Senin, 01 Februari 2016

Penyelesaian Latihan 2.2 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel kelas VII Kurikulum 2013


         Blog Koma - Matematika SMP : Halow teman-teman, mari kita lanjutkan pembahasan Latihan 2.2 yang ada pada buku kelas VII kurikulum 2013 dengan judul artikelnya adalah Penyelesaian Latihan 2.2 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel kelas VII Kurikulum 2013. Materi dasar yang harus dikuasai untuk menjawab dan memahami pembahasan soal-soal latihan 2.2 ini kita harus menguasai materi "pernyataan dan kalimat terbuka", "persamaan linear satu variabel", "pertidaksamaan linear satu variabel", dan "soal cerita persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel". Pada latihan 2.2 ini ada 10 soal yang akan kita selesaikan.

Soal 1.
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan linear berikut.
a). $ 24 m = 12 $,
b). $ 3z + 11 = -28 $,
c). $ 25 + 4y = 6y + 15 $,
d). $ -4x - 15 = 1 - 8x $,
e). $ \frac{6}{a} + 2 = 4 $.
Penyelesaian :
a). $ 24 m = 12 $,
$ \begin{align} 24 m & = 12 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi 24)} \\ \frac{24 m}{24} & = \frac{12}{24} \\ m & = \frac{1}{2} \end{align} $

b). $ 3z + 11 = -28 $,
$ \begin{align} 3z + 11 & = -28 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan 11)} \\ 3z + 11 - 11 & = -28 - 11 \\ 3z & = -39 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi 3)} \\ \frac{3z}{3} & = \frac{-39}{3} \\ z & = -13 \end{align} $

c). $ 25 + 4y = 6y + 15 $,
$ \begin{align} 25 + 4y & = 6y + 15 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan 25)} \\ 25 + 4y - 25 & = 6y + 15 - 25 \\ 4y & = 6y - 10 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan } 6y) \\ 4y - 6y & = 6y - 10 - 6y \\ -2y & = -10 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi -2)} \\ \frac{-2y}{-2} & = \frac{-10}{-2} \\ y & = 5 \end{align} $

d). $ -4x - 15 = 1 - 8x $,
$ \begin{align} -4x - 15 & = 1 - 8x \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas ditambahkan 15)} \\ -4x - 15 + 15 & = 1 - 8x + 15 \\ -4x & = 16 - 8x \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas ditambahkan } 8x) \\ -4x + 8x & = 16 - 8x + 8x \\ 4x & = 16 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi 4)} \\ \frac{4x }{4} & = \frac{16}{4} \\ x & = 4 \end{align} $

e). $ \frac{6}{a} + 2 = 4 $.
$ \begin{align} \frac{6}{a} + 2 & = 4 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan 2)} \\ \frac{6}{a} + 2 - 2 & = 4 - 2 \\ \frac{6}{a} & = 2 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikalikan } a) \\ \frac{6}{a} \times a & = 2 \times a \\ 6 & = 2 a \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi 2)} \\ \frac{ 6}{2} & = \frac{2 a }{2} \\ 3 & = a \end{align} $
Soal 2.
Jika $ x \, $ adalah bilangan asli, tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan linear berikut.
a). $ 6x + 5 = 26 - x $ ,
b). $ 2 - 4x = 3 $ ,
c). $ x - 12 = 2x + 36 $ ,
d). $ -5x - 4x = 1 - 8x $ ,
e). $ 2 + \frac{x}{4} = 5 $ .
Penyelesaian :
*). Bilangan asli adalah bilangan yang dimulai dari 1,
secara detail himpunan bilangan asli : $ \{1,2,3,4,5,...\}. $
*). Nilai $ x \, $ harus bagian dari himpunan bilangan asli di atas, jika tidak maka dianggap tidak mempunyai penyelesaian.

a). $ 6x + 5 = 26 - x $ ,
$ \begin{align} 6x + 5 & = 26 - x \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan 5)} \\ 6x + 5 - 5 & = 26 - x - 5 \\ 6x & = 21 - x \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas ditambahkan } x) \\ 7x & = 21 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi 7)} \\ \frac{7x}{7} & = \frac{21}{7} \\ x & = 3 \end{align} $
Sehingga himpunan penyelesaiannya : $ x = \{ 3 \} $.

b). $ 2 - 4x = 3 $ ,
$ \begin{align} 2 - 4x & = 3 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan 2)} \\ 2 - 4x - 2 & = 3 - 2 \\ -4x & = 1 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi -4)} \\ \frac{-4x}{-4} & = \frac{1}{-4} \\ x & = -\frac{1}{4} \end{align} $
Karena nilai $ x = -\frac{1}{4} , \, $ dan bukan merupakan bilangan asli, maka tidak ada penyelesaian (himpunan kosong).
Sehingga himpunan penyelesaiannya : $ x = \{ \} $.

c). $ x - 12 = 2x + 36 $ ,
$ \begin{align} x - 12 & = 2x + 36 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas ditambahkan 12)} \\ x - 12 + 12 & = 2x + 36 + 12 \\ x & = 2x + 48 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan } 2x) \\ x - 2x & = 2x + 48 - 2x \\ -x & = 48 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikalikan -1)} \\ x & = - 48 \end{align} $
Karena nilai $ x = -48 , \, $ dan bukan merupakan bilangan asli, maka tidak ada penyelesaian (himpunan kosong).
Sehingga himpunan penyelesaiannya : $ x = \{ \} $.

d). $ -5x - 4x = 1 - 8x $ ,
$ \begin{align} -5x - 4x & = 1 - 8x \\ -9x & = 1 - 8x \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas ditambahkan } 8x) \\ -9x + 8x & = 1 - 8x + 8x \\ -x & = 1 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikalikan -1)} \\ x & = -1 \end{align} $
Karena nilai $ x = -1 , \, $ dan bukan merupakan bilangan asli, maka tidak ada penyelesaian (himpunan kosong).
Sehingga himpunan penyelesaiannya : $ x = \{ \} $.

e). $ 2 + \frac{x}{4} = 5 $ .
$ \begin{align} 2 + \frac{x}{4} & = 5 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan 2)} \\ 2 + \frac{x}{4} - 2 & = 5 - 2 \\ \frac{x}{4} & = 3 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikalikan 4)} \\ \frac{x}{4} \times 4 & = 3 \times 4 \\ x & = 12 \end{align} $
Sehingga himpunan penyelesaiannya : $ x = \{ 12 \} $.
Soal 3.
Selesaikan persamaan linear berikut.
a). $ 2 - \frac{2}{3}x = 4 $ ,
b). $ \frac{3}{4}(x+3) + \frac{1}{2}(x-1) = 0 $ ,
c). $ \frac{2x - 3}{3} + \frac{4x+4}{2} = 2x + 3 $ .
Penyelesaian :
*). Untuk memudahkan penyelesaian persamaan linear bentuk pecahan, maka hilangkan penyebutnya terlebih dahulu dengan mengalikan KPK dari semua penyebut yang ada.

a). $ 2 - \frac{2}{3}x = 4 $ ,
$ \begin{align} 2 - \frac{2}{3}x & = 4 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan 2)} \\ 2 - \frac{2}{3}x - 2 & = 4 - 2 \\ - \frac{2}{3}x & = 2 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikalikan -3)} \\ - \frac{2}{3}x \times (-3) & = 2 \times (-3) \\ 2x & = -6 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi 2)} \\ \frac{2x }{2} & = \frac{-6}{2} \\ x & = -3 \end{align} $
Sehingga penyelesaiannya adalah $ x = -3 $.

b). $ \frac{3}{4}(x+3) + \frac{1}{2}(x-1) = 0 $ ,
*). Penyebutnya adalah 4 dan 2 dengan KPK 4, sehingga dikalikan 4.
$ \begin{align} \frac{3}{4}(x+3) + \frac{1}{2}(x-1) & = 0 \\ \text{(kedua ruas dikurangkan 2)} & \\ 4 \times \left( \frac{3}{4}(x+3) + \frac{1}{2}(x-1) \right) & = 0 \times 4 \\ 4 \times \left( \frac{3}{4}(x+3) + 4 \times \frac{1}{2}(x-1) \right) & = 0 \\ 3(x+3) + 2(x-1) & = 0 \\ 3x + 9 + 2x - 2 & = 0 \\ 5x + 7 & = 0 \\ \text{(kedua ruas dikurangkan 7)} & \\ 5x + 7 - 7 & = 0 - 7 \\ 5x & = - 7 \\ \text{(kedua ruas dibagikan 5)} & \\ \frac{5x }{5} & = \frac{ - 7}{5} \\ x & = -\frac{ 7}{5} \end{align} $
Sehingga penyelesaiannya adalah $ x = -\frac{ 7}{5} $.

c). $ \frac{2x - 3}{3} + \frac{4x+4}{2} = 2x + 3 $ .
*). Penyebutnya adalah 3 dan 2 dengan KPK 6, sehingga dikalikan 6.
$ \begin{align} \frac{2x - 3}{3} + \frac{4x+4}{2} & = 2x + 3 \\ \text{(kedua ruas dikalikan 6)} & \\ 6 \times \left( \frac{2x - 3}{3} + \frac{4x+4}{2} \right) & = 6 \times (2x + 3 ) \\ 2(2x - 3) + 3(4x+4) & = 12x + 18 \\ 4x - 6 + 12x + 12 & = 12x + 18 \\ \text{(kedua ruas dikurangkan } 12x) & \\ 4x - 6 + 12 & = 18 \\ 4x + 6 & = 18 \\ \text{(kedua ruas dikurangkan 6)} & \\ 4x + 6 - 6 & = 18 - 6 \\ 4x & = 12 \\ \text{(kedua ruas dibagi 4)} & \\ \frac{4x }{4} & = \frac{ 12 }{4} \\ x & = 3 \end{align} $
Sehingga penyelesaiannya adalah $ x = 3 $.
Soal 4.
Jika $ 3x + 12 = 7x - 8 , \, $ tentukanlah nilai dari $ \, x + 2 $ .
Penyelesaian :
$ \begin{align} 3x + 12 & = 7x - 8 \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan 12)} \\ 3x + 12 - 12 & = 7x - 8 - 12 \\ 3x & = 7x - 20 \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan } 7x) \\ 3x - 7x & = 7x - 20 - 7x \\ -4x & = -20 \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi -4)} \\ \frac{-4x}{-4} & = \frac{-20}{-4} \\ x & = 5 \end{align} $
kita peroleh penyelesaiannya adalah $ x = 5 $.
Sehingga nilai $ x + 2 = 5 + 2 = 7 $.
Jadi, nilai $ x + 2 = 7 $.
Soal 5.
Seorang ayah berumur 28 tahun ketika anaknya lahir. Berapakah umur anak itu ketika jumlah umur mereka 48 tahun?
Penyelesaian :
*). Misalkan umur anaknya $ x \, $ tahun.
Sehingga umur ayahnya : $ x + 28 $.
*). Jumlah umur mereka 48 tahun,
Menyusun persamaan linear satu variabel dan menyelesaikannya :
$ \begin{align} \text{umur ayah} + \text{umur anak} & = 48 \\ (x + 28) + x & = 48 \\ 2x + 28 & = 48 \\ \text{(kedua ruas dikurangkan 28)} & \\ 2x + 28 - 28 & = 48 - 28 \\ 2x & = 20 \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi 2)} \\ \frac{2x}{2} & = \frac{20}{2} \\ x & = 10 \end{align} $
Jadi, umur si anak adalah 10 tahun.
Soal 6.
Diketahui harga 1 kg buah anggur adalah tiga kali harga 1 kg buah duku. Jika Tino membeli 2 kg buah anggur dan 5 kg buah duku, ia harus membayar Rp 38.500,00. Berapakah harga 1 kg buah anggur dan 1 kg buah duku?. Jika ia ingin membeli 4 kg buah anggur dan 5 kg buah duku, berapa yang harus dibayarnya?
Penyelesaian :
*). Menyusun persamaan linearnya (model matematika),
Misalkan harga 1 kg buah duku adalah $ x \, $ rupiah,
*). Harga 1 kg anggur adalah tiga kali lipat buah duku,
sehingga harga 1 kg buah anggur adalah $ 3x $.
*). Harga 2 kg anggur dan 5 kg duku adalah 38.500
$ \begin{align} 2 \times (\text{1 kg anggur}) + 5 \times (\text{1 kg duku}) & = 38.500 \\ 2 \times (3x) + 5 \times (x) & = 38.500 \\ 6x + 5x & = 38.500 \\ 11x & = 38.500 \end{align} $
Sehingga persamaan linear satu variabelnya adalah $ 11x = 38500 $.
*). Menentukan nilai $ x $
$ \begin{align} 11x & = 38.500 \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi 11)} \\ \frac{11x}{11} & = \frac{38.500}{11} \\ x & = 3500 \end{align} $
*). Harga masing-masing buah :
1 kg buah anggur harganya : $ 3x = 3 \times 3500 = 10500 $.
1 kg buah duku harganya : $ x = 3500 $.
*). Menentukan harga 4 kg buah anggur dan 5 kg buah duku
$ \begin{align} \text{Harga } & = \text{4 kg buah anggur} + \text{5 kg buah duku} \\ & = 4 \times 10500 + 5 \times 3500 \\ & = 42000 + 17500 \\ & = 59500 \end{align} $
Jadi, harus membayar Rp 59.500,00.
Soal 7.
Suatu bilangan jika dikalikan 4, dan dikurangkan 6, maka sama dengan 54, berapakah bilangan itu?
Penyelesaian :
*). Misalkan bilangan tersebut adalah $ x \, $
*). Kita susun persamaan linearnya,
dikalikan 4, dan dikurangkan 6, maka sama dengan 54
Persamaannya : $ 4x - 6 = 54 $.
*). Menentukan nilai $ x $,
$ \begin{align} 4x - 6 & = 54 \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas ditambahkan 6)} \\ 4x - 6 + 6 & = 54 + 6 \\ 4x & = 60 \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi 4)} \\ \frac{4x}{4} & = \frac{60}{4} \\ x & = 15 \end{align} $
Jadi, bilangan tersebut adalah 15.
Soal 8.
Diketahui harga sepasang sepatu dua kali harga sepasang sandal. Seorang pedagang membeli 4 pasang sepatu dan 3 pasang sandal. Pedagang tersebut harus membayar Rp 275.000,00.
a). Buatlah model matematika dari keterangan di atas.
b). Seleaikan model matematika tersebut. Kemudian tentukan harga 3 pasang sepatu dan 5 pasang sandal.
Penyelesaian :
*). Menyusun persamaan linearnya (model matematika),
Misalkan harga sepasang sandal adalah $ x \, $ rupiah,
*). harga sepasang sepatu dua kali harga sepasang sandal,
sehingga harga sepasang sepatu adalah $ 2x $.
*). Harga 4 pasang sepatu dan 3 pasang sandal adalah 275.000
$ \begin{align} 4 \times (\text{harga sepatu}) + 3 \times (\text{harga sandal}) & = 275.000 \\ 4 \times (2x) + 3 \times (x) & = 275.000 \\ 8x + 3x & = 275.000 \\ 11x & = 275.000 \end{align} $
a). Sehingga model matematikanya : $ 11x = 275.000 $.

b). Menyelesaikan model matematikanya.
*). Menentukan nilai $ x $
$ \begin{align} 11x & = 275.000 \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi 11)} \\ \frac{11x}{11} & = \frac{275.000}{11} \\ x & = 25.000 \end{align} $
*). Harga masing-masing :
harga sepasang sepatu : $ 2x = 2 \times 25.000 = 50.000 $.
harga sepasang sandal : $ x = 25.000 $.
*). Menentukan harga 3 pasang sepatu dan 5 pasang sandal
$ \begin{align} \text{Harga } & = \text{3 pasang sepatu} + \text{5 pasang sandal} \\ & = 4 \times 50.000 + 5 \times 25.000 \\ & = 200.000 + 125.000 \\ & = 325.000 \end{align} $
Jadi, harganya adalah Rp 325.000,00.
Soal 9.
Dua bilangan berselisih 25. Jika 2 kali bilangan yang besar dikurangi bilangan yang kecil adalah 175, tentukanlah bilangan itu.
Penyelesaian :
*). Misalkan dua bilangan tersebut adalah $ x \, $ dan $ y \, $ dengan $ x > y $
Persamaan pertama :
Dua bilangan berselisih 25 : $ x - y = 25 \rightarrow x = y + 25 $
artinya : bilangan pertama $ y \, $ dan bilangan kedua $ y + 25 $ .
Persamaan kedua :
2 kali bilangan yang besar dikurangi bilangan yang kecil adalah 175
$ 2x - y = 175 \, $ .
Persamaannya dan penyelesaiannya :
$ \begin{align} 2x - y & = 175 \\ 2(y+25) - y & = 175 \\ 2y + 50 - y & = 175 \\ y + 50 & = 175 \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan 50)} \\ y + 50 - 50 & = 175 - 50 \\ y & = 125 \end{align} $
Diperoleh nilai $ y = 125 $
dan $ x = y + 25 = 125 + 25 = 150 $.
Jadi, kedua bilangan tersebut adalah 125 dan 150.
Soal 10.
Diketahui jumlah dua bilangan adalah 100 dan selisihnya adalah 40. Bagaimana nilai dua bilangan tersebut dapat dinyatakan dua linear satu variabel.
Penyelesaian :
*). Misalkan bilangan pertama dan kedua adalah $ x \, $ dan $ y \, $ dengan $ y > x $.
Jumlah kedua bilangan adalah 100,
$ x + y = 100 \rightarrow y = 100 - x \, $ ...pers(i)
Selisih kedua bilangan adalah 40,
$ y - x = 40 \, $ ....pers(ii)
*). Substitusi pers(i) ke pers(ii)
$ \begin{align} y = 100 - x \rightarrow y - x & = 40 \\ (100-x) - x & = 40 \end{align} $
Jadi, bentuk dua linear satu variabelnya adalah $ (100-x) - x = 40 \, $ yang bisa diselesaikan untuk proses selanjutnya.