan, ratusan, ribuan, puluhan ribu atau yang lainnya selalu tetap dari nilai sebelumnya. Lambang untuk pembulatan anuitas ke atas adalah: A$^-$

$\spadesuit \, $ Jika $a_1 = A^- - b_1 = A^- - M . i$, maka kekurangan pembayaran dari semua angsuran (NK) adalah:
$ \begin{align} NL & = M - (a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n) \\ & = M - (a_1 + a_1(1+i) + a_1(1+i)^2 + ... + a_1(1+i)^{n-1}) \\ & = M - (a_1 + a_1[(1+i) +(1+i)^2 + ... + (1+i)^{n-1}]) \\ & = M - (a_1 + a_1[\displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} (1+i)^r]) \end{align} $
Keterangan :
NK = Nilai Kekurangan,
$ \displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} (1+i)^r = \, $ daftar nilai akhir rente kolom i% baris (n-1).

$ \clubsuit \, $ Dengan cara lain, jika $ K = A - A^- $, maka nilai akhir kekurangan dari anuitas pertama sampai anuitas terakhir = nilai akhir rente post numerando, yaitu:
$ \begin{align} NK & = K + K(1+i) + K(1+i)^2 + ... + K(1+i)^{n-1} \\ & = K + K[(1+i) +(1+i)^2 + ... + (1+i)^{n-1}] \\ & = K + K[\displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} (1+i)^r] \end{align} $

$ \heartsuit \, $ Besarnya anuitas terakhir (At):
$ At = A + NK $

Contoh soal anuitas dibulatkan ke bawah :
3). Hasil perhitungan nilai anuitas diperoleh A = Rp4.357.895,78 Bulatkan anuitas di atas dalam:
a. Puluhan ke bawah
b. Ratusan ke bawah
c. Ribuan ke bawah
d. Puluhan ribu ke bawah

Penyelesaian :
a. Dibulatkan puluhan ke bawah: A$^-$ = Rp4.357.890,00
b. Dibulatkan ratusan ke bawah: A$^-$ = Rp4.357.800,00
c. Dibulatkan ribuan ke bawah: A$^-$ = Rp4.357.000,00
d. Dibulatkan puluhan ribu ke bawah : A$^-$ = Rp4.350.000,00

4). Suatu pinjaman Rp12.000.000,00 akan dilunasi dengan anuitas tahunan dengan suku bunga 5%/tahun selama 15 tahun. Jika pembayaran anuitas dibulatkan ke bawah dalam ratusan ribu, tentukan:
a. Besarnya nilai anuitas sebelum dan sesudah dibulatkan
b. Total kekurangan pembayaran anuitas
c. Pembayaran anuitas terakhir!

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 12.000.000, $ i = 5\% \, $/tahun, dan $ n = 15 \, $ tahun
a). Menentukan nilai anuitasnya :
$ \begin{align} A & = M \times \text{ tabel anuitas kolom 5% baris 15} \\ & = 12.000.000 \times 0,096342288 \\ & = 1.156.107,46 \end{align} $
Artinya kita peroleh anuitas : A = Rp1.156.107,46
Dibulatkan ratusan ribu ke bawah: A$^-$ = Rp 1.100.000,00

b). Kekurangan tiap anuitas (K) :
$ \begin{align} K & = A - A^- \\ & = 1.156.107,46 - 1.100.000,00 \\ & = 56.107,46 \end{align} $

Total kekurangan pembayaran anuitas (NK):
$\begin{align} NK & = K + K[\displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} (1+i)^r] \\ NK & = K + K \times \text{ Daftar Nilai akhir rente kolom i% baris (n - 1)} \\ & = 56.107,46 + 56.107,46 \times \text{ Daftar Nilai akhir rente kolom 5% baris 14} \\ & = 56.107,46 + 56.107,46 \times 20,578563588 \\ & = 1.210.718,39 \end{align} $

Dengan menggunakan cara lain:
$ \begin{align} a_1 & = A^- - M.i \\ & = 1.100.000,00 - 12.000.000,00 \times 5\% \\ & = 1.100.000,00 - 600.000,00 \\ & = Rp500.000,00 \\ NK & = M - (a_1 + a_1 \times \text{ daftar nilai akhir rente kolom 5% baris (15-1)}) \\ NK & = 12.000.000 - (500.000,00 + 500.000,00 \times 20,578563588) \\ & = 1.210.718,21 \end{align} $
(hasilnya hampir sama dengan cara sebelumnya untuk nilai NK).

c). Pembayaran anuitas terakhir (At) :
$ At = A + NK = 1.156.107,46 + 1.210.718,39 = 2.366.825,85 $

Catatan :
Bentuk $ \displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} (1+i)^r \, $ bisa dihitung dengan jumlah $ n $ suku pertama deret geometri.

         Demikian pembahasan materi Anuitas yang Dibulatkan beserta contoh-contohnya. Selanjutnya silahkan baca juga materi lain yang berkaitan dengan anuitas yaitu tabel pelunasan anuitas.