Tampilkan postingan dengan label vektor. Tampilkan semua postingan
Tampilkan postingan dengan label vektor. Tampilkan semua postingan

Sifat Operasi Perkalian Dot dan Perkalian Silang

         Blog Koma - Setelah mempelajari materi "perkalian dot dua vektor" dan "perkalian silang dua vektor" , pada artikel ini kita lanjutkan dengan pembahasan artikel Sifat Operasi Perkalian Dot dan Perkalian Silang. Pada soal-soal seleksi masuk PTN seperti SBMPTN atau seleksi mandiri masuk PTN (perguruan tinggi negeri), soal-soal yang dikeluarkan tidak melulu dalam bentuk hitungan melainkan berkaitan dengan sifat-sifatnya seperti Sifat Operasi Perkalian Dot dan Perkalian Silang jika berkaitan dengan vektor. Pada halaman ini, kita akan menyajikan masing-masing Sifat Operasi Perkalian Dot dan Perkalian Silang yang diikuti dengan pembuktiannya. Setelah itu baru kita pelajari beberapa contoh soalnya. Untuk memudahkan mempelajari Sifat Operasi Perkalian Dot dan Perkalian Silang ini, sebaiknya teman-teman harus menguasai terlebih dahulu materi perkalian dot dan perkalian silang dengan baik karena pada pembuktiannya kita langsung menggunakan perhitungan sesuai definisi perkalian dot dan perkalian silangnya. Berikut Sifat Operasi Perkalian Dot dan Perkalian Silang.

Sifat-sifat Operasi Perkalian Dot
       Misalkan vektor-vektor $ \vec{a} $ , $ \vec{b} $ dan $ \vec{c} $ di R$^2 $ atau di R$^3$ serta $ k $ skalar tak nol. Sifat-sifat Operasi Perkalian Dot yaitu :
1). $ \vec{a}. \vec{b} = \vec{b} . \vec{a} \, $ (sifat komutatif)
2). $ \vec{a} . (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} . \vec{b} + \vec{a} . \vec{c} \, $ (sifat distributif)
3). $ (\vec{a} +\vec{b}).\vec{c} = \vec{a} . \vec{c} + \vec{b} . \vec{c} \, $ (sifat distributif)
4). $ k(\vec{a}.\vec{b}) = (k\vec{a}).\vec{b} = \vec{a}.(k\vec{b}) $
5). $ \vec{a}. \vec{a} = |\vec{a}|^2 $
6). Jika $ \vec{a} \neq 0 $ , $ \vec{b} \neq 0 $ dan $ \vec{a}. \vec{b} = 0 $ , maka $ \vec{a} $ tegak lurus $ \vec{b} $

$ \clubsuit \, $ Pembuktian Sifat-sifat Operasi Perkalian Dot :
       Misalkan vektor-vektor $ \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) $ , $ \vec{b} = (b_1,b_2,b_3) $ dan $ \vec{c} = (c_1,c_2,c_3) $ di R$^3$ serta $ k $ skalar tak nol. (teman-teman juga bisa menggunakan vektor-vektor di R$^2$).
*). Pembuktian sifat (1) :
$ \begin{align} \vec{a}. \vec{b} & = (a_1, a_2, a_3) . (b_1,b_2,b_3) \\ & = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 \\ & = b_1a_1 + b_2a_2 + b_3a_3 \\ & = (b_1,b_2,b_3) . (a_1, a_2, a_3) \\ & = \vec{b}. \vec{a} \end{align} $
Terbukti $ \vec{a}. \vec{b} = \vec{b} . \vec{a} $

*). Pembuktian sifat (2) :
$ \begin{align} \vec{a} (\vec{b} + \vec{c}) & = (a_1, a_2, a_3). [(b_1,b_2,b_3) + (c_1,c_2,c_3)] \\ & = (a_1, a_2, a_3). (b_1+c_1,b_2+c_2,b_3+c_3) \\ & = a_1(b_1+c_1) + a_2(b_2+c_2) + a_3(b_3+c_3) \\ & = a_1b_1+a_1c_1 + a_2b_2+a_2c_2 + a_3b_3+b_3c_3 \\ & = (a_1b_1+a_2b_2 + a_3b_3) +( a_1c_1 +a_2c_2 +b_3c_3) \\ & = \vec{a} . \vec{b} + \vec{a} . \vec{c} \end{align} $
Terbukti $ \vec{a} (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} . \vec{b} + \vec{a} . \vec{c} $

*). Pembuktian Sifat (3) :
$ \begin{align} (\vec{a} +\vec{b}).\vec{c} & = [(a_1, a_2, a_3) + (b_1,b_2,b_3)].(c_1,c_2,c_3) \\ & = (a_1+b_1, a_2+b_2, a_3+b_3).(c_1,c_2,c_3) \\ & = (a_1+b_1)c_1+ (a_2+b_2)c_2+ (a_3+b_3)c_3 \\ & = a_1c_1+b_1 c_1+ a_2c_2+b_2c_2+ a_3c_3+b_3c_3 \\ & = (a_1c_1+ a_2c_2 + a_3c_3) + (b_1 c_1+b_2c_2+b_3c_3) \\ & = \vec{a} . \vec{c} + \vec{b} . \vec{c} \end{align} $
Terbukti $ (\vec{a} +\vec{b}).\vec{c} = \vec{a} . \vec{c} + \vec{b} . \vec{c} $

*). Pembuktian sifat (4) :
$ \begin{align} k(\vec{a}.\vec{b}) & = k [(a_1, a_2, a_3) . (b_1,b_2,b_3)] \\ & = k [a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 ] \\ & = k a_1b_1 + ka_2b_2 + ka_3b_3 \\ (k\vec{a}).\vec{b} & = [k(a_1, a_2, a_3)].(b_1,b_2,b_3) \\ & = (ka_1, ka_2, ka_3) .(b_1,b_2,b_3) \\ & = ka_1b_1 + ka_2b_2 + ka_3b_3 \\ \vec{a}.(k\vec{b}) & = (a_1, a_2, a_3).[k(b_1,b_2,b_3)] \\ & = (a_1, a_2, a_3).(kb_1,kb_2,kb_3) \\ & = a_1kb_1 + a_2kb_2 + a_3kb_3 \\ & = ka_1b_1 + ka_2b_2 + ka_3b_3 \end{align} $
Dari ketiga hasil di atas, terbukti bahwa
$ k(\vec{a}.\vec{b}) = (k\vec{a}).\vec{b} = \vec{a}.(k\vec{b}) $

*). Pembuktian sifat (5) : $ \vec{a}. \vec{a} = |\vec{a}|^2 $
Untuk pembuktian sifat (5) ini, silahkan teman-teman baca pada artikel "Rumus Panjang Berkaitan Perkalian Dot".

*). Pembuktian sifat (6) :
$ \begin{align} \vec{a}. \vec{b} & = 0 \\ |\vec{a}|| \vec{b}| \sin \theta & = 0 \\ \sin \theta & = 0 \\ \theta & = 90^\circ \end{align} $
Terbukti sudut antara vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ adalah $ 90^\circ $ atau kita sebut $ \vec{a} $ tegak lurus $ \vec{b} $ atau dapat kita tulis $ \vec{a} \bot \vec{b} $.

Sifat-sifat Operasi Perkalian Silang
       Misalkan vektor-vektor $ \vec{a} $ , $ \vec{b} $ dan $ \vec{c} $ di R$^3$ dan $ k $ skalar tak nol. Sifat-sifat Operasi Perkalian silang yaitu :
1). $ \vec{a} \times \vec{b} = -\vec{b} \times \vec{a} \, $ (sifat anti komutatif)
2). $ \vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c} \, $ (sifat distributif)
3). $ (\vec{a} +\vec{b}) \times \vec{c} = \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c} \, $ (sifat distributif)
4). $ k(\vec{a} \times \vec{b}) = (k\vec{a}) \times \vec{b} = \vec{a} \times (k\vec{b}) $
5). Jika $ \vec{a} \neq 0 $ , $ \vec{b} \neq 0 $ dan $ \vec{a} \times \vec{b} = 0 $ , maka $ \vec{a} $ sejajar $ \vec{b} $

$ \spadesuit \, $ Pembuktian Sifat-sifat Operasi Perkalian Silang :
       Misalkan vektor-vektor $ \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) $ , $ \vec{b} = (b_1,b_2,b_3) $ dan $ \vec{c} = (c_1,c_2,c_3) $ di di R$^3$ serta $ k $ skalar tak nol.
*). Pembuktian sifat (1) :
$ \begin{align} \vec{a} \times \vec{b} & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{matrix} \right| \\ & = (a_2b_3 - a_3b_2 , a_3b_1 - a_1b_3 , a_1b_2 - a_2b_1 ) \\ - \vec{b} \times \vec{a} & = - \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 \end{matrix} \right| \\ & = -(a_3b_2 - a_2b_3 , a_1b_3 - a_3b_1 , a_2b_1 - a_1b_2 ) \\ & = (-a_3b_2 + a_2b_3 , -a_1b_3 + a_3b_1 , -a_2b_1 + a_1b_2 ) \\ & = (a_2b_3 - a_3b_2 , a_3b_1 - a_1b_3 , a_1b_2 - a_2b_1 ) \end{align} $
Terbukti $ \vec{a} \times \vec{b} = -\vec{b} \times \vec{a} $

*). Pembuktian sifat (2) :
$ \begin{align} & \vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) \\ & = (a_1, a_2, a_3) \times [(b_1,b_2,b_3) + (c_1,c_2,c_3)] \\ & = (a_1, a_2, a_3) \times (b_1+c_1,b_2+c_2,b_3+c_3) \\ & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1+c_1 & b_2+c_2 & b_3 +c_3 \end{matrix} \right| \\ & = (a_2(b_3+c_3) - a_3(b_2+c_2) , a_3(b_1+c_1) - a_1(b_3+c_3) , a_1(b_2+c_2) - a_2(b_1+c_1) ) \\ & \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c} \\ & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{matrix} \right| + \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{matrix} \right| \\ & = (a_2b_3 - a_3b_2 , a_3b_1 - a_1b_3 , a_1b_2 - a_2b_1 ) + (a_2c_3 - a_3c_2 , a_3c_1 - a_1c_3 , a_1c_2 - a_2c_1 ) \\ & = (a_2b_3 + a_2c_3 - a_3b_2 - a_3c_2 , a_3b_1 + a_3c_1 - a_1b_3 - a_1c_3 , a_1b_2 + a_1c_2 - a_2b_1 - a_2c_1 ) \\ & = (a_2(b_3 + c_3) - a_3(b_2 +c_2) , a_3(b_1 + c_1) - a_1(b_3 +c_3) , a_1(b_2 + c_2) - a_2(b_1 +c_1) ) \end{align} $
Kedua bentuk di atas memiliki hasil yang sama.
Terbukti $ \vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c} $

*). Pembuktian sifat (3) :
$ \begin{align} & (\vec{a} +\vec{b}) \times \vec{c} \\ & = [(a_1, a_2, a_3) + (b_1,b_2,b_3)] \times (c_1,c_2,c_3) \\ & = (a_1+b_1, a_2+b_2, a_3+b_3) \times (c_1,c_2,c_3) \\ & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 + b_1 & a_2 + b_2 & a_3 + b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{matrix} \right| \\ & = ((a_2+b_2)c_3 - (a_3+b_3)c_2 , (a_3+b_3)c_1 - (a_1+b_1)c_3 , (a_1+b_1)c_2 - (a_2+b_2)c_1 ) \\ & \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c} \\ & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{matrix} \right| + \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{matrix} \right| \\ & = (a_2c_3 - a_3c_2 , a_3c_1 - a_1c_3 , a_1c_2 - a_2c_1 ) + (b_2c_3 - b_3c_2 , b_3c_1 - b_1c_3 , b_1c_2 - b_2c_1 ) \\ & = (a_2c_3 - a_3c_2 + b_2c_3 - b_3c_2 , a_3c_1 - a_1c_3 + b_3c_1 - b_1c_3 , a_1c_2 - a_2c_1 + b_1c_2 - b_2c_1 ) \\ & = (a_2c_3 + b_2c_3 - a_3c_2 - b_3c_2 , a_3c_1 + b_3c_1 - a_1c_3 - b_1c_3 , a_1c_2 + b_1c_2 - a_2c_1- b_2c_1 ) \\ & = ((a_2 + b_2)c_3 - (a_3+b_3)c_2 , (a_3 + b_3)c_1 - (a_1+b_1)c_3 , (a_1 + b_1)c_2 - (a_2 + b_2)c_1 ) \end{align} $
Kedua bentuk di atas memiliki hasil yang sama.
Terbukti $ (\vec{a} +\vec{b}) \times \vec{c} = \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c} $.

*). Pembuktian sifat (4) :
$ \begin{align} k(\vec{a} \times \vec{b}) & = k \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{matrix} \right| \\ & = k (a_2b_3 - a_3b_2 , a_3b_1 - a_1b_3 , a_1b_2 - a_2b_1 ) \\ & = (ka_2b_3 - ka_3b_2 , ka_3b_1 - ka_1b_3 , ka_1b_2 - ka_2b_1 ) \\ (k\vec{a}) \times \vec{b} & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ ka_1 & ka_2 & ka_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{matrix} \right| \\ & = (ka_2b_3 - ka_3b_2 , ka_3b_1 - ka_1b_3 , ka_1b_2 - ka_2b_1 ) \\ \vec{a} \times (k\vec{b}) & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ kb_1 & kb_2 & kb_3 \end{matrix} \right| \\ & = (a_2kb_3 - a_3kb_2 , a_3kb_1 - a_1kb_3 , a_1kb_2 - a_2kb_1 ) \\ & = (ka_2b_3 - ka_3b_2 , ka_3b_1 - ka_1b_3 , ka_1b_2 - ka_2b_1 ) \end{align} $
Ketiga hasil di atas nilainya sama.
Terbukti $ k(\vec{a} \times \vec{b}) = (k\vec{a}) \times \vec{b} = \vec{a} \times (k\vec{b}) $

*). Pembuktian sifat (5) :
Jika $ \vec{a} \neq 0 $ , $ \vec{b} \neq 0 $ dan $ \vec{a} \times \vec{b} = 0 $ , maka $ \vec{a} $ sejajar $ \vec{b} $
$ \begin{align} \vec{a} \times \vec{b} & = 0 \\ | \vec{a} \times \vec{b} | & = 0 \\ | \vec{a} | |\vec{b} | \sin \theta & = 0 \\ \sin \theta & = 0 \\ \theta & = 0^\circ \end{align} $
Karena sudut antara vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ adalah $ 0^\circ $, maka kedua vektor ini sejajar. Jadi terbukti sifat (5).

Contoh soal Sifat Operasi Perkalian Dot dan Perkalian Silang :

1). Dari bentuk berikut ini, manakah yang SALAH
A). $ \vec{a}.(\vec{b}.\vec{c}) = (\vec{a}.\vec{b}).\vec{c} $
B). $ \vec{a}. \vec{b} = \vec{b} . \vec{a} \, $
C). $ \vec{a} . (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} . \vec{b} + \vec{a} . \vec{c} \, $
D). $ (\vec{a} +\vec{b}).\vec{c} = \vec{a} . \vec{c} + \vec{b} . \vec{c} \, $
E). $ k(\vec{a}.\vec{b}) = (k\vec{a}).\vec{b} = \vec{a}.(k\vec{b}) $
Penyelesaian :
*). dari sifat-sifat perkalian dot di atas, maka yang salah adalah option (A). Kenapa option A salah? berikut penjelasannya.
-). Perhatikan bentuk $ \vec{b}.\vec{c} $, hasilnya adalah skalar (bukan vektor).
-). bentuk $ \vec{a}.(\vec{b}.\vec{c}) $ = vektor dot skalar, tidak terdefinis karena perkalian dot berlaku hanya antara vektor dan vektor.
Karena tidak terdefinisi, maka otomatis option (A) salah.

2). Manakah dari pernyataan berikut yang SALAH !
A). $ \vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c} \, $
B). $ (\vec{a} +\vec{b}) \times \vec{c} = \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c} \, $
C). $ k(\vec{a} \times \vec{b}) = (k\vec{a}) \times \vec{b} = \vec{a} \times (k\vec{b}) $
D). Jika $ \vec{a} \neq 0 $ , $ \vec{b} \neq 0 $ dan $ \vec{a} \times \vec{b} = 0 $ , maka $ \vec{a} $ sejajar $ \vec{b} $
E). $ \vec{a} \times \vec{b} = \vec{b} \times \vec{a} \, $
Penyelesaian :
*). Option atau pernyataan yang salah adalah option (E) karena pada perkalian silang tidak berlaku sifat komutatif melainkan berlaku sifat anti komutatif yaitu $ \vec{a} \times \vec{b} = -\vec{b} \times \vec{a} $ .

       Demikian pembahasan materi Sifat Operasi Perkalian Dot dan Perkalian Silang dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "Materi vektor tingkat SMA" lainnya yaitu "proyeksi ortogonal vektor pada vektor".

Perkalian Silang Dua Vektor

         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas materi Perkalian Silang Dua Vektor atau biasa disebut Cross Product. Operasi Perkalian Silang (Cross Product) Dua Vektor merupakan kelanjutan dari operasi lain pada vektor dimana sebelumnya kita telah membahas "penjumlahan dan pengurangan vektor", "perkalian skalar dengan vektor", dan "perkalian dot (perkalian titik) dua vektor". Perkalian Silang Dua Vektor menghasilkan vektor lain yang tegak lurus dengan kedua vektor yang dikalikan. Berbeda dengan perkalian dot yang menghasilkan skalar. Perkalian Silang Dua Vektor memiliki aplikasi yang cukup luas diantaranya menentukan jarak titik ke garis, menentukan luas bangun datar, volume bangun ruang, dan jarak dua garis bersilangan. Hal-hal yang harus kita kuasai untuk memudahkan mempelajari materi Perkalian Silang (Cross Product) Dua Vektor ini yaitu pengertian vektor dan penulisannya, panjang vektor dan vektor satuan, determinan matriks $ 3 \times 3 $ cara Sarrus, dan Penerapan trigonometri pada segitiga (luasnya). Perkalian Silang Dua Vektor hanya berlaku pada vektor di R$^3$ saja.

Definisi Perkalian Silang Dua Vektor (Cross Product)
       Perhatikan ilustrasi gambar di atas. Jika $ \vec{a} \neq 0 $ dan $ \vec{b} \neq 0 $ dalam ruang dapat diputar tanpa mengubah besar atau arah masing-masing sehingga titik pangkalnya berimpit, dengan kaidah tangan kanan (ulir kanan) didefinisikan bahwa:
$ \, \, \, \, \, \, \, \, \vec{a} \times \vec{b} = \vec{e} |\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta , \, 0 \leq \theta \leq \pi $
dengan :
$ \vec{e} = \, $ vektor satuan yang tegak lurus $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $
$ \theta = \, $ sudut antara vektor $ \vec{a} $ dan vektor $ \vec{b} $
$ \vec{a} \times \vec{b} \, $ dibaca "vektor $ \vec{a} $ kros vektor $ \vec{b} $ " atau cukup " $ \vec{a} $ kros $ \vec{b} $ "
(Thomas, 1986 : 727 - 730)
Menentukan Hasil Perkalian Silang Dua Vektor
       Mislkan terdapat vektor $ \vec{a} = (a_1, a_2,a_3) $ dan $ \vec{b} = (b_1,b_2,b_3) $ , hasil perkalian silang kedua vektor dapat kita tentukan dengan cara :
$ \vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2 , a_3b_1 - a_1b_3 , a_1b_2 - a_2b_1 ) \, $ atau
$ \vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2)\vec{i} + (a_3b_1 - a_1b_3)\vec{j} + (a_1b_2 - a_2b_1 )\vec{k} $

Bentuk penghitungan di atas dapat kita tuliskan dengan bentuk lainnya yang kita namakan "rumus determinan cross vektor" sebagai berikut :
$ \begin{align} \vec{a} \times \vec{b} & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{matrix} \right| \\ & = (a_2b_3 - a_3b_2)\vec{i} + (a_3b_1 - a_1b_3)\vec{j} + (a_1b_2 - a_2b_1 )\vec{k} \end{align} $
Cara penghitungan "rumus determinan cross vektor" adalah sama dengan determinan matriks ordo $ 3 \times 3 $, silahkan baca aritikelnya pada "Determinan dan Invers Matriks".

Rumus panjang Hasil Perkalian Silang Dua Vektor
       Dari "definisi Perkalian Silang Dua Vektor" di atas, maka kita peroleh rumus panjang hasil Perkalian Silang Dua Vektor yaitu :
$ \, \, \, \, \, \, |\vec{a} \times \vec{b} | = |\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta $

Contoh Soal Perkalian Silang Dua Vektor (Cross Product) :

1). Diketahui vektor $ \vec{a} = 2\vec{i}-\vec{j}+3\vec{k} $ dan $ \vec{b} = \vec{i} + 2\vec{j} - 2\vec{k} $ . Tentukan hasil perkalian silang antara vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan hasil perkalian silang (Metode Sarrus) :
$ \begin{align} \vec{a} \times \vec{b} & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & -2 \end{matrix} \right| \\ & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} & | & \vec{i} & \vec{j} \\ 2 & -1 & 3 & | & 2 & -1 \\ 1 & 2 & -2 & | & 1 & 2 \end{matrix} \right| \\ & = (-1.-2\vec{i} + 1.3\vec{j} + 2.2\vec{k}) - (2.3\vec{i} + 2.(-2)\vec{j} + 1.(-1)\vec{k}) \\ & = (2\vec{i} + 3\vec{j} + 4\vec{k}) - (6\vec{i} -4\vec{j} -\vec{k}) \\ & = 2\vec{i} + 3\vec{j} + 4\vec{k} - 6\vec{i} + 4\vec{j} + \vec{k} \\ & = -4\vec{i} + 7\vec{j} + 5\vec{k} \end{align} $
Jadi, hasil dari $ \vec{a} \times \vec{b} = -4\vec{i} + 7\vec{j} + 5\vec{k} $.

2). Jika hasil perkalian silang antara vektor $ \vec{a} = (p, 2, r) $ dan $ \vec{b} = (-1, 4, 3 ) $ adalah $ ( 2 , 5, -6) $ , maka tentukan nilai $ ( p + r)^{2017} + 2 $ !
Penyelesaian :
*). Diketahui $ \vec{a} \times \vec{b} = ( 2 , 5, -6) $
*). Menentukan $ \vec{a} \times \vec{b} $ :
$ \begin{align} \vec{a} \times \vec{b} & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ p & 2 & r \\ -1 & 4 & 3 \end{matrix} \right| \\ & = ( 6\vec{i} -r\vec{j} + 4p\vec{k} ) - ( 4r\vec{i} + 3p\vec{j} - 2\vec{k}) \\ & = (6 - 4r)\vec{i} - ( r + 3p)\vec{j} + (4p + 2)\vec{k} \\ & = ( 6 - 4r , -r - 3p , 4p + 2 ) \end{align} $
*). Kedua hasil dari $ \vec{a} \times \vec{b} $ sama yaitu :
$ ( 2 , 5, -6) = ( 6 - 4r , -r - 3p , 4p + 2 ) $
Sehingga :
$ 2 = 6 - 4r \rightarrow 4r = 4 \rightarrow r = 1 $
$ -6 = 4p + 2 \rightarrow 4p = -8 \rightarrow p = -2 $.
*). Menentukan hasil $ ( p + r)^{2017} + 2 $ :
$ ( p + r)^{2017} + 2 = ( -2 + 1)^{2017} + 2 $
$ = (-1)^{2017} + 2 = -1 + 2 = 1 $
Jadi, hasil dari $ ( p + r)^{2017} + 2 = 1 $.

3). Sudut antara vektor $ \vec{p} $ dan $ \vec{q} $ adalah $ 30^\circ $. Jika $ |\vec{p}| = 4 $ dan $ |\vec{q}| = 5 $ , maka tentukan $ |\vec{p} \times \vec{q}| $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan hasil $ |\vec{p} \times \vec{q}| $ :
$ \begin{align} |\vec{p} \times \vec{q}| & = |\vec{p} | |\vec{q}| \sin \theta \\ & = 4 \times 5 \sin 30^\circ \\ & = 20 \times \frac{1}{2} \\ & = 10 \end{align} $
Jadi, hasil dari $ |\vec{p} \times \vec{q}| = 10 $.

4). Diketahui vektor $ \vec{p} = (-1, 1, -1) $ dan $ \vec{q} = (2, -1 ,1) $ . Jika vektor $ \vec{a} $ yang panjangnya satu tegak lurus dengan vektor $ \vec{p} $ dan tegak lurus vektor $ \vec{q} $ , maka tentukan vektor $ 3\sqrt{2}\vec{a} $ !
Penyelesaian :
*). Vektor $ \vec{b} $ tegak lurus dengan vektor $ \vec{p} $ dan $ \vec{q} $ , artinya vektor $ \vec{b} $ adalah hasil perkalian silang antara vektor $ \vec{p} $ dan $ \vec{q} $, yaitu :
$ \begin{align} \vec{b} & = \vec{p} \times \vec{q} \\ & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \end{matrix} \right| \\ & = (\vec{i} -2\vec{j} + \vec{k}) - ( \vec{i} - \vec{j} + 2\vec{k}) \\ & = \vec{i} -2\vec{j} + \vec{k} - \vec{i} + \vec{j} - 2\vec{k} \\ & = -\vec{j} - \vec{k} \\ & = (0 , -1, -1) \end{align} $
*). Vektor $ \vec{a} $ adalah vektor satuan dari vektor $ \vec{b} $ :
$ \begin{align} \vec{a} & = \left( \frac{1}{|\vec{b}|} \right) \vec{b} \\ & = \left( \frac{1}{\sqrt{0^2 + (-1)^2 + (-1)^2}} \right) ( 0, -1, -1) \\ & = \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) ( 0, -1, -1) \\ & = ( 0, -\frac{1}{\sqrt{2}} , -\frac{1}{\sqrt{2}} ) \end{align} $
*). Menentukan hasil $ 3\sqrt{2}\vec{a} $ :
$ \begin{align} 3\sqrt{2}\vec{a} & = 3\sqrt{2}( 0, -\frac{1}{\sqrt{2}} , -\frac{1}{\sqrt{2}} ) \\ & = ( 0, -3 , -3 ) \end{align} $
Jadi, hasil dari $ 3\sqrt{2}\vec{a} = ( 0, -3 , -3 ) $ .

Catatan :
Untuk contoh nomor 4 di atas, vektor $ \vec{a} $ yang panjangnya satu tegak lurus dengan vektor $ \vec{p} $ dan $ \vec{q} $ dapat kita tentukan dengan cara :
$ \, \, \, \, \, \, \, \vec{a} = \frac{\vec{p} \times \vec{q}}{|\vec{p} \times \vec{q}|} $
Silahkan teman-teman coba dengan rumus ini untuk mengerjakan kembali contoh soal nomor 4 di atas.

5). Sudut antara vektor $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ adalah $ 30^\circ $ dengan $ \vec{u} = ( x, -2 , 1) $ . Jika $ |\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{6} $ dan $ |\vec{v}| = \sqrt{2} $ , maka tentukan nilai $ \sqrt{x^2 + 2} - 3 $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai $ x^2 $ :
$ \begin{align} |\vec{u} \times \vec{v}| & = |\vec{u} | |\vec{v}| \sin \theta \\ \sqrt{6} & = \sqrt{x^2 + (-2)^2 + 1^2} \times \sqrt{2} \sin 30^\circ \\ \sqrt{3}. \sqrt{2} & = \sqrt{x^2 + 5} \times \sqrt{2} \times \frac{1}{2} \\ \sqrt{3} & = \sqrt{x^2 + 5} \times \frac{1}{2} \\ 2\sqrt{3} & = \sqrt{x^2 + 5} \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ 12 & = x^2 + 5 \\ x^2 & = 7 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \sqrt{x^2 + 2} - 3 $ :
$ \begin{align} \sqrt{x^2 + 2} - 3 & = \sqrt{7 + 2} - 3 \\ & = \sqrt{9} - 3 \\ & = 3 - 3 = 0 \end{align} $
Jadi, nilai $ \sqrt{x^2 + 2} - 3 = 0 $.

6). Diketahui vektor $ \vec{p} = (5, 0, 0) $ dan $ \vec{q} = (3,2,1) $. Tentukan luas jajar genjang yang dibentuk oleh vektor $ \vec{p} $ dan $ \vec{q} $!
Penyelesaian :
*). Ilustrasi gambar :
Dari vektor $ \vec{p} $ dan $ \vec{q} $ terbentuk jajargenjang ABCD seperti pada gambar di atas.
*). Luas segitiga ABD dengan aturan sinus pada segitga dan $ |\vec{p} \times \vec{q}| = |\vec{p}| |\vec{q}| \sin \theta $.
$ \begin{align} \text{Luas } \Delta ABC & = \frac{1}{2} AB \times AD \sin \theta \\ & = \frac{1}{2} |\vec{p}| |\vec{q}| \sin \theta \\ & = \frac{1}{2} |\vec{p} \times \vec{q}| \end{align} $
*). Luas jajargenjang ABCD adalah 2 kali luas ABD :
Luas ABCD $ = 2 \times \frac{1}{2} |\vec{p} \times \vec{q}| = |\vec{p} \times \vec{q}| $
*. Menentukan $ \vec{p} \times \vec{q} $ dan $ |\vec{p} \times \vec{q}| $ :
$ \begin{align} \vec{p} \times \vec{q} & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 5 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{matrix} \right| \\ & = (0 + 0 + 10\vec{k}) - ( 0 + 5\vec{j} +0) \\ & = -5\vec{j} + 10\vec{k} \\ & = (0 , -5, 10) \end{align} $
Nilai $ |\vec{p} \times \vec{q}| = \sqrt{0^2 + (-5)^2 + 10^2} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5} $
Artinya luas ABCD $ = |\vec{p} \times \vec{q}| = 5\sqrt{5} $
Jadi, luas jajargenjangnya adalah $ 5\sqrt{5} \, $ satuan luas.

$ \spadesuit \, $ Pembuktian Rumus penghitungan Perkalian Silang dua vektor
*). Definisi perkalian silang (cross product) :
$ \vec{a} \times \vec{b} = \vec{e} |\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta , \, 0 \leq \theta \leq \pi $
*). Cara menghitung hasil perkalian silang dua vektor :
$ \vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2 , a_3b_1 - a_1b_3 , a_1b_2 - a_2b_1 ) $
*). Pembktiannya :
-). dari definisi perkalian silang, kita peroleh :
$ \vec{i} \times \vec{j} = \vec{k} $ , $ \vec{j} \times \vec{k} = \vec{i} $ , $ \vec{k} \times \vec{i} = \vec{j} $
$ \vec{j} \times \vec{i} = -\vec{k} $ , $ \vec{k} \times \vec{j} = -\vec{i} $ , $ \vec{i} \times \vec{k} = -\vec{j} $
$ \vec{i} \times \vec{i} = 0 $ , $ \vec{j} \times \vec{j} = 0 $ , $ \vec{k} \times \vec{k} = 0 $
-). hasil $ \vec{a} \times \vec{b} $ :
$ \begin{align} \vec{a} \times \vec{b} & = (a_1\vec{i} + a_2\vec{j} + a_3\vec{k}) \times (b_1\vec{i} + b_2\vec{j} + b_3\vec{k}) \\ & = a_1b_1\vec{i} \times \vec{i} + a_1b_2\vec{i} \times \vec{j}+a_1b_3\vec{i} \times \vec{k} + a_2b_1\vec{j} \times \vec{i} + a_2b_2\vec{j} \times \vec{j} \\ & \, \, \, \, + a_2b_3\vec{j} \times \vec{k} + a_3b_1\vec{k} \times \vec{i} + a_3b_2\vec{k} \times \vec{j}+a_3b_3\vec{k} \times \vec{k} \\ & = 0 + a_1b_2\vec{k} +a_1b_3(-\vec{j}) + a_2b_1(-\vec{k}) + 0 + a_2b_3\vec{i} + a_3b_1\vec{j} + a_3b_2(-\vec{i}) + 0 \\ & = a_1b_2\vec{k} - a_1b_3 \vec{j} - a_2b_1 \vec{k} + a_2b_3\vec{i} + a_3b_1\vec{j} - a_3b_2 \vec{i} \\ & = (a_2b_3 - a_3b_2)\vec{i} + (a_3b_1 - a_1b_3)\vec{j} + (a_1b_2 - a_2b_1 )\vec{k} \\ & = (a_2b_3 - a_3b_2 , a_3b_1 - a_1b_3 , a_1b_2 - a_2b_1 ) \end{align} $
Jadi, terbukti $ \vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2 , a_3b_1 - a_1b_3 , a_1b_2 - a_2b_1 ) $ .

$ \clubsuit \, $ Pembuktian Rumus panjang Perkalian Silang dua vektor
*). Rumus panjang hasil perkalian silang (cross product)
$ |\vec{a} \times \vec{b} | = |\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta $
*). Pembuktiannya :
-). Dari definisi perkalian silangnya :
Panjang vektor satuannya satu : $ | \vec{e}| = 1 $
Nilai sinusnya : $ | \sin \theta | = \sin \theta \, $ untuk $ 0 \leq \theta \leq \pi $
$ \begin{align} \vec{a} \times \vec{b} & = \vec{e} |\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta \\ |\vec{a} \times \vec{b}| & = |\vec{e} |\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta | \\ & = |\vec{e} | |\vec{a}||\vec{b}| |\sin \theta | \\ & = 1. |\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta \\ & = |\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta \end{align} $
Jadi, terbukti $ |\vec{a} \times \vec{b} | = |\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta $.

Untuk berikutnya silahkan bacar artikel "sifat operasi perkalian dot dan perkalian silang".

       Demikian pembahasan materi Perkalian Silang Dua Vektor dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "materi vektor tingkat SMA" yaitu "Proyeksi Orthogonal Suatu Vektor ke Vektor Lain".

Rumus Panjang Berkaitan Perkalian Dot

         Blog Koma - Setelah membahas materi "Perkalian dot dua vektor", pada artikel ini kita lanjutkan dengan pembahasan materi Rumus Panjang Berkaitan Perkalian Dot. Sebenarnya artikel Rumus Panjang Berkaitan Perkalian Dot ini merupakan kelanjutan atau lebih tepatnya bagian dari materi perkalian dot dua vektor, hanya saja agar tidak terlalu banyak yang dipelajari (artikel terlalu panjang), maka penulisannya kami pisah di sini. Hal-hal yang akan kita bahas adalah contoh-contoh soal dan pembuktian Rumus Panjang Berkaitan Perkalian Dot. Karena masih terkait dengan perkalian dot, maka untuk memudahkan dalam mempelajari materi Rumus Panjang Berkaitan Perkalian Dot, sebaiknya teman-teman harus menguasai definisi perkalian dot dua vektor dan nilai trigonometri sudut-sudut istimewa. Dan tentu kita juga harus memahami pengertian panjang pada vektor. Langsung saja kita pelajari rumus-rumusnya yang dilengkapi dengan contoh-contoh berikut ini.

Rumus Panjang Berkaitan Perkalian Dot
       Misalkan terdapat vektor $ \vec{a} $, $ \vec{b} $ , dan $ \vec{c} $ dengan $ \theta _1 $ sudut antara $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $, $ \theta _2 $ sudut antara $ \vec{b} $ dan $ \vec{c} $ , $ \theta _3 $ sudut antara $ \vec{a} $ dan $ \vec{c} $ , serta terdapat bilangan real $m $ , $ n $ , dan $ k $. Berlaku rumus-rumus panjang berkaitan perkalian dot berikut ini :

i). $ \vec{a}.\vec{a} = \vec{a}^2 = |\vec{a}|^2 $
ii). $ |\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 +2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 $
iii). $ |\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 $
iv). $ |m\vec{a} + n\vec{b}|^2 = m^2|\vec{a}|^2 + n^2|\vec{b}|^2 + 2mn|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 $
$ \begin{align} \text{v). } & |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} |^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + \\ & \, \, 2(|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 + |\vec{b}||\vec{c}| \cos \theta _2 + |\vec{a}||\vec{c}| \cos \theta _3 ) \\ \text{vi).} & |m\vec{a} + n\vec{b} + k\vec{c} |^2 = |m^2\vec{a}|^2 + n^2|\vec{b}|^2 + k^2|\vec{c}|^2 + \\ & \, \, 2(mn|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 + nk|\vec{b}||\vec{c}| \cos \theta _2 + mk|\vec{a}||\vec{c}| \cos \theta _3 ) \end{align} $
Catatan :
Rumus panjang di atas masih dalam bentuk kuadrat dan dapat kita ubah dengan pengakaran.
Misalkan kita ambil satu rumus panjang berikut ini,
$ |\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 +2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 $
kita ubah menjadi :
$ |\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 +2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 } $

Contoh soal Rumus Panjang Berkaitan Perkalian Dot :

1). Vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ membentuk sudut $ 45^\circ $. Jika diketahui $ |\vec{a}| = 3 $ dan $ |\vec{b}| = \sqrt{2} $ , maka tentukan :
a). $ \vec{a}(\vec{a} - \vec{b}) $
b). $ \vec{a}(2\vec{a} + 3\vec{b}) $
c). $ |\vec{a}+\vec{b}| $
d). $ |\vec{a} - \vec{b}| $
e). $ |\vec{a} - 3\vec{b}| $
f). $ |2\vec{a} + 3\vec{b}| $
Penyelesaian :
a). $ \vec{a}(\vec{a} - \vec{b}) $
$ \begin{align} \vec{a}(\vec{a} - \vec{b}) & = \vec{a}.\vec{a} - \vec{a}.\vec{b} \\ & = |\vec{a}|^2 - |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \\ & = 3^2 - 3. \sqrt{2} \cos 45^\circ \\ & = 9 - 3\sqrt{2} . \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ & = 9 - 3 = 6 \end{align} $

b). $ \vec{a}(2\vec{a} + 3\vec{b}) $
$ \begin{align} \vec{a}(2\vec{a} + 3\vec{b}) & = 2\vec{a}.\vec{a} + 3\vec{a}.\vec{b} \\ & = 2|\vec{a}|^2 + 3|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \\ & = 2(3)^2 + 3.3.\sqrt{2}. \cos 45^\circ \\ & = 18 + 9\sqrt{2}. \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ & = 18 + 9 = 27 \end{align} $

c). $ |\vec{a}+\vec{b}| $
$ \begin{align} |\vec{a}+\vec{b}| & = \sqrt{|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 +2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta } \\ & = \sqrt{3^2 + (\sqrt{2})^2 +2.3.\sqrt{2} \cos 45^\circ } \\ & = \sqrt{9 + 2 + 6\sqrt{2} . \frac{1}{2}\sqrt{2} } \\ & = \sqrt{11 + 6 } = \sqrt{17} \end{align} $

d). $ |\vec{a} - \vec{b}| $
$ \begin{align} |\vec{a} - \vec{b}| & = \sqrt{|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta } \\ & = \sqrt{3^2 + (\sqrt{2})^2 - 2.3.\sqrt{2} \cos 45^\circ } \\ & = \sqrt{9 + 2 - 6\sqrt{2} . \frac{1}{2}\sqrt{2} } \\ & = \sqrt{11 - 6 } = \sqrt{5} \end{align} $

e). $ |\vec{a} - 3\vec{b}| $
$ \begin{align} |\vec{a} - 3\vec{b}| & = \sqrt{|\vec{a}|^2 + 9|\vec{b}|^2 - 3.2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta } \\ & = \sqrt{3^2 + 9(\sqrt{2})^2 - 6.3.\sqrt{2} \cos 45^\circ } \\ & = \sqrt{9 + 18 - 18\sqrt{2} . \frac{1}{2}\sqrt{2} } \\ & = \sqrt{27 - 18 } = \sqrt{9} = 3 \end{align} $

f). $ |2\vec{a} + 3\vec{b}| $
$ \begin{align} |2\vec{a} + 3\vec{b}| & = \sqrt{4|\vec{a}|^2 + 9|\vec{b}|^2 + 2.3.2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta } \\ & = \sqrt{4(3^2) + 9(\sqrt{2})^2 - 13.3.\sqrt{2} \cos 45^\circ } \\ & = \sqrt{36 + 18 - 39\sqrt{2} . \frac{1}{2}\sqrt{2} } \\ & = \sqrt{54 - 39 } = \sqrt{15} \end{align} $

2). Diketahui panjang vektor $ |\vec{a}| = 4 $ , $ |\vec{b}| = 2 $ , $ |\vec{c}| = 3 $. Sudut $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ adalah $ 60^\circ $ , sudut $ \vec{b} $ dan $ \vec{c} $ adalah $ 45^\circ $ , sudut antara $ \vec{a} $ dan $ \vec{c} $ adalah $ 30^\circ $ .
a). Tentukan $ |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 $
b). Jika $ |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = p + q\sqrt{2} - r\sqrt{3} $ , maka nilai $ p - q + r $ adalah ....?
Penyelesaian :
a). Menentukan $ |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 $
$ \begin{align} |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} |^2 & = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 + |\vec{b}||\vec{c}| \cos \theta _2 + |\vec{a}||\vec{c}| \cos \theta _3 ) \\ & = 4^2 + 2^2 + 3^2 + 2(4.2 \cos 60^\circ + 2.3. \cos 45^\circ + 4.3 \cos 30^\circ ) \\ & = 16 + 4 + 9 + 2(8. \frac{1}{2} +6. \frac{1}{2}\sqrt{2} + 12. \frac{1}{2}\sqrt{3} ) \\ & = 29 + 2(4 +3\sqrt{2} + 6\sqrt{3} ) \\ & = 29 + 8 +6\sqrt{2} + 12\sqrt{3} \\ & = 37 +6\sqrt{2} + 12\sqrt{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = 37 +6\sqrt{2} + 12\sqrt{3} $.

b). Pada soal bagian (a) , kita sudah memperoleh :
$ |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = 37 +6\sqrt{2} + 12\sqrt{3} $, sehingga :
$ \begin{align} |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 & = p + q\sqrt{2} - r\sqrt{3} \\ 37 +6\sqrt{2} + 12\sqrt{3} & = p + q\sqrt{2} - r\sqrt{3} \end{align} $
artinya nilai $ p = 37, q = 6 $ dan $ r = -12 $.
*). Mennetukan nilai $ p - q + r $
$ p - q + r = 37 - 6 + (-12) = 19 $
Jadi, nilai $ p - q + r = 19 $

3). Jika $ |\vec{a}| = 5 $ , $ |\vec{b}| = 3, $ dan $ |\vec{a}+\vec{b}| = 7$ , maka tentukan nilai $ |\vec{a} - \vec{b}| $!
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai $ 2\vec{a}.\vec{b} $ :
$ \begin{align} |\vec{a} + \vec{b}|^2 & = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 +2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \\ |\vec{a} + \vec{b}|^2 & = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 +2 \vec{a}.\vec{b} \\ 7^2 & = 5^2 + 3^2 +2 \vec{a}.\vec{b} \\ 49 & = 25 + 9 + 2 \vec{a}.\vec{b} \\ 2 \vec{a}.\vec{b} & = 15 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ |\vec{a} - \vec{b}| $ :
$ \begin{align} |\vec{a} - \vec{b}|^2 & = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \\ & = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2 \vec{a}.\vec{b} \\ & = 5^2 + 3^2 - 15 \\ & = 25 + 9 - 15 \\ |\vec{a} - \vec{b}|^2 & = 19 \\ |\vec{a} - \vec{b}| & = \sqrt{19} \end{align} $
Jadi, nilai $ |\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{19} $.

Cara II :
*). Jumlahkan kedua rumus berikut :
$ \begin{array}{cc} |\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 +2 \vec{a}.\vec{b} & \\ |\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2 \vec{a}.\vec{b} & + \\ \hline |\vec{a} + \vec{b}|^2 + |\vec{a} - \vec{b}|^2 = 2(|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2) & \end{array} $
*). Menentukan nilai $ |\vec{a} - \vec{b}| $ :
$ \begin{align} |\vec{a} + \vec{b}|^2 + |\vec{a} - \vec{b}|^2 & = 2(|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2) \\ 7^2 + |\vec{a} - \vec{b}|^2 & = 2(5^2 + 3^2) \\ 49 + |\vec{a} - \vec{b}|^2 & = 68 \\ |\vec{a} - \vec{b}|^2 & = 19 \\ |\vec{a} - \vec{b}| & = \sqrt{19} \end{align} $
Hasilnya sama dengan cara pertama di atas.

4). Diketahui sudut antara tiap pasang vektor $ \vec{a} $ , $ \vec{b} $ , dan $ \vec{c} $ adalah $ 60^\circ $ di dalam R$^3$, serta $ |\vec{a}| = 4 $ , $ |\vec{b}| = 2 $ , dan $ |\vec{c}| = 6 $. Tentukan nilai $ |\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}| $ !
Penyelesaian :
$ \begin{align} |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} |^2 & = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 + |\vec{b}||\vec{c}| \cos \theta _2 + |\vec{a}||\vec{c}| \cos \theta _3 ) \\ & = 4^2 + 2^2 + 6^2 + 2(4.2 \cos 60^\circ + 2.6. \cos ^\circ + 4.6 \cos 60^\circ ) \\ & = 16 + 4 + 36 + 2(8. \frac{1}{2} +12. \frac{1}{2} + 24. \frac{1}{2} ) \\ & = 56 + 2(4 + 6 + 12 ) \\ & = 56 + 44 \\ |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} |^2 & = 100 \\ |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} | & = 10 \end{align} $
Jadi, nilai $ |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| = 10 $.

5). Diketahui $ |\vec{a}| = 3, |\vec{b}| = 5 $ , dan $ |\vec{c} = 2 $. Jika $ \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = 0 $ , maka tentukan :
a). $ \vec{a} . \vec{b} $
b). $ \vec{b} . \vec{c} $
c). $ \vec{a} . \vec{c} $
d). $ \vec{a} . \vec{b} + \vec{b}.\vec{c} + \vec{a}.\vec{c} $
Penyelesaian :
*). Pada sebuah vektor, panjang vektor $ \vec{p} $ sama dengan panjang vektor $ -\vec{p} $ atau dapat kita tulis $ |\vec{p}| = |-\vec{p}| $.
a). Menentukan $ \vec{a} . \vec{b} $
$ \begin{align} \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} & = 0 \\ \vec{a} + \vec{b} & = - \vec{c} \\ |\vec{a} + \vec{b}|^2 & = |- \vec{c}|^2 \\ |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2\vec{a}.\vec{b} & = |\vec{c}|^2 \\ \vec{a}.\vec{b} & = \frac{|\vec{c}|^2 - |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 }{2} \\ & = \frac{2^2 - 3^2 - 5^2 }{2} \\ & = \frac{-30}{2} = -15 \end{align} $
Sehingga nilai $ \vec{a} . \vec{b} = -15 $.

b). Menentukan $ \vec{b} . \vec{c} $
$ \begin{align} \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} & = 0 \\ \vec{b} + \vec{c} & = - \vec{a} \\ |\vec{b} + \vec{c}|^2 & = |- \vec{a}|^2 \\ |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2\vec{b}.\vec{c} & = |\vec{a}|^2 \\ \vec{b}.\vec{c} & = \frac{|\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 - |\vec{c}|^2 }{2} \\ & = \frac{3^2 - 5^2 - 2^2}{2} \\ & = \frac{-20}{2} = -10 \end{align} $
Sehingga nilai $ \vec{b} . \vec{c} = -10 $.

c). Menentukan $ \vec{a} . \vec{c} $
$ \begin{align} \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} & = 0 \\ \vec{a} + \vec{c} & = - \vec{b} \\ |\vec{a} + \vec{c}|^2 & = |- \vec{b}|^2 \\ |\vec{a}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2\vec{a}.\vec{c} & = |\vec{b}|^2 \\ \vec{a}.\vec{c} & = \frac{|\vec{b}|^2 - |\vec{a}|^2 - |\vec{c}|^2 }{2} \\ & = \frac{5^2 - 3^2 - 2^2}{2} \\ & = \frac{20}{2} = 6 \end{align} $
Sehingga nilai $ \vec{a} . \vec{c} = 6 $.

d). Menentukan $ \vec{a} . \vec{b} + \vec{b}.\vec{c} + \vec{a}.\vec{c} $
$ \begin{align} \vec{a} . \vec{b} + \vec{b}.\vec{c} + \vec{a}.\vec{c} & = -15 + (-10) + 6 = -19 \end{align} $
Sehingga nilai $ \vec{a} . \vec{b} + \vec{b}.\vec{c} + \vec{a}.\vec{c} = -19 $.

Cara II bagian (d) :
*). Karena $ \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = 0 $, maka panjangnya $ |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} | = 0 $.
*). Dari rumus berikut :
$ \begin{align} |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} |^2 & = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 +2(\vec{a} . \vec{b} + \vec{b}.\vec{c} + \vec{a}.\vec{c}) \\ 0^2 & = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 +2(\vec{a} . \vec{b} + \vec{b}.\vec{c} + \vec{a}.\vec{c}) \\ \vec{a} . \vec{b} + \vec{b}.\vec{c} + \vec{a}.\vec{c} & = - \frac{|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2}{2} \\ & = - \frac{3^2 + 5^2 + 2^2}{2} \\ & = - \frac{38}{2} = - 19 \end{align} $
Sehingga nilai $ \vec{a} . \vec{b} + \vec{b}.\vec{c} + \vec{a}.\vec{c} = -19 $.

6). Diketahui $ |\vec{a}| = 3 $ , $ \vec{b}| = 6 $ , dan $ |\vec{c}| = 2 $. Jika $ 2\vec{a} - \vec{b} + 3\vec{c} = 0 $ , maka tentukan nilia $ \vec{a}.\vec{b} $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan $ \vec{a}.\vec{b} $ :
$ \begin{align} 2\vec{a} - \vec{b} + 3\vec{c} & = 0 \\ 2\vec{a} - \vec{b} & = - 3\vec{c} \\ |2\vec{a} - \vec{b}|^2 & = |- 3\vec{c}|^2 \\ |2\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2(2\vec{a}).\vec{b} & = 9| \vec{c}|^2 \\ 4|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 4\vec{a}.\vec{b} & = 9| \vec{c}|^2 \\ \vec{a}.\vec{b} & = \frac{4|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 9| \vec{c}|^2}{4} \\ & = \frac{4(3)^2 + 6^2 - 9(2)^2}{4} \\ & = \frac{36 + 36 - 36}{4} \\ & = \frac{36 }{4} = 9 \end{align} $
Jadi, nilai $ \vec{a}.\vec{b} = 9 $.

Pembkuktian Rumus Panjang Berkaitan Perkalian Dot
Ingat definsi perkalian dot dua vektor berikut ini :
       $ \vec{a} . \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta $
dengan $ \theta \, $ adalah sudut kedua vektor.
       Dengan memahami atau bisa membutikan "Rumus Panjang Berkaitan Perkalian Dot" , harapannya kita tidak perlu menghafal semua rumusnya, namun cukup kita ingat Triknya. Trik penjabaran Rumus Panjang Berkaitan Perkalian Dot adalah DIKUADRATKAN.

$ \spadesuit \, $ Pembuktian rumus (i) :
       Vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{a} $ membentuk sudut $ 0^\circ $ (karena berimpit) , sehingga dengan definisi perkalian dot :
$ \begin{align} \vec{a}^2 & = \vec{a}. \vec{a} = |\vec{a}||\vec{a}| \cos 0^\circ \\ & = |\vec{a}|^2 \times 1 \\ & = |\vec{a}|^2 \end{align} $
Jadi, terbukti $ \vec{a}^2 = \vec{a}. \vec{a} |\vec{a}|^2 $

Dari rumus panjang (i) ini memiliki arti : Dua buah vektor yang sama kita kalikan (perkalian dotnya) akan menghasilkan kuadrat dari panjangnya.

$ \spadesuit \, $ Pembuktian rumus (ii) :
$ \begin{align} (\vec{a} + \vec{b} )^2 & = \vec{a}^2 + \vec{b}^2 + 2\vec{a}.\vec{b} \\ |\vec{a} + \vec{b} |^2 & = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 \end{align} $
(Terbukti)

$ \spadesuit \, $ Pembuktian rumus (iii) :
$ \begin{align} (\vec{a} - \vec{b} )^2 & = \vec{a}^2 + \vec{b}^2 - 2\vec{a}.\vec{b} \\ |\vec{a} - \vec{b} |^2 & = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 \end{align} $
(Terbukti)

$ \spadesuit \, $ Pembuktian rumus (iv) :
$ \begin{align} (m\vec{a} + n\vec{b} )^2 & = (m\vec{a})^2 + (n\vec{b})^2 + 2(m\vec{a}).(n\vec{b}) \\ |m\vec{a} + n\vec{b} |^2 & = m^2|\vec{a}|^2 + n^2|\vec{b}|^2 + 2mn|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 \end{align} $
(Terbukti)

$ \spadesuit \, $ Pembuktian rumus (v) :
$ \begin{align} (\vec{a} + \vec{b} +\vec{c} )^2 & = \vec{a}^2 + \vec{b}^2 +\vec{c}^2 + 2(\vec{a}.\vec{b} + \vec{b}.\vec{c} + \vec{a}.\vec{c}) \\ |\vec{a} + \vec{b} +\vec{c} |^2 & = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 + |\vec{b}||\vec{c}| \cos \theta _2 + |\vec{a}||\vec{c}| \cos \theta _3) \end{align} $
(Terbukti)

$ \spadesuit \, $ Pembuktian rumus (vi) :
$ \begin{align} (m\vec{a} + n\vec{b} + k\vec{c} )^2 & = (m\vec{a})^2 + (n\vec{b})^2 + (k \vec{c})^2 + 2((m\vec{a}).(n\vec{b}) + (n\vec{b}).(k\vec{c}) + (m\vec{a}).(k\vec{c})) \\ |\vec{a} + \vec{b} +\vec{c} |^2 & = m^2|\vec{a}|^2 + n^2|\vec{b}|^2 + k^2|\vec{c}|^2 + \\ & \, \, \, \, 2(mn|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 + nk|\vec{b}||\vec{c}| \cos \theta _2 + mk|\vec{a}||\vec{c}| \cos \theta _3) \end{align} $
(Terbukti)

       Pembuktian rumus panjang di atas juga melibatkan "sifat perkalian dot dua vektor". Dari bentuk pembuktian di atas, trik dalam penjabaran "Rumus Panjang Berkaitan Perkalian Dot" adalah dengan melakukan pengkuadratan. Dengan cara ini, teman-teman juga bisa membuat atau menjabarkan rumus panjang lainnya.

       Demikian pembahasan materi Rumus Panjang Berkaitan Perkalian Dot dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "materi vektor tingkat SMA".

Perkalian Dot Dua Vektor

         Blog Koma - Setelah mempelajari beberapa operasi hitung pada vektor yaitu "penjumlahan dan pengurangan pada vektor" dan "perkalian vektor dengan skalar", maka pada artikel ini kita lanjutkan dengan pembahasan operasi vektor berikutnya yaitu Perkalian Dot Dua Vektor (Dot Product). Seperti pada "pengertian vektor dan penulisannya", vektor dapat kita sajikan dalam bentuk aljabar dan bentuk geometri dimana dua vektor akan membentuk besar sudut tertentu. Nah, sudut antar dua vektor tersebut bisa kita hitung salah satunya dengan menerapkan konsep Perkalian Dot Dua Vektor. Baik di ujian nasional ataupun seleksi masuk PTN (SBMPTN atau lainnya), materi Perkalian Dot Dua Vektor sering dikeluarkan soal-soalnya, sehingga penting bagi kita untuk mempelajarinya dengan baik. Pada uraian Perkalian Dot Dua Vektor ini, kita akan membahas definisinya yang dilengkapi dengan pembuktiannya, dan tidak lupa akan kita sajikan berbagai variasi soal-soal Perkalian Dot Dua Vektor untuk bisa lebih memahaminya dengan lebih baik. Selain itu teman-teman harus menguasai materi "panjang vektor". Perhatikan ilustrasi gambar dua vektor berikut ini.

Definisi Perkalian Dot (perkalian titik) Dua Vektor
$ \spadesuit \, $ Perkalian Dot (perkalian titik) secara Geometri
       Misalkan terdapat vektor $ \vec{a} = (a_1, a_2, a_3 ) $ dan vektor $ \vec{b} = (b_1, b_2,b_3 ) $ dimana kedua vektor membentuk sudut sebesar $ \theta $, maka berlaku rumus perkalian dot yaitu :
$ \, \, \, \, \, \, \, \vec{a} . \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta $.

$ \spadesuit \, $ Perkalian Dot (perkalian titik) secara Aljabar
       Selain berlaku rumus perkalian dot seperti di atas, juga berlaku perkalian yang langsung melibatkan unsur-unsur vektornya, yaitu :
$ \, \, \, \, \, \, \, \vec{a} . \vec{b} = a_1.b_1 + a_2.b_2 + a_3.b_3 $
Catatan :
*). Rumus perkalian dot (perkalian titik) ini juga berlaku untuk vektor dimensi dua. Misalkan vektor $ \vec{a} = (a_1, a_2 ) $ dan vektor $ \vec{b} = (b_1, b_2) $ , maka berlaku :
$ \, \, \, \, \, \, \, \vec{a} . \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \, $ dan $ \vec{a} . \vec{b} = a_1.b_1 + a_2.b_2 $
*). Secara geometri, arah kedua vektor adalah menjauh dari sudut yang terbentuk.
*). Perkalian dot dua vektor menghasilkan skalar.

Contoh Soal Perkalian Dot (perkalian titik) Dua Vektor :

1). Diketahui vektor $ \vec{a} = (-1,2,3) $ , $ \vec{b} = (2,0,-2) $ , dan $ \vec{c}= (1, -3, 4 ) $. Tentukan hasil perkalian dot vektor-vektor berikut :
a). $ \vec{a}. \vec{b} $ dan $ \vec{b}. \vec{c} $
b). $ \vec{a}( \vec{b}- \vec{c}) $
c). $ \vec{b}( \vec{a}- \vec{c}) $
d). $ ( \vec{a}- \vec{b}).( \vec{b}+ \vec{c}) $
Penyelesaian :
a). Menentukan $ \vec{a}. \vec{b} $ dan $ \vec{b}. \vec{c} $
$ \begin{align} \vec{a}. \vec{b} & = (-1,2,3) . (2,0,-2) \\ & = -1.2 + 2.0 + 3.(-2) \\ & = -2 + 0 - 6 \\ & = -8 \\ \vec{b}. \vec{c} & = (2,0,-2) . (1, -3, 4 ) \\ & =2.1 + 0. (-3) + -2.4 \\ & = 2 + 0 - 8 \\ & = - 6 \end{align} $

b). Menentukan $ \vec{a}( \vec{b}- \vec{c}) $
$ \begin{align} \vec{b}- \vec{c} & = (2,0,-2) - (1, -3, 4 ) \\ & = ( 2 - 1 , 0 - (-3) , -2 - 4 ) \\ & = (1 , 3, -6 ) \\ \vec{a}( \vec{b}- \vec{c}) & = (-1,2,3) . (1 , 3, -6 ) \\ & = -1.1 + 2. 3 + 3. (-6) \\ & = -1 + 6 - 18 \\ & = -13 \end{align} $

c). Menentukan $ \vec{b}( \vec{a}- \vec{c}) $
$ \begin{align} \vec{a}- \vec{c} & = (-1,2,3) - (1, -3, 4 ) \\ & = ( -2, 5, -1 ) \\ \vec{b}( \vec{a}- \vec{c}) & = (2,0,-2).( -2, 5, -1 ) \\ & = 2.(-2) + 0.5 + -2. (-1) \\ & = -4 + 0 + 2 \\ & = -2 \end{align} $

d). Menentukan $ ( \vec{a}- \vec{b}).( \vec{b}+ \vec{c}) $
$ \begin{align} \vec{a}- \vec{b} & = (-1,2,3) - (2,0,-2) \\ & = ( -3, 2, 5 ) \\ \vec{b}+ \vec{c} & = (2,0,-2) + (1, -3, 4 ) \\ & = (3, -3, 2) \\ ( \vec{a}- \vec{b}).( \vec{b}+ \vec{c}) & = ( -3, 2, 5 ) . (3, -3, 2) \\ & = -9 + -6 + 10 \\ & = -5 \end{align} $

2). Jika $ \vec{p} $ dan $ \vec{q} $ membentuk sudut $ 60^\circ $, dengan $ |\vec{p}| = 6 $ , $ |\vec{q}| = 5 $ , maka tentukan nilai $ \vec{p}.\vec{q} $!
Penyelesaian :
$ \begin{align} \vec{p}.\vec{q} & = |\vec{p}||\vec{q} | \cos \theta \\ & = 6 . 5. \cos 60^\circ \\ & = 30. \frac{1}{2} \\ & = 15 \end{align} $

3). Tentukan nilai kosinus sudut antara vektor $ \vec{a} = (2, -3,1) $ dan $ \vec{b} =(1,-2,3) $!
Penyelesaian :
*). Menentukan $ \vec{a}.\vec{b} $ dan panjangnya :
$ \begin{align} \vec{a}.\vec{b} & = 2.1 + -3 . (-2) + 1.3 \\ & = 2 + 6 + 3 = 11 \\ |\vec{a}| & = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 1^2 } = \sqrt{14} \\ |\vec{b}| & = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{14} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \cos \theta $ dengan $ \theta $ adalah sudut antara kedua vektor.
$ \begin{align} \vec{a} . \vec{b} & = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \\ \cos \theta & = \frac{ \vec{a} . \vec{b} }{|\vec{a}||\vec{b}| } \\ & = \frac{11 }{\sqrt{14}. \sqrt{14}} \\ & = \frac{11 }{14} \end{align} $
Jadi, nilai kosinus sudutnya adalah $ \frac{11}{14} $.

4). DIketahui vektor $ \vec{a} = (3, -5, 4) $ dan $ \vec{b} = (-2,1,2) $. Tentukan nilai sinus sudut antara vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $!
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai $ \cos \theta $ :
$ \begin{align} \cos \theta & = \frac{ \vec{a} . \vec{b} }{|\vec{a}||\vec{b}| } \\ & = \frac{ -6 - 5 + 8 }{\sqrt{3^2 + (-5)^2 + 4^2} . \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 2^2} } \\ & = \frac{ -3 }{\sqrt{50} . \sqrt{9} } = \frac{ -3 }{5\sqrt{2} .3 } \\ & = \frac{ -1 }{5\sqrt{2} } \end{align} $
*). Karena nilai cosinusnya negatif, maka sudutnya ada di kuadran II, sehingga nilai sinusnya positif. Dengan rumus identitas trigonometri $ \sin ^2 \theta + \cos ^2 \theta = 1 $ , kita peroleh :
$ \begin{align} \sin ^2 \theta + \cos ^2 \theta & = 1 \\ \sin ^2 \theta & = 1 - \cos ^2 \theta \\ \sin \theta & = \sqrt{ 1 - \cos ^2 \theta } \\ & = \sqrt{ 1 - ( \frac{ -1 }{5\sqrt{2} } )^2 } \\ & = \sqrt{ 1 - \frac{1 }{50} } \\ & = \sqrt{ \frac{49 }{50} } \\ & = \frac{7}{5\sqrt{2}} = \frac{7}{10}\sqrt{2} \end{align} $
Jadi, nilai sinusnya adalah $ \frac{7}{10}\sqrt{2} $.

5). Jika $ \vec{p} = (k,2) $ dan $ \vec{q} = (5,3) $ dan $ \angle (\vec{p},\vec{q}) = \frac{\pi}{4} $ , maka tentukan nilai $ k $ positif yang memenuhi!
Penyelesaian :
*). Berdasarkan rumus perkalian dot :
$ \begin{align} \vec{p}.\vec{q} & = |\vec{p}||\vec{q} | \cos \theta \\ k.5 + 2.3 & = \sqrt{k^2 + 2^2}. \sqrt{5^2 + 3^2} . \cos \frac{\pi}{4} \\ 5k + 6 & = \sqrt{k^2 + 4}. \sqrt{34} . \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ (5k + 6)^2 & = (\sqrt{k^2 + 4}. \sqrt{34} . \frac{1}{2}\sqrt{2} )^2 \\ 25k^2 + 60k + 36 & = ( k^2 + 4). 34 . \frac{1}{4} . 2 \\ 25k^2 + 60k + 36 & = ( k^2 + 4). 17 \\ 25k^2 + 60k + 36 & = 17k^2 + 68 \\ 8k^2 + 60k - 32 & = 0 \, \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ 2k^2 + 15k - 8 & = 0 \\ (2k-1)(k+8) & = 0 \\ k = \frac{1}{2} \vee k & = -8 \end{align} $
Karena $ k $ positif, maka $ k = \frac{1}{2} $ yang memenuhi.
Jadi, nilai $ k = \frac{1}{2} $.

6). Diketahui segitiga ABC dengan koordinat $ A(3,2) $ , $ B(4,2) $ , dan $ C(3, 2 + \sqrt{3}) $.
a). Tentukan besar sudut ABC,
b). Tentukan besar sudut antara $ \vec{AB} $ dan $ \vec{BC} $.
Penyelesaian :
a). Tentukan besar sudut ABC,
*). Ilustrasi gambar berikut :
*). Arah vektor harus keluar dari sudutnya, sehingga kita haris mencari vektor $ \vec{BA} $ dan $ \vec{BC} $ .
$ \begin{align} \vec{BA} & = A - B = (-1,0) \\ \vec{BC} & = A - B = (-1,\sqrt{3}) \\ \cos \theta & = \frac{ \vec{BA} . \vec{BC} }{|\vec{BA}||\vec{BC}| } \\ & = \frac{ -1.(-1) + 0 . \sqrt{3} }{\sqrt{(-1)^2 + 0^2} . \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} } \\ & = \frac{ 1 + 0 }{\sqrt{1} . \sqrt{4} } \\ \cos \theta & = \frac{ 1 }{2 } \\ \theta & = 60^\circ \end{align} $
Jadi, besar sudut ABC adalah $ 60^\circ $.

b). Tentukan besar sudut antara $ \vec{AB} $ dan $ \vec{BC} $.
*). Perhatikan bentuk geometrinya berikut,
Karena $ \vec{AB} = - \vec{BA} $ , maka sudutnya sama dengan antara vektor $ -\vec{BA} $ dan vektor $ \vec{BC} $ yaitu $ \alpha $ (gambar b).
*). Menentukan vektor dan sudutnya :
$ \begin{align} \vec{AB} & = B - A = (1,0) \\ \vec{BC} & = A - B = (-1,\sqrt{3}) \\ \cos \alpha & = \frac{ \vec{AB} . \vec{BC} }{|\vec{AB}||\vec{BC}| } \\ & = \frac{ 1.(-1) + 0 . \sqrt{3} }{\sqrt{(1)^2 + 0^2} . \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} } \\ & = \frac{ -1 + 0 }{\sqrt{1} . \sqrt{4} } \\ \cos \alpha & = \frac{ -1 }{2 } \\ \alpha & = 120^\circ \end{align} $
Jadi, besar sudut ABC adalah $ 60^\circ $.

Catatan :
*). Jika teman-teman perhatikan secara geometri gambar a dan gambar b, maka $ \alpha $ dan $ \theta $ berpelurus, sehingga :
$ \alpha + \theta = 180^\circ \rightarrow \alpha + 60^\circ = 180^\circ \rightarrow \alpha = 120^\circ $.
*). Jika teman-teman bingun dalam menggambar secara geometri sudut antara dua vektor, maka tidak usah digambar, melainkan langsung saja kita hitung menggunakan rumus perkalian dotnya.

Dua Vektor Tegak Lurus berkaitan Perkalian Dot (perkalian titik)
Jika vektor $ \vec{a} $ tegak lurus dengan vektor $ \vec{b} $ (sudutnya $ 90^\circ$), maka berlaku :
$ \, \, \, \, \, \, \, \, \vec{a} . \vec{b} = 0 $.
(Perkalian dotnya = mol)
Pembuktian :
*). Karena $ \vec{a} $ tegak lurus $ \vec{b} $ , artinya sudutnya $ = 90^\circ $. Sehingga :
$ \begin{align} \vec{a} . \vec{b} & = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \\ & = |\vec{a}||\vec{b}| \cos 90^\circ \\ & = |\vec{a}||\vec{b}| \times 0 \\ & = 0 \end{align} $
Jadi, terbukti $ \vec{a} . \vec{b} = 0 $.

Contoh SOal Perkalian Dot (perkalian titik) Dua Vektor tegak lurus :

7). DIketahui vektor $ \vec{a} = (-1,3,2) $ , $ \vec{b} = (5, 3, -2 ) $ dan $ \vec{c} = (1,-2,3) $.
a). Apakah vektor $ \vec{a} $ tegak lurus vektor $ \vec{b} $ !
b). Apakah vektor $ \vec{a} $ tegak lurus vektor $ \vec{c} $ !
Penyelesaian :
a). Kita cek hasil perkalian dot vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ :
$ \begin{align} \vec{a} .\vec{b} & = -1. 5 + 3.3 + 2. (-2) \\ & = -5 + 9 - 4 = 0 \end{align} $
Karena $ \vec{a} .\vec{b} = 0 $ , maka vektor $ \vec{a} $ tegak lurus $ \vec{b} $.

b). Kita cek hasil perkalian dot vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{c} $ :
$ \begin{align} \vec{a} .\vec{c} & = -1.1 + 3.(-2) + 2.3 \\ & = -1 -6 + 6 = -1 \end{align} $
Karena $ \vec{a} .\vec{c} \neq 0 $ , maka vektor $ \vec{a} $ tidak tegak lurus $ \vec{c} $.

8). Diketahui vektor $ \vec{u} = (2, -1, m) $ dan $ \vec{v} = (-3, 2, 4) $. Jika $ \vec{u} $ tegak lurus vektor $ \vec{v} $ , maka tentukan nilai $ m^2 - 2m + 2017 $ !
Penyelesaian :
*). Syarat tegak lurus : $ \vec{u} .\vec{v} = 0 $
$ \begin{align} \vec{u} .\vec{v} & = 0 \\ 2.(-3) + -1. 2 + m.4 & = 0 \\ -6 - 2 + 4m & = 0 \\ 4m & = 8 \\ m & = 2 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ m^2 - 2m + 2017 $ :
$ \begin{align} m^2 - 2m + 2-17 & = 2^2 - 2.2 + 2-17 \\ & = 4 - 4 + 2017 \\ & = 2017 \end{align} $
Jadi, nilai $ m^2 - 2m + 2017 = 2017 $.

9). Jika vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ membentuk sudut $ 60^\circ $ , serta vektor $ \vec{a} $ tegak lurus vektor $ \vec{c} $, dengan $ |\vec{a}| = 4 $ , $ |\vec{b}| = 3 $ , dan $ \vec{c}| = 6 $ , maka tentukan :
a). $ \vec{a} (\vec{b} + \vec{c}) $
b). $ \vec{a}(2\vec{c} - 3\vec{b}) $
Penyelesaian :
*). Pada perkalian dot (perkalian titik) berlaku sifat distributif. Silahkan baca artikelnya pada "Sifat-sifat perkalian dot dan perkalian silang".
*). Karena $ \vec{a} $ tegak lurus $ \vec{c} $ , maka $ \vec{a}.\vec{c} = 0 $.
a). Menentukan $ \vec{a} (\vec{b} + \vec{c}) $
$ \begin{align} \vec{a} (\vec{b} + \vec{c}) & = \vec{a} . \vec{b} + \vec{a}. \vec{c} \\ & = |\vec{a}| |\vec{b} | \cos 60^\circ + 0 \\ & = 4. 3. \frac{1}{2} \\ & = 6 \end{align} $
Sehingga nilai $ \vec{a} (\vec{b} + \vec{c}) = 6 $.

b). Menentukan $ \vec{a}(2\vec{c} - 3\vec{b}) $
$ \begin{align} \vec{a}(2\vec{c} - 3\vec{b}) & = 2(\vec{a}.\vec{c}) - 3(\vec{a}.\vec{b}) \\ & = 2.0 - 3|\vec{a}| |\vec{b} | \cos 60^\circ \\ & = 0 - 3 . 4. 3. \frac{1}{2} \\ & = - 18 \end{align} $
Sehingga nilai $ \vec{a}(2\vec{c} - 3\vec{b}) = -8 $.

10). Diketahui vektor-vektor $ \vec{p} = ( m, 2, 6 ) $ , $ \vec{q} = (-1,n,0) $ dan $ \vec{r} = (6k,3,7) $. Jika $ \vec{p} \bot \vec{q} $ dan $ \vec{q} \bot \vec{r} $ , maka tentukan nilai $ 16\left( \frac{n^2 + k^2}{m^2} \right) + 2012 $ !
Keterangan : simbol $ \bot \, $ artinya tegak lurus.
Penyelesaian :
*). Menentukan hubungan $ m , n , $ dan $ k $ :
-). $ \vec{p} $ tegak lurus $ \vec{q} $
$ \vec{p}.\vec{q} = 0 \rightarrow -m + 2n + 0 = 0 \rightarrow m = 2n \, $ ....(i)
-). $ \vec{q} $ tegak lurus $ \vec{r} $
$ \vec{q}.\vec{r} = 0 \rightarrow -6k + 3n + 0 = 0 \rightarrow k = \frac{n}{2} \, $ ....(ii)
*). Menentukan hasil akhir dengan pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{align} 16\left( \frac{n^2 + k^2}{m^2} \right) + 2012 & = 16\left( \frac{n^2 + (\frac{n}{2})^2}{(2n)^2} \right) + 2012 \\ & = 16\left( \frac{n^2 + \frac{n^2}{4} }{4n^2} \right) + 2012 \\ & = 16\left( \frac{n^2 + \frac{n^2}{4} }{4n^2} \times \frac{4}{4} \right) + 2012 \\ & = 16\left( \frac{4n^2 + n^2}{16n^2} \right) + 2012 \\ & = 16\left( \frac{5n^2}{16n^2} \right) + 2012 \\ & = 16\left( \frac{5 }{16 } \right) + 2012 \\ & = 5 + 2012 = 2017 \end{align} $
Jadi, nilai $ 16\left( \frac{n^2 + k^2}{m^2} \right) + 2012 = 2017 $.

Rumus panjang berkaitan perkalian dot (perkalian titik)
Misalkan terdapat vektor $ \vec{a} $ , $ \vec{b} $ dan $ \vec{c} $, berlaku rumus-rumus panjang vektor berikut :
i). $ \vec{a}.\vec{a} = \vec{a}^2 = |\vec{a}|^2 $
ii). $ |\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 +2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 $
iii). $ |\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 $
iv). $ |m\vec{a} + n\vec{b}|^2 = m^2|\vec{a}|^2 + n^2|\vec{b}|^2 + 2mn|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 $
$ \begin{align} \text{v). } & |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} |^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + \\ & \, \, 2(|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 + |\vec{b}||\vec{c}| \cos \theta _2 + |\vec{a}||\vec{c}| \cos \theta _3 ) \\ \text{vi).} & |m\vec{a} + n\vec{b} + k\vec{c} |^2 = |m^2\vec{a}|^2 + n^2|\vec{b}|^2 + k^2|\vec{c}|^2 + \\ & \, \, 2(mn|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 + nk|\vec{b}||\vec{c}| \cos \theta _2 + mk|\vec{a}||\vec{c}| \cos \theta _3 ) \end{align} $
       Untuk contoh soal dan pembuktian rumus-rumus panjang vektor berkaitan perkalian dot ini, silahkan teman-teman baca pada artikel "Rumus Panjang vektor Berkaitan Perkalian Dot".

$ \spadesuit \, $ Pembuktian Rumus perkalian dot secara aljabar
*). Perhatikan ilustrasi gambar berikut :
       Pada segitiga AOB di atas, vektor $ \vec{OA} = \vec{a} $ dan $ \vec{OB} = \vec{b} $ membentuk sudut $ \theta $.
*). Menentukan vektor dan panjangnya :
$ \begin{align} \vec{AB} & = \vec{b} - \vec{a} = (b_1 - a_1, b_2 - a_2 , b_3 - a_3 ) \\ |\vec{AB}|^2 & = (b_1 - a_1)^2 + ( b_2 - a_2)^2 + ( b_3 - a_3 )^2 \\ & = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 - 2(a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3) \\ \vec{OA} & = \vec{a} = (a_1, a_2,a_3) \\ |\vec{OA}|^2 & = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 \\ \vec{OB} & = \vec{b} = (b_1, b_2,b_3) \\ |\vec{OB}|^2 & = b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 \\ \end{align} $
*). Menentukan $ |\vec{AB}|^2 - |\vec{OA}|^2 - |\vec{OB}|^2 $ :
$ \begin{align} & |\vec{AB}|^2 - |\vec{OA}|^2 - |\vec{OB}|^2 \\ & = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 - 2(a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3) \\ & \, \, \, \, -( a_1^2 + a_2^2 + a_3^2) - (b_1^2 + b_2^2 + b_3^2) \\ & = - 2(a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3) \end{align} $
*). Berdasarkan aturan kosinus segitiga AOB dan definisi perkalian dot secara geometri :
$ \begin{align} |\vec{AB}|^2 & = |\vec{OA}|^2 + |\vec{OB}|^2 - 2 |\vec{OA}||\vec{OB}| \cos \theta \\ |\vec{AB}|^2 - |\vec{OA}|^2 - |\vec{OB}|^2 & = - 2 |\vec{OA}||\vec{OB}| \cos \theta \\ |\vec{AB}|^2 - |\vec{OA}|^2 - |\vec{OB}|^2 & = - 2 |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \\ - 2(a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3) & = - 2 |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \\ a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 & = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \\ a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 & = \vec{a}.\vec{b} \end{align} $
Jadi, terbukti bahwa $ \vec{a}.\vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 $.

$ \clubsuit \, $ Pembuktian Cara II :
*). Kita menggunakan vektor basis $ \vec{i}, \vec{j}, \vec{k} $
dengan $ \vec{i} = (1,0,0) , \vec{j} = (0,1,0) \, $ dan $ \vec{j} = (0,0,1) $.
panjang vektor basisnya : $ |\vec{i}| = 1 $ , $ |\vec{j}| = 1 $ , $ |\vec{k}| = 1 $.
Sudut antara masing-masing vektor adalah $ 90^\circ $.
*). Dengan definisi perkalian dot (peralian titik) dua vektor yaitu :
$ \vec{a} . \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta $
kita peroleh :
$ \vec{i}.\vec{i} = |\vec{i}||\vec{i}| = \cos 0^\circ = 1 . 1 . 1 = 1 $ (berimpit)
$ \vec{j}.\vec{j} = |\vec{j}||\vec{j}| = \cos 0^\circ = 1 . 1 . 1 = 1 $ (berimpit)
$ \vec{k}.\vec{k} = |\vec{k}||\vec{k}| = \cos 0^\circ = 1 . 1 . 1 = 1 $ (berimpit)
$ \vec{i}.\vec{j} = |\vec{i}||\vec{j}| = \cos 90^\circ = 1 . 1 . 0 = 0 $ (tegak lurus)
$ \vec{j}.\vec{k} = |\vec{j}||\vec{k}| = \cos 90^\circ = 1 . 1 . 0 = 0 $ (tegak lurus)
$ \vec{i}.\vec{k} = |\vec{i}||\vec{k}| = \cos 90^\circ = 1 . 1 . 0 = 0 $ (tegak lurus)
*). Vektor $ \vec{a} = a_1\vec{i} + a_2\vec{j} + a_3\vec{k} $ dan $ \vec{b} = b_1\vec{i} + b_2\vec{j} + b_3\vec{k} $
*). Menentukan hasil perkalian dot :
$ \begin{align} \vec{a}.\vec{b} & = (a_1\vec{i} + a_2\vec{j} + a_3\vec{k}). (b_1\vec{i} + b_2\vec{j} + b_3\vec{k}) \\ & = a_1\vec{i}.b_1\vec{i} + a_1\vec{i}.b_2\vec{j}+a_1\vec{i}.b_3\vec{k} + a_2\vec{j}.b_1\vec{i} + a_2\vec{j}.b_2\vec{j} \\ & \, \, \, \, + a_2\vec{j}.b_3\vec{k} + a_3\vec{k}.b_1\vec{i} + a_3\vec{k}.b_2\vec{j}+a_3\vec{k}.b_3\vec{k} \\ & = a_1b_1\vec{i}.\vec{i} + 0+0 + 0 + a_2b_2\vec{j}.\vec{j} + 0 + 0 + 0+a_3b_3\vec{k}.\vec{k} \\ & = a_1b_1. 1 + a_2b_2. 1 + a_3b_3. 1 \\ & = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 \end{align} $
Jadi, terbukti bahwa $ \vec{a}.\vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 $.

       Demikian pembahasan materi Perkalian Dot Dua Vektor dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "materi vektor tingkat SMA" yaitu "Perkalian Silang Dua Vektor (Cross Product)".

Pembuktian Dalil Menelaus dan Ceva dengan Vektor

         Blog Koma - Setelah membahas salah satu aplikasi vektor yaitu "menentukan titik berat segitiga", pada artikel ini kita lanjutkan dengan aplikasi berikutnya yaitu Pembuktian Dalil Menelaus dan Ceva dengan Vektor. Sebenarnya dalil Menelaus dan Ceva sudah kita bahas pada artikel lainnya yaitu "Dalil Menelaus pada Segitiga dan Pembuktiannya" dan "Dalil Ceva pada Segitiga dan Pembuktiannya". Pada artikel tersebut, ada tiga cara untuk pembuktian dalil Menelaus yaitu menggunakan kesebangunan segitiga, luas segitiga, dan aturan sinus. Sementara pembuktian Dalil Ceva menggunakan dua cara yaitu dengan konsep luas segitiga dan dengan menerapkan dalil Menelaus. Ternyata untuk membutikan kedua dalil ini, bisa juga menggunakan konsep vektor yang akan kita jabarkan pada artikel Pembuktian Dalil Menelaus dan Ceva dengan Vektor ini. Hal-hal yang harus kita kuasai terlebih dulu agar memudahkan dalam mempelajari Pembuktian Dalil Menelaus dan Ceva dengan Vektor yaitu "pengertian vektor", "panjang vektor", "kesamaan dua vektor, sejajar, dan segaris", "penjumlahan dan pengurangan vektor", "perkalian vektor dengan skalar", dan "perbandingan vektor".

Konsep Dalil Menelaus pada Segitiga
       Diberikan sebuah segitiga ABC, titik D terletak pada garis AC dan titik E terletak pada garis BC. Kemudian titik D dan E dihubungkan membentuk garis DE. Garis AB dan DE diperpanjang sehingga keduanya berpotongan di titik F seperti nampak pada gambar berikut.

Dalil Menelaus berbunyi :
Titik D, E, dan F segaris (Kolinear)
jika dan hanya jika memenuhi $ \, \frac{BE}{EC}\times \frac{CD}{DA}\times \frac{AF}{BF} = 1 $.

$ \spadesuit \, $ Pembuktian Dalil Menelaus dengan Vektor
*). Kita akan membuktikan pernyataan dari kiri ke kanan saja yaitu
Jika titik D, E, dan F segaris (Kolinear), maka memenuhi $ \, \frac{BE}{EC}\times \frac{CD}{DA}\times \frac{AF}{BF} = 1 $.
Jika titik D, E, dan F segaris (Kolinear), maka memenuhi $ \, \frac{DE}{EF}\times \frac{FB}{BA}\times \frac{AC}{DC} = 1 $.

*). Perhatikan ilustrasi gambar berikut.
*). Kita tarik garis bantuan yaitu garis AE.
*). Untuk menentukan perbandingan garis yang diminta, kita akan kerjakan dengan menggunakan konsep perbandingan vektor.
*). Dengan konsep titik-titik segaris (kolinear) , kita peroleh perbandingan vektor :
Misalkan $ \vec{AC} = \vec{q} $ dan $ \vec{AF} = \vec{p} $.
-). Vektor $\vec{AD} $ segaris dengan $ \vec{AC} $ sehingga berlaku kelipatan :
$ \vec{AD} = x\vec{AC} \rightarrow \frac{\vec{AD}}{\vec{AC}} = \frac{x}{1} $ sehingga $ \frac{\vec{AD}}{\vec{DC}} = \frac{x}{1-x} $
-). Dengan cara yang serupa yaitu memanfaatkan bentuk segaris (kolinear), kita peroleh perbandingan vektor lainnya :
$ \vec{AB} = y\vec{AF} \rightarrow \frac{\vec{AB}}{\vec{BF}} = \frac{y}{1-y} $
$ \vec{DE} = n\vec{DF} \rightarrow \frac{\vec{DE}}{\vec{EF}} = \frac{n}{1-n} $
$ \vec{BE} = m\vec{BC} \rightarrow \frac{\vec{BE}}{\vec{EC}} = \frac{m}{1-m} $

*). Menentukan vektor $ \vec{AE} $ dengan konsep perbandingan vektor :
-). Menentukan vektor $ \vec{AE} $ dari $ \vec{DE}:\vec{EF} = n : 1-n $
$ \vec{AE} = \frac{n\vec{AF} + (1-n)\vec{AD}}{n + (1-n)} = \frac{n\vec{p} + (1-n).x\vec{q}}{1} = n\vec{p} + (x - xn) \vec{q} $.
-). Menentukan vektor $ \vec{AE} $ dari $ \vec{BE}:\vec{EC} = m : 1-m $
$ \vec{AE} = \frac{m\vec{AC} + (1-m)\vec{AB}}{m + (1-m)} = \frac{m\vec{q} + (1-m).y\vec{p}}{1} = m\vec{q} + (y-ym)\vec{p} $.
-). Kedua bentuk vektor $ \vec{AE} $ di atas sama yaitu :
$ \vec{AE} = n\vec{p} + (x - xn)\vec{q} \, $ .... (i)
$ \vec{AE} = (y - ym)\vec{p} + m\vec{q} \, $ .... (ii)
Sehingga kita peroleh kesamaan :
Koefisien $ \vec{p} \rightarrow n = (y - ym) \rightarrow n + ym = y \, $ ....(a)
Koefisien $ \vec{q} \rightarrow m = (x - xn) \rightarrow xn + m = x \, $ ....(b)

*). Menentukan $ n , m $ dalam bentuk $ x, y $ dengan menyelesaikan pers(a) dan pers(b) :
-). Eliminasi $ m $
$ \begin{array}{c|c|cc} n + ym = y & \times 1 & n + ym = y & \\ xn + m = x & \times y & xyn + ym = xy & - \\ \hline & & n(1 - xy) = y(1 - x) & \\ & & n = \frac{y(1 - x)}{(1 - xy)} & \end{array} $
Bentuk $ 1 - n = 1 - \frac{y(1 - x)}{(1 - xy)} = \frac{(1 - xy)}{(1 - xy)} - \frac{y(1 - x)}{(1 - xy)} = \frac{1 - y}{(1 - xy)} $
Sehingga perbandingan :
$ \vec{DE}:\vec{EF} = n : 1-n = \frac{y(1 - x)}{(1 - xy)} : \frac{1 - y}{(1 - xy)} = y(1-x) : (1 - y) $

-). Eliminasi $ n $
$ \begin{array}{c|c|cc} xn + m = x & \times 1 & xn + m = x & \\ n + ym = y & \times x & xn + xym = xy & - \\ \hline & & m(1 - xy) = x(1 - y) & \\ & & m = \frac{x(1 - y)}{(1 - xy)} & \end{array} $
Bentuk $ 1 - m = 1 - \frac{x(1 - y)}{(1 - xy)} = \frac{1 - xy}{(1 - xy)} - \frac{x(1 - y)}{(1 - xy)} = \frac{1 - x}{(1 - xy)} $
Sehingga perbandingan :
$ \vec{BE}:\vec{EC} = m : 1-m = \frac{x(1 - y)}{(1 - xy)} : \frac{1 - x}{(1 - xy)}= x(1-y) : (1 - x) $

*). Menentukan perbandingan dalil Menalaus :
-). Bentuk pertama :
$ \begin{align} \frac{BE}{EC}\times \frac{CD}{DA}\times \frac{AF}{BF} & = \frac{x(1-y)}{(1 - x)}\times \frac{1-x}{x}\times \frac{1}{1-y} = 1 \end{align} $
-). Bentuk Kedua :
$ \begin{align} \frac{DE}{EF}\times \frac{FB}{BA}\times \frac{AC}{DC} & = \frac{y(1-x)}{(1-y)}\times \frac{1-y}{y}\times \frac{1}{1-x} = 1 \end{align} $
Jadi, terbukti bahwa $ \frac{BE}{EC}\times \frac{CD}{DA}\times \frac{AF}{BF} = 1 $ dan $ \frac{DE}{EF}\times \frac{FB}{BA}\times \frac{AC}{DC} = 1 $.

Dalil Ceva pada Segitiga
       Terdapat sebuah segitiga ABC, titik-titik D, E, dan F masing-masing terletak pada sisi BC, sisi AC, dan sisi AF seperti gambar berikut.

Dalil Ceva berbunyi :
Garis AD, BE, dan CF berpotongan di satu titik (konkuren)
jika dan hanya jika $ \, \, \frac{AF}{FB}.\frac{BD}{DC}.\frac{CE}{EA} = 1 $.
$ \spadesuit \, $ Pembuktian Dalil Ceva dengan Vektor
*). Kita akan membuktikan pernyataan dari kiri ke kanan saja yaitu
*). Perhatikan ilustrasi gambar berikut.
*). Kita ubah bentuk gambarnya menjadi di atas ini, hal ini kita lakukan karena pembuktiannya mirip dengan pembuktian dalil Menelaus di atasnya dan agar kita tidak banyak mengubah nama-nama vektornya, sehingga yang akan kita buktikan adalah
Jika Garis AG, CB, dan FD berpotongan di satu titik (konkuren), maka $ \, \, \frac{AB}{BF}.\frac{FG}{GC}.\frac{CD}{DA} = 1 $.
atau berlaku juga perbandingan dengan arah berlawanan,
Jika Garis AG, CB, dan FD berpotongan di satu titik (konkuren), maka $ \, \, \frac{AD}{DC}.\frac{CG}{GF}.\frac{FB}{BA} = 1 $.

*). Untuk menentukan perbandingan garis yang diminta, kita akan kerjakan dengan menggunakan konsep perbandingan vektor.
*). Dengan konsep titik-titik segaris (kolinear) , kita peroleh perbandingan vektor :
Misalkan $ \vec{AC} = \vec{q} $ dan $ \vec{AF} = \vec{p} $.
-). Vektor $\vec{AD} $ segaris dengan $ \vec{AC} $ sehingga berlaku kelipatan :
$ \vec{AD} = x\vec{AC} \rightarrow \frac{\vec{AD}}{\vec{AC}} = \frac{x}{1} $ sehingga $ \frac{\vec{AD}}{\vec{DC}} = \frac{x}{1-x} $
-). Dengan cara yang serupa yaitu memanfaatkan bentuk segaris (kolinear), kita peroleh perbandingan vektor lainnya :
$ \vec{AB} = y\vec{AF} \rightarrow \frac{\vec{AB}}{\vec{BF}} = \frac{y}{1-y} $
$ \vec{DE} = n\vec{DF} \rightarrow \frac{\vec{DE}}{\vec{EF}} = \frac{n}{1-n} $
$ \vec{BE} = m\vec{BC} \rightarrow \frac{\vec{BE}}{\vec{EC}} = \frac{m}{1-m} $
$ \vec{FG} = k\vec{FC} \rightarrow \frac{\vec{FG}}{\vec{GC}} = \frac{k}{1-k} $
$ \vec{AE} = z\vec{AG} $

*). Menentukan vektor $ \vec{AE} $ dengan konsep perbandingan vektor :
-). Menentukan vektor $ \vec{AE} $ dari $ \vec{DE}:\vec{EF} = n : 1-n $
$ \vec{AE} = \frac{n\vec{AF} + (1-n)\vec{AD}}{n + (1-n)} = \frac{n\vec{p} + (1-n).x\vec{q}}{1} = n\vec{p} + (x - xn) \vec{q} $.
-). Menentukan vektor $ \vec{AE} $ dari $ \vec{BE}:\vec{EC} = m : 1-m $
$ \vec{AE} = \frac{m\vec{AC} + (1-m)\vec{AB}}{m + (1-m)} = \frac{m\vec{q} + (1-m).y\vec{p}}{1} = m\vec{q} + (y-ym)\vec{p} $.
-). Menentukan vektor $ \vec{AE} $ dari $ \vec{FG}:\vec{GC} = k : 1-k $
$ \vec{AG} = \frac{k\vec{AC} + (1-k)\vec{AF}}{k + (1-k)} = \frac{k\vec{q} + (1-k)\vec{p}}{1} = k\vec{q} + (1-k)\vec{p} $.
$ \vec{AE} = z\vec{AG} = z (k\vec{q} + (1-k)\vec{p}) = kz\vec{q} + (1-k)z\vec{p} $.
-). Ketiga bentuk vektor $ \vec{AE} $ di atas sama yaitu :
$ \vec{AE} = n\vec{p} + (x - xn)\vec{q} \, $ .... (i)
$ \vec{AE} = (y - ym)\vec{p} + m\vec{q} \, $ .... (ii)
$ \vec{AE} = (1-k)z\vec{p} + kz\vec{q} \, $ .... (iii)
-). Pers(i) dan pers(ii) , kita peroleh kesamaan :
Koefisien $ \vec{p} \rightarrow n = (y - ym) \rightarrow n + ym = y \, $ ....(a)
Koefisien $ \vec{q} \rightarrow m = (x - xn) \rightarrow xn + m = x \, $ ....(b)

*). Menentukan $ m $ dalam bentuk $ x, y $ dengan menyelesaikan pers(a) dan pers(b) dengan eliminasi :
$ \begin{array}{c|c|cc} xn + m = x & \times 1 & xn + m = x & \\ n + ym = y & \times x & xn + xym = xy & - \\ \hline & & m(1 - xy) = x(1 - y) & \\ & & m = \frac{x(1 - y)}{(1 - xy)} & \end{array} $
Bentuk $ 1 - m = 1 - \frac{x(1 - y)}{(1 - xy)} = \frac{1 - xy}{(1 - xy)} - \frac{x(1 - y)}{(1 - xy)} = \frac{1 - x}{(1 - xy)} $

*). Dari pers(ii) dan (iii) serta $ m = \frac{x(1 - y)}{(1 - xy)} $ dan $ 1 - m = \frac{1 - x}{(1 - xy)} $
-). Kita peroleh kesamaan :
$ kz = m \rightarrow z = \frac{m}{k} $
$ (y - ym) = (1-k)z \, $ .....(c)
-). Substitusi $ z = \frac{m}{k} ke bentuk (c) $
$ \begin{align} (y - ym) & = (1-k)z \\ (1 - m)y & = (1-k).\frac{m}{k} \\ (1 - m)yk & = (1-k)m \\ \frac{1 - x}{(1 - xy)} .yk & = (1-k) \frac{x(1 - y)}{(1 - xy)} \\ (1 - x) yk & = (1-k)x(1 - y) \\ \frac{k}{1-k} & = \frac{x(1 - y)}{(1 - x) y} \end{align} $

*). Menentukan perbandingan dalil Ceva :
-). Bentuk pertama :
$ \begin{align} \frac{AB}{BF}.\frac{FG}{GC}.\frac{CD}{DA} & = \frac{y}{1-y}.\frac{k}{1-k}.\frac{1-x}{x} \\ & = \frac{y}{1-y}.\frac{x(1 - y)}{(1 - x) y} .\frac{1-x}{x} \\ & = 1 \end{align} $
-). Bentuk Kedua :
$ \begin{align} \frac{AD}{DC}.\frac{CG}{GF}.\frac{FB}{BA} & = \frac{x}{1-x}.\frac{1-k}{k}.\frac{1-y}{y} \\ & = \frac{x}{1-x}.\frac{(1 - x) y}{x(1 - y)}.\frac{1-y}{y} \\ & = 1 \end{align} $
Jadi, terbukti bahwa $ \frac{AB}{BF}.\frac{FG}{GC}.\frac{CD}{DA} = 1 $ dan $ \frac{AD}{DC}.\frac{CG}{GF}.\frac{FB}{BA} = 1 $.

Untuk contoh soal yang berkaitan dengan "dalil Menelaus" dan "dalil Ceva", silahkan teman-teman baca pada artikel "Dalil Menelaus pada Segitiga dan Pembuktiannya" dan "Dalil Ceva pada Segitiga dan Pembuktiannya".

       Demikian pembahasan materi Pembuktian Dalil Menelaus dan Ceva dengan Vektor. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "materi vektor tingkat SMA".

Menentukan Titik Berat Segitiga

         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas materi Menentukan Titik Berat Segitiga. Pada segitiga terdapat garis-garis istimewa seperti garis sumbu, garis tinggi, garis bagi, dan garis berat, dimana rumus-rumus panjangnya bisa teman-teman baca pada artikel "Panjang Garis-garis Istimewa pada Segitiga" serta pembuktiannya pada artikel "Panjang Garis Berat pada Segitiga dan Pembuktiannya". Garis berat segitiga ada tiga yang ditarik dari masing-masing ketiga titik sudut segitiga. Perpotongan ketiga garis berat tersebut pada sebuah titik disebut titik berat segitiga. Bagaimana cara Menentukan Titik Berat Segitiga tersebut? Untuk Menentukan Titik Berat Segitiga, salah satunya menggunakan penerapan materi vektor yaitu "perbandingan vektor pada ruas garis". Hal-hal yang harus kita kuasai untuk mempermudah mempelajari materi Menentukan Titik Berat Segitiga ini yaitu "pengertian vektor", "panjang vektor", "vektor posisi", "kesamaan dua vektor, sejajar, dan segaris (kelipatan)", "penjumlahan dan pengurangan vektor", dan "perkalian vektor dengan skalar".

Peengertian garis berat dan titik berat
$ \spadesuit \, $ Pengertian garis berat segitiga
       Garis berat sebuah segitiga adalah garis yang melalui sebuah titik sudut dan membagi sisi didepan sudut menjadi dua bagian sama panjang. Pada gambar di atas, yang termasuk garis berat adalah garis AE, garis BD, dan garis CF.

$ \spadesuit \, $ Pengertian titik berat segitiga
       Titik berat segitiga adalah titik perpotongan antara ketiga garis berat segitiga. Pada gambar di atas, titik P adalah titik berat segitiga ABC.
Perbandingan ruas garis pada titik berat segitiga
       Perhatikan ilustrasi gambar di atas, masing-masing garis berat terhadap titik berat (titik P) memiliki perbandingan $ 2 : 1 $ yaitu $ AP : PE = 2 : 1 $ , $ BP : PD = 2 : 1 $, dan $ CP : PF = 2 : 1 $.
Rumus menentukan titik berat segitiga
$ \clubsuit \, $ Vektor di R$^2$
       Misalkan terdapat segitiga ABC dengan koordinat masing-masing titik sudutnya $ A(x_1,y_1) $ , $ B(x_2,y_2) $ , dan $ C(x_3,y_3) $. Titik berat segitiga ABC dapat kita tentukan dengan rumus :
Titik berat $ = \left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3} , \frac{y_1+y_2+y_3}{3} \right) $

$ \clubsuit \, $ Vektor di R$^3$
       Misalkan terdapat segitiga ABC dengan koordinat masing-masing titik sudutnya $ A(x_1,y_1,z_1) $ , $ B(x_2,y_2,z_2) $ , dan $ C(x_3,y_3,z_3) $. Titik berat segitiga ABC dapat kita tentukan dengan rumus :
Titik berat $ = \left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3} , \frac{y_1+y_2+y_3}{3} , \frac{z_1+z_2+z_3}{3} \right) $
Catatan :
Untuk pembuktian teori di atas, silahkan teman-teman lihat di bagian bawah setelah contoh-contoh soalnya.

Contoh soal Menentukan Titik Berat Segitiga :

1). Tentukan koordinat titik berat segitiga ABC dengan koordinat masing-masing titik sudut $ A(-1,2) $ , $ B(3, -2) $ , dan $ C(1,6) $ !
Penyelesaian :
*). Titik berat $ \Delta$ABC yaitu :
$ \begin{align} \text{Titik berat } & = \left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3} , \frac{y_1+y_2+y_3}{3} \right) \\ & = \left( \frac{-1 + 3 + 1}{3} , \frac{2 + (-2) + 6}{3} \right) \\ & = \left( \frac{3}{3} , \frac{6}{3} \right) \\ & = \left( 1 , 2 \right) \end{align} $
Jadi, titik berat segitiga ABC adalah $ (1,2 ) . \, \heartsuit $.

2). Diketahui $ \Delta$PQR dengan koordinat titik sudut $ P(1, -2,3) $ , $ Q(5, 1, -1) $ , dan $ R(-3, -5, 4) $. Tentukan koordinat titik berat segitiga PQR tersebut!
Penyelesaian :
$ \begin{align} \text{Titik berat } & = \left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3} , \frac{y_1+y_2+y_3}{3} , \frac{z_1+z_2+z_3}{3} \right) \\ & = \left( \frac{1 + 5 + (-3)}{3} , \frac{-2 + 1 + (-5)}{3} , \frac{3 + (-1) + 4}{3} \right) \\ & = \left( \frac{3}{3} , \frac{-6}{3} , \frac{6}{3} \right) \\ & = \left( 1 , -2 , 2 \right) \end{align} $
Jadi, titik berat segitiga PQR adalah $ (1 , -2 , 2 ) . \, \heartsuit $.

3). Segitiga KLM memiliki titik sudut $ K(p,1,2) $, $ L(1, q, -1) $ , dan $ M(3, 0 , r) $. Jika titik berat segitiga KLM adalah $ (1,1,-1) $ , maka tentukan koordinat titik sudut K, L, dan M serta tentukan nilai $ ( p + 2q + r)^{2017} $!
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai $ p , q, r $ dari titik beratnya :
$ \begin{align} \text{Titik berat } & = (1,1,-1) \\ \left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3} , \frac{y_1+y_2+y_3}{3} , \frac{z_1+z_2+z_3}{3} \right) & = (1,1,-1) \\ \left( \frac{p+1+3}{3} , \frac{1+q+0}{3} , \frac{2+ (-1) + r}{3} \right) & = (1,1,-1) \\ \left( \frac{p+4}{3} , \frac{1+q}{3} , \frac{1 + r}{3} \right) & = (1,1,-1) \end{align} $
*). Dari kesamaan dua buah vektor, kita peroleh :
$ \frac{p+4}{3} = 1 \rightarrow p + 4 = 3 \rightarrow p = -1 $
$ \frac{1+q}{3} = 1 \rightarrow 1 + q = 3 \rightarrow q = 2 $
$ \frac{1 + r}{3} = -1 \rightarrow 1 + r = -3 \rightarrow r = -4 $
Sehingga koordinat masing-masing titik sudut segitiga KLM yaitu :
$ K(p,1,2) = (-1,1,2) $ , $ L(1, q, -1) = (1, 2, -1) $, dan $ M(3, 0 , r) = (3, 0 , -4) $.
*). Menentukan nilai $ ( p + 2q + r)^{2017} $ :
$ ( p + 2q + r)^{2017} = ( -1 + 2.2 + (-4))^{2017} = (-1)^{2017} = -1 $.
Jadi, nilai $ ( p + 2q + r)^{2017} = -1 . \, \heartsuit $

4). Diketahui persegipanajng ABCD dengan $ A(0,0) $ , $ B(3,0) $ , $ C(3,6) $ , dan $ D(0,6) $. Jika titik P adalah titik berat segitiga ABC dan titik Q adalah titik berat segitiga ACD, maka tentukan :
a). Panjang PQ,
b). Apakah titik P dan Q terletak pada bidang diagonal BD?
Penyelesaian :
*). Ilustrasi gambar.
a). Panjang PQ,
-). Menentukan titik berat segitiga ABC :
$ \begin{align} \text{Titik berat } & = \left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3} , \frac{y_1+y_2+y_3}{3} \right) \\ & = \left( \frac{0 + 3 + 3}{3} , \frac{0 + 0 + 6}{3} \right) \\ & = \left( \frac{6}{3} , \frac{6}{3} \right) \\ & = \left( 2 , 2 \right) \end{align} $
sehingga titik P(2,2)
-). Menentukan titik berat segitiga ACD :
$ \begin{align} \text{Titik berat } & = \left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3} , \frac{y_1+y_2+y_3}{3} \right) \\ & = \left( \frac{0 + 3 + 0}{3} , \frac{0 + 6 + 6}{3} \right) \\ & = \left( \frac{3}{3} , \frac{12}{3} \right) \\ & = \left( 1 , 4 \right) \end{align} $
sehingga titik Q(1,4)
-). Menentukan panjang PQ dimana P(2,2) dan Q(1,4) :
$ |PQ| = \sqrt{(1-2)^2 + (4-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} $.
Jadi, panjang PQ adalah $ \sqrt{5} \, $ satuan panjang.

b). Apakah titik P dan Q terletak pada bidang diagonal BD?
*). Untuk mengetahui terletak atau tidaknya titik pada sebuah garis, cuku kita cek apakah titik-titik tersebut segaris (kolinear) atau tidak. Titik K, L , dan M segaris jika $ \vec{KL} = k \vec{LM} $ (salah satu vektor adalah kelipatan dari vektor yang lainnya).
-). Apakah titik $ B(3,0) $ , $ P(2,2) $ dan $ D(0,6) $ segaris? mari kita cek :
$ \begin{align} \vec{BP} & = k \vec{PD} \\ \vec{p} - \vec{b} & = k ( \vec{d} - \vec{p} ) \\ (2,2) - (3,0) & = k ( (0,6) - (2,2) ) \\ (-1, 2) & = k ( -2 , 4 ) \\ (-1, 2) & = ( -2k , 4k ) \end{align} $
Kita peroleh :
$ -2k = -1 \rightarrow k = \frac{1}{2} $
$ 4k = 2 \rightarrow k = \frac{1}{2} $
Karena terdapat nilai $ k $ yang sama maka berlaku $ \vec{BP} = k \vec{PD} \rightarrow \vec{BP} = \frac{1}{2} \vec{PD} $ , sehingga titik P segaris dengan titik B dan D, artinya titik berat P terletak pada bidang diagonal BD.
-). Apakah titik $ B(3,0) $ , $ Q(1,4) $ dan $ D(0,6) $ segaris? mari kita cek :
$ \begin{align} \vec{BQ} & = n \vec{QD} \\ \vec{q} - \vec{b} & = n ( \vec{d} - \vec{q} ) \\ (1,4) - (3,0) & = n ( (0,6) - (1,4) ) \\ (-2, 4) & = n ( -1 , 2 ) \\ (-2, 4) & = ( -n , 2n ) \end{align} $
Kita peroleh :
$ -n = -2 \rightarrow n = 2 $
$ 2n = 4 \rightarrow n = 2 $
Karena terdapat nilai $ n $ yang sama maka berlaku $ \vec{BQ} = n \vec{QD} \rightarrow \vec{BQ} = 2 \vec{QD} $ , sehingga titik Q segaris dengan titik B dan D, artinya titik berat Q terletak pada bidang diagonal BD.
Jadi, kesimpulannya titik berat P dan Q terletak pada bidang diagonal BD.

$ \spadesuit \, $ Pembuktian Perbandingan ruas garis pada titik berat segitiga
*). Perhatikan ilustrasi gambar berikut.
*). Untuk menentukan perbandingan garis yang diminta, kita akan kerjakan dengan menggunakan konsep perbandingan vektor.
*). Dengan konsep titik-titik segaris (kolinear) , kita peroleh :
Misalkan $ \vec{AB} = \vec{q} $ dan $ \vec{AC} = \vec{p} $.
$ \vec{AF} = \frac{1}{2}\vec{AB} = \frac{1}{3}\vec{q} $ dan $ \vec{AD} = \frac{1}{2}\vec{AC} = \frac{1}{2}\vec{p} $.
-). Vektor $\vec{FP} $ segaris dengan $ \vec{FC} $ sehingga berlaku kelipatan :
$ \vec{FP} = n\vec{FC} \rightarrow \frac{\vec{FP}}{\vec{FC}} = \frac{n}{1} $ sehingga $ \frac{\vec{FP}}{\vec{PC}} = \frac{n}{1-n} $
-). Vektor $\vec{DP} $ segaris dengan $ \vec{DB} $ sehingga berlaku kelipatan :
$ \vec{DP} = m\vec{DB} \rightarrow \frac{\vec{DP}}{\vec{DB}} = \frac{m}{1} $ sehingga $ \frac{\vec{DP}}{\vec{PB}} = \frac{m}{1-m} $
-). Vektor $\vec{AP} $ segaris dengan $ \vec{AE} $ sehingga berlaku kelipatan :
$ \vec{AP} = x\vec{AE} \rightarrow \frac{\vec{AP}}{\vec{AE}} = \frac{x}{1} $ sehingga $ \frac{\vec{AP}}{\vec{PE}} = \frac{x}{1-x} $
*). Menentukan vektor $ \vec{AP} $ dari $ \vec{FP}:\vec{PC} = n : 1-n $
$ \vec{AP} = \frac{n\vec{AC} + (1-n)\vec{AF}}{n + (1-n)} = \frac{n\vec{p} + (1-n).\frac{1}{2}\vec{q}}{1} = n\vec{p} + \frac{1-n}{2}\vec{q} $.
*). Menentukan vektor $ \vec{AP} $ dari $ \vec{DP}:\vec{PB} = m : 1-m $
$ \vec{AP} = \frac{m\vec{AB} + (1-m)\vec{AD}}{m + (1-m)} = \frac{m\vec{q} + (1-m).\frac{1}{2}\vec{p}}{1} = m\vec{q} + \frac{1-m}{2}\vec{p} $.
*). Menentukan vektor $ \vec{AP} $ dari $ \vec{BE}:\vec{EC} = 1 : 1 $
$ \vec{AP} = x \vec{AE} = x \frac{\vec{AB} + \vec{AC}}{1 + 1} = x\frac{\vec{q} + \vec{p}}{2} = \frac{x}{2}\vec{q} + \frac{x}{2}\vec{p} $.
*). Ketiga bentuk vektor $ \vec{AP} $ di atas sama yaitu :
$ \vec{AP} = n\vec{p} + \frac{1-n}{2}\vec{q} \, $ .... (i)
$ \vec{AP} = m\vec{q} + \frac{1-m}{2}\vec{p} \, $ .... (ii)
$ \vec{AP} = \frac{x}{2}\vec{q} + \frac{x}{2}\vec{p} \, $ .... (iii)
*). Menentukan nilai $ n , m , x $ dengan menyamakan koefisien vektor sejenis :
-). Bentuk (i) dan (iii) :
Koefisien $ \vec{p} \rightarrow n = \frac{x}{2} $
Koefisien $ \vec{q} \rightarrow \frac{1-n}{2} = \frac{x}{2} $
Artinya $ n = \frac{1-n}{2} \rightarrow 2n = 1- n \rightarrow 3n = 1 \rightarrow n = \frac{1}{3} $.
Nilai $ \frac{x}{2} = n \rightarrow \frac{x}{2} = \frac{1}{3} \rightarrow x = \frac{2}{3} $.
-). Pers(ii) dan (iii) dan gunakan $ x = \frac{2}{3} $ :
Koefisien $ \vec{q} \rightarrow m = \frac{x}{2} \rightarrow m = \frac{\frac{2}{3} }{2} = \frac{1}{3} $
Sehingga kita peroleh nilai :
$ n = \frac{1}{3}, m = \frac{1}{3} $ , dan $ x = \frac{2}{3} $
*). Menentukan perbandingan yang diminta :
$ \vec{AP}:\vec{PE} = x : 1-x = \frac{2}{3} : 1 - \frac{2}{3} = \frac{2}{3} : \frac{1}{3} = 2 : 1 $
$ \vec{BP}:\vec{PD} = 1 - m : m = 1 - \frac{1}{3} : \frac{1}{3} = \frac{2}{3} : \frac{1}{3} = 2 : 1 $
$ \vec{CP}:\vec{PF} = 1 - n : n = 1 - \frac{1}{3} : \frac{1}{3} = \frac{2}{3} : \frac{1}{3} = 2 : 1 $
Jadi, kita peroleh perbandingan $ AP : PE = 2 : 1 $ , $ BP : PD = 2 : 1 $, dan $ CP : PF = 2 : 1 $.

$ \clubsuit \, $ Pembuktian Rumus menentukan titik berat segitiga
       Misalkan titik A, B, C, P, dan E memiliki vektor posisi masing-masing $ \vec{a} $, $ \vec{b} $ , $ \vec{c} $ , $ \vec{p} $ , dan $ \vec{e} $ .
Paerhatikan gambar berikut :
-). Perhatikan perbandingan $ \vec{BE}:\vec{EC} = 1 : 1 $ , sehingga
$ \vec{e} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} $.
-). $\vec{AP} $ dan $ \vec{AE} $ segaris, sehingga :
$ \begin{align} \vec{AP} & = \frac{2}{3}\vec{AE} \\ \vec{p} - \vec{a} & = \frac{2}{3}( \vec{e} - \vec{a}) \\ \vec{p} & = \frac{2}{3} \vec{e} - \frac{2}{3}\vec{a} + \vec{a} \\ & = \frac{2}{3} . \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} + \frac{1}{3}\vec{a} \\ & = \frac{1}{3} (\vec{b} + \vec{c}) + \frac{1}{3}\vec{a} \\ & = \frac{1}{3} (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \end{align} $
Sehingga vektor posisi titik beratnya : $ \vec{p} = \frac{1}{3} (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) $.

-). Vektor di R$^2$
       Misalkan terdapat segitiga ABC dengan koordinat masing-masing titik sudutnya $ A(x_1,y_1) $ , $ B(x_2,y_2) $ , dan $ C(x_3,y_3) $. RUmus titik berat segitiganya :
$ \begin{align} \vec{p} & = \frac{1}{3} (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \\ & = \frac{1}{3} ((x_1,y_1) + (x_2,y_2) + (x_3,y_3)) \\ & = \frac{1}{3} (x_1+ x_2 + x_3,y_1+y_2+y_3) \\ & = \left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3} , \frac{y_1+y_2+y_3}{3} \right) \end{align} $
Jadi, terbukti bahwa rumus titik berat adalah
Titik berat $ = \left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3} , \frac{y_1+y_2+y_3}{3} \right) $

-). Vektor di R$^3$
       Misalkan terdapat segitiga ABC dengan koordinat masing-masing titik sudutnya $ A(x_1,y_1,z_1) $ , $ B(x_2,y_2,z_2) $ , dan $ C(x_3,y_3,z_3) $. RUmus titik berat segitiganya :
$ \begin{align} \vec{p} & = \frac{1}{3} (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \\ & = \frac{1}{3} ((x_1,y_1,z_1) + (x_2,y_2,z_2) + (x_3,y_3,z_3)) \\ & = \frac{1}{3} (x_1+ x_2 + x_3,y_1+y_2+y_3, z_1 + z_2 + z_3) \\ & = \left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3} , \frac{y_1+y_2+y_3}{3} , \frac{z_1+z_2+z_3}{3} \right) \end{align} $
Jadi, terbukti bahwa rumus titik berat adalah
Titik berat $ = \left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3} , \frac{y_1+y_2+y_3}{3} , \frac{z_1+z_2+z_3}{3} \right) $

       Demikian pembahasan materi Menentukan Titik Berat Segitiga dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan aplikasi vektor yaitu "pembuktian dalil Menelaus dan Ceva dengan Vektor".