Kamis, 09 Juli 2015

Bilangan Rasional dan Irrasional


         Blog Koma - Pada sistem bilangan, terdapat dua jenis bilangan yaitu bilangan real dan imajiner. Jika bilangan real dan imajiner digabung menjadi satu (baik terdiri dari masing-masing atau gabungan keduanya) , maka disebut bilangan kompleks. Bilangan kompeks biasanya dipelajari ketika di bangku kuliah atau bagi siswa SMA yang mengikuti Olimpiade Matematika SMA.
         Bilangan real terdiri dari bilangan rasional dan bilangan irrasional yang akan dibahas pada artikel ini. Bilangan Rasional itu sendiri terdiri dari bilangan bulat dan bilangan pecahan yang pembilang dan penyebutnya bilangan bulat.

         Bilangan Rasional dan Irrasional ini kita bahas karena akan berkaitan langsung dengan bentuk akar yang ada pada materi eksponen. Suatu bentuk perpangkatan disebut bentuk akar jika hasilnya berupa bilangan irrasional. Selain dari keterkaitannya dengan bentuk akar, Bilangan Rasional dan Irrasional juga memiliki beberapa variasi bentuk dan soal yang ternyata menarik dan bisa dikatakan menantang untuk dipahami dan kita kerjakan.
Pegertian Bilangan Rasional dan Irrasional
(i). Bilangan Rasional
       Bilangan Rasional adalah suatu bilangan yang bisa diubah dalam bentuk pecahan $ \frac{a}{b} \, $ dengan $ a \, $ dan $ b \, $ merupakan bilangan bulat. Penekanannya adalah $ a \, $ dan $ b \, $ harus bilangan bulat, jika salah satu saja bukan bilangan bulat maka bukan termasuk bilangan rasional.
(ii). Bilangan Irrasional
       Bilangan Irrasional adalah suatu bilangan yang $ tidak \, $ bisa diubah dalam bentuk pecahan $ \frac{a}{b} \, $ dengan $ a \, $ dan $ b \, $ merupakan bilangan bulat. Bisa juga diartikan sebagai salah satu atau keduanya dari $ a \, $ dan $ b \, $ bukan meruakan bilangan bulat, sehingga bukan termasuk bilangan rasional. Akan tetapi, bukan berarti semua bilangan yang bukan rasional adalah merupakan bilangan irrasional, karena bisa saja sebagai bilangan imajiner.
         Untuk lebih memahami tentang bilangan rasional dan irrasional, kurang lengkap rasanya tanpa melihat contoh-contoh berikut ini.
Contoh 1.
Bilangan bulat dan bilangan pecahan (dengan pembilang dan penyebutnya bilangan bulat) adalah contoh bilangan rasional.
Penjelasan :
*). Misal bilangan bulatnya adalah 3.
3 bisa diubah dalam bentuk pecahan : $ 3 = \frac{3}{1} = \frac{6}{2} = \frac{9}{3} = ..... $
dengan pembilang dan penyebutnya bilangan bulat.
*). Misal bilangan pecahannya adalah $ \frac{2}{5} $
$ \frac{2}{5} \, $ termasuk bilangan rasional karena pembilang dan penyebutnya bilangan bulat.
Contoh 2.
Bilangan desimal terbatas(berhingga) adalah contoh bilangan rasional.
Penjelasan :
Bilangan desimal terbatas(berhingga) maksudnya banyaknya angka dibelakang koma terbatas. Misalkan :
*). $ 0,3 = \frac{3}{10} $
*). $ 1,56 = \frac{156}{100} $
*). $ 0,12456789 = \frac{12456789}{100000000} $
yang mana semua pembilang dan penyebutnya adalah bilangan bulat.
Contoh 3.
Bilangan desimal tak terhingga berulang adalah contoh bilangan rasional.
Penjelasan :
Bilangan desimal tak terhingga berulang maksudnya banyaknya angka dibelakang koma tak terhingga (biasanya diisi dengan titik-titik) dan angka yang digunakan berulang terus menerus. Misalkan :
*). $ 0,222222222... = \frac{2}{9} $
*). $ 0,14141414... = \frac{14}{99} $
*). $ 0,125125125... = \frac{125}{999} $
yang mana semua pembilang dan penyebutnya adalah bilangan bulat.
Penjelasan lebih mendalam tentang bilangan desimal tak hingga berulang akan dibahas lebih mendalam setelah contoh-contoh ini.
Contoh 4.
Bilangan desimal tak terhingga tak berulang adalah contoh bilangan irrasional.
Penjelasan :
Bilangan desimal tak terhingga tak berulang maksudnya banyaknya angka dibelakang koma tak terhingga (biasanya diisi dengan titik-titik) dan angka yang digunakan tidak berulang. Misalkan :
*). $ 0,213457345129... $
*). $ 3,7856216800033445... $
tidak bisa diubah dalam bentuk pecahan $ \frac{a}{b} \, $ dengan $ a \, $ dan $ b \, $ bilangan bulat.
Contoh 5.
Bentuk akar dan beberapa hasil logaritma serta trigonometri adalah contoh bilangan irrasional.
Penjelasan :
Bentuk akar hasilnya pasti berupa bilangan desimal tak terhingga tak berulang, yang berdasarkan contoh 4 di atas merupakan contoh bilangan irrasional. Begitu juga untuk beberapa hasil logaritma dan trigonometri. Misalkan :
*). $ \sqrt{2} = 1,41421... $
*). $ \log 5 = 1,6989700 $
*). $ \tan 60^\circ = 1,73205... $
Bilangan Desimal tak hingga Berulang
         Bilangan Desimal tak hingga Berulang maksudnya banyaknya angka dibelakang koma tak terhingga (biasanya diisi dengan titik-titik) dan angka yang digunakan berulang terus menerus. Untuk penjelasan kali ini, kita akan pelajari tentang cara mengubah bentuk desimal menjadi bentuk pecahan.
a). Berulang satu angka
$0,\overline{a} = 0,aaaaa.... = \frac{a}{9} $
Pembuktian :
Misalkan $ x = 0,aaaaaa... $
$\begin{array}{cccc} 10x & = & a, aaaaaa... & \\ x & = & 0, aaaaaa... & - \\ \hline 9x & = a & & \\ x & = \frac{a}{9} & & \end{array} $
b). Berulang dua angka
$0,\overline{ab} = 0,ababababab.... = \frac{ab}{99} $
Pembuktian :
Misalkan $ x = 0,ababababab... $
$\begin{array}{cccc} 100x & = & ab,abababab... & \\ x & = & 0, ababababab... & - \\ \hline 99x & = ab & & \\ x & = \frac{ab}{99} & & \end{array} $
c). Berulang tiga angka
$0,\overline{abc} = 0,abcabcabcabcabc.... = \frac{abc}{999} $
Pembuktian :
Misalkan $ x = 0,abcabcabcabcabc... $
$\begin{array}{cccc} 1000x & = & abc,abcabcabcabc... & \\ x & = & 0, abcabcabcabcabc... & - \\ \hline 999x & = abc & & \\ x & = \frac{abc}{999} & & \end{array} $
d). Berulang sekian angka
$0,\overline{abcd} = 0,abcdabcdabcdabcdabcd.... = \frac{abcd}{9999} $
$0,\overline{abcde} = 0,abcdeabcdeabcdeabcdeabcde.... = \frac{abcde}{99999} $
dan seterusnya ...
Terlihat bahwa penyebutnya adalah angka 9 sebanyak angka yang diulang.
Contoh
Berikut adalah contoh bentuk desimal berulang :
*). $ 0,\overline{5} = 0,55555.... = \frac{5}{9} $
*). $ 2,\overline{3} = 2+ 0,\overline{3} = 2 + 0,33333.... = 2 + \frac{3}{9} = 2 + \frac{1}{3} = \frac{7}{3} $
*). $ 0,\overline{37} = 0,373737.... = \frac{37}{99} $
*). $ 0,\overline{215} = 0,215215215.... = \frac{215}{999} $
*). $ 0,\overline{1234} = 0,123412341234.... = \frac{1234}{9999} $
         Dari contoh soal Bilangan Rasional dan Irrasional di atas, ternyata ada bentuk bilangan desimal berlang tak terbatas yang merupakan bilangan rasional. Tentu menarik untuk kita simak bersama bentuk tersebut yang dalam pikiran kita tidak mungkin bisa diubah dalam bentuk pecahan, ternyata bisa menjadi bentuk pecahan seperti penjelasan di atas.