Selasa, 19 Januari 2016

Menentukan Nilai Suku Banyak


         Blog Koma - Setelah kita mengenal bentuk umum suku banyak yang kita pelajari pada materi "Pengertian Suku Banyak dan Operasinya", selanjutnya kita akan mempelajari bagaimana cara Menentukan Nilai Suku Banyak. Ada dua cara yang bisa kita gunakan dalam Menentukan Nilai Suku Banyak yaitu cara substitusi dan Cara Skema Horner.

Cara Substitusi
       Misalkan ada suku banyak
$ \, f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ a_{n-2}x^{n-2} + ... + a_1x + a_0. \, $ Jika nilai $ x $ diganti $ k $, maka nilai suku banyak $ f(x) $ untuk $ x = k $ adalah
$ f(k) = a_nk^n + a_{n-1}k^{n-1}+ a_{n-2}k^{n-2} + ... + a_1k + a_0. $
Contoh nilai suku banyak cara substitusi :
1). Hitunglah nilai suku banyak berikut ini untuk nilai x yang diberikan.
a). $ f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x + 5 \, $ untuk $ x = 1 $.
b). $ g(x) = 2x^4 - 5x^3 + 1 \, $ untuk $ x = 2 $.
Penyelesaian :
a). $ f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x + 5 \, $ untuk $ x = 1 $.
Substitusi langsung $ x = 1 \, $ ke suku banyak $ f(x) $ ,
$ \begin{align} f(x) & = x^3 - 2x^2 + 3x + 5 \\ f(1) & = 1^3 - 2.1^2 + 3.1 + 5 \\ & = 1 - 2 + 3 + 5 \\ & = 7 \end{align} $
Jadi, nilai suku banyak $ f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x + 5 \, $ untuk $ x = 1 \, $ adalah 7.

b). $ g(x) = 2x^4 - 5x^3 + 1 \, $ untuk $ x = 2 $.
Substitusi langsung $ x = 2 \, $ ke suku banyak $ f(x) $ ,
$ \begin{align} g(x) & = 2x^4 - 5x^3 + 1 \\ g(2) & = 2.2^4 - 5.2^3 + 1 \\ & = 2.16 - 5.8 + 1 \\ & = 32 - 40 + 1 \\ & = -7 \end{align} $
Jadi, nilai suku banyak $ g(x) = 2x^4 - 5x^3 + 1 \, $ untuk $ x = 2 \, $ adalah $ -7 $.

Cara Skema Horner
       Misalkan suku banyak $ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \, $ . Jika kita ingin menentukan nilai suku banyak untuk $ x = k \, $, maka nilai suku banyaknya adalah $ f(k) = ak^3 + bk^2 + ck + d \, $ yang dapat dihitung dengan menggunakan skema Horner atau disebut juga cara Sintetik.

Keterangan :
*). Baris 1 : diisi dengan koefisien dari setiap suku yang diurut dari pangkat tertinggi. Jika ada suku dari pangkat terurut yang tidak ada, maka diisi dengan nol.
*). Baris 1 dijumlahkan dengan baris 2 dihasilkan baris 3.
*). Baris 3 pada kolom pertama (paling kiri yaitu nilai $ a \, $) diperoleh dengan langsung memindahkan nilai kolom pertama baris 1.
*). nilai $ ak \, $ (baris 2) diperoleh dari perkalian $ a \, $ (kolom pertama baris 3) dengan $ k \, $.
*). nilai $ ak + b \, $ (baris 3) diperoleh dari penjumlahan baris 1 dan baris 2 kolom 2.
*). nilai $ ak^2 + bk \, $ (baris 2) diperoleh dari perkalian $ ak + b \, $ (kolom 2 baris 3) dengan $ k \, $.
*). nilai $ ak^2 + bk + c \, $ (baris 3) diperoleh dari penjumlahan baris 1 dan baris 2 kolom 3.
*). begitu seterusnya.
Contoh soal nilai suku banyak dengan skema horner :
2). Hitunglah nilai suku banyak untuk nilai x yang diberikan berikut ini.
a). $ f(x) = x^3 + 2x^2 + 3x - 4 \, $ untuk $ x = 5 $
b). $ f(x) = 2x^3 + 3x^2 + 9x + 12 \, $ untuk $ x = \frac{1}{2} $
Penyelesaian :
*). Kita akan menggunakan cara skema horner :
a). $ f(x) = x^3 + 2x^2 + 3x - 4 \, $ untuk $ x = 5 $
Jadi, nilai suku banyak $ f(x) \, $ untuk $ x = 5 \, $ adalah 186.

b). $ f(x) = 2x^3 + 3x^2 + 9x + 12 \, $ untuk $ x = \frac{1}{2} $
Jadi, nilai suku banyak $ f(x) \, $ untuk $ x = \frac{1}{2} \, $ adalah 16.

3). Hitunglah nilai suku banyak $ f(x) = 2x^3 + 7x^2 - 5 \, $ untuk $ x = 2 $.
Penyelesaian :
*). Kita menggunakan skema Horner.
Koefisien yang kita gunakan adalah :
Suku dengan variabel pangkat 3 : $ \, 2x^3 \, $ koefisiennya 2.
Suku dengan variabel pangkat 2 : $ \, 7x^2 \, $ koefisiennya 7.
Suku dengan variabel pangkat 1 : tidak ada sehingga koefisiennya 0.
Suku dengan variabel pangkat 0 (suku tetap) : $ -5 \, $ langsung kita tulis $ -5 $ .
Jadi, nilai suku banyak $ f(x) \, $ untuk $ x = 2 \, $ adalah 39.

Catatan :
Untuk perbandingan hasilnya, silahkan coba dengan cara substitusi langsung.