Tampilkan postingan dengan label vektor. Tampilkan semua postingan
Tampilkan postingan dengan label vektor. Tampilkan semua postingan

Vektor Normal Garis Lurus

         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas materi Vektor Normal Garis Lurus di R$^2$. Sementara pada R$^3$ akan terbentuk bidang yang diwakili oleh sebuah persamaan dimana kita juga bisa menentukan vektor normal bidang di R$^3$. Materi Vektor Normal Garis Lurus dan Vektor Normal bidang ini sangat penting karena berkaitan erat dengan materi lain yang akan kita bahas yaitu aplikasi vektor yaitu salah satunya adalah "jarak titik ke garis lurus" dan "jarak titik ke bidang yang persamaannya diketahui". Untuk memudahkan dalam mempelajari materi Vektor Normal Garis Lurus ini, sebaiknya teman-teman harus menguasai materi "pengertian vektor dan penulisannya" dan syarat dua vektor saling tegak lurus yaitu pada materi "perkalian dot dua vektor" serta "persamaan garis lurus". Sebagai bahasan awal, vektor normal adalah vektor yang tegak lurus. Vektor normal garis lurus artinya sebuah vektor yang tegak lurus dengan garis tersebut, begitu juga vektor normal bidang adalah sebuah vektor yang tegak lurus dengan bidang yang dimaksud. Vektor normal yang dipilih biasanya vektor normal yang paling sederhana.

Vektor Normal Garis Lurus $ ax + by + c = 0 \, $ di R$^2$
Vektor normal garis lurus $ ax + by + c = 0 $
adalah vektor $ \vec{u} = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $
Vektor Normal Bidang $ ax + by + cz + d = 0 \, $ di R$^3$
Vektor normal garis lurus $ ax + by + cz + d = 0 $
adalah vektor $ \vec{v} = \left( \begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix} \right) $

$ \spadesuit \, $ Pembuktian vektor normal garis lurus $ ax + by + c = 0 $ :
Perhatikan ilustrasi gambar berikut ini :
       Misalkan kita pilih dua titik berlainan yaitu $ A(x_1,y_1) $ dan $ B(x_2,y_2) $ yang terletak pada garis lurus $ ax + by + c = 0 $ . Karena kedua titik A dan B terletak pada garis lurus, maka titik-titik tersebut bisa kita substitusikan ke persamaan garisnya, yaitu :
$ A(x_1,y_1) \rightarrow ax_1 + by_1 + c = 0 $ dan $ B(x_2,y_2) \rightarrow ax_2 + by_2 + c = 0 $.
*). Kita eliminasi kedua bentuk persamaan di atas :
$ \begin{array}{cc} ax_2 + by_2 + c = 0 & \\ ax_1 + by_1 + c = 0 & - \\ \hline a(x_2-x_1) + b(y_2-y_1) = 0 & \end{array} $
Kita peroleh bentuk :
$ a(x_2-x_1) + b(y_2-y_1) = 0 \, $ ..........(i)
*). Dari kedua titik $ A(x_1,y_1) $ dan $ B(x_2,y_2) $ bisa kita bentuk vektor $ \vec{AB} $ yang berimpit dengan garis $ ax + by + c = 0 $. Vektor $ \vec{AB} $ adalah :
$ \vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \left( \begin{matrix} x_2 \\ y_2 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} x_1 \\ y_1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} x_2 - x_1 \\ y_2 - y_1 \end{matrix} \right) $
*). Vektor normal garis $ ax + by + c = 0 $ yaitu $ \vec{u} = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $.
*). Menentukan hasil perkalian dot antara vektor $ \vec{u} $ dan $ \vec{AB} $ :
$ \vec{u} . \vec{AB} = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} x_2 - x_1 \\ y_2 - y_1 \end{matrix} \right) = a(x_2-x_1) + b(y_2-y_1) $
*). Berdasarkan pers (i) yaitu $ a(x_2-x_1) + b(y_2-y_1) = 0 $ , ini artinya $ \vec{u}. \vec{AB} = 0 $ . Karena perkalian dot antara vektor $ \vec{u} $ dan $ \vec{AB} $ hasilnya nol, maka vektor $ \vec{u} $ tegak lurus dengan vektor $ \vec{AB} $.
Jadi, terbukti bahwa $ \vec{u} = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $ tegak lurus dengan garis $ ax+by+c = 0 $, dimana vektor $ \vec{u} = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $ ini kita sebut sebagai vektor normal dari garis $ ax+by+c = 0 $ .

$ \clubsuit \, $ Pembuktian vektor normal bidang $ ax + by + cz + d = 0 $ :
       Misalkan kita pilih dua titik berlainan yaitu $ A(x_1,y_1,z_1) $ dan $ B(x_2,y_2,z_2) $ yang terletak pada bidang $ ax + by + cz+ d = 0 $ . Karena kedua titik A dan B terletak pada bidang, maka titik-titik tersebut bisa kita substitusikan ke persamaan bidangnya, yaitu :
$ A(x_1,y_1,z_1) \rightarrow ax_1 + by_1 + cz_1 + d = 0 $
$ B(x_2,y_2,z_2) \rightarrow ax_2 + by_2 + cz_2 + d = 0 $.
*). Kita eliminasi kedua bentuk persamaan di atas :
$ \begin{array}{cc} ax_2 + by_2 + cz_1 + d = 0 & \\ ax_1 + by_1 + cz_2 + d = 0 & - \\ \hline a(x_2-x_1) + b(y_2-y_1) + c(z_2-z_1) = 0 & \end{array} $
Kita peroleh bentuk :
$ a(x_2-x_1) + b(y_2-y_1) + c(z_2 - z_1) = 0 \, $ ..........(ii)
*). Dari kedua titik $ A(x_1,y_1,z_1) $ dan $ B(x_2,y_2,z_2) $ bisa kita bentuk vektor $ \vec{AB} $ yang berimpit dengan bidang $ ax + by + cz+ d = 0 $. Vektor $ \vec{AB} $ adalah :
$ \vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \left( \begin{matrix} x_2 \\ y_2 \ z_2 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} x_2 - x_1 \\ y_2 - y_1 \\ z_2 - z_1 \end{matrix} \right) $
*). Vektor normal garis $ ax + by + cz + d = 0 $ yaitu $ \vec{v} = \left( \begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix} \right) $.
*). Menentukan hasil perkalian dot antara vektor $ \vec{v} $ dan $ \vec{AB} $ :
$ \vec{v} . \vec{AB} = \left( \begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} x_2 - x_1 \\ y_2 - y_1 \\ z_2 - z_1 \end{matrix} \right) = a(x_2-x_1) + b(y_2-y_1) + c(z_2-z_1) $
*). Berdasarkan pers (ii) yaitu $ a(x_2-x_1) + b(y_2-y_1) + c(z_2 - z_1) = 0 $ , ini artinya $ \vec{v}. \vec{AB} = 0 $ . Karena perkalian dot antara vektor $ \vec{v} $ dan $ \vec{AB} $ hasilnya nol, maka vektor $ \vec{v} $ tegak lurus dengan vektor $ \vec{AB} $.
Jadi, terbukti bahwa $ \vec{v} = \left( \begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix} \right) $ tegak lurus dengan bidang $ ax+by+cz + d = 0 $, dimana vektor $ \vec{v} = \left( \begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix} \right) $ ini kita sebut sebagai vektor normal dari bidang $ ax+by+cz + d = 0 $ .

Contoh soal Vektor Normal Garis Lurus dan bidang :

1). Tentukan vektor normal dari persaman garis dan bidang berikut berikut ini :
a). $ 2x - 3y + 5 = 0 $
b). $ \frac{3x-1}{2} + \frac{2-2y}{3} = 4 $
c). $ -x + 2y + 3z = 10 = 0 $
Penyelesaian :
a). $ 2x - 3y + 5 = 0 $
dari bentuk $ 2x - 3y + 5 = 0 $, nilai $ a = 2 $ dan $ b = -3 $.
vektor normalnya adalah $ \left( \begin{matrix} 2 \\ -3 \end{matrix} \right) $.
b). $ \frac{3x-1}{2} + \frac{2-2x}{3} = 4 $
-). Kita ubah dulu menjadi bentuk $ ax + by + c = 0 $
$ \begin{align} \frac{3x-1}{2} + \frac{2-2y}{3} & = 4 \, \, \, \, \text{(kali 6)} \\ 6.\frac{3x-1}{2} + 6.\frac{2-2y}{3} & = 6.4 \\ 3(3x-1) + 2(2-2y) & = 24 \\ 9x-3 + 4 - 4y & = 24 \\ 9x - 4y & = 23 \\ 9x - 4y -23 & = 0 \end{align} $
Dari bentuk $ 9x - 4y - 23 = 0 $ , vektor normalnya adalah $ \left( \begin{matrix} 9 \\ -4 \end{matrix} \right) $.
c). $ -x + 2y + 3z = 10 = 0 $
dari bentuk $ -x + 2y + 3z = 10 = 0 $, nilai $ a = -1, b = 2 $ dan $ c = 3 $.
vektor normalnya adalah $ \left( \begin{matrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right) $.

2). Diketahui persamaan garis $ 3x - y + 1 = 0 $ dan $ kx + 6y - 2 = 0 $. Jika vektor normal kedua garis tersebut saling tegak lurus, maka tentukan nilai $ k $!
Penyelesaian :
*). Menentukan vektor normal masing-masing garis yaitu $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ :
$ 3x - y + 1 = 0 \rightarrow \vec{u} = \left( \begin{matrix} 3 \\ -1 \end{matrix} \right) $
$ kx + 6y - 2 = 0 \rightarrow \vec{v} = \left( \begin{matrix} k \\ 6 \end{matrix} \right) $
sehingga $ \vec{u} . \vec{v} = \left( \begin{matrix} 3 \\ -1 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} k \\ 6 \end{matrix} \right) = 3x - 6 $
*). Syarat tegak lurus adalah $ \vec{u} . \vec{v} = 0 $
$ \vec{u} . \vec{v} = 0 \rightarrow 3k - 6 = 0 \rightarrow k = 2 $.
Jadi, nilai $ k = 2 $.

3). Diketahui persamaan garis lurus $ -x + 2y + 3 = 0 $ dan $ 2x - y + 1 = 0 $. Jika $ \theta $ adalah sudut yang dibentuk oleh kedua garis tersebut, dengan konsep vektor normal garis, tentukan nilai dari $ \cos \theta $ !
Penyelesaian :
*). sudut yang dibentuk oleh kedua garis sama saja dengan sudut yang dibentuk oleh kedua vektor normalnya. Berikut vektor normal masing-masing garis :
$ -x + 2y + 3 = 0 \rightarrow \vec{u} = \left( \begin{matrix} -1 \\ 2 \end{matrix} \right) $
$ 2x - y + 1 = 0 \rightarrow \vec{v} = \left( \begin{matrix} 2 \\ -1 \end{matrix} \right) $
*). Menentukan nilai $ \cos \theta $ :
$ \begin{align} \vec{u}. \vec{v} & = |\vec{u}||\vec{v}| \cos \theta \\ \cos \theta & = \frac{ \vec{u}. \vec{v}}{ |\vec{u}||\vec{v}| } \\ & = \frac{ -1.2 + 2.(-1) }{ \sqrt{(-1)^2 + 2^2} \sqrt{2^2 + (-1)^2} } \\ & = \frac{ -4 }{ \sqrt{5} \sqrt{5} } \\ & = \frac{ -4 }{ 5 } \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos \theta = -\frac{4}{5} $.

       Demikian pembahasan materi Vektor Normal Garis Lurus dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "materi vektor tingkat SMA" yaitu "aplikasi vektor : jarak titik ke garis".

Komponen Vektor yang Tegak Lurus terhadap Vektor

         Blog Koma - Setelah mempelajari materi "proyeksi ortogonal vektor pada vektor", pada artikel ini kita lanjutkan dengan pembahasan materi Komponen Vektor yang Tegak Lurus terhadap Vektor. Materi Komponen Vektor yang Tegak Lurus terhadap Vektor ini sangat terkait dengan proyeksi vektor karena pengerjaannya melibatkan bentuk proyeksi vektor. Pada proyeksi vektor $ \vec{a} $ pada vektor $ \vec{b} $ menghasilkan vektor $ \vec{c} $ dimana vektor $ \vec{c} $ adalah "komponen vektor $ \vec{a} $ yang sejajar terhadap vektor $ \vec{b} $". Namun pada artikel ini kita lebih fokus pada komponen yang tegak lurus. Untuk memudahkan mempelajari materi Komponen Vektor yang Tegak Lurus terhadap Vektor, teman-teman harus menguasai materi "penjumlahan dan pengurangan vektor", "perkalian vektor dengan skalar", "perkalian dot dua vektor", "panjang vektor", dan tentunya materi "proyeksi vektor".

         Dalam mempelajari Komponen Vektor yang Tegak Lurus terhadap Vektor, perhatikan gambar berikut. Misalkan terdapat vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ di R$^2$ atau R$^3$ seperti tampak pada ilustrasi gambar berikut ini.
Komponen Vektor $ \vec{a} $ yang Tegak Lurus terhadap Vektor $ \vec{b} $ ditunjukkan oleh vektor $ \vec{p} $ (hasilnya adalah vektor $ \vec{p}$). Vektor $ \vec{c} $ adalah vektor proyeksi $ \vec{a} $ terhadap $ \vec{b} $ yang kita sebut sebagai komponen sejajar $ \vec{a} $ terhadap $ \vec{b} $.

Menentukan Komponen Vektor $ \vec{a} $ yang Tegak Lurus terhadap Vektor $ \vec{b} $
       Perhatikan ilustrasi gambar di atas, kita peroleh rumus :
$ \spadesuit, $ komponen yang sejajar
       Komponen yang sejajar adalah vektor $ \vec{c} $
$ \clubsuit \, $ Komponen yang tegak lurus
       Komponen vektor $ \vec{a} $ yang tegak lurus vektor $ \vec{b} $ adalah vektor $ \vec{c} $ yang dapat kita cari dengan cara :
              $ \begin{align} \vec{p} = \vec{a} - \vec{c} = \vec{a} - \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \end{align} $.

Contoh Soal Komponen Vektor yang Tegak Lurus terhadap Vektor :

1). Diketahui vektor $ \vec{a} = (1, -2, 3) $ dan $ \vec{b} = (-3, 1, 2) $. Tentukan :
a). Komponen vektor $ \vec{a} $ yang tegak lurus terhadap vektor $ \vec{b} $
b). Komponen vektor $ \vec{b} $ yang tegak lurus terhadap vektor $ \vec{a} $
Penyelesaian :
*). Menentukan perkalian dot dan panjang vektor :
$ \vec{a}.\vec{b} = \vec{b}.\vec{a} = 1.(-3) + -2.1 + 3.1 = -3 -2 + 6 = 1 $
$ |\vec{a}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14} $
$ |\vec{b}| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14} $
a). Komponen vektor $ \vec{a} $ yang tegak lurus terhadap vektor $ \vec{b} $
Misalkan hasilnya vektor $ \vec{p} $ :
$ \begin{align} \vec{p} & = \vec{a} - \vec{c} = \vec{a} - \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \\ & = (1, -2, 3) - \left( \frac{1}{(\sqrt{14})^2} \right) (-3, 1, 2) \\ & = (1, -2, 3) - \left( \frac{1}{14} \right) (-3, 1, 2) \\ & = (1, -2, 3) - \left( -\frac{3}{14}, \frac{1}{14}, \frac{2}{14} \right) \\ & = \left( \frac{14}{14}, -\frac{28}{14}, \frac{42}{14} \right) - \left( -\frac{3}{14}, \frac{1}{14}, \frac{2}{14} \right) \\ & = \left( \frac{17}{14}, -\frac{29}{14}, \frac{40}{14} \right) \end{align} $
Sehingga Komponen vektor $ \vec{a} $ yang tegak lurus terhadap vektor $ \vec{b} $ adalah $ \left( \frac{17}{14}, -\frac{29}{14}, \frac{40}{14} \right) $.

b). Komponen vektor $ \vec{b} $ yang tegak lurus terhadap vektor $ \vec{a} $
Misalkan hasilnya vektor $ \vec{q} $ :
$ \begin{align} \vec{q} & = \vec{b} - \vec{c} = \vec{b} - \left( \frac{\vec{b}.\vec{a}}{|\vec{a}|^2} \right) \vec{a} \\ & = (-3, 1, 2) - \left( \frac{1}{(\sqrt{14})^2} \right) (1, -2, 3) \\ & = (-3, 1, 2) - \left( \frac{1}{14} \right) (1, -2, 3) \\ & = (-3, 1, 2) - \left( \frac{1}{14}, -\frac{2}{14}, \frac{3}{14} \right) \\ & = \left( -\frac{42}{14}, \frac{14}{14}, \frac{28}{14} \right) - \left( \frac{1}{14}, -\frac{2}{14}, \frac{3}{14} \right) \\ & = \left( -\frac{43}{14}, \frac{16}{14}, \frac{25}{14} \right) \end{align} $
Sehingga Komponen vektor $ \vec{b} $ yang tegak lurus terhadap vektor $ \vec{a} $ adalah $ \left( -\frac{43}{14}, \frac{16}{14}, \frac{25}{14} \right) $.

2). Diketahui $ \vec{ a} = ( x, 0 , 2) $, $ \vec{b} = (1, 1, -1) $ dan komponen vektor $ \vec{a} $ terhadap vektor $ \vec{b} $ adalah $ (0, 1, 1) $. Tentukan nilai $ x $!
Penyelesaian :
*). Misalkan komponen tegak lurusnya adalah $ \vec{p} = (0, 1,1) $.
*). Menentukan perkalian dot dan panjang vektor :
$ \vec{a}. \vec{b} = x. 1 + 0.1 + 2.(-1) = x - 2 $
$ |\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3} $
*). Menentukan nilai $ x $ :
$ \begin{align} \vec{p} & = \vec{a} - \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \\ (0, 1, 1) & = ( x, 0 , 2) - \left( \frac{x - 2}{(\sqrt{3})^2} \right) (1, 1, -1) \\ (0, 1, 1) & = ( x, 0 , 2) - \left( \frac{x - 2}{3} \right) (1, 1, -1) \\ (0, 1, 1) & = ( x, 0 , 2) - \left( \frac{x - 2}{3} , \frac{x - 2}{3} , -\frac{x - 2}{3} \right) \\ (0, 1, 1) & = \left( x - \frac{x - 2}{3} , 0 - \frac{x - 2}{3} , 2 + \frac{x - 2}{3} \right) \\ (0, 1, 1) & = \left( x - \frac{x - 2}{3} , - \frac{x - 2}{3} , 2 + \frac{x - 2}{3} \right) \end{align} $
Dari kesamaan dua vektor ini kita pilih yang termudah dihitung yaitu yang tengah :
$ 1 = - \frac{x - 2}{3} \rightarrow x-2 = -3 \rightarrow x = -1 $.
Jadi, nilai $ x = -1 $.

$ \clubsuit \, $ pembuktian Rumus Komponen Vektor yang Tegak Lurus terhadap Vektor :
Perhatikan ilustrasi gambar beriut,
-). Vektor $ \vec{c} $ adalah vektor proyeksi $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $
$ \, \, \, \, \, \, \vec{c} = \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} $ .
-). Perhatikan vektor $ \vec{a} $ , $ \vec{c} $ , dan $ \vec{p} $ . Berdasarkan aturan penjumlahan secara geometri yaitu aturan jajargenjang, maka kita peroleh :
$ \begin{align} \vec{a} & = \vec{c} + \vec{p} \\ \vec{p} & = \vec{a} - \vec{c} \\ \vec{p} & = \vec{a} - \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \end{align} $
Jadi, terbukti bahwa komponen tegak lurusnya adalah $ \vec{p} = \vec{a} - \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} $.

       Demikian pembahasan materi Komponen Vektor yang Tegak Lurus terhadap Vektor dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "Materi vektor tingkat SMA" yang ada pada setiap bagian akhir dari artikel. Terima kasih.

Proyeksi Ortogonal Vektor pada Vektor

         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas materi Proyeksi Ortogonal Vektor pada Vektor. Seperti penjelasan pada "pengertian vektor dan penulisannya", vektor dapat kita sajikan dalam bentuk geometri (dalah bentuk gambar yang diwakili sebuah garis berarah). Karena dalam bentuk garis berarah, maka kita dapat melakukan proyeksi satu garis ke garis lainnya (dalam hal ini adalah vektor ke vektor). Untuk pengertian proyeksi secara mendetail, silahkan baca artikel "Cara Proyeksi Titik, Garis, dan Bidang". Sementara kata "Ortogonal" memiliki makna yang terkait dengan tegak lurus. Proyeksi Ortogonal Vektor pada Vektor menghasilkan sebuah vektor. Ada tiga hal yang akan kita bahas berkaitan dengan Proyeksi Ortogonal Vektor pada Vektor yaitu "proyeksi skalar vektor pada vektor (menentukan skalarnya)", "proyeksi vektor pada vektor (menentukan vektornya)", dan "panjang proyeksi vektor pada vektor". Untuk lebih jelasnya, mari kita perhatikan ilustrasi gambar "Proyeksi Ortogonal Vektor pada Vektor" berikut ini.

         Misalkan kita akan memproyeksikan vektor $ \vec{a} $ pada vektor $ \vec{b} $ seperti tampak pada ilustrasi gambar 1 di atas. Proyeksi Ortogonal Vektor $ \vec{a} $ pada Vektor $ \vec{b} $ menghasilkan vektor $ \vec{c} $ dimana ujung vektor $ \vec{c} $ dibatasi oleh sebuah garis tegak lurus terhadap vektor $ \vec{b} $ yang ditarik dari ujung vektor $ \vec{a} $ ke vektor $ \vec{b} $. Ada tiga hal yang bisa kita tentukan yaitu :
(I). Skalarnya yaitu besar dan arah $ \vec{c} $ terhadap vektor $ \vec{b} $,
Jika positif, maka $ \vec{c} $ searah dengan vektor $ \vec{b} $ dan
Jika negatif, maka $ \vec{c} $ berlawanan arah dengan vektor $ \vec{b} $
Jika besarnya nol, maka $ \vec{a} $ tegak lurus $ \vec{b} $
(II). Vektor $ \vec{c} $ itu sendiri (vektor hasil proyeksi)
(III). Panjang vektor $ \vec{c} $ (panjang vektor hasil proyeksinya yang nilainya selalu positif).

         Untuk memudahkan mempelajari materi Proyeksi Ortogonal Vektor pada Vektor ini, sebaiknya kita harus menguasai materi "perkalian dot dua vektor" dan "panjang vektor", karena kedua materi ini yang berkaitan langsung pada penghitungan-penghitungan berkaitan Proyeksi Ortogonal Vektor pada Vektor.

Rumus-rumus berkaitan Proyeksi Ortogonal Vektor pada Vektor
       Perhatikan ilustrasi gambar 1 Proyeksi Ortogonal Vektor pada Vektor di atas. Berikut rumus-rumus yang berkaitan dengan Proyeksi Ortogonal Vektor pada Vektor, yaitu :

$ \clubsuit \, $ Proyeksi Skalar Ortogonal vektor $ \vec{a} $ pada vektor $ \vec{b} $ :
       Proyeksi skalar $ = \begin{align} \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|} \end{align} $
$ \spadesuit \, $ Proyeksi vektor Ortogonal $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $ :
       Proyeksi vektor $ = \begin{align} \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \end{align} $
$ \heartsuit \, $ Panjang Proyeksi vektor Ortogonal $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $ :
       Panjang Proyeksi $ = \begin{align} \left| \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|} \right| \end{align} $

Catatan :
*). Bentuk $ \vec{a}.\vec{b} $ artinya perkalian dot dan $ |\vec{b}| $ adalah panjang vektor $ \vec{b} $.
*). Trik mengingat rumusnya adalah tergantung kata "pada" dimana vektor kedua setelah kata "pada" selalu sebagai pembagi, misalkan :
-). Proyeksi Ortogonal vektor $ \vec{b} $ pada vektor $ \vec{a} $, rumusnya :
Proyeksi skalar $ = \begin{align} \frac{\vec{b}.\vec{a}}{|\vec{a}|} \end{align} $,
Proyeksi vektor $ = \begin{align} \left( \frac{\vec{b}.\vec{a}}{|\vec{a}|^2} \right) \vec{a} \end{align} $,
Panjang Proyeksi $ = \begin{align} \left| \frac{\vec{b}.\vec{a}}{|\vec{a}|} \right| \end{align} $ .
*). Sesuai sifat perkalian dot yaitu $ \vec{a}.\vec{b} = \vec{b}.\vec{a} $
*). Proyeksi Ortogonal $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $ dapat ditulis $ \begin{align} \text{Proy}_\vec{b} \vec{a} \end{align} $.
*). Kata "Ortogonal" boleh kita tulis atau juga boleh tidak karena proyeksi pasti tegak lurus.
*). Untuk menentukan panjang proyeksi vektor, kita boleh mencari dulu hasil proyeksi vektornya kemudian menentukan panjangnya.
*). Untuk pembuktian rumus-rumus di atas, akan kita sajikan di bagian akhir setelah contoh-contoh soalnya.

Contoh soal Proyeksi Ortogonal Vektor pada Vektor :

1). Diketahui vektor $ \vec{a} = (2, -1, 3) $ dan vektor $ \vec{b} = (-1, 2, -2) $ . Tentukan :
a). Proyeksi skalar $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $
b). Proyeksi skalar $ \vec{b} $ pada $ \vec{a} $
c). Proyeksi vektor $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $
d). Proyeksi vektor $ \vec{b} $ pada $ \vec{a} $
e). Panjang proyeksi $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $
f). Panjang proyeksi $ \vec{b} $ pada $ \vec{a} $
Penyelesaian :
a). Proyeksi skalar $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $
$ \begin{align} \text{Proyeksi skalar } & = \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|} \\ & = \frac{(2, -1, 3).(-1, 2, -2)}{\sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-2)^2} } \\ & = \frac{2.(-1) + -1. 2 + 3. (-2) }{\sqrt{9} } \\ & = \frac{-2 - 2 - 6 }{3} \\ & = \frac{-10}{3} \end{align} $

b). Proyeksi skalar $ \vec{b} $ pada $ \vec{a} $
$ \begin{align} \text{Proyeksi skalar } & = \frac{\vec{b}.\vec{a}}{|\vec{a}|} \\ & = \frac{(-1, 2, -2).(2, -1, 3)}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2} } \\ & = \frac{-1.2 + 2.(-1) + -2.3}{\sqrt{4 + 1 + 9} } \\ & = \frac{-2 - 2 - 6 }{\sqrt{14}} \\ & = \frac{-10}{\sqrt{14}} \end{align} $

c). Proyeksi vektor $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $
$ \begin{align} \text{Proyeksi vektor } & = \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \\ & = \left( \frac{-10}{3^2} \right) (-1, 2, -2) \\ & = \left( \frac{-10}{9} \right) (-1, 2, -2) \\ & = \left( \frac{10}{9} , -\frac{20}{9} , \frac{20}{9} \right) \end{align} $

d). Proyeksi vektor $ \vec{b} $ pada $ \vec{a} $
$ \begin{align} \text{Proyeksi vektor } & = \left( \frac{\vec{b}.\vec{a}}{|\vec{a}|^2} \right) \vec{a} \\ & = \left( \frac{-10}{(\sqrt{14})^2} \right) (2, -1, 3) \\ & = \left( \frac{-10}{14} \right) (2, -1, 3) \\ & = \left( \frac{-5}{7} \right) (2, -1, 3) \\ & = \left( -\frac{10}{7} , \frac{5}{7} , -\frac{15}{7} \right) \end{align} $

e). Panjang proyeksi $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $
$ \begin{align} \text{Panjang proyeksi } & = \left| \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|} \right| \\ & = \left| \frac{-10}{3} \right| \\ & = \frac{10}{3} \end{align} $

f). Panjang proyeksi $ \vec{b} $ pada $ \vec{a} $
$ \begin{align} \text{Panjang proyeksi } & = \left| \frac{\vec{b}.\vec{a}}{|\vec{a}|} \right| \\ & = \left| \frac{-10}{\sqrt{14}} \right| \\ & = \frac{10}{\sqrt{14}} \end{align} $

2). Tentukan proyeksi vektor $ \vec{p} = (2, 4) $ pada $ \vec{q} = (6 , 2) $ dan panjang proyeksi vektor itu!
Penyelesaian :
*). Misalkan hasil proyeksinya adalah vektor $ \vec{u} $ seperti gambar berikut,
*). Menentukan proyeksi vektor $ \vec{p} $ pada $ \vec{q} $ :
$ \begin{align} \vec{u} & = \left( \frac{\vec{p}.\vec{q}}{|\vec{q}|^2} \right) \vec{q} \\ & = \left( \frac{2.6 + 4.2}{(\sqrt{6^2 + 2^2})^2} \right) (6 , 2) \\ & = \left( \frac{12 + 8}{(\sqrt{40})^2} \right) (6 , 2) \\ & = \left( \frac{20}{40} \right) (6 , 2) \\ & = \left( \frac{1}{2} \right) (6 , 2) \\ & = (3 , 1) \end{align} $
Sehingga vektor proyeksinya adalah $ (3, 1) $.
*). Menentukan panjang vektor proyeksinya :
Panjang proyeksi $ = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10} $.
Sehingga panjang vektor proyeksinya adalah $ \sqrt{10} $.

Catatan :
Untuk menentukan panjang proyeksi pada contoh soal nomor 2 ini, kita tidak perlu mencari hasil vektor proyeksinya terlebih dahulu, melainnya bisa langsung menggunakan rumus panjang proyeksi vektornya yaitu :
Panjang proyeksi $ = \left| \frac{\vec{p}.\vec{q}}{|\vec{q}|} \right| = \frac{20}{\sqrt{40}} = \frac{20}{40} \sqrt{40} = \frac{1}{2}. 2\sqrt{10} = \sqrt{10} $.

3). Diketahui titik-titik $ A(-3,1,2) $ , $ B(2,2,1) $ dan $ C(-1,0,3)$. Tentukan proyeksi vektor $ \vec{AB} $ pada $ \vec{BC} $!
Penyelesaian :
*). Menentukan $ \vec{AB} $ dan $ \vec{BC} $ :
$ \vec{AB} = B - A = (2 - (-3) , 2 - 1, 1 - 2) = (5, 1, -1) $
$ \vec{BC} = C - B = (-1 - 2 , 0-2, 3 - 1) = (-3, -2, 2) $.
*). Hasil proyeksi vektor $ \vec{AB} $ pada $ \vec{BC} $ misalkan $ \vec{r} $ :
$ \begin{align} \vec{r} & = \left( \frac{\vec{AB}.\vec{BC}}{|\vec{BC}|^2} \right) \vec{BC} \\ & = \left( \frac{5.(-3) + 1.(-2) + -1.2}{(\sqrt{(-3)^2 + (-2)^2 + 2^2})^2} \right) (-3, -2, 2) \\ & = \left( \frac{-15 - 2 - 2}{(\sqrt{9 + 4 + 4})^2} \right) (-3, -2, 2) \\ & = \left( \frac{-19}{(\sqrt{17})^2} \right) (-3, -2, 2) \\ & = \left( \frac{-19}{17} \right) (-3, -2, 2) \\ & = \left( \frac{57}{17} , \frac{38}{17} , -\frac{38}{17} \right) \end{align} $
Jadi, hasil proyeksinya adalah $ \left( \frac{57}{17} , \frac{38}{17} , -\frac{38}{17} \right) $.

4). Diketahui vektor-vektor $ \vec{u} = (-1,1,-4) $ dan $ \vec{v} = ( 2, -1,3) $ . Tentukan proyeksi skalar dan proyeksi vektor $ (2\vec{u} + 3\vec{v}) $ pada $ -2\vec{v} $!
Penyelesaian :
*). Untuk memudahkan dan penyingkatan dalam penulisan, kita misalkan :
$ \vec{a} = (2\vec{u} + 3\vec{v}) = (-2,2,-8) + ( 6, -3,9) = (4, -1 , 1) $
$ \vec{b} = -2 \vec{v} = ( -4, 2,-6) $
Yang kita cari sama saja proyeksi skalar dan proyeksi vektor $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $.
*). Menentukan proyeksi skalar $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $
$ \begin{align} \text{Proyeksi skalar } & = \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|} \\ & = \frac{4.(-4) + (-1). 2 + 1. (-6)}{\sqrt{(-4)^2 + 2^2 + (-6)^2} } \\ & = \frac{-16 - 2 - 6}{\sqrt{16 + 4 + 36 } } \\ & = \frac{-24}{\sqrt{56} } \\ & = \frac{-24}{56} \sqrt{56} \\ & = -\frac{3}{7} \sqrt{56} \end{align} $
sehingga proyeksi skalarnya adalah $ -\frac{3}{7} \sqrt{56} $.
*). Menentukan proyeksi vektor $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $
Kita gunakan hasil di atas :
$ \begin{align} \text{Proyeksi vektor } & = \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \\ & = \left( \frac{-24}{(\sqrt{56})^2} \right) ( -4, 2,-6) \\ & = \left( \frac{-24}{56} \right) ( -4, 2,-6) \\ & = \left( -\frac{3}{7} \right) ( -4, 2,-6) \\ & = \left( \frac{12}{7}, -\frac{6}{7}, \frac{18}{7} \right) \end{align} $
Sehingga hasil proyeksi vektornya adalah $ \left( \frac{12}{7}, -\frac{6}{7}, \frac{18}{7} \right) $.

5). Diketahui vektor $ \vec{p} = 2\vec{i}+\vec{j} +2\vec{k} $ dan $ \vec{q} = 3\vec{i} + b\vec{j} + \vec{k} $. Jika $ |\vec{r}| $ adalah panjang proyeksi vektor $ \vec{q} $ pada $ \vec{p} $ dan $ |\vec{r}| = 4 $, maka tentukan nilai $ b $!
Penyelesaian :
*). Diketahui vektor $ \vec{p} = (2, 1, 2) $ dan $ \vec{q} = (3, b, 1) $ .
*). Menentukan nilai $ b $ dengan proyeksi ortogonal $ \vec{q} $ pada $ \vec{p} $ :
$ \begin{align} \text{Panjang proyeksi } & = \left| \frac{\vec{q}.\vec{p}}{|\vec{p}|} \right| \\ |\vec{r}| & = \left| \frac{\vec{q}.\vec{p}}{|\vec{p}|} \right| \\ 4 & = \left| \frac{ 2.3 + 1.b + 2.1 }{ \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2 } } \right| \\ 4 & = \left| \frac{ b + 8 }{ \sqrt{9} } \right| \\ 4 & = \left| \frac{ b + 8 }{ 3 } \right| \\ | b + 8 | & = 12 \\ b & = 4 \vee b = -20 \end{align} $
Jadi, nilai $ b $ yang mungkin adalah $ b = -20 $ atau $ b = 4 $.

6). Tentukan proyeksi vektor $ \vec{a} = (2,0,1) $ pada vektor $ \vec{b} $ yang sejajar dan sama panjang tetapi berlawanan arah dengan vektor $ \vec{c} = (0, 2, -2 ) $ !
Penyelesaian :
*). Vektor $ \vec{b} = - \vec{c} = -(0, 2, -2) = (0, -2, 2) $.
*). Menentukan proyeksi vektor $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $ :
$ \begin{align} \text{Proyeksi vektor } & = \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \\ & = \left( \frac{2.0 + 0. (-2) + 1.2}{(\sqrt{0^2 + (-2)^2 + 2^2 })^2 } \right) (0, -2, 2) \\ & = \left( \frac{2}{(\sqrt{8 })^2 } \right) (0, -2, 2) \\ & = \left( \frac{2}{8 } \right) (0, -2, 2) \\ & = \left( \frac{1}{4 } \right) (0, -2, 2) \\ & = \left( 0, -\frac{1}{2} , \frac{1}{2} \right) \end{align} $
Jadi, hasil proyeksi vektornya adalah $ \left( 0, -\frac{1}{2} , \frac{1}{2} \right) $.

7). Diketahui $ \vec{a} = (4, 2, -3) $ dan $ \vec{b} = (-1, 2, -2) $. Vektor $ \vec{c} $ merupakan proyeksi ortogonal vektor $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $. Jika $ \vec{u} = ( -1, 1, z) $ memiliki panjang yang sama dengan vektor $ \vec{c} $ , maka tentukan nilai $ z $!
Penyelesaian :
*). Menentukan panjang vektor $ \vec{u} $ :
$ |\vec{u}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + z^2 } = \sqrt{z^2 + 2} $
*). Menentukan panjang proyeksi vektor $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $ (panjang vektor $ \vec{c}$) :
$ \begin{align} \text{Panjang proyeksi } & = \left| \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|} \right| \\ |\vec{c}| & = \left| \frac{4.(-1) + 2.2 + (-3). (-2) }{\sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-2)^2 } } \right| \\ & = \left| \frac{-4 + 4 + 6}{\sqrt{9} } \right| \\ & = \left| \frac{6}{3} \right| \\ & = 2 \end{align} $

*). Menentukan nilai $ z $ dengan $ |\vec{u}| = |\vec{c}| $ :
$ \begin{align} |\vec{u}| & = |\vec{c}| \\ \sqrt{z^2 + 2} & = 2 \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ (\sqrt{z^2 + 2})^2 & = 2^2 \\ z^2 + 2 & = 4 \\ z^2 & = 2 \\ z & = \pm 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ z = -\sqrt{2} $ atau $ z = \sqrt{2} $ .

8). Diketahui $ \vec{a} = (-4, 2) $ dan $ \vec{b} = ( 3, x ) $, $ x $ bilangan bulat positif. Vektor $ \vec{q} $ merupakan proyeksi $ \vec{a} $ ke $ \vec{b} $ dan $ \theta $ sudut yang dibentuk oleh $ \vec{a} $ dan $ \vec{q} $. Jika $ \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}} $ , maka tentukan $ \vec{q} $!
Penyelesaian :
*). Vektor $ \vec{q} $ adalah hasil proyeksi $ \vec{a} $ ke $ \vec{b} $, artinya $ \vec{q} $ terletak pada vektor $ \vec{b} $ sehingga sudut antara $ \vec{a} $ dan $ \vec{q} $ sama saja dengan sudut antara $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ .
*). Kita memiliki rumus $ \vec{a}.\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta $
*). Menentukan nilai $ x $ dengan perkalian dot :
$ \begin{align} \vec{a}.\vec{b} & = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \\ (-4, 2).( 3, x ) & = \sqrt{(-4)^2 + 2^2} . \sqrt{3^2 + x^2} . \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -4.3 + 2.x & = \sqrt{20} . \sqrt{x^2 + 9} . \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -4.3 + 2.x & = \frac{\sqrt{20} }{\sqrt{2}} . \sqrt{x^2 + 9} \\ -12 + 2x & = \sqrt{10} . \sqrt{x^2 + 9} \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ 4x^2 - 48x + 144 & = 10(x^2 + 9) \\ 4x^2 - 48x + 144 & = 10x^2 + 90 \\ 6x^2 + 48x -54 & = 0 \\ x^2 + 8x -9 & = 0 \\ (x + 9)(x-1) & = 0 \\ x = -9 \vee x = 1 \end{align} $
Karena $ x $ positifi, maka $ x = 1 $ yang memenuhi.
Sehingga vektor $ \vec{a} = (-4, 2) $ dan $ \vec{b} = ( 3, x ) = ( 3, 1) $.
*). Menetukan vektor $ \vec{q} $ yaitu proyeksi vektor $ \vec{a} $ ke $ \vec{b} $ :
$ \begin{align} \text{Proyeksi vektor } & = \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \\ \vec{q} & = \left( \frac{-4.3 + 2.1}{(\sqrt{3^2 + 1^2})^2 } \right) ( 3, 1) \\ & = \left( \frac{-10}{(\sqrt{10})^2 } \right) ( 3, 1) \\ & = \left( \frac{-10}{10} \right) ( 3, 1) \\ & = \left( -1\right) ( 3, 1) \\ & = (-3,-1) \end{align} $
Jadi, hasil proyeksi vektornya adalah $ \vec{q} = (-3,-1) $.

9). Diketahui vektor $ \vec{u} $ dan vektor $ \vec{v} $ membentuk sudut $ \theta $. Jika panjang proyeksi $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ sama dengan tiga kali panjang $ \vec{v} $ , maka tentukan perbandingan panjang $ \vec{u} $ terhadap panjang $ \vec{v} $!
Penyelesaian :
*). Diketahui panjang proyeksi $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} = 3|\vec{v}| $
*). Menentukan perbandingannya dengan panjang proyeksi $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ dan rumus perkalian dot :
$ \begin{align} \text{Panjang proyeksi } & = \left| \frac{\vec{u}.\vec{v}}{|\vec{v}|} \right| \\ 3|\vec{v}| & = \left| \frac{|\vec{u}||\vec{v}| \cos \theta }{|\vec{v}|} \right| \\ 3|\vec{v}| & = \left| |\vec{u}| \cos \theta \right| \\ 3|\vec{v}| & = |\vec{u}| \cos \theta \\ \frac{3}{ \cos \theta } & = \frac{ |\vec{u}| }{|\vec{v}|} \end{align} $
Jadi, perbandingan panjang $ \vec{u} $ terhadap panjang $ \vec{v} $ adalah $ |\vec{u}| : |\vec{v}| = 3 : \cos \theta $.

10). Diketahui vektor $ \vec{a} $ dan vektor $ \vec{b} $ membentuk sudut $ \theta $. Jika panjang proyeksi vektor $ \vec{b} $ pada $ \vec{a} $ sama dengan $ 2 \sin \theta $ dan panjang vektor $ \vec{b} $ adalah 1, maka tentukan $ \tan 2\theta $!
(Soal UM-UGM)
Penyelesaian :
*). Rumus dasar trigonometri :
$ \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} $ dan $ \tan 2 \theta = \frac{2\tan \theta}{1 - \tan ^2 \theta } $
*). Diketahui panjang proyeksi $ \vec{b} $ pada $ \vec{a} = 2 \sin \theta $.
*). Panjang proyeksi vektor $ \vec{b} $ pada $ \vec{a} $ dan perkalian dot :
$ \begin{align} \text{Panjang proyeksi } & = \left| \frac{\vec{b}.\vec{a}}{|\vec{a}|} \right| \\ 2 \sin \theta & = \left| \frac{|\vec{b}||\vec{a}| \cos \theta}{|\vec{a}|} \right| \\ 2 \sin \theta & = \left| |\vec{b}| \cos \theta \right| \\ 2 \sin \theta & = 1. \cos \theta \\ 2 \sin \theta & = \cos \theta \\ \frac{ \sin \theta }{\cos \theta } & = \frac{1}{2} \\ \tan \theta & = \frac{1}{2} \end{align} $
*). Menetukan nilai $ \tan 2\theta $ :
$\begin{align} \tan 2 \theta = \frac{2\tan \theta}{1 - \tan ^2 \theta } = \frac{2. \frac{1}{2}}{1 - (\frac{1}{2})^2} = \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3} \end{align} $.
Jadi, nilai $ \tan 2\theta = \frac{4}{3} $.

$ \spadesuit \, $ Pembuktian rumus-rumus berkaitan Proyeksi Ortogonal Vektor pada Vektor :
Perhatikan gambar ilustrasi I di bawah ini.
Vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{c} $ membentuk sudut $ \theta $ dan terbentuk segitiga siku-siku.
sehingga $ \cos \theta = \frac{|\vec{c}|}{|\vec{a}|} $
*). Pembuktian rumus proyeksi skalar $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $ dan panjangnya :
-). Perkalian dot $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ :
$ \begin{align} \vec{a} . \vec{b} & = |\vec{a}|| \vec{b}| \cos \theta \\ \vec{a} . \vec{b} & = |\vec{a}|| \vec{b}| \frac{|\vec{c}|}{|\vec{a}|} \\ \vec{a} . \vec{b} & = |\vec{b}|| \vec{c}| \\ |\vec{c}| & = \frac{ \vec{a} . \vec{b} }{ |\vec{b}|} \end{align} $
-). Karena $ \vec{a} . \vec{b} $ nilainya bisa positif atau negatif, sementara bentuk $ |\vec{c}| $ menyatakn panjang vektor $ \vec{c} $ yang nilainya selalu popsitif, maka bentuk $ \frac{ \vec{a} . \vec{b} }{ |\vec{b}|} $ menghasilkan besar (panjangnya) dan arah (positif atau negatif). Besarnya saja kita sebut sebagai panjang proyeksinya (panjang vektor $ \vec{c}$) yang selalu positif, sementara besar dan arah kita sebut sebagai proyeksi skalar dengan rumusnya yaitu :
Proyeksi skalar $ = \begin{align} \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|} \end{align} $
Panjang Proyeksi $ = \begin{align} \left| \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|} \right| \end{align} $

*). Pembuktian rumus proyeksi vektor $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $ :
-). Pada pembuktian di atas, kita telah memperoleh proyeksi skalar $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $ yaitu besar dan arah $ \vec{c} $. Karena skalar $ \vec{c} $ sudah kita peroleh dan $ \vec{c} $ berimpit dengan vektor $ \vec{b} $ maka vektor $ \vec{c} $ adalah hasil dari perkalian skalarnya dengan vektor satuan dari vektor $ \vec{b} $.
$ \begin{align} \vec{c} & = (\text{skalar }) \vec{e}_\vec{b} \\ & = \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|} \right) \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|} \\ & = \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \end{align} $
Sehingga rumus proyeksi vektor $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $ :
Proyeksi vektor $ = \begin{align} \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \end{align} $

*). Pembuktian cara II rumus proyeksi vektor :
-).pada ilustrasi gambar, misalkan garis putus-putus warna merah kita anggap sebagai sebuah vektor $ \vec{d} $ yang tegak lurus vektor $ \vec{b} $, sehingga $ \vec{d} . \vec{b} = 0 $. Berdasarkan penjumlahan vektor secara geometri yaitu aturan segitiga kita peroleh $ \vec{a} = \vec{c} + \vec{d} $.
-). Vektor $ \vec{c} $ sejajar vektor $ \vec{b} $ sehingga $ \vec{c} = n \vec{b} $ dan sudutnya $ 0^\circ $.
$ \vec{b}. \vec{c} = |\vec{b}||n\vec{b}| \cos 0^\circ = n|\vec{b}|^2 $
-). Menentukan nilai $ n $ dengan perkalian dot dan sifat perkalian dot :
$ \begin{align} \vec{a} . \vec{b} & = (\vec{c} + \vec{d}) . \vec{b} \\ \vec{a} . \vec{b} & = \vec{c}. \vec{b} + \vec{d} . \vec{b} \\ \vec{a} . \vec{b} & = \vec{c}. \vec{b} + 0 \\ \vec{a} . \vec{b} & = \vec{c}. \vec{b} \\ \vec{a} . \vec{b} & = n|\vec{b}|^2 \\ n & = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \end{align} $
sehingga vektor $ \vec{c} $ yaitu :
$ \begin{align} \vec{c} & = n \vec{b} = \left( \frac{\vec{a} . \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \end{align} $
Jadi, rumus Proyeksi vektor $ = \begin{align} \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \end{align} $ .

       Demikian pembahasan materi Proyeksi Ortogonal Vektor pada Vektor dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "materi vektor tingkat SMA" yaitu "komponen tegak lurus vektor pada vektor".

Sifat Operasi Perkalian Dot dan Perkalian Silang

         Blog Koma - Setelah mempelajari materi "perkalian dot dua vektor" dan "perkalian silang dua vektor" , pada artikel ini kita lanjutkan dengan pembahasan artikel Sifat Operasi Perkalian Dot dan Perkalian Silang. Pada soal-soal seleksi masuk PTN seperti SBMPTN atau seleksi mandiri masuk PTN (perguruan tinggi negeri), soal-soal yang dikeluarkan tidak melulu dalam bentuk hitungan melainkan berkaitan dengan sifat-sifatnya seperti Sifat Operasi Perkalian Dot dan Perkalian Silang jika berkaitan dengan vektor. Pada halaman ini, kita akan menyajikan masing-masing Sifat Operasi Perkalian Dot dan Perkalian Silang yang diikuti dengan pembuktiannya. Setelah itu baru kita pelajari beberapa contoh soalnya. Untuk memudahkan mempelajari Sifat Operasi Perkalian Dot dan Perkalian Silang ini, sebaiknya teman-teman harus menguasai terlebih dahulu materi perkalian dot dan perkalian silang dengan baik karena pada pembuktiannya kita langsung menggunakan perhitungan sesuai definisi perkalian dot dan perkalian silangnya. Berikut Sifat Operasi Perkalian Dot dan Perkalian Silang.

Sifat-sifat Operasi Perkalian Dot
       Misalkan vektor-vektor $ \vec{a} $ , $ \vec{b} $ dan $ \vec{c} $ di R$^2 $ atau di R$^3$ serta $ k $ skalar tak nol. Sifat-sifat Operasi Perkalian Dot yaitu :
1). $ \vec{a}. \vec{b} = \vec{b} . \vec{a} \, $ (sifat komutatif)
2). $ \vec{a} . (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} . \vec{b} + \vec{a} . \vec{c} \, $ (sifat distributif)
3). $ (\vec{a} +\vec{b}).\vec{c} = \vec{a} . \vec{c} + \vec{b} . \vec{c} \, $ (sifat distributif)
4). $ k(\vec{a}.\vec{b}) = (k\vec{a}).\vec{b} = \vec{a}.(k\vec{b}) $
5). $ \vec{a}. \vec{a} = |\vec{a}|^2 $
6). Jika $ \vec{a} \neq 0 $ , $ \vec{b} \neq 0 $ dan $ \vec{a}. \vec{b} = 0 $ , maka $ \vec{a} $ tegak lurus $ \vec{b} $

$ \clubsuit \, $ Pembuktian Sifat-sifat Operasi Perkalian Dot :
       Misalkan vektor-vektor $ \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) $ , $ \vec{b} = (b_1,b_2,b_3) $ dan $ \vec{c} = (c_1,c_2,c_3) $ di R$^3$ serta $ k $ skalar tak nol. (teman-teman juga bisa menggunakan vektor-vektor di R$^2$).
*). Pembuktian sifat (1) :
$ \begin{align} \vec{a}. \vec{b} & = (a_1, a_2, a_3) . (b_1,b_2,b_3) \\ & = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 \\ & = b_1a_1 + b_2a_2 + b_3a_3 \\ & = (b_1,b_2,b_3) . (a_1, a_2, a_3) \\ & = \vec{b}. \vec{a} \end{align} $
Terbukti $ \vec{a}. \vec{b} = \vec{b} . \vec{a} $

*). Pembuktian sifat (2) :
$ \begin{align} \vec{a} (\vec{b} + \vec{c}) & = (a_1, a_2, a_3). [(b_1,b_2,b_3) + (c_1,c_2,c_3)] \\ & = (a_1, a_2, a_3). (b_1+c_1,b_2+c_2,b_3+c_3) \\ & = a_1(b_1+c_1) + a_2(b_2+c_2) + a_3(b_3+c_3) \\ & = a_1b_1+a_1c_1 + a_2b_2+a_2c_2 + a_3b_3+b_3c_3 \\ & = (a_1b_1+a_2b_2 + a_3b_3) +( a_1c_1 +a_2c_2 +b_3c_3) \\ & = \vec{a} . \vec{b} + \vec{a} . \vec{c} \end{align} $
Terbukti $ \vec{a} (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} . \vec{b} + \vec{a} . \vec{c} $

*). Pembuktian Sifat (3) :
$ \begin{align} (\vec{a} +\vec{b}).\vec{c} & = [(a_1, a_2, a_3) + (b_1,b_2,b_3)].(c_1,c_2,c_3) \\ & = (a_1+b_1, a_2+b_2, a_3+b_3).(c_1,c_2,c_3) \\ & = (a_1+b_1)c_1+ (a_2+b_2)c_2+ (a_3+b_3)c_3 \\ & = a_1c_1+b_1 c_1+ a_2c_2+b_2c_2+ a_3c_3+b_3c_3 \\ & = (a_1c_1+ a_2c_2 + a_3c_3) + (b_1 c_1+b_2c_2+b_3c_3) \\ & = \vec{a} . \vec{c} + \vec{b} . \vec{c} \end{align} $
Terbukti $ (\vec{a} +\vec{b}).\vec{c} = \vec{a} . \vec{c} + \vec{b} . \vec{c} $

*). Pembuktian sifat (4) :
$ \begin{align} k(\vec{a}.\vec{b}) & = k [(a_1, a_2, a_3) . (b_1,b_2,b_3)] \\ & = k [a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 ] \\ & = k a_1b_1 + ka_2b_2 + ka_3b_3 \\ (k\vec{a}).\vec{b} & = [k(a_1, a_2, a_3)].(b_1,b_2,b_3) \\ & = (ka_1, ka_2, ka_3) .(b_1,b_2,b_3) \\ & = ka_1b_1 + ka_2b_2 + ka_3b_3 \\ \vec{a}.(k\vec{b}) & = (a_1, a_2, a_3).[k(b_1,b_2,b_3)] \\ & = (a_1, a_2, a_3).(kb_1,kb_2,kb_3) \\ & = a_1kb_1 + a_2kb_2 + a_3kb_3 \\ & = ka_1b_1 + ka_2b_2 + ka_3b_3 \end{align} $
Dari ketiga hasil di atas, terbukti bahwa
$ k(\vec{a}.\vec{b}) = (k\vec{a}).\vec{b} = \vec{a}.(k\vec{b}) $

*). Pembuktian sifat (5) : $ \vec{a}. \vec{a} = |\vec{a}|^2 $
Untuk pembuktian sifat (5) ini, silahkan teman-teman baca pada artikel "Rumus Panjang Berkaitan Perkalian Dot".

*). Pembuktian sifat (6) :
$ \begin{align} \vec{a}. \vec{b} & = 0 \\ |\vec{a}|| \vec{b}| \sin \theta & = 0 \\ \sin \theta & = 0 \\ \theta & = 90^\circ \end{align} $
Terbukti sudut antara vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ adalah $ 90^\circ $ atau kita sebut $ \vec{a} $ tegak lurus $ \vec{b} $ atau dapat kita tulis $ \vec{a} \bot \vec{b} $.

Sifat-sifat Operasi Perkalian Silang
       Misalkan vektor-vektor $ \vec{a} $ , $ \vec{b} $ dan $ \vec{c} $ di R$^3$ dan $ k $ skalar tak nol. Sifat-sifat Operasi Perkalian silang yaitu :
1). $ \vec{a} \times \vec{b} = -\vec{b} \times \vec{a} \, $ (sifat anti komutatif)
2). $ \vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c} \, $ (sifat distributif)
3). $ (\vec{a} +\vec{b}) \times \vec{c} = \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c} \, $ (sifat distributif)
4). $ k(\vec{a} \times \vec{b}) = (k\vec{a}) \times \vec{b} = \vec{a} \times (k\vec{b}) $
5). Jika $ \vec{a} \neq 0 $ , $ \vec{b} \neq 0 $ dan $ \vec{a} \times \vec{b} = 0 $ , maka $ \vec{a} $ sejajar $ \vec{b} $

$ \spadesuit \, $ Pembuktian Sifat-sifat Operasi Perkalian Silang :
       Misalkan vektor-vektor $ \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) $ , $ \vec{b} = (b_1,b_2,b_3) $ dan $ \vec{c} = (c_1,c_2,c_3) $ di di R$^3$ serta $ k $ skalar tak nol.
*). Pembuktian sifat (1) :
$ \begin{align} \vec{a} \times \vec{b} & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{matrix} \right| \\ & = (a_2b_3 - a_3b_2 , a_3b_1 - a_1b_3 , a_1b_2 - a_2b_1 ) \\ - \vec{b} \times \vec{a} & = - \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 \end{matrix} \right| \\ & = -(a_3b_2 - a_2b_3 , a_1b_3 - a_3b_1 , a_2b_1 - a_1b_2 ) \\ & = (-a_3b_2 + a_2b_3 , -a_1b_3 + a_3b_1 , -a_2b_1 + a_1b_2 ) \\ & = (a_2b_3 - a_3b_2 , a_3b_1 - a_1b_3 , a_1b_2 - a_2b_1 ) \end{align} $
Terbukti $ \vec{a} \times \vec{b} = -\vec{b} \times \vec{a} $

*). Pembuktian sifat (2) :
$ \begin{align} & \vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) \\ & = (a_1, a_2, a_3) \times [(b_1,b_2,b_3) + (c_1,c_2,c_3)] \\ & = (a_1, a_2, a_3) \times (b_1+c_1,b_2+c_2,b_3+c_3) \\ & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1+c_1 & b_2+c_2 & b_3 +c_3 \end{matrix} \right| \\ & = (a_2(b_3+c_3) - a_3(b_2+c_2) , a_3(b_1+c_1) - a_1(b_3+c_3) , a_1(b_2+c_2) - a_2(b_1+c_1) ) \\ & \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c} \\ & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{matrix} \right| + \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{matrix} \right| \\ & = (a_2b_3 - a_3b_2 , a_3b_1 - a_1b_3 , a_1b_2 - a_2b_1 ) + (a_2c_3 - a_3c_2 , a_3c_1 - a_1c_3 , a_1c_2 - a_2c_1 ) \\ & = (a_2b_3 + a_2c_3 - a_3b_2 - a_3c_2 , a_3b_1 + a_3c_1 - a_1b_3 - a_1c_3 , a_1b_2 + a_1c_2 - a_2b_1 - a_2c_1 ) \\ & = (a_2(b_3 + c_3) - a_3(b_2 +c_2) , a_3(b_1 + c_1) - a_1(b_3 +c_3) , a_1(b_2 + c_2) - a_2(b_1 +c_1) ) \end{align} $
Kedua bentuk di atas memiliki hasil yang sama.
Terbukti $ \vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c} $

*). Pembuktian sifat (3) :
$ \begin{align} & (\vec{a} +\vec{b}) \times \vec{c} \\ & = [(a_1, a_2, a_3) + (b_1,b_2,b_3)] \times (c_1,c_2,c_3) \\ & = (a_1+b_1, a_2+b_2, a_3+b_3) \times (c_1,c_2,c_3) \\ & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 + b_1 & a_2 + b_2 & a_3 + b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{matrix} \right| \\ & = ((a_2+b_2)c_3 - (a_3+b_3)c_2 , (a_3+b_3)c_1 - (a_1+b_1)c_3 , (a_1+b_1)c_2 - (a_2+b_2)c_1 ) \\ & \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c} \\ & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{matrix} \right| + \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{matrix} \right| \\ & = (a_2c_3 - a_3c_2 , a_3c_1 - a_1c_3 , a_1c_2 - a_2c_1 ) + (b_2c_3 - b_3c_2 , b_3c_1 - b_1c_3 , b_1c_2 - b_2c_1 ) \\ & = (a_2c_3 - a_3c_2 + b_2c_3 - b_3c_2 , a_3c_1 - a_1c_3 + b_3c_1 - b_1c_3 , a_1c_2 - a_2c_1 + b_1c_2 - b_2c_1 ) \\ & = (a_2c_3 + b_2c_3 - a_3c_2 - b_3c_2 , a_3c_1 + b_3c_1 - a_1c_3 - b_1c_3 , a_1c_2 + b_1c_2 - a_2c_1- b_2c_1 ) \\ & = ((a_2 + b_2)c_3 - (a_3+b_3)c_2 , (a_3 + b_3)c_1 - (a_1+b_1)c_3 , (a_1 + b_1)c_2 - (a_2 + b_2)c_1 ) \end{align} $
Kedua bentuk di atas memiliki hasil yang sama.
Terbukti $ (\vec{a} +\vec{b}) \times \vec{c} = \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c} $.

*). Pembuktian sifat (4) :
$ \begin{align} k(\vec{a} \times \vec{b}) & = k \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{matrix} \right| \\ & = k (a_2b_3 - a_3b_2 , a_3b_1 - a_1b_3 , a_1b_2 - a_2b_1 ) \\ & = (ka_2b_3 - ka_3b_2 , ka_3b_1 - ka_1b_3 , ka_1b_2 - ka_2b_1 ) \\ (k\vec{a}) \times \vec{b} & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ ka_1 & ka_2 & ka_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{matrix} \right| \\ & = (ka_2b_3 - ka_3b_2 , ka_3b_1 - ka_1b_3 , ka_1b_2 - ka_2b_1 ) \\ \vec{a} \times (k\vec{b}) & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ kb_1 & kb_2 & kb_3 \end{matrix} \right| \\ & = (a_2kb_3 - a_3kb_2 , a_3kb_1 - a_1kb_3 , a_1kb_2 - a_2kb_1 ) \\ & = (ka_2b_3 - ka_3b_2 , ka_3b_1 - ka_1b_3 , ka_1b_2 - ka_2b_1 ) \end{align} $
Ketiga hasil di atas nilainya sama.
Terbukti $ k(\vec{a} \times \vec{b}) = (k\vec{a}) \times \vec{b} = \vec{a} \times (k\vec{b}) $

*). Pembuktian sifat (5) :
Jika $ \vec{a} \neq 0 $ , $ \vec{b} \neq 0 $ dan $ \vec{a} \times \vec{b} = 0 $ , maka $ \vec{a} $ sejajar $ \vec{b} $
$ \begin{align} \vec{a} \times \vec{b} & = 0 \\ | \vec{a} \times \vec{b} | & = 0 \\ | \vec{a} | |\vec{b} | \sin \theta & = 0 \\ \sin \theta & = 0 \\ \theta & = 0^\circ \end{align} $
Karena sudut antara vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ adalah $ 0^\circ $, maka kedua vektor ini sejajar. Jadi terbukti sifat (5).

Contoh soal Sifat Operasi Perkalian Dot dan Perkalian Silang :

1). Dari bentuk berikut ini, manakah yang SALAH
A). $ \vec{a}.(\vec{b}.\vec{c}) = (\vec{a}.\vec{b}).\vec{c} $
B). $ \vec{a}. \vec{b} = \vec{b} . \vec{a} \, $
C). $ \vec{a} . (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} . \vec{b} + \vec{a} . \vec{c} \, $
D). $ (\vec{a} +\vec{b}).\vec{c} = \vec{a} . \vec{c} + \vec{b} . \vec{c} \, $
E). $ k(\vec{a}.\vec{b}) = (k\vec{a}).\vec{b} = \vec{a}.(k\vec{b}) $
Penyelesaian :
*). dari sifat-sifat perkalian dot di atas, maka yang salah adalah option (A). Kenapa option A salah? berikut penjelasannya.
-). Perhatikan bentuk $ \vec{b}.\vec{c} $, hasilnya adalah skalar (bukan vektor).
-). bentuk $ \vec{a}.(\vec{b}.\vec{c}) $ = vektor dot skalar, tidak terdefinis karena perkalian dot berlaku hanya antara vektor dan vektor.
Karena tidak terdefinisi, maka otomatis option (A) salah.

2). Manakah dari pernyataan berikut yang SALAH !
A). $ \vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c} \, $
B). $ (\vec{a} +\vec{b}) \times \vec{c} = \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c} \, $
C). $ k(\vec{a} \times \vec{b}) = (k\vec{a}) \times \vec{b} = \vec{a} \times (k\vec{b}) $
D). Jika $ \vec{a} \neq 0 $ , $ \vec{b} \neq 0 $ dan $ \vec{a} \times \vec{b} = 0 $ , maka $ \vec{a} $ sejajar $ \vec{b} $
E). $ \vec{a} \times \vec{b} = \vec{b} \times \vec{a} \, $
Penyelesaian :
*). Option atau pernyataan yang salah adalah option (E) karena pada perkalian silang tidak berlaku sifat komutatif melainkan berlaku sifat anti komutatif yaitu $ \vec{a} \times \vec{b} = -\vec{b} \times \vec{a} $ .

       Demikian pembahasan materi Sifat Operasi Perkalian Dot dan Perkalian Silang dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "Materi vektor tingkat SMA" lainnya yaitu "proyeksi ortogonal vektor pada vektor".

Perkalian Silang Dua Vektor

         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas materi Perkalian Silang Dua Vektor atau biasa disebut Cross Product. Operasi Perkalian Silang (Cross Product) Dua Vektor merupakan kelanjutan dari operasi lain pada vektor dimana sebelumnya kita telah membahas "penjumlahan dan pengurangan vektor", "perkalian skalar dengan vektor", dan "perkalian dot (perkalian titik) dua vektor". Perkalian Silang Dua Vektor menghasilkan vektor lain yang tegak lurus dengan kedua vektor yang dikalikan. Berbeda dengan perkalian dot yang menghasilkan skalar. Perkalian Silang Dua Vektor memiliki aplikasi yang cukup luas diantaranya menentukan jarak titik ke garis, menentukan luas bangun datar, volume bangun ruang, dan jarak dua garis bersilangan. Hal-hal yang harus kita kuasai untuk memudahkan mempelajari materi Perkalian Silang (Cross Product) Dua Vektor ini yaitu pengertian vektor dan penulisannya, panjang vektor dan vektor satuan, determinan matriks $ 3 \times 3 $ cara Sarrus, dan Penerapan trigonometri pada segitiga (luasnya). Perkalian Silang Dua Vektor hanya berlaku pada vektor di R$^3$ saja.

Definisi Perkalian Silang Dua Vektor (Cross Product)
       Perhatikan ilustrasi gambar di atas. Jika $ \vec{a} \neq 0 $ dan $ \vec{b} \neq 0 $ dalam ruang dapat diputar tanpa mengubah besar atau arah masing-masing sehingga titik pangkalnya berimpit, dengan kaidah tangan kanan (ulir kanan) didefinisikan bahwa:
$ \, \, \, \, \, \, \, \, \vec{a} \times \vec{b} = \vec{e} |\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta , \, 0 \leq \theta \leq \pi $
dengan :
$ \vec{e} = \, $ vektor satuan yang tegak lurus $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $
$ \theta = \, $ sudut antara vektor $ \vec{a} $ dan vektor $ \vec{b} $
$ \vec{a} \times \vec{b} \, $ dibaca "vektor $ \vec{a} $ kros vektor $ \vec{b} $ " atau cukup " $ \vec{a} $ kros $ \vec{b} $ "
(Thomas, 1986 : 727 - 730)
Menentukan Hasil Perkalian Silang Dua Vektor
       Mislkan terdapat vektor $ \vec{a} = (a_1, a_2,a_3) $ dan $ \vec{b} = (b_1,b_2,b_3) $ , hasil perkalian silang kedua vektor dapat kita tentukan dengan cara :
$ \vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2 , a_3b_1 - a_1b_3 , a_1b_2 - a_2b_1 ) \, $ atau
$ \vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2)\vec{i} + (a_3b_1 - a_1b_3)\vec{j} + (a_1b_2 - a_2b_1 )\vec{k} $

Bentuk penghitungan di atas dapat kita tuliskan dengan bentuk lainnya yang kita namakan "rumus determinan cross vektor" sebagai berikut :
$ \begin{align} \vec{a} \times \vec{b} & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{matrix} \right| \\ & = (a_2b_3 - a_3b_2)\vec{i} + (a_3b_1 - a_1b_3)\vec{j} + (a_1b_2 - a_2b_1 )\vec{k} \end{align} $
Cara penghitungan "rumus determinan cross vektor" adalah sama dengan determinan matriks ordo $ 3 \times 3 $, silahkan baca aritikelnya pada "Determinan dan Invers Matriks".

Rumus panjang Hasil Perkalian Silang Dua Vektor
       Dari "definisi Perkalian Silang Dua Vektor" di atas, maka kita peroleh rumus panjang hasil Perkalian Silang Dua Vektor yaitu :
$ \, \, \, \, \, \, |\vec{a} \times \vec{b} | = |\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta $

Contoh Soal Perkalian Silang Dua Vektor (Cross Product) :

1). Diketahui vektor $ \vec{a} = 2\vec{i}-\vec{j}+3\vec{k} $ dan $ \vec{b} = \vec{i} + 2\vec{j} - 2\vec{k} $ . Tentukan hasil perkalian silang antara vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan hasil perkalian silang (Metode Sarrus) :
$ \begin{align} \vec{a} \times \vec{b} & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & -2 \end{matrix} \right| \\ & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} & | & \vec{i} & \vec{j} \\ 2 & -1 & 3 & | & 2 & -1 \\ 1 & 2 & -2 & | & 1 & 2 \end{matrix} \right| \\ & = (-1.-2\vec{i} + 1.3\vec{j} + 2.2\vec{k}) - (2.3\vec{i} + 2.(-2)\vec{j} + 1.(-1)\vec{k}) \\ & = (2\vec{i} + 3\vec{j} + 4\vec{k}) - (6\vec{i} -4\vec{j} -\vec{k}) \\ & = 2\vec{i} + 3\vec{j} + 4\vec{k} - 6\vec{i} + 4\vec{j} + \vec{k} \\ & = -4\vec{i} + 7\vec{j} + 5\vec{k} \end{align} $
Jadi, hasil dari $ \vec{a} \times \vec{b} = -4\vec{i} + 7\vec{j} + 5\vec{k} $.

2). Jika hasil perkalian silang antara vektor $ \vec{a} = (p, 2, r) $ dan $ \vec{b} = (-1, 4, 3 ) $ adalah $ ( 2 , 5, -6) $ , maka tentukan nilai $ ( p + r)^{2017} + 2 $ !
Penyelesaian :
*). Diketahui $ \vec{a} \times \vec{b} = ( 2 , 5, -6) $
*). Menentukan $ \vec{a} \times \vec{b} $ :
$ \begin{align} \vec{a} \times \vec{b} & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ p & 2 & r \\ -1 & 4 & 3 \end{matrix} \right| \\ & = ( 6\vec{i} -r\vec{j} + 4p\vec{k} ) - ( 4r\vec{i} + 3p\vec{j} - 2\vec{k}) \\ & = (6 - 4r)\vec{i} - ( r + 3p)\vec{j} + (4p + 2)\vec{k} \\ & = ( 6 - 4r , -r - 3p , 4p + 2 ) \end{align} $
*). Kedua hasil dari $ \vec{a} \times \vec{b} $ sama yaitu :
$ ( 2 , 5, -6) = ( 6 - 4r , -r - 3p , 4p + 2 ) $
Sehingga :
$ 2 = 6 - 4r \rightarrow 4r = 4 \rightarrow r = 1 $
$ -6 = 4p + 2 \rightarrow 4p = -8 \rightarrow p = -2 $.
*). Menentukan hasil $ ( p + r)^{2017} + 2 $ :
$ ( p + r)^{2017} + 2 = ( -2 + 1)^{2017} + 2 $
$ = (-1)^{2017} + 2 = -1 + 2 = 1 $
Jadi, hasil dari $ ( p + r)^{2017} + 2 = 1 $.

3). Sudut antara vektor $ \vec{p} $ dan $ \vec{q} $ adalah $ 30^\circ $. Jika $ |\vec{p}| = 4 $ dan $ |\vec{q}| = 5 $ , maka tentukan $ |\vec{p} \times \vec{q}| $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan hasil $ |\vec{p} \times \vec{q}| $ :
$ \begin{align} |\vec{p} \times \vec{q}| & = |\vec{p} | |\vec{q}| \sin \theta \\ & = 4 \times 5 \sin 30^\circ \\ & = 20 \times \frac{1}{2} \\ & = 10 \end{align} $
Jadi, hasil dari $ |\vec{p} \times \vec{q}| = 10 $.

4). Diketahui vektor $ \vec{p} = (-1, 1, -1) $ dan $ \vec{q} = (2, -1 ,1) $ . Jika vektor $ \vec{a} $ yang panjangnya satu tegak lurus dengan vektor $ \vec{p} $ dan tegak lurus vektor $ \vec{q} $ , maka tentukan vektor $ 3\sqrt{2}\vec{a} $ !
Penyelesaian :
*). Vektor $ \vec{b} $ tegak lurus dengan vektor $ \vec{p} $ dan $ \vec{q} $ , artinya vektor $ \vec{b} $ adalah hasil perkalian silang antara vektor $ \vec{p} $ dan $ \vec{q} $, yaitu :
$ \begin{align} \vec{b} & = \vec{p} \times \vec{q} \\ & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \end{matrix} \right| \\ & = (\vec{i} -2\vec{j} + \vec{k}) - ( \vec{i} - \vec{j} + 2\vec{k}) \\ & = \vec{i} -2\vec{j} + \vec{k} - \vec{i} + \vec{j} - 2\vec{k} \\ & = -\vec{j} - \vec{k} \\ & = (0 , -1, -1) \end{align} $
*). Vektor $ \vec{a} $ adalah vektor satuan dari vektor $ \vec{b} $ :
$ \begin{align} \vec{a} & = \left( \frac{1}{|\vec{b}|} \right) \vec{b} \\ & = \left( \frac{1}{\sqrt{0^2 + (-1)^2 + (-1)^2}} \right) ( 0, -1, -1) \\ & = \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) ( 0, -1, -1) \\ & = ( 0, -\frac{1}{\sqrt{2}} , -\frac{1}{\sqrt{2}} ) \end{align} $
*). Menentukan hasil $ 3\sqrt{2}\vec{a} $ :
$ \begin{align} 3\sqrt{2}\vec{a} & = 3\sqrt{2}( 0, -\frac{1}{\sqrt{2}} , -\frac{1}{\sqrt{2}} ) \\ & = ( 0, -3 , -3 ) \end{align} $
Jadi, hasil dari $ 3\sqrt{2}\vec{a} = ( 0, -3 , -3 ) $ .

Catatan :
Untuk contoh nomor 4 di atas, vektor $ \vec{a} $ yang panjangnya satu tegak lurus dengan vektor $ \vec{p} $ dan $ \vec{q} $ dapat kita tentukan dengan cara :
$ \, \, \, \, \, \, \, \vec{a} = \frac{\vec{p} \times \vec{q}}{|\vec{p} \times \vec{q}|} $
Silahkan teman-teman coba dengan rumus ini untuk mengerjakan kembali contoh soal nomor 4 di atas.

5). Sudut antara vektor $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ adalah $ 30^\circ $ dengan $ \vec{u} = ( x, -2 , 1) $ . Jika $ |\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{6} $ dan $ |\vec{v}| = \sqrt{2} $ , maka tentukan nilai $ \sqrt{x^2 + 2} - 3 $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai $ x^2 $ :
$ \begin{align} |\vec{u} \times \vec{v}| & = |\vec{u} | |\vec{v}| \sin \theta \\ \sqrt{6} & = \sqrt{x^2 + (-2)^2 + 1^2} \times \sqrt{2} \sin 30^\circ \\ \sqrt{3}. \sqrt{2} & = \sqrt{x^2 + 5} \times \sqrt{2} \times \frac{1}{2} \\ \sqrt{3} & = \sqrt{x^2 + 5} \times \frac{1}{2} \\ 2\sqrt{3} & = \sqrt{x^2 + 5} \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ 12 & = x^2 + 5 \\ x^2 & = 7 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \sqrt{x^2 + 2} - 3 $ :
$ \begin{align} \sqrt{x^2 + 2} - 3 & = \sqrt{7 + 2} - 3 \\ & = \sqrt{9} - 3 \\ & = 3 - 3 = 0 \end{align} $
Jadi, nilai $ \sqrt{x^2 + 2} - 3 = 0 $.

6). Diketahui vektor $ \vec{p} = (5, 0, 0) $ dan $ \vec{q} = (3,2,1) $. Tentukan luas jajar genjang yang dibentuk oleh vektor $ \vec{p} $ dan $ \vec{q} $!
Penyelesaian :
*). Ilustrasi gambar :
Dari vektor $ \vec{p} $ dan $ \vec{q} $ terbentuk jajargenjang ABCD seperti pada gambar di atas.
*). Luas segitiga ABD dengan aturan sinus pada segitga dan $ |\vec{p} \times \vec{q}| = |\vec{p}| |\vec{q}| \sin \theta $.
$ \begin{align} \text{Luas } \Delta ABC & = \frac{1}{2} AB \times AD \sin \theta \\ & = \frac{1}{2} |\vec{p}| |\vec{q}| \sin \theta \\ & = \frac{1}{2} |\vec{p} \times \vec{q}| \end{align} $
*). Luas jajargenjang ABCD adalah 2 kali luas ABD :
Luas ABCD $ = 2 \times \frac{1}{2} |\vec{p} \times \vec{q}| = |\vec{p} \times \vec{q}| $
*. Menentukan $ \vec{p} \times \vec{q} $ dan $ |\vec{p} \times \vec{q}| $ :
$ \begin{align} \vec{p} \times \vec{q} & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 5 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{matrix} \right| \\ & = (0 + 0 + 10\vec{k}) - ( 0 + 5\vec{j} +0) \\ & = -5\vec{j} + 10\vec{k} \\ & = (0 , -5, 10) \end{align} $
Nilai $ |\vec{p} \times \vec{q}| = \sqrt{0^2 + (-5)^2 + 10^2} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5} $
Artinya luas ABCD $ = |\vec{p} \times \vec{q}| = 5\sqrt{5} $
Jadi, luas jajargenjangnya adalah $ 5\sqrt{5} \, $ satuan luas.

$ \spadesuit \, $ Pembuktian Rumus penghitungan Perkalian Silang dua vektor
*). Definisi perkalian silang (cross product) :
$ \vec{a} \times \vec{b} = \vec{e} |\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta , \, 0 \leq \theta \leq \pi $
*). Cara menghitung hasil perkalian silang dua vektor :
$ \vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2 , a_3b_1 - a_1b_3 , a_1b_2 - a_2b_1 ) $
*). Pembktiannya :
-). dari definisi perkalian silang, kita peroleh :
$ \vec{i} \times \vec{j} = \vec{k} $ , $ \vec{j} \times \vec{k} = \vec{i} $ , $ \vec{k} \times \vec{i} = \vec{j} $
$ \vec{j} \times \vec{i} = -\vec{k} $ , $ \vec{k} \times \vec{j} = -\vec{i} $ , $ \vec{i} \times \vec{k} = -\vec{j} $
$ \vec{i} \times \vec{i} = 0 $ , $ \vec{j} \times \vec{j} = 0 $ , $ \vec{k} \times \vec{k} = 0 $
-). hasil $ \vec{a} \times \vec{b} $ :
$ \begin{align} \vec{a} \times \vec{b} & = (a_1\vec{i} + a_2\vec{j} + a_3\vec{k}) \times (b_1\vec{i} + b_2\vec{j} + b_3\vec{k}) \\ & = a_1b_1\vec{i} \times \vec{i} + a_1b_2\vec{i} \times \vec{j}+a_1b_3\vec{i} \times \vec{k} + a_2b_1\vec{j} \times \vec{i} + a_2b_2\vec{j} \times \vec{j} \\ & \, \, \, \, + a_2b_3\vec{j} \times \vec{k} + a_3b_1\vec{k} \times \vec{i} + a_3b_2\vec{k} \times \vec{j}+a_3b_3\vec{k} \times \vec{k} \\ & = 0 + a_1b_2\vec{k} +a_1b_3(-\vec{j}) + a_2b_1(-\vec{k}) + 0 + a_2b_3\vec{i} + a_3b_1\vec{j} + a_3b_2(-\vec{i}) + 0 \\ & = a_1b_2\vec{k} - a_1b_3 \vec{j} - a_2b_1 \vec{k} + a_2b_3\vec{i} + a_3b_1\vec{j} - a_3b_2 \vec{i} \\ & = (a_2b_3 - a_3b_2)\vec{i} + (a_3b_1 - a_1b_3)\vec{j} + (a_1b_2 - a_2b_1 )\vec{k} \\ & = (a_2b_3 - a_3b_2 , a_3b_1 - a_1b_3 , a_1b_2 - a_2b_1 ) \end{align} $
Jadi, terbukti $ \vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2 , a_3b_1 - a_1b_3 , a_1b_2 - a_2b_1 ) $ .

$ \clubsuit \, $ Pembuktian Rumus panjang Perkalian Silang dua vektor
*). Rumus panjang hasil perkalian silang (cross product)
$ |\vec{a} \times \vec{b} | = |\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta $
*). Pembuktiannya :
-). Dari definisi perkalian silangnya :
Panjang vektor satuannya satu : $ | \vec{e}| = 1 $
Nilai sinusnya : $ | \sin \theta | = \sin \theta \, $ untuk $ 0 \leq \theta \leq \pi $
$ \begin{align} \vec{a} \times \vec{b} & = \vec{e} |\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta \\ |\vec{a} \times \vec{b}| & = |\vec{e} |\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta | \\ & = |\vec{e} | |\vec{a}||\vec{b}| |\sin \theta | \\ & = 1. |\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta \\ & = |\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta \end{align} $
Jadi, terbukti $ |\vec{a} \times \vec{b} | = |\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta $.

Untuk berikutnya silahkan bacar artikel "sifat operasi perkalian dot dan perkalian silang".

       Demikian pembahasan materi Perkalian Silang Dua Vektor dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "materi vektor tingkat SMA" yaitu "Proyeksi Orthogonal Suatu Vektor ke Vektor Lain".

Rumus Panjang Berkaitan Perkalian Dot

         Blog Koma - Setelah membahas materi "Perkalian dot dua vektor", pada artikel ini kita lanjutkan dengan pembahasan materi Rumus Panjang Berkaitan Perkalian Dot. Sebenarnya artikel Rumus Panjang Berkaitan Perkalian Dot ini merupakan kelanjutan atau lebih tepatnya bagian dari materi perkalian dot dua vektor, hanya saja agar tidak terlalu banyak yang dipelajari (artikel terlalu panjang), maka penulisannya kami pisah di sini. Hal-hal yang akan kita bahas adalah contoh-contoh soal dan pembuktian Rumus Panjang Berkaitan Perkalian Dot. Karena masih terkait dengan perkalian dot, maka untuk memudahkan dalam mempelajari materi Rumus Panjang Berkaitan Perkalian Dot, sebaiknya teman-teman harus menguasai definisi perkalian dot dua vektor dan nilai trigonometri sudut-sudut istimewa. Dan tentu kita juga harus memahami pengertian panjang pada vektor. Langsung saja kita pelajari rumus-rumusnya yang dilengkapi dengan contoh-contoh berikut ini.

Rumus Panjang Berkaitan Perkalian Dot
       Misalkan terdapat vektor $ \vec{a} $, $ \vec{b} $ , dan $ \vec{c} $ dengan $ \theta _1 $ sudut antara $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $, $ \theta _2 $ sudut antara $ \vec{b} $ dan $ \vec{c} $ , $ \theta _3 $ sudut antara $ \vec{a} $ dan $ \vec{c} $ , serta terdapat bilangan real $m $ , $ n $ , dan $ k $. Berlaku rumus-rumus panjang berkaitan perkalian dot berikut ini :

i). $ \vec{a}.\vec{a} = \vec{a}^2 = |\vec{a}|^2 $
ii). $ |\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 +2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 $
iii). $ |\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 $
iv). $ |m\vec{a} + n\vec{b}|^2 = m^2|\vec{a}|^2 + n^2|\vec{b}|^2 + 2mn|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 $
$ \begin{align} \text{v). } & |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} |^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + \\ & \, \, 2(|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 + |\vec{b}||\vec{c}| \cos \theta _2 + |\vec{a}||\vec{c}| \cos \theta _3 ) \\ \text{vi).} & |m\vec{a} + n\vec{b} + k\vec{c} |^2 = |m^2\vec{a}|^2 + n^2|\vec{b}|^2 + k^2|\vec{c}|^2 + \\ & \, \, 2(mn|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 + nk|\vec{b}||\vec{c}| \cos \theta _2 + mk|\vec{a}||\vec{c}| \cos \theta _3 ) \end{align} $
Catatan :
Rumus panjang di atas masih dalam bentuk kuadrat dan dapat kita ubah dengan pengakaran.
Misalkan kita ambil satu rumus panjang berikut ini,
$ |\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 +2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 $
kita ubah menjadi :
$ |\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 +2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 } $

Contoh soal Rumus Panjang Berkaitan Perkalian Dot :

1). Vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ membentuk sudut $ 45^\circ $. Jika diketahui $ |\vec{a}| = 3 $ dan $ |\vec{b}| = \sqrt{2} $ , maka tentukan :
a). $ \vec{a}(\vec{a} - \vec{b}) $
b). $ \vec{a}(2\vec{a} + 3\vec{b}) $
c). $ |\vec{a}+\vec{b}| $
d). $ |\vec{a} - \vec{b}| $
e). $ |\vec{a} - 3\vec{b}| $
f). $ |2\vec{a} + 3\vec{b}| $
Penyelesaian :
a). $ \vec{a}(\vec{a} - \vec{b}) $
$ \begin{align} \vec{a}(\vec{a} - \vec{b}) & = \vec{a}.\vec{a} - \vec{a}.\vec{b} \\ & = |\vec{a}|^2 - |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \\ & = 3^2 - 3. \sqrt{2} \cos 45^\circ \\ & = 9 - 3\sqrt{2} . \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ & = 9 - 3 = 6 \end{align} $

b). $ \vec{a}(2\vec{a} + 3\vec{b}) $
$ \begin{align} \vec{a}(2\vec{a} + 3\vec{b}) & = 2\vec{a}.\vec{a} + 3\vec{a}.\vec{b} \\ & = 2|\vec{a}|^2 + 3|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \\ & = 2(3)^2 + 3.3.\sqrt{2}. \cos 45^\circ \\ & = 18 + 9\sqrt{2}. \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ & = 18 + 9 = 27 \end{align} $

c). $ |\vec{a}+\vec{b}| $
$ \begin{align} |\vec{a}+\vec{b}| & = \sqrt{|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 +2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta } \\ & = \sqrt{3^2 + (\sqrt{2})^2 +2.3.\sqrt{2} \cos 45^\circ } \\ & = \sqrt{9 + 2 + 6\sqrt{2} . \frac{1}{2}\sqrt{2} } \\ & = \sqrt{11 + 6 } = \sqrt{17} \end{align} $

d). $ |\vec{a} - \vec{b}| $
$ \begin{align} |\vec{a} - \vec{b}| & = \sqrt{|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta } \\ & = \sqrt{3^2 + (\sqrt{2})^2 - 2.3.\sqrt{2} \cos 45^\circ } \\ & = \sqrt{9 + 2 - 6\sqrt{2} . \frac{1}{2}\sqrt{2} } \\ & = \sqrt{11 - 6 } = \sqrt{5} \end{align} $

e). $ |\vec{a} - 3\vec{b}| $
$ \begin{align} |\vec{a} - 3\vec{b}| & = \sqrt{|\vec{a}|^2 + 9|\vec{b}|^2 - 3.2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta } \\ & = \sqrt{3^2 + 9(\sqrt{2})^2 - 6.3.\sqrt{2} \cos 45^\circ } \\ & = \sqrt{9 + 18 - 18\sqrt{2} . \frac{1}{2}\sqrt{2} } \\ & = \sqrt{27 - 18 } = \sqrt{9} = 3 \end{align} $

f). $ |2\vec{a} + 3\vec{b}| $
$ \begin{align} |2\vec{a} + 3\vec{b}| & = \sqrt{4|\vec{a}|^2 + 9|\vec{b}|^2 + 2.3.2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta } \\ & = \sqrt{4(3^2) + 9(\sqrt{2})^2 - 13.3.\sqrt{2} \cos 45^\circ } \\ & = \sqrt{36 + 18 - 39\sqrt{2} . \frac{1}{2}\sqrt{2} } \\ & = \sqrt{54 - 39 } = \sqrt{15} \end{align} $

2). Diketahui panjang vektor $ |\vec{a}| = 4 $ , $ |\vec{b}| = 2 $ , $ |\vec{c}| = 3 $. Sudut $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ adalah $ 60^\circ $ , sudut $ \vec{b} $ dan $ \vec{c} $ adalah $ 45^\circ $ , sudut antara $ \vec{a} $ dan $ \vec{c} $ adalah $ 30^\circ $ .
a). Tentukan $ |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 $
b). Jika $ |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = p + q\sqrt{2} - r\sqrt{3} $ , maka nilai $ p - q + r $ adalah ....?
Penyelesaian :
a). Menentukan $ |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 $
$ \begin{align} |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} |^2 & = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 + |\vec{b}||\vec{c}| \cos \theta _2 + |\vec{a}||\vec{c}| \cos \theta _3 ) \\ & = 4^2 + 2^2 + 3^2 + 2(4.2 \cos 60^\circ + 2.3. \cos 45^\circ + 4.3 \cos 30^\circ ) \\ & = 16 + 4 + 9 + 2(8. \frac{1}{2} +6. \frac{1}{2}\sqrt{2} + 12. \frac{1}{2}\sqrt{3} ) \\ & = 29 + 2(4 +3\sqrt{2} + 6\sqrt{3} ) \\ & = 29 + 8 +6\sqrt{2} + 12\sqrt{3} \\ & = 37 +6\sqrt{2} + 12\sqrt{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = 37 +6\sqrt{2} + 12\sqrt{3} $.

b). Pada soal bagian (a) , kita sudah memperoleh :
$ |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = 37 +6\sqrt{2} + 12\sqrt{3} $, sehingga :
$ \begin{align} |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 & = p + q\sqrt{2} - r\sqrt{3} \\ 37 +6\sqrt{2} + 12\sqrt{3} & = p + q\sqrt{2} - r\sqrt{3} \end{align} $
artinya nilai $ p = 37, q = 6 $ dan $ r = -12 $.
*). Mennetukan nilai $ p - q + r $
$ p - q + r = 37 - 6 + (-12) = 19 $
Jadi, nilai $ p - q + r = 19 $

3). Jika $ |\vec{a}| = 5 $ , $ |\vec{b}| = 3, $ dan $ |\vec{a}+\vec{b}| = 7$ , maka tentukan nilai $ |\vec{a} - \vec{b}| $!
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai $ 2\vec{a}.\vec{b} $ :
$ \begin{align} |\vec{a} + \vec{b}|^2 & = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 +2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \\ |\vec{a} + \vec{b}|^2 & = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 +2 \vec{a}.\vec{b} \\ 7^2 & = 5^2 + 3^2 +2 \vec{a}.\vec{b} \\ 49 & = 25 + 9 + 2 \vec{a}.\vec{b} \\ 2 \vec{a}.\vec{b} & = 15 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ |\vec{a} - \vec{b}| $ :
$ \begin{align} |\vec{a} - \vec{b}|^2 & = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \\ & = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2 \vec{a}.\vec{b} \\ & = 5^2 + 3^2 - 15 \\ & = 25 + 9 - 15 \\ |\vec{a} - \vec{b}|^2 & = 19 \\ |\vec{a} - \vec{b}| & = \sqrt{19} \end{align} $
Jadi, nilai $ |\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{19} $.

Cara II :
*). Jumlahkan kedua rumus berikut :
$ \begin{array}{cc} |\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 +2 \vec{a}.\vec{b} & \\ |\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2 \vec{a}.\vec{b} & + \\ \hline |\vec{a} + \vec{b}|^2 + |\vec{a} - \vec{b}|^2 = 2(|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2) & \end{array} $
*). Menentukan nilai $ |\vec{a} - \vec{b}| $ :
$ \begin{align} |\vec{a} + \vec{b}|^2 + |\vec{a} - \vec{b}|^2 & = 2(|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2) \\ 7^2 + |\vec{a} - \vec{b}|^2 & = 2(5^2 + 3^2) \\ 49 + |\vec{a} - \vec{b}|^2 & = 68 \\ |\vec{a} - \vec{b}|^2 & = 19 \\ |\vec{a} - \vec{b}| & = \sqrt{19} \end{align} $
Hasilnya sama dengan cara pertama di atas.

4). Diketahui sudut antara tiap pasang vektor $ \vec{a} $ , $ \vec{b} $ , dan $ \vec{c} $ adalah $ 60^\circ $ di dalam R$^3$, serta $ |\vec{a}| = 4 $ , $ |\vec{b}| = 2 $ , dan $ |\vec{c}| = 6 $. Tentukan nilai $ |\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}| $ !
Penyelesaian :
$ \begin{align} |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} |^2 & = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 + |\vec{b}||\vec{c}| \cos \theta _2 + |\vec{a}||\vec{c}| \cos \theta _3 ) \\ & = 4^2 + 2^2 + 6^2 + 2(4.2 \cos 60^\circ + 2.6. \cos ^\circ + 4.6 \cos 60^\circ ) \\ & = 16 + 4 + 36 + 2(8. \frac{1}{2} +12. \frac{1}{2} + 24. \frac{1}{2} ) \\ & = 56 + 2(4 + 6 + 12 ) \\ & = 56 + 44 \\ |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} |^2 & = 100 \\ |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} | & = 10 \end{align} $
Jadi, nilai $ |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| = 10 $.

5). Diketahui $ |\vec{a}| = 3, |\vec{b}| = 5 $ , dan $ |\vec{c} = 2 $. Jika $ \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = 0 $ , maka tentukan :
a). $ \vec{a} . \vec{b} $
b). $ \vec{b} . \vec{c} $
c). $ \vec{a} . \vec{c} $
d). $ \vec{a} . \vec{b} + \vec{b}.\vec{c} + \vec{a}.\vec{c} $
Penyelesaian :
*). Pada sebuah vektor, panjang vektor $ \vec{p} $ sama dengan panjang vektor $ -\vec{p} $ atau dapat kita tulis $ |\vec{p}| = |-\vec{p}| $.
a). Menentukan $ \vec{a} . \vec{b} $
$ \begin{align} \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} & = 0 \\ \vec{a} + \vec{b} & = - \vec{c} \\ |\vec{a} + \vec{b}|^2 & = |- \vec{c}|^2 \\ |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2\vec{a}.\vec{b} & = |\vec{c}|^2 \\ \vec{a}.\vec{b} & = \frac{|\vec{c}|^2 - |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 }{2} \\ & = \frac{2^2 - 3^2 - 5^2 }{2} \\ & = \frac{-30}{2} = -15 \end{align} $
Sehingga nilai $ \vec{a} . \vec{b} = -15 $.

b). Menentukan $ \vec{b} . \vec{c} $
$ \begin{align} \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} & = 0 \\ \vec{b} + \vec{c} & = - \vec{a} \\ |\vec{b} + \vec{c}|^2 & = |- \vec{a}|^2 \\ |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2\vec{b}.\vec{c} & = |\vec{a}|^2 \\ \vec{b}.\vec{c} & = \frac{|\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 - |\vec{c}|^2 }{2} \\ & = \frac{3^2 - 5^2 - 2^2}{2} \\ & = \frac{-20}{2} = -10 \end{align} $
Sehingga nilai $ \vec{b} . \vec{c} = -10 $.

c). Menentukan $ \vec{a} . \vec{c} $
$ \begin{align} \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} & = 0 \\ \vec{a} + \vec{c} & = - \vec{b} \\ |\vec{a} + \vec{c}|^2 & = |- \vec{b}|^2 \\ |\vec{a}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2\vec{a}.\vec{c} & = |\vec{b}|^2 \\ \vec{a}.\vec{c} & = \frac{|\vec{b}|^2 - |\vec{a}|^2 - |\vec{c}|^2 }{2} \\ & = \frac{5^2 - 3^2 - 2^2}{2} \\ & = \frac{20}{2} = 6 \end{align} $
Sehingga nilai $ \vec{a} . \vec{c} = 6 $.

d). Menentukan $ \vec{a} . \vec{b} + \vec{b}.\vec{c} + \vec{a}.\vec{c} $
$ \begin{align} \vec{a} . \vec{b} + \vec{b}.\vec{c} + \vec{a}.\vec{c} & = -15 + (-10) + 6 = -19 \end{align} $
Sehingga nilai $ \vec{a} . \vec{b} + \vec{b}.\vec{c} + \vec{a}.\vec{c} = -19 $.

Cara II bagian (d) :
*). Karena $ \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = 0 $, maka panjangnya $ |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} | = 0 $.
*). Dari rumus berikut :
$ \begin{align} |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} |^2 & = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 +2(\vec{a} . \vec{b} + \vec{b}.\vec{c} + \vec{a}.\vec{c}) \\ 0^2 & = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 +2(\vec{a} . \vec{b} + \vec{b}.\vec{c} + \vec{a}.\vec{c}) \\ \vec{a} . \vec{b} + \vec{b}.\vec{c} + \vec{a}.\vec{c} & = - \frac{|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2}{2} \\ & = - \frac{3^2 + 5^2 + 2^2}{2} \\ & = - \frac{38}{2} = - 19 \end{align} $
Sehingga nilai $ \vec{a} . \vec{b} + \vec{b}.\vec{c} + \vec{a}.\vec{c} = -19 $.

6). Diketahui $ |\vec{a}| = 3 $ , $ \vec{b}| = 6 $ , dan $ |\vec{c}| = 2 $. Jika $ 2\vec{a} - \vec{b} + 3\vec{c} = 0 $ , maka tentukan nilia $ \vec{a}.\vec{b} $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan $ \vec{a}.\vec{b} $ :
$ \begin{align} 2\vec{a} - \vec{b} + 3\vec{c} & = 0 \\ 2\vec{a} - \vec{b} & = - 3\vec{c} \\ |2\vec{a} - \vec{b}|^2 & = |- 3\vec{c}|^2 \\ |2\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2(2\vec{a}).\vec{b} & = 9| \vec{c}|^2 \\ 4|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 4\vec{a}.\vec{b} & = 9| \vec{c}|^2 \\ \vec{a}.\vec{b} & = \frac{4|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 9| \vec{c}|^2}{4} \\ & = \frac{4(3)^2 + 6^2 - 9(2)^2}{4} \\ & = \frac{36 + 36 - 36}{4} \\ & = \frac{36 }{4} = 9 \end{align} $
Jadi, nilai $ \vec{a}.\vec{b} = 9 $.

Pembkuktian Rumus Panjang Berkaitan Perkalian Dot
Ingat definsi perkalian dot dua vektor berikut ini :
       $ \vec{a} . \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta $
dengan $ \theta \, $ adalah sudut kedua vektor.
       Dengan memahami atau bisa membutikan "Rumus Panjang Berkaitan Perkalian Dot" , harapannya kita tidak perlu menghafal semua rumusnya, namun cukup kita ingat Triknya. Trik penjabaran Rumus Panjang Berkaitan Perkalian Dot adalah DIKUADRATKAN.

$ \spadesuit \, $ Pembuktian rumus (i) :
       Vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{a} $ membentuk sudut $ 0^\circ $ (karena berimpit) , sehingga dengan definisi perkalian dot :
$ \begin{align} \vec{a}^2 & = \vec{a}. \vec{a} = |\vec{a}||\vec{a}| \cos 0^\circ \\ & = |\vec{a}|^2 \times 1 \\ & = |\vec{a}|^2 \end{align} $
Jadi, terbukti $ \vec{a}^2 = \vec{a}. \vec{a} |\vec{a}|^2 $

Dari rumus panjang (i) ini memiliki arti : Dua buah vektor yang sama kita kalikan (perkalian dotnya) akan menghasilkan kuadrat dari panjangnya.

$ \spadesuit \, $ Pembuktian rumus (ii) :
$ \begin{align} (\vec{a} + \vec{b} )^2 & = \vec{a}^2 + \vec{b}^2 + 2\vec{a}.\vec{b} \\ |\vec{a} + \vec{b} |^2 & = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 \end{align} $
(Terbukti)

$ \spadesuit \, $ Pembuktian rumus (iii) :
$ \begin{align} (\vec{a} - \vec{b} )^2 & = \vec{a}^2 + \vec{b}^2 - 2\vec{a}.\vec{b} \\ |\vec{a} - \vec{b} |^2 & = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 \end{align} $
(Terbukti)

$ \spadesuit \, $ Pembuktian rumus (iv) :
$ \begin{align} (m\vec{a} + n\vec{b} )^2 & = (m\vec{a})^2 + (n\vec{b})^2 + 2(m\vec{a}).(n\vec{b}) \\ |m\vec{a} + n\vec{b} |^2 & = m^2|\vec{a}|^2 + n^2|\vec{b}|^2 + 2mn|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 \end{align} $
(Terbukti)

$ \spadesuit \, $ Pembuktian rumus (v) :
$ \begin{align} (\vec{a} + \vec{b} +\vec{c} )^2 & = \vec{a}^2 + \vec{b}^2 +\vec{c}^2 + 2(\vec{a}.\vec{b} + \vec{b}.\vec{c} + \vec{a}.\vec{c}) \\ |\vec{a} + \vec{b} +\vec{c} |^2 & = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 + |\vec{b}||\vec{c}| \cos \theta _2 + |\vec{a}||\vec{c}| \cos \theta _3) \end{align} $
(Terbukti)

$ \spadesuit \, $ Pembuktian rumus (vi) :
$ \begin{align} (m\vec{a} + n\vec{b} + k\vec{c} )^2 & = (m\vec{a})^2 + (n\vec{b})^2 + (k \vec{c})^2 + 2((m\vec{a}).(n\vec{b}) + (n\vec{b}).(k\vec{c}) + (m\vec{a}).(k\vec{c})) \\ |\vec{a} + \vec{b} +\vec{c} |^2 & = m^2|\vec{a}|^2 + n^2|\vec{b}|^2 + k^2|\vec{c}|^2 + \\ & \, \, \, \, 2(mn|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 + nk|\vec{b}||\vec{c}| \cos \theta _2 + mk|\vec{a}||\vec{c}| \cos \theta _3) \end{align} $
(Terbukti)

       Pembuktian rumus panjang di atas juga melibatkan "sifat perkalian dot dua vektor". Dari bentuk pembuktian di atas, trik dalam penjabaran "Rumus Panjang Berkaitan Perkalian Dot" adalah dengan melakukan pengkuadratan. Dengan cara ini, teman-teman juga bisa membuat atau menjabarkan rumus panjang lainnya.

       Demikian pembahasan materi Rumus Panjang Berkaitan Perkalian Dot dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "materi vektor tingkat SMA".

Perkalian Dot Dua Vektor

         Blog Koma - Setelah mempelajari beberapa operasi hitung pada vektor yaitu "penjumlahan dan pengurangan pada vektor" dan "perkalian vektor dengan skalar", maka pada artikel ini kita lanjutkan dengan pembahasan operasi vektor berikutnya yaitu Perkalian Dot Dua Vektor (Dot Product). Seperti pada "pengertian vektor dan penulisannya", vektor dapat kita sajikan dalam bentuk aljabar dan bentuk geometri dimana dua vektor akan membentuk besar sudut tertentu. Nah, sudut antar dua vektor tersebut bisa kita hitung salah satunya dengan menerapkan konsep Perkalian Dot Dua Vektor. Baik di ujian nasional ataupun seleksi masuk PTN (SBMPTN atau lainnya), materi Perkalian Dot Dua Vektor sering dikeluarkan soal-soalnya, sehingga penting bagi kita untuk mempelajarinya dengan baik. Pada uraian Perkalian Dot Dua Vektor ini, kita akan membahas definisinya yang dilengkapi dengan pembuktiannya, dan tidak lupa akan kita sajikan berbagai variasi soal-soal Perkalian Dot Dua Vektor untuk bisa lebih memahaminya dengan lebih baik. Selain itu teman-teman harus menguasai materi "panjang vektor". Perhatikan ilustrasi gambar dua vektor berikut ini.

Definisi Perkalian Dot (perkalian titik) Dua Vektor
$ \spadesuit \, $ Perkalian Dot (perkalian titik) secara Geometri
       Misalkan terdapat vektor $ \vec{a} = (a_1, a_2, a_3 ) $ dan vektor $ \vec{b} = (b_1, b_2,b_3 ) $ dimana kedua vektor membentuk sudut sebesar $ \theta $, maka berlaku rumus perkalian dot yaitu :
$ \, \, \, \, \, \, \, \vec{a} . \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta $.

$ \spadesuit \, $ Perkalian Dot (perkalian titik) secara Aljabar
       Selain berlaku rumus perkalian dot seperti di atas, juga berlaku perkalian yang langsung melibatkan unsur-unsur vektornya, yaitu :
$ \, \, \, \, \, \, \, \vec{a} . \vec{b} = a_1.b_1 + a_2.b_2 + a_3.b_3 $
Catatan :
*). Rumus perkalian dot (perkalian titik) ini juga berlaku untuk vektor dimensi dua. Misalkan vektor $ \vec{a} = (a_1, a_2 ) $ dan vektor $ \vec{b} = (b_1, b_2) $ , maka berlaku :
$ \, \, \, \, \, \, \, \vec{a} . \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \, $ dan $ \vec{a} . \vec{b} = a_1.b_1 + a_2.b_2 $
*). Secara geometri, arah kedua vektor adalah menjauh dari sudut yang terbentuk.
*). Perkalian dot dua vektor menghasilkan skalar.

Contoh Soal Perkalian Dot (perkalian titik) Dua Vektor :

1). Diketahui vektor $ \vec{a} = (-1,2,3) $ , $ \vec{b} = (2,0,-2) $ , dan $ \vec{c}= (1, -3, 4 ) $. Tentukan hasil perkalian dot vektor-vektor berikut :
a). $ \vec{a}. \vec{b} $ dan $ \vec{b}. \vec{c} $
b). $ \vec{a}( \vec{b}- \vec{c}) $
c). $ \vec{b}( \vec{a}- \vec{c}) $
d). $ ( \vec{a}- \vec{b}).( \vec{b}+ \vec{c}) $
Penyelesaian :
a). Menentukan $ \vec{a}. \vec{b} $ dan $ \vec{b}. \vec{c} $
$ \begin{align} \vec{a}. \vec{b} & = (-1,2,3) . (2,0,-2) \\ & = -1.2 + 2.0 + 3.(-2) \\ & = -2 + 0 - 6 \\ & = -8 \\ \vec{b}. \vec{c} & = (2,0,-2) . (1, -3, 4 ) \\ & =2.1 + 0. (-3) + -2.4 \\ & = 2 + 0 - 8 \\ & = - 6 \end{align} $

b). Menentukan $ \vec{a}( \vec{b}- \vec{c}) $
$ \begin{align} \vec{b}- \vec{c} & = (2,0,-2) - (1, -3, 4 ) \\ & = ( 2 - 1 , 0 - (-3) , -2 - 4 ) \\ & = (1 , 3, -6 ) \\ \vec{a}( \vec{b}- \vec{c}) & = (-1,2,3) . (1 , 3, -6 ) \\ & = -1.1 + 2. 3 + 3. (-6) \\ & = -1 + 6 - 18 \\ & = -13 \end{align} $

c). Menentukan $ \vec{b}( \vec{a}- \vec{c}) $
$ \begin{align} \vec{a}- \vec{c} & = (-1,2,3) - (1, -3, 4 ) \\ & = ( -2, 5, -1 ) \\ \vec{b}( \vec{a}- \vec{c}) & = (2,0,-2).( -2, 5, -1 ) \\ & = 2.(-2) + 0.5 + -2. (-1) \\ & = -4 + 0 + 2 \\ & = -2 \end{align} $

d). Menentukan $ ( \vec{a}- \vec{b}).( \vec{b}+ \vec{c}) $
$ \begin{align} \vec{a}- \vec{b} & = (-1,2,3) - (2,0,-2) \\ & = ( -3, 2, 5 ) \\ \vec{b}+ \vec{c} & = (2,0,-2) + (1, -3, 4 ) \\ & = (3, -3, 2) \\ ( \vec{a}- \vec{b}).( \vec{b}+ \vec{c}) & = ( -3, 2, 5 ) . (3, -3, 2) \\ & = -9 + -6 + 10 \\ & = -5 \end{align} $

2). Jika $ \vec{p} $ dan $ \vec{q} $ membentuk sudut $ 60^\circ $, dengan $ |\vec{p}| = 6 $ , $ |\vec{q}| = 5 $ , maka tentukan nilai $ \vec{p}.\vec{q} $!
Penyelesaian :
$ \begin{align} \vec{p}.\vec{q} & = |\vec{p}||\vec{q} | \cos \theta \\ & = 6 . 5. \cos 60^\circ \\ & = 30. \frac{1}{2} \\ & = 15 \end{align} $

3). Tentukan nilai kosinus sudut antara vektor $ \vec{a} = (2, -3,1) $ dan $ \vec{b} =(1,-2,3) $!
Penyelesaian :
*). Menentukan $ \vec{a}.\vec{b} $ dan panjangnya :
$ \begin{align} \vec{a}.\vec{b} & = 2.1 + -3 . (-2) + 1.3 \\ & = 2 + 6 + 3 = 11 \\ |\vec{a}| & = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 1^2 } = \sqrt{14} \\ |\vec{b}| & = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{14} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \cos \theta $ dengan $ \theta $ adalah sudut antara kedua vektor.
$ \begin{align} \vec{a} . \vec{b} & = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \\ \cos \theta & = \frac{ \vec{a} . \vec{b} }{|\vec{a}||\vec{b}| } \\ & = \frac{11 }{\sqrt{14}. \sqrt{14}} \\ & = \frac{11 }{14} \end{align} $
Jadi, nilai kosinus sudutnya adalah $ \frac{11}{14} $.

4). DIketahui vektor $ \vec{a} = (3, -5, 4) $ dan $ \vec{b} = (-2,1,2) $. Tentukan nilai sinus sudut antara vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $!
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai $ \cos \theta $ :
$ \begin{align} \cos \theta & = \frac{ \vec{a} . \vec{b} }{|\vec{a}||\vec{b}| } \\ & = \frac{ -6 - 5 + 8 }{\sqrt{3^2 + (-5)^2 + 4^2} . \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 2^2} } \\ & = \frac{ -3 }{\sqrt{50} . \sqrt{9} } = \frac{ -3 }{5\sqrt{2} .3 } \\ & = \frac{ -1 }{5\sqrt{2} } \end{align} $
*). Karena nilai cosinusnya negatif, maka sudutnya ada di kuadran II, sehingga nilai sinusnya positif. Dengan rumus identitas trigonometri $ \sin ^2 \theta + \cos ^2 \theta = 1 $ , kita peroleh :
$ \begin{align} \sin ^2 \theta + \cos ^2 \theta & = 1 \\ \sin ^2 \theta & = 1 - \cos ^2 \theta \\ \sin \theta & = \sqrt{ 1 - \cos ^2 \theta } \\ & = \sqrt{ 1 - ( \frac{ -1 }{5\sqrt{2} } )^2 } \\ & = \sqrt{ 1 - \frac{1 }{50} } \\ & = \sqrt{ \frac{49 }{50} } \\ & = \frac{7}{5\sqrt{2}} = \frac{7}{10}\sqrt{2} \end{align} $
Jadi, nilai sinusnya adalah $ \frac{7}{10}\sqrt{2} $.

5). Jika $ \vec{p} = (k,2) $ dan $ \vec{q} = (5,3) $ dan $ \angle (\vec{p},\vec{q}) = \frac{\pi}{4} $ , maka tentukan nilai $ k $ positif yang memenuhi!
Penyelesaian :
*). Berdasarkan rumus perkalian dot :
$ \begin{align} \vec{p}.\vec{q} & = |\vec{p}||\vec{q} | \cos \theta \\ k.5 + 2.3 & = \sqrt{k^2 + 2^2}. \sqrt{5^2 + 3^2} . \cos \frac{\pi}{4} \\ 5k + 6 & = \sqrt{k^2 + 4}. \sqrt{34} . \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ (5k + 6)^2 & = (\sqrt{k^2 + 4}. \sqrt{34} . \frac{1}{2}\sqrt{2} )^2 \\ 25k^2 + 60k + 36 & = ( k^2 + 4). 34 . \frac{1}{4} . 2 \\ 25k^2 + 60k + 36 & = ( k^2 + 4). 17 \\ 25k^2 + 60k + 36 & = 17k^2 + 68 \\ 8k^2 + 60k - 32 & = 0 \, \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ 2k^2 + 15k - 8 & = 0 \\ (2k-1)(k+8) & = 0 \\ k = \frac{1}{2} \vee k & = -8 \end{align} $
Karena $ k $ positif, maka $ k = \frac{1}{2} $ yang memenuhi.
Jadi, nilai $ k = \frac{1}{2} $.

6). Diketahui segitiga ABC dengan koordinat $ A(3,2) $ , $ B(4,2) $ , dan $ C(3, 2 + \sqrt{3}) $.
a). Tentukan besar sudut ABC,
b). Tentukan besar sudut antara $ \vec{AB} $ dan $ \vec{BC} $.
Penyelesaian :
a). Tentukan besar sudut ABC,
*). Ilustrasi gambar berikut :
*). Arah vektor harus keluar dari sudutnya, sehingga kita haris mencari vektor $ \vec{BA} $ dan $ \vec{BC} $ .
$ \begin{align} \vec{BA} & = A - B = (-1,0) \\ \vec{BC} & = A - B = (-1,\sqrt{3}) \\ \cos \theta & = \frac{ \vec{BA} . \vec{BC} }{|\vec{BA}||\vec{BC}| } \\ & = \frac{ -1.(-1) + 0 . \sqrt{3} }{\sqrt{(-1)^2 + 0^2} . \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} } \\ & = \frac{ 1 + 0 }{\sqrt{1} . \sqrt{4} } \\ \cos \theta & = \frac{ 1 }{2 } \\ \theta & = 60^\circ \end{align} $
Jadi, besar sudut ABC adalah $ 60^\circ $.

b). Tentukan besar sudut antara $ \vec{AB} $ dan $ \vec{BC} $.
*). Perhatikan bentuk geometrinya berikut,
Karena $ \vec{AB} = - \vec{BA} $ , maka sudutnya sama dengan antara vektor $ -\vec{BA} $ dan vektor $ \vec{BC} $ yaitu $ \alpha $ (gambar b).
*). Menentukan vektor dan sudutnya :
$ \begin{align} \vec{AB} & = B - A = (1,0) \\ \vec{BC} & = A - B = (-1,\sqrt{3}) \\ \cos \alpha & = \frac{ \vec{AB} . \vec{BC} }{|\vec{AB}||\vec{BC}| } \\ & = \frac{ 1.(-1) + 0 . \sqrt{3} }{\sqrt{(1)^2 + 0^2} . \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} } \\ & = \frac{ -1 + 0 }{\sqrt{1} . \sqrt{4} } \\ \cos \alpha & = \frac{ -1 }{2 } \\ \alpha & = 120^\circ \end{align} $
Jadi, besar sudut ABC adalah $ 60^\circ $.

Catatan :
*). Jika teman-teman perhatikan secara geometri gambar a dan gambar b, maka $ \alpha $ dan $ \theta $ berpelurus, sehingga :
$ \alpha + \theta = 180^\circ \rightarrow \alpha + 60^\circ = 180^\circ \rightarrow \alpha = 120^\circ $.
*). Jika teman-teman bingun dalam menggambar secara geometri sudut antara dua vektor, maka tidak usah digambar, melainkan langsung saja kita hitung menggunakan rumus perkalian dotnya.

Dua Vektor Tegak Lurus berkaitan Perkalian Dot (perkalian titik)
Jika vektor $ \vec{a} $ tegak lurus dengan vektor $ \vec{b} $ (sudutnya $ 90^\circ$), maka berlaku :
$ \, \, \, \, \, \, \, \, \vec{a} . \vec{b} = 0 $.
(Perkalian dotnya = mol)
Pembuktian :
*). Karena $ \vec{a} $ tegak lurus $ \vec{b} $ , artinya sudutnya $ = 90^\circ $. Sehingga :
$ \begin{align} \vec{a} . \vec{b} & = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \\ & = |\vec{a}||\vec{b}| \cos 90^\circ \\ & = |\vec{a}||\vec{b}| \times 0 \\ & = 0 \end{align} $
Jadi, terbukti $ \vec{a} . \vec{b} = 0 $.

Contoh SOal Perkalian Dot (perkalian titik) Dua Vektor tegak lurus :

7). DIketahui vektor $ \vec{a} = (-1,3,2) $ , $ \vec{b} = (5, 3, -2 ) $ dan $ \vec{c} = (1,-2,3) $.
a). Apakah vektor $ \vec{a} $ tegak lurus vektor $ \vec{b} $ !
b). Apakah vektor $ \vec{a} $ tegak lurus vektor $ \vec{c} $ !
Penyelesaian :
a). Kita cek hasil perkalian dot vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ :
$ \begin{align} \vec{a} .\vec{b} & = -1. 5 + 3.3 + 2. (-2) \\ & = -5 + 9 - 4 = 0 \end{align} $
Karena $ \vec{a} .\vec{b} = 0 $ , maka vektor $ \vec{a} $ tegak lurus $ \vec{b} $.

b). Kita cek hasil perkalian dot vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{c} $ :
$ \begin{align} \vec{a} .\vec{c} & = -1.1 + 3.(-2) + 2.3 \\ & = -1 -6 + 6 = -1 \end{align} $
Karena $ \vec{a} .\vec{c} \neq 0 $ , maka vektor $ \vec{a} $ tidak tegak lurus $ \vec{c} $.

8). Diketahui vektor $ \vec{u} = (2, -1, m) $ dan $ \vec{v} = (-3, 2, 4) $. Jika $ \vec{u} $ tegak lurus vektor $ \vec{v} $ , maka tentukan nilai $ m^2 - 2m + 2017 $ !
Penyelesaian :
*). Syarat tegak lurus : $ \vec{u} .\vec{v} = 0 $
$ \begin{align} \vec{u} .\vec{v} & = 0 \\ 2.(-3) + -1. 2 + m.4 & = 0 \\ -6 - 2 + 4m & = 0 \\ 4m & = 8 \\ m & = 2 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ m^2 - 2m + 2017 $ :
$ \begin{align} m^2 - 2m + 2-17 & = 2^2 - 2.2 + 2-17 \\ & = 4 - 4 + 2017 \\ & = 2017 \end{align} $
Jadi, nilai $ m^2 - 2m + 2017 = 2017 $.

9). Jika vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ membentuk sudut $ 60^\circ $ , serta vektor $ \vec{a} $ tegak lurus vektor $ \vec{c} $, dengan $ |\vec{a}| = 4 $ , $ |\vec{b}| = 3 $ , dan $ \vec{c}| = 6 $ , maka tentukan :
a). $ \vec{a} (\vec{b} + \vec{c}) $
b). $ \vec{a}(2\vec{c} - 3\vec{b}) $
Penyelesaian :
*). Pada perkalian dot (perkalian titik) berlaku sifat distributif. Silahkan baca artikelnya pada "Sifat-sifat perkalian dot dan perkalian silang".
*). Karena $ \vec{a} $ tegak lurus $ \vec{c} $ , maka $ \vec{a}.\vec{c} = 0 $.
a). Menentukan $ \vec{a} (\vec{b} + \vec{c}) $
$ \begin{align} \vec{a} (\vec{b} + \vec{c}) & = \vec{a} . \vec{b} + \vec{a}. \vec{c} \\ & = |\vec{a}| |\vec{b} | \cos 60^\circ + 0 \\ & = 4. 3. \frac{1}{2} \\ & = 6 \end{align} $
Sehingga nilai $ \vec{a} (\vec{b} + \vec{c}) = 6 $.

b). Menentukan $ \vec{a}(2\vec{c} - 3\vec{b}) $
$ \begin{align} \vec{a}(2\vec{c} - 3\vec{b}) & = 2(\vec{a}.\vec{c}) - 3(\vec{a}.\vec{b}) \\ & = 2.0 - 3|\vec{a}| |\vec{b} | \cos 60^\circ \\ & = 0 - 3 . 4. 3. \frac{1}{2} \\ & = - 18 \end{align} $
Sehingga nilai $ \vec{a}(2\vec{c} - 3\vec{b}) = -8 $.

10). Diketahui vektor-vektor $ \vec{p} = ( m, 2, 6 ) $ , $ \vec{q} = (-1,n,0) $ dan $ \vec{r} = (6k,3,7) $. Jika $ \vec{p} \bot \vec{q} $ dan $ \vec{q} \bot \vec{r} $ , maka tentukan nilai $ 16\left( \frac{n^2 + k^2}{m^2} \right) + 2012 $ !
Keterangan : simbol $ \bot \, $ artinya tegak lurus.
Penyelesaian :
*). Menentukan hubungan $ m , n , $ dan $ k $ :
-). $ \vec{p} $ tegak lurus $ \vec{q} $
$ \vec{p}.\vec{q} = 0 \rightarrow -m + 2n + 0 = 0 \rightarrow m = 2n \, $ ....(i)
-). $ \vec{q} $ tegak lurus $ \vec{r} $
$ \vec{q}.\vec{r} = 0 \rightarrow -6k + 3n + 0 = 0 \rightarrow k = \frac{n}{2} \, $ ....(ii)
*). Menentukan hasil akhir dengan pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{align} 16\left( \frac{n^2 + k^2}{m^2} \right) + 2012 & = 16\left( \frac{n^2 + (\frac{n}{2})^2}{(2n)^2} \right) + 2012 \\ & = 16\left( \frac{n^2 + \frac{n^2}{4} }{4n^2} \right) + 2012 \\ & = 16\left( \frac{n^2 + \frac{n^2}{4} }{4n^2} \times \frac{4}{4} \right) + 2012 \\ & = 16\left( \frac{4n^2 + n^2}{16n^2} \right) + 2012 \\ & = 16\left( \frac{5n^2}{16n^2} \right) + 2012 \\ & = 16\left( \frac{5 }{16 } \right) + 2012 \\ & = 5 + 2012 = 2017 \end{align} $
Jadi, nilai $ 16\left( \frac{n^2 + k^2}{m^2} \right) + 2012 = 2017 $.

Rumus panjang berkaitan perkalian dot (perkalian titik)
Misalkan terdapat vektor $ \vec{a} $ , $ \vec{b} $ dan $ \vec{c} $, berlaku rumus-rumus panjang vektor berikut :
i). $ \vec{a}.\vec{a} = \vec{a}^2 = |\vec{a}|^2 $
ii). $ |\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 +2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 $
iii). $ |\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 $
iv). $ |m\vec{a} + n\vec{b}|^2 = m^2|\vec{a}|^2 + n^2|\vec{b}|^2 + 2mn|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 $
$ \begin{align} \text{v). } & |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} |^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + \\ & \, \, 2(|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 + |\vec{b}||\vec{c}| \cos \theta _2 + |\vec{a}||\vec{c}| \cos \theta _3 ) \\ \text{vi).} & |m\vec{a} + n\vec{b} + k\vec{c} |^2 = |m^2\vec{a}|^2 + n^2|\vec{b}|^2 + k^2|\vec{c}|^2 + \\ & \, \, 2(mn|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 + nk|\vec{b}||\vec{c}| \cos \theta _2 + mk|\vec{a}||\vec{c}| \cos \theta _3 ) \end{align} $
       Untuk contoh soal dan pembuktian rumus-rumus panjang vektor berkaitan perkalian dot ini, silahkan teman-teman baca pada artikel "Rumus Panjang vektor Berkaitan Perkalian Dot".

$ \spadesuit \, $ Pembuktian Rumus perkalian dot secara aljabar
*). Perhatikan ilustrasi gambar berikut :
       Pada segitiga AOB di atas, vektor $ \vec{OA} = \vec{a} $ dan $ \vec{OB} = \vec{b} $ membentuk sudut $ \theta $.
*). Menentukan vektor dan panjangnya :
$ \begin{align} \vec{AB} & = \vec{b} - \vec{a} = (b_1 - a_1, b_2 - a_2 , b_3 - a_3 ) \\ |\vec{AB}|^2 & = (b_1 - a_1)^2 + ( b_2 - a_2)^2 + ( b_3 - a_3 )^2 \\ & = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 - 2(a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3) \\ \vec{OA} & = \vec{a} = (a_1, a_2,a_3) \\ |\vec{OA}|^2 & = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 \\ \vec{OB} & = \vec{b} = (b_1, b_2,b_3) \\ |\vec{OB}|^2 & = b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 \\ \end{align} $
*). Menentukan $ |\vec{AB}|^2 - |\vec{OA}|^2 - |\vec{OB}|^2 $ :
$ \begin{align} & |\vec{AB}|^2 - |\vec{OA}|^2 - |\vec{OB}|^2 \\ & = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 - 2(a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3) \\ & \, \, \, \, -( a_1^2 + a_2^2 + a_3^2) - (b_1^2 + b_2^2 + b_3^2) \\ & = - 2(a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3) \end{align} $
*). Berdasarkan aturan kosinus segitiga AOB dan definisi perkalian dot secara geometri :
$ \begin{align} |\vec{AB}|^2 & = |\vec{OA}|^2 + |\vec{OB}|^2 - 2 |\vec{OA}||\vec{OB}| \cos \theta \\ |\vec{AB}|^2 - |\vec{OA}|^2 - |\vec{OB}|^2 & = - 2 |\vec{OA}||\vec{OB}| \cos \theta \\ |\vec{AB}|^2 - |\vec{OA}|^2 - |\vec{OB}|^2 & = - 2 |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \\ - 2(a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3) & = - 2 |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \\ a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 & = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \\ a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 & = \vec{a}.\vec{b} \end{align} $
Jadi, terbukti bahwa $ \vec{a}.\vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 $.

$ \clubsuit \, $ Pembuktian Cara II :
*). Kita menggunakan vektor basis $ \vec{i}, \vec{j}, \vec{k} $
dengan $ \vec{i} = (1,0,0) , \vec{j} = (0,1,0) \, $ dan $ \vec{j} = (0,0,1) $.
panjang vektor basisnya : $ |\vec{i}| = 1 $ , $ |\vec{j}| = 1 $ , $ |\vec{k}| = 1 $.
Sudut antara masing-masing vektor adalah $ 90^\circ $.
*). Dengan definisi perkalian dot (peralian titik) dua vektor yaitu :
$ \vec{a} . \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta $
kita peroleh :
$ \vec{i}.\vec{i} = |\vec{i}||\vec{i}| = \cos 0^\circ = 1 . 1 . 1 = 1 $ (berimpit)
$ \vec{j}.\vec{j} = |\vec{j}||\vec{j}| = \cos 0^\circ = 1 . 1 . 1 = 1 $ (berimpit)
$ \vec{k}.\vec{k} = |\vec{k}||\vec{k}| = \cos 0^\circ = 1 . 1 . 1 = 1 $ (berimpit)
$ \vec{i}.\vec{j} = |\vec{i}||\vec{j}| = \cos 90^\circ = 1 . 1 . 0 = 0 $ (tegak lurus)
$ \vec{j}.\vec{k} = |\vec{j}||\vec{k}| = \cos 90^\circ = 1 . 1 . 0 = 0 $ (tegak lurus)
$ \vec{i}.\vec{k} = |\vec{i}||\vec{k}| = \cos 90^\circ = 1 . 1 . 0 = 0 $ (tegak lurus)
*). Vektor $ \vec{a} = a_1\vec{i} + a_2\vec{j} + a_3\vec{k} $ dan $ \vec{b} = b_1\vec{i} + b_2\vec{j} + b_3\vec{k} $
*). Menentukan hasil perkalian dot :
$ \begin{align} \vec{a}.\vec{b} & = (a_1\vec{i} + a_2\vec{j} + a_3\vec{k}). (b_1\vec{i} + b_2\vec{j} + b_3\vec{k}) \\ & = a_1\vec{i}.b_1\vec{i} + a_1\vec{i}.b_2\vec{j}+a_1\vec{i}.b_3\vec{k} + a_2\vec{j}.b_1\vec{i} + a_2\vec{j}.b_2\vec{j} \\ & \, \, \, \, + a_2\vec{j}.b_3\vec{k} + a_3\vec{k}.b_1\vec{i} + a_3\vec{k}.b_2\vec{j}+a_3\vec{k}.b_3\vec{k} \\ & = a_1b_1\vec{i}.\vec{i} + 0+0 + 0 + a_2b_2\vec{j}.\vec{j} + 0 + 0 + 0+a_3b_3\vec{k}.\vec{k} \\ & = a_1b_1. 1 + a_2b_2. 1 + a_3b_3. 1 \\ & = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 \end{align} $
Jadi, terbukti bahwa $ \vec{a}.\vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 $.

       Demikian pembahasan materi Perkalian Dot Dua Vektor dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "materi vektor tingkat SMA" yaitu "Perkalian Silang Dua Vektor (Cross Product)".