Tampilkan postingan dengan label turunan. Tampilkan semua postingan
Tampilkan postingan dengan label turunan. Tampilkan semua postingan

Metode Newton Raphson untuk Menyelesaikan Persamaan Tak Linier

         Blog Koma - Metode Newton Raphson merupakan salah satu metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan tak linier secara numerik. Secara numerik maksudnya penyelesaian persamaan dengan pendekatan angka tertentu, yang hasilnya akan mendekati hasil secara eksak (hasil sebenarnya) atau bahkan sama dengan hasil secara numerik tergantung galat yang digunakan. Persamaan tak linier adalah persamaan yang pangkat salah satu variabelnya lebih dari satu atau kurang dari satu (pangkat pecahan), misalkan $ 2x^2 - 3x + 1 = 0 , \, x^3 - +2x^2 - x + 5 = 0 , \, 5x^\frac{3}{2} + x - 1 = 0 , \, $ dan lainnya. Sementara penyelesaian dari persamaan tak linier adalah nilai dari variabelnya (misalkan $x$) yang memenuhi persamaan tersebut atau biasa disebut dengan akar dari persamaan tersebut.

         Kemudian apa hubungannya turunan dengan metode Newton Rahpson untuk menyelesaikan persamaan tak linier?. Metode Newton Raphson ini melibatkan "garis singgung pada kurva" yang melibatkan turunan secara langsung yang akan kita bahas lebih jelas pada artikel kali ini. Dari namanya, metode ini ditemukan oleh dua orang yaitu Newton dan Raphson. Sebenarnya masih banyak lagi metode lain yang bisa digunakan dalam menyelesaikan persamaan tak linier yaitu metode biseksi (bagi dua), metode regula falsi (posisi palsu), metode secant, dan lainnya. Namun Metode Newton Raphson merupakan metode yang paling banyak dipakai, karena konvergensinya paling cepat diantara metode lainnya.

Pengertian Akar (pembuat nol) dari suatu persamaan $ f(x) = 0 $
       Misalkan $ f(x) $ adalah suatu fungsi kontinu. Setiap bilangan $ c $ pada domain $ f $ yang memenuhi $ f(c) = 0 $ disebut akar persamaan $ f(x) = 0$, atau disebut juga pembuat nol fungsi $ f(x) $. Secara singkat, $ c $ disebut akar fungsi $f(x)$.
Pengertian Metode Newton Raphson
       Meotde Newton Raphson merupakan salah satu metode dalam menyelesaikan persamaan tak linier (menentukan salah satu akar dari persamaan tak linier), dengan prinsip utama sebagai berikut :
i). Melakukan pendekatan terhadap kurva $ f(x) $ dengan garis singgung (gradien) pada suatu titik sebagai nilai awal,
ii). Nilai taksiran selanjutnya adalah titik potong antara garis singgung kurva dengan sumbu X.

Perhatikan pendekatan metode Newton Raphson untuk persamaan $ f(x) = 0 $ ,
Dari grafik di atas, penyelesaian $ f(x) = 0 \, $ (akarnya) adalah titik potong grafik fungsi $ f(x) \, $ terhadap sumbu X. Terlihat dari grafik, telah ditunjukan akar sebenarnya, dan untuk mencari akar sebenarnya menggunakan metode Newton Raphson dengan bantuan garis singgung. Misalkan kita pilih akar pertama yaitu $ x_0 \, $ ,
*). substitusi $ x_0 $ ke fungsi $ f(x) $, kita peroleh titik singgung A($x_0,f(x_0)$). Kemudian kita buat garis singgung melalui titik A yaitu gs 1 yang memotong sumbu X di di $ x_1 $.
*). substitusi $ x_1 $ ke fungsi $ f(x) $, kita peroleh titik singgung B($x_1,f(x_1)$). Kemudian kita buat garis singgung melalui titik B yaitu gs 2 yang memotong sumbu X di di $ x_2 $.
*). substitusi $ x_2 $ ke fungsi $ f(x) $, kita peroleh titik singgung A($x_2,f(x_2)$). Kemudian kita buat garis singgung melalui titik C yaitu gs 3 yang memotong sumbu X di di $ x_3 $.
begitu seterusnya sehingga akar-akar pendekatannya mendekati akar sebenarnya dan sama dengan akar sebenarnya.
Rumus Metode Newton Raphson untuk menyelesaikan persamaan tak linier
       Ketika kita memilih nilai $ x_0 , \, $ bagaimana selanjutnya cara untuk menentukan nilai $ x_1, \, x_2, \, $ dan lainnya? Kita akan menggunakan rumus metode Newton Raphson dengan bantuan garis singgung kurva.
Perhatikan gambar berikut,
*). Persamaan garis singgung pada titik A($x_k,f(x_k)$) dengan gradien $ m = f^\prime (x_k) $ :
$ y - f(x_k) = m(x - x_k) \rightarrow y - f(x_k) = f^\prime (x_k) [(x - x_k)] \, $
*). Titik potong garis singgung dengan sumbu X di titik B($x_{k+1},0$) , substitusi titik B ke persamaan garis singgungnya :
$ \begin{align} (x,y) = (x_{k+1},0) \rightarrow y - f(x_k) & = f^\prime (x_k) [(x - x_k)] \\ 0 - f(x_k) & = f^\prime (x_k) [(x_{k+1} - x_k)] \\ - f(x_k) & = f^\prime (x_k) [(x_{k+1} - x_k)] \\ - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} & = (x_{k+1} - x_k) \\ x_{k+1} & = x_k - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \end{align} $
dengan $ k = \{0, 1, 2, 3, .... \} \, $ dan $ f^\prime (x_k) \, $ adalah turunan fungsi $ f(x) $ untuk $ x = x_k \, $
Jadi, Rumus yang digunakan pada metode Newton Raphson adalah :
$ x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \, \, $ dengan $ f^\prime (x_k) \neq 0 $.
Langkah-langkah menggunakan metode Newton Raphson
       langkah-langkah dalam menyelesaikan persamaan tak linier,
1). Tentukan nilai awal $ x_0 \, $.
       Nilai $ x_0 $ yang kita pilih bebas, kalau semakin dekat dengan akar sebenarnya akan lebih baik karena iterasi yang akan kita lakukan semakin sedikit. iterasi maksudnya pengulangan untuk menentukan nilai $x_1, \, x_2, \, $ dan seterusnya.

2). Lakukan iterasi (pengulangan) untuk menentukan taksiran akar selanjutnya ($x_1, x_, x_3,...$) dengan substitusi nilai $ x_0 \, $ pada rumus : $ x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} $ .
3). iterasi berhenti ketika :
*). diperoleh nilai $ f(x_k) = 0 \, $ atau
*). Nilai akar-akar taksirannya sudah tetap ($x_{k+1} = x_k$) atau
*). nilai galat relatif $ x_k \, \leq \, $ toleransi galat $ x \, $ yang diminta.
dengan galat relatif $ x_k = \left| \frac{x_k - x_{k-1} }{x_k } \right| $

Catatan : Galat = error = kesalahan.
Contoh - contoh soal metode Newton Raphson :
1). Tentukan salah satu akar dari persamaan $ x^3 - 2x^2 + 3x - 6 = 0 \, $ dengan metode Newton Raphson.
Penyelesaian :
*). Persamaannya : $ x^3 - 2x^2 + 3x - 6 = 0 , \, $ artinya $ f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 6 $
sehingga turunannya : $ f^\prime (x) = 3x^2 - 4x + 3 $.
*). Pilih nilai $ x_0 = 3 \, $ (salah satu contoh pemilihan nilai $ x_0\, $ , pilih angka yang lain juga boleh).
*). Melakukan iterasi dengan $ x_0 = 3 \, $ dengan rumus : $ x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} $ .
iterasi ke-1 : menentukan nilai $ x_1 $
$ \begin{align} x_0 = 3 \rightarrow f(x_0) & = f(3) = 3^3 - 2.3^2 + 3.3 - 6 = 12 \\ f^\prime (x_0) & = f^\prime (3) = 3.3^2 - 4.3 + 3 = 18 \\ k = 0 \rightarrow x_{k+1} & = x_k - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \\ x_{0+1} & = x_0 - \frac{f(x_0)}{f^\prime (x_0)} \\ x_{1} & = 3 - \frac{12}{18} \\ x_{1} & = 2,33333333 \end{align} $
iterasi ke-2 : menentukan nilai $ x_2 $
$ \begin{align} x_1 = 2,33333333 \rightarrow f(x_1) & = f(2,33333333) = 2,814814815 \\ f^\prime (x_1) & = f^\prime (2,33333333) = 10 \\ k = 1 \rightarrow x_{k+1} & = x_k - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \\ x_{1+1} & = x_1 - \frac{f(x_1)}{f^\prime (x_1)} \\ x_{2} & = 2,33333333 - \frac{2,814814815}{10} \\ x_{2} & = 2,05185 \end{align} $
iterasi ke-3 : menentukan nilai $ x_3 $
$ \begin{align} x_2 = 2,05185 \rightarrow f(x_2) & = f(2,05185) = 0,373856831 \\ f^\prime (x_2) & = f^\prime (2,05185) = 0,373856831 \\ k = 2 \rightarrow x_{k+1} & = x_k - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \\ x_{2+1} & = x_2 - \frac{f(x_2)}{f^\prime (x_2)} \\ x_{3} & = 2,05185 - \frac{0,373856831}{0,373856831} \\ x_{3} & = 2,00149 \end{align} $
iterasi ke-4 : menentukan nilai $ x_4 $
$ \begin{align} x_3 = 2,00149 \rightarrow f(x_3) & = f(2,00149) = 0,010413554 \\ f^\prime (x_3) & = f^\prime (2,00149) = 7,011897728 \\ k = 3 \rightarrow x_{k+1} & = x_k - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \\ x_{3+1} & = x_3 - \frac{f(x_3)}{f^\prime (x_3)} \\ x_{4} & = 2,00149 - \frac{0,010413554}{7,011897728} \\ x_{4} & = 2 \end{align} $
iterasi ke-5 : menentukan nilai $ x_5 $
$ \begin{align} x_4 = 2 \rightarrow f(x_4) & = f(2) = 0 \end{align} $
Karena nilai $ f(2) = 0 , \, $ maka iterasi dihentikan. Artinya salah satu akar dari persamaannya adalah $ x = 2 $.
Jadi, salah satu akar dari persamaan $ x^3 - 2x^2 + 3x - 6 = 0 \, $ adalah 2.

Berikut tabel iterasi secara lengkap dari metode Newton Raphson.

2). Tentukan salah satu akar persamaan linier $ x^5 + 2x^2 - 4 = 0 \, $ dengan metode Newton Raphson , jika diketahui nilai awal $ x_0 = 1 \, $ dan toleransi galat relatif $ x \, $ adalah 0,001.
Penyelesaian :
*). Persamaannya : $ x^5 + 2x^2 - 4 = 0 , \, $ artinya $ f(x) = x^5 + 2x^2 - 4 $
sehingga turunannya : $ f^\prime (x) = 5x^4 + 4x $.
*). Pilih nilai $ x_0 = 1 \, $ (nilai $ x_0\, $ sudah ditentukan pada soal).
Toleransi galat = 0,001. Rumus galat relatif $ x_k = \left| \frac{x_k - x_{k-1} }{x_k } \right| $
*). Melakukan iterasi dengan $ x_0 = 1 \, $ dengan rumus : $ x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} $ .
iterasi ke-1 : menentukan nilai $ x_1 $
$ \begin{align} x_0 = 1 \rightarrow f(x_0) & = f(1) = 1^5 + 2.1^2 - 4 = -2 \\ f^\prime (x_0) & = f^\prime (1) = 5.1^4 + 4.1 = 9 \\ k = 0 \rightarrow x_{k+1} & = x_k - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \\ x_{0+1} & = x_0 - \frac{f(x_0)}{f^\prime (x_0)} \\ x_{1} & = 1 - \frac{-2}{9} \\ x_{1} & = 1,111111 \\ \text{galat } : x_1 & = \left| \frac{x_1 - x_0 }{x_1 } \right| \\ & = \left| \frac{1,111111 - 1 }{1,111111 } \right| \\ & = 0,1 \end{align} $
Karena nilai galat $ x_1 = 0,1 \, $ tidak kurang dari galat toleransi 0,001 , sehingga iterasi dilanjutkan lagi.

iterasi ke-2 : menentukan nilai $ x_2 $
$ \begin{align} x_1 = 1,111111 \rightarrow f(x_1) & = f(1,111111 ) = 0,162644583 \\ f^\prime (x_1) & = f^\prime (1,111111 ) = 12,06523396 \\ k = 1 \rightarrow x_{k+1} & = x_k - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \\ x_{1+1} & = x_1 - \frac{f(x_1)}{f^\prime (x_1)} \\ x_{2} & = 1,111111 - \frac{0,162644583}{12,06523396} \\ x_{2} & = 1,09763 \\ \text{galat } : x_2 & = \left| \frac{x_2 - x_1 }{x_2 } \right| \\ & = \left| \frac{1,09763 - 1,111111 }{1,09763 } \right| \\ & = 0,012281 \end{align} $
Karena nilai galat $ x_2 = 0,012281 \, $ tidak kurang dari galat toleransi 0,001 , sehingga iterasi dilanjutkan lagi.

iterasi ke-3 : menentukan nilai $ x_3 $
$ \begin{align} x_2 = 1,09763 \rightarrow f(x_2) & = f(1,09763 ) = 0,002826142 \\ f^\prime (x_2) & = f^\prime (1,09763 ) = 11,64815483 \\ k = 2 \rightarrow x_{k+1} & = x_k - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \\ x_{2+1} & = x_2 - \frac{f(x_2)}{f^\prime (x_2)} \\ x_{3} & = 1,09763 - \frac{0,002826142}{11,64815483} \\ x_{3} & = 1,09739 \\ \text{galat } : x_3 & = \left| \frac{x_3 - x_2 }{x_3 } \right| \\ & = \left| \frac{1,09739 - 1,09763 }{1,09739 } \right| \\ & = 0,000221 \end{align} $
Karena nilai galat $ x_3 = 0,000221 \, $ kurang dari galat toleransi 0,001 , sehingga iterasi sudah cukup dan dapat dihentikan karena sudah memenuhi toleransi galat.
Jadi, salah satu akarnya adalah $ x = 1,09739 $ .

Berikut tabel iterasi metode Newton Raphson contoh 2.

3). Tentukan salah satu akar dari persamaan $ x^2 - x -6 = 0 \, $ dengan metode Newton Raphson.
Penyelesaian :
*). Persamaannya : $ x^2 - x -6 = 0 , \, $ artinya $ f(x) = x^2 - x -6 $
sehingga turunannya : $ f^\prime (x) = 2x - 1 $.
*). Untuk soal nomor 3 ini, caranya sama dengan soal nomor 1 dan nomor 2 sebelumnya. Kita lebih menenkankan pada penggunaan nilai $ x_0 \, $ yang dipilih. Sebenarnya persamaan $ x^2 - x -6 = 0 \, $ mempunyai dua akar yaitu -2 dan 3 seperti grafik di atas. Nilai $ x_0 \, $ yang kita pilih akan menentukan akar yang akan kita peroleh tergantung dari $ x_0 \, $ tersebut lebih dekat ke akar yang mana. Berikut berbagai variasi pemilihan nilai $ x_0 \, $ yang langsung disajikan dalam tabel berikut.
*). Pilih nilai $ x_0 = 4 \, $ yang lebih dekat dengan 3 daripada -2, maka ketika kita iterasi untuk $ x_0 = 4 \, $ maka hasil akarnya adalah 3 seperti pada tabel iterasi berikut,
*). Pilih nilai $ x_0 = 1 \, $ yang lebih dekat dengan 3 daripada -2, maka ketika kita iterasi untuk $ x_0 = 1 \, $ maka hasil akarnya adalah 3 seperti pada tabel iterasi berikut,
*). Pilih nilai $ x_0 = 0 \, $ yang lebih dekat dengan -2 daripada 3, maka ketika kita iterasi untuk $ x_0 = 0 \, $ maka hasil akarnya adalah -2 seperti pada tabel iterasi berikut,
*). Pilih nilai $ x_0 = -3 \, $ yang lebih dekat dengan -2 daripada 3, maka ketika kita iterasi untuk $ x_0 = -3 \, $ maka hasil akarnya adalah -2 seperti pada tabel iterasi berikut,

Catatan : iterasi akan dihentikan ketika nilai akar taksirannya sudah sama terus dari sebelum dan sesudahnya seperti pada tabel masing-masing di atas.

Dari kasus soal nomor 3 ini dapat disimpulkan bahwa untuk persamaan $ f(x) = 0 \, $ yang mempunyai akar lebih dari satu, dan untuk nilai awal yang dipilih ($x_0$) mempengaruhi akar akhir yang diperoleh. Jika nilai awalnya ($x_0$) berbeda , maka kemungkinan akar akhir (akar pendekatan) yang diperoleh juga berbeda tergantung nilai $ x_0 \, $ nya lebih dekat ke akar yang manan (akar sebenarnya).

Menentukan Titik Potong Dua Kurva menggunakan metode Newton Raphson
       Metode Newton Raphson juga bisa digunakan untuk menentukan titik potong dua buah kurva. Misalkan kita menari titik potong antara kurva $ g(x) \, $ dan $ h(x) $, langkah-langkah yang dilakukan :
i). samakan kedua fungsi : $ g(x) = h(x) \rightarrow g(x) - h(x) = 0 \, $
ii). Misalkan $ f(x) = g(x) - h(x) \, $ , sehingga persamaannya menjadi : $ f(x) = 0 $.
iii). Langkah selanjutnya sama dengan menyelesaikan persamaan $ f(x) = 0 $.
Contoh :
4). Tentukan salah satu titik potong grafik fungsi $ g(x) = x^3 - 5x + 3 \, $ dengan grafik fungsi $ h(x) = x + 1 \, $ dengan pendekatan metode Newton Raphson.?
Penyelesaian :
*). Gambar perpotongan kedua grafik fungsi,
*). Samakan kedua fungsi, sehingga :
$ g(x) = h(x) \rightarrow x^3 - 5x + 3 = x + 1 \rightarrow x^3 - 6x + 2 = 0 \, $
artinya kita peroleh : $ f(x) = x^3 - 6x + 2 $
turunannya : $ f^\prime (x) = 3x^2 - 6 $.
*). Untuk perhitungan metode Newton Raphson, caranya sama dengan contoh soal 1 dan soal 2 di atas, tapi disini langsung kami sajikan dalam bentuk tabelnya saja.
*). Dari grafik perpotongan kedua kurva $ g(x) \, $ dan $ h(x) \, $ , ternyata ada tiga titik perpotongannya yaitu titik A, titik B, dan titik C. Artinya titik potong yang kita peroleh dari setiap percobaan bisa berbeda tergantung nilai awal ($x_0$) yang kita pilih. Berikut kasus masing-masing pemilihan nilai $ x_0 $ beserta titik potong yang diperoleh,
*). Pilih nilai $ x_0 = 3 \, $ yang lebih dekat dengan titik A daripada titik B atau C, maka ketika kita iterasi untuk $ x_0 = 3 \, $ maka hasil titik potongnya adalah titik A dengan yang kita peroleh nilai $x_A $ seperti tabel iterasi berikut,
titik A adalah ($ x_A, h(x_A)$) dengan $ x_A = 2,26180225 $ .
*). Pilih nilai $ x_0 = 1 \, $ yang lebih dekat dengan titik B daripada titik A atau C, maka ketika kita iterasi untuk $ x_0 = 1 \, $ maka hasil titik potongnya adalah titik B dengan yang kita peroleh nilai $x_B $ seperti tabel iterasi berikut,
titik B adalah ($ x_B, h(x_B)$) dengan $ x_B = 0,33987689 $ .
*). Pilih nilai $ x_0 = -2 \, $ yang lebih dekat dengan titik C daripada titik A atau B, maka ketika kita iterasi untuk $ x_0 = -2 \, $ maka hasil titik potongnya adalah titik C dengan yang kita peroleh nilai $x_C $ seperti tabel iterasi berikut,
titik C adalah ($ x_C, h(x_C)$) dengan $ x_C = -2,6016791 $ .
Jadi, dapat disimpulkan bahwa jika nilai awalnya ($x_0$) berbeda, maka titik potong yang diperoleh juga akan berbeda seperti yang telah dicoba di atas.

Menentukan Nilai akar suatu bilangan dengan Metode Newton Raphson
       Ternyata metode Newton Raphson bisa digunakan untuk menghitung nilai dari bentuk akar , misalkan $ \sqrt[3]{35} , \, \sqrt[5]{50} , \, $ dan lainnya. Langkah-langkahnya yaitu :
i). Misalkan nilai yang dicari dengan suatu variabel,
ii). Ubah permisalan menjadi bentuk persamaan $ f(x) = 0 \, $ dengan menerapkan sifat eksponen (perpangkatan).
Sifat-sifat eksponen yang digunakan :
$ \sqrt[n]{a} = a^\frac{1}{n} ; \, \sqrt[n]{a^m} = a^\frac{m}{n} ; $
$ a^\frac{1}{n} = b \rightarrow a = b^n $
iii). Gunakan metode Newton Raphson untuk menentukan akar-akarnya.
Contoh :
5). Tentukan nilai $ \sqrt[5]{37} \, $ dengan metode Newton Raphson?
Penyelesaian :
*). Misalkan nilai $ \sqrt[5]{37} = x \, $ artinya sama saja dengan mencari nilai $ x $ .
*). Mengubah menjadi bentuk persamaan $ f(x) = 0 $ .
$ \begin{align} x & = \sqrt[5]{37} \\ x & = 37^\frac{1}{5} \\ x^5 & = 37 \\ x^5 - 37 & = 0 \end{align} $
Sehingga persamaannya adalah $ x^5 - 37 = 0 \, $
yang artinya $ f(x) = x^5 - 37 $
Turunannya : $ f^\prime (x) = 5x^4 $ .
*). Melakukan metode Newton Raphson,
*). Kita pilih nilai awal $ x_0 = 2 \, $ (pemilihan terserah).
*). Melakukan iterasi dengan $ x_0 = 2 \, $ pada rumus : $ x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} $ .
iterasi ke-1 : menentukan nilai $ x_1 $
$ \begin{align} x_0 = 2 \rightarrow f(x_0) & = f(2) = 2^5 - 37 = -5 \\ f^\prime (x_0) & = f^\prime (2) = 5.2^4 = 80 \\ k = 0 \rightarrow x_{k+1} & = x_k - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \\ x_{0+1} & = x_0 - \frac{f(x_0)}{f^\prime (x_0)} \\ x_{1} & = 2 - \frac{-5}{80} \\ x_{1} & = 2,0625 \end{align} $
iterasi ke-2 : menentukan nilai $ x_2 $
$ \begin{align} x_1 = 2,0625 \rightarrow f(x_1) & = f(2,0625) = (2,0625)^5 - 37 = 0,322419167 \\ f^\prime (x_1) & = f^\prime (2,0625) = 5.(2,0625)^4 = 90,47859192 \\ k = 1 \rightarrow x_{k+1} & = x_k - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \\ x_{1+1} & = x_1 - \frac{f(x_1)}{f^\prime (x_1)} \\ x_{2} & = 2,0625 - \frac{0,322419167}{90,47859192} \\ x_{2} & = 2,05893651 \end{align} $
iterasi ke-3 : menentukan nilai $ x_3 $
$ \begin{align} x_2 = 2,05893651 \rightarrow f(x_2) & = f(2,05893651) = (2,05893651)^5 - 37 = 0,001112197 \\ f^\prime (x_2) & = f^\prime (2,05893651) = 5.(2,05893651)^4 = 89,85491281 \\ k = 2 \rightarrow x_{k+1} & = x_k - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \\ x_{2+1} & = x_2 - \frac{f(x_2)}{f^\prime (x_2)} \\ x_{3} & = 2,05893651 - \frac{0,001112197 }{89,85491281} \\ x_{3} & = 2,05892414 \end{align} $
iterasi ke-4 : menentukan nilai $ x_4 $
$ \begin{align} x_3 = 2,05892414 \rightarrow f(x_3) & = f(2,05892414) = (2,05892414)^5 - 37 = 1,33723 \times 10^{-8} \\ f^\prime (x_3) & = f^\prime (2,05892414) = 5.(2,05892414)^4 = 89,85275211 \\ k = 3 \rightarrow x_{k+1} & = x_k - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \\ x_{3+1} & = x_3 - \frac{f(x_3)}{f^\prime (x_3)} \\ x_{4} & = 2,05892414 - \frac{1,33723 \times 10^{-8} }{89,85275211} \\ x_{4} & = 2,05892414 \end{align} $

Karena nilai akar taksirannya sudah sama yaitu $ x_3 = x_4 = 2,05892414 \, $ maka iterasi bisa dihentikan. Artinya nilai akar taksirannya sudah konvergen ke $ x = 2,05892414 \, $ yang mana nilai ini bisa disebut sebagai akar taksiran dari persamaan $ x^5 - 37 = 0 . $ Sehingga nilai $ \sqrt[5]{37} = x = 2,05892414 $.
Jadi, nilai $ \sqrt[5]{37} = 2,05892414 \, $ . (pendekatan delapan angka dibelakang koma).

Catatan :
*). Untuk penghitungan menggunakan tabel dan bentuk angka yang sulit, penulis menggunakan perhitungan bantuan dari komputer.
*). Pembahasan Metode Newton Raphson pada artikel kali ini sebatas untuk memenuhi materi kurikulum 2013 saja, yang artinya pembahasannya tidak terlalu mendalam. Sebenarnya penyelesaian persamaan tak linier termasuk dalam pelajaran di bangku kuliah, yang artinya untuk tingkat kuliah pada pembahasan di artikel ini masih belum cukup karena masih ada pembahasan yang lebih mendalam lagi tentang metode Newton Raphson.

Nilai Maksimum atau Minimum pada Soal Cerita

         Blog Koma - Pada soal-soal UAN atau soal-soal seleksi masuk PTN biasanya kita diminta menentukan nilai maksimum atau minimum pada suatu soal cerita atau secara umum disebut nilai optimum pada soal cerita. Untuk menyelesaikan soal cerita, salah satu yang kita gunakan adalah menggunakan turunan. Pada artikel kali ini kita khusus membahas materi nilai maksimum dan minimum pada soal cerita. Untuk memudahkan mempelajari materi ini, kita harus membaca dulu materi "turunan fungsi aljabar", "turunan fungsi trigonometri", dan "nilai stasioner".

Menentukan nilai Optimum pada soal cerita menggunakan turunan
       Langkah-langkah penyelesaian soal cerita untuk nilai maksimum atau minimumnya :
i). Buatlah variabel yang mewakili satuan-satuan pada soal cerita.
ii). Buatlah persamaan yang mewakili dan yang diketahui pada soal cerita.
iii). Buatlah fungsi yang mewakili soal cerita yang ingin dicari nilai maksimum atau minimumnya.
iv). Tentukan nilai variabelnya adengan menggunakan syarat stasioner dari fungsi yang terbentuk, dan tentukan nilai fungsinya.
vi). Nilai fungsi yang diperoleh merupakan nilai optimum dari soal cerita (nilai maksimum atau minimum).
Contoh :
1). Jumlah dua bilangan adalah 6. Tentukan hasil kali terbesar yang mungkin dari kedua bilangan tersebut?
Penyelesaian :
*). Misalkan kedua bilangan tersebut adalah $ a \, $ dan $ b $ .
Jumlah kedua bilangan = 6 , $ a + b = 6 \rightarrow a = 6 - b \, $ ....pers(i)
*). Menyusun fungsi yang diminta yaitu perkaliannya , misalkan fungsi nya $ f $.
sehingga fungsi pada soal cerita adalah $ f = a.b $ .
*). Substitusi pers(i) ke fungsinya agar menjadi satu variabel,
$ f = a. b \rightarrow f = (6-b).b \rightarrow f(b) = -b^2 + 6b $ .
*). Menentukan nilai maksimum fungsi $ f(b) = -b^2 + 6b \, $ dengan syarat stasioner :
$ f^\prime (b) = 0 \rightarrow -2b + 6 = 0 \rightarrow b = 3 $ ,
artinya fungsi tersebut maksimum pada saat $ b = 3 $ .
sehingga nilai $ a = 6 - b = 6 - 3 = 3 $.
Diperoleh nilai bilangan pertama 3 dan bilangan kedua 3 agar perkalian kedua bilangan terbesar.
*). Perkalian terbesar kedua bilangan adalah $ a . b = 3.3 = 9 $.
bisa juga langsung substitusi $ b = 3 \, $ ke fungsi $ f(b) = -b^2 + 6b $
$ f_{maks} = f(3) = -(3)^2 + 6. 3 = -9 + 18 = 9 $.
Jadi, nilai terbesar perkalian kedua bilangan tersebut adalah 6.

2). Lapangan berbentuk persegi panjang yang terbentang di tepi jalan raya, hendak dipagari tetapi sepanjang tepi jalan tidak ikut dipagari. Harga material untuk pagar pada sisi yang sejajar dengan jalan adalah RP. 120.000 per meter, dan harga material untuk pagar kedua sisi lainnya adalah RP. 80.000 per meter. Tentukanlah ukuran lapangan yang luasnya terbesar yang dapat dipagari dengan pagar seharga Rp. 36.000.000 ?
Penyelesaian :
*). Misalkan $ x \, $ meter adalah panjang sisi lapangan yang tegak lurus dengan jalan, dan $ y \, $ meter adalah panjang sisi lapangan yang sejajar dengan jalan raya, serta $ L \, $ adalah luas lapangan.
Luas lapangan : $ L = xy $.
*). Menyusun persamaan.
Harga pagar sisi lapangan yang tegak lurus jalan raya adalah 80.000 per meter,
Harga pagar sisi lapangan yang sejajar jalan raya adalah 120.000 per meter,
Biaya total yang dimiliki adalah 36.000.000
Sehingga persamaan yang terbentuk adalah :
$ \begin{align} \text{jumlah total haraga pagar } & = 36.000.000 \\ 80000x + 80000x + 120000y & = 36.000.000 \\ 160000x + 120000y & = 36.000.000 \, \, \, \, \, \text{(bagi 40.000)} \\ 4x + 3y & = 900 \\ 3y & = 900 - 4x \\ y & = \frac{900 - 4y}{3} \\ y & = 300 - \frac{4}{3}x \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
*). Menyusun fungsi luasnya, substitusi pers(i) ke luas :
$ L = x.y \rightarrow L = x (300 - \frac{4}{3}x) \rightarrow L(x) = 300x - \frac{4}{3}x^2 $ .
*). Menentukan nilai maksimum fungsi $ L(x) = 300x - \frac{4}{3}x^2 \, $ dengan syarat stasioner :
$ L^\prime (x) = 0 \rightarrow 300 - \frac{8}{3}x = 0 \rightarrow x = 112,5 $ ,
artinya fungsi tersebut maksimum pada saat $ x = 112,5 $ .
sehingga nilai $ y = 300 - \frac{4}{3}x = 300 - \frac{4}{3}. (112,5) = 150 $.
Jadi, Ukuran lapangannya adalah panjangnya 150 m dan lebarnya 112,5 m.

3). Suatu perusahaan kardus akan membuat kotak tanpa tutup dari karton berbentuk persegi berukuran panjang sisinya 12 m. Pembuatan kotak dilakukan dengan cara memotong persegi-persegi yang ukurannya sama dari keempat sudutnya, kemudian melipat sisi-sisinya ke atas. Tentukan ukuran pemotongan agar diperoleh kotak kardus dengan isi terbesar.?
Penyelesaian :
*). Perhatikan gambar berikut,
Keterangan :
gambar (a) menyatakan karton dan gambar (b) menyatakan kotak kardus yang terbentuk.
*). Misalkan $ x \, $ adalah ukuran sisi-sisi persegi dari keempat sudutnya. $ x \, $ disini adalah ukuran pemotongan di keempat sudutnya. Setelah sisi-sisinya dilipat, maka terbentuk kotak dengan ukuran $ (12- 2x) , \, (12-2x) , \, $ dan $ x \, $ seperti gambar di atas.
*). Menyusun fungsi volume kotak,
$ \begin{align} V & = \text{luas alas } \times \text{ tinggi} \\ V & = (12-2x).(12-2x).x \\ V(x) & = 144x - 48x^2 + 4x^3 \end{align} $
fungsinya : $ V(x) = 144x - 48x^2 + 4x^3 $
$ v^\prime (x) = 144 - 96x + 12x^2 \, $ dan $ V^{\prime \prime } (x) = -96 + 24x $ .
*). Menentukan nilai maksimum fungsi $ V(x) = 144x - 48x^2 + 4x^3 \, $ dengan syarat stasioner :
$ V^\prime (x) = 0 \rightarrow 144 - 96 x + 12x^2 = 0 \rightarrow 12(x-2)(x-6) \rightarrow x = 2 \vee x = 6 $ ,
*). Cek jenis stasioner dari $ x = 2 \vee x = 6 \, $ ke turunan kedua :
Untuk $ x = 2 \rightarrow V^{\prime \prime } (2) = -96 + 24.2 = -48 \, $ (negatif), jenisnya maksimum.
Untuk $ x = 6 \rightarrow V^{\prime \prime } (2) = -96 + 24.6 = 48 \, $ (positif), jenisnya minimum.
Artinya volume kotak akan maksimum pada saat $ x = 2 $ .
Jadi, pemotongan sudut karton sebesar 2 m, akan memberikan volume kotak maksimum.

4). Jumlah bahan bakar solar selama satu tahun yang dibutuhkan oleh suatu kendaraan yang bergerak dengan kecepatan $ v $ km/jam memenuhi persamaan $ Q(v) = - \frac{1}{65}v^2 + 2v + 2500 \, $ liter. Tentukan jumlah maksimum solar yang dibutuhkan dalam empat tahun.?
Penyelesaian :
*). Kita cari dulu jumlah solar maksimum yang dibutuhkan setiap tahunnya, lalu kita kalikan 4.
*). Menentukan nilai maksimum fungsi $ Q(v) = - \frac{1}{65}v^2 + 2v + 2500 \, $ dengan syarat stasioner :
$ L^\prime (x) = 0 \rightarrow Q(v) = - \frac{2}{65}v + 2 = 0 \rightarrow v = 65 $ ,
artinya fungsi tersebut maksimum pada saat $ v = 65 $ .
*). Jumlah maksimum solar yang dibutuhkan setiap tahun pada saat $ v = 65 $ .
$ v = 65 \rightarrow Q(65) = - \frac{1}{65}.65^2 + 2.65 + 2500 = 2565 \, $ litar.
Sehingga jumlah maskimum soal selama 4 tahun $ = 4 \times 2565 = 10260 \, $ litar.
Jadi, Jumlah maksimum solar yang dibutuhkan empat tahun adalah 10.260 liter.

5). Selembar aluminium akan dibuat silinder tanpa tutup dengan volume 8.000$\pi$ cm$^3$. Tentukan tinggi dan jari-jari alas silinder agar aluminium yang digunakan seminimal mungkin.
Penyelesaian :
*). Misalkan : jari-jari silinder $ r \, $ , tinggi silinder $ t \, $, volumenya $ v \, $ dan luas silinder $ L $ .
*). Menyusun persamaan :
Diketahui volume silinder = 8.000$\pi$ . $ \begin{align} \text{volume } & = \text{Luas alas } \times \text{ tinggi } \\ 8000\pi & = \pi r^2 . t \\ 8000 & = r^2 . t \\ t & = \frac{8000}{r^2} \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align} $
*). Menentukan fungsinya (Luas silinder/tabung) :
Luas silinder tanpa tutup :
$ L = \text{ luas alas } + \text{luas selimut } \rightarrow L = \pi r^2 + 2\pi r t $
*). Substitusi pers(i) ke fungsi luasnya :
$ \begin{align} L & = \pi r^2 + 2\pi r t \\ L & = \pi r^2 + 2\pi r . \frac{8000}{ r^2} \\ L & = \pi r^2 + \frac{16000 \pi}{ r} \\ L^\prime & = 2\pi r - \frac{16000 \pi}{ r^2 } \, \, \, \, \text{(turunannya)} \end{align} $
*). Syarat stasioner : $ L^\prime = 0 $
$ \begin{align} L^\prime & = 0 \\ 2\pi r - \frac{16000 \pi}{ r^2 } & = 0 \\ 2\pi r & = \frac{16000 \pi}{ r^2 } \\ r & = \frac{8000}{ r^2 } \\ r^3 & = 8000 \\ r & = 20 \end{align} $
Sehingga : $ t = \frac{8000}{r^2} = \frac{8000}{(20)^2} = \frac{8000}{400} = 20 $ .
Jadi, tinggi silinder $ t = 20 $ cm dan jari-jari alas $ r = 20 $ cm.

Nilai Maksimum dan Minimum Suatu Fungsi

         Blog Koma - Setelah mempelajari "nilai stasioner fungsi", kita lanjutkan dengan pembahasan aplikasi turunan lainnya yaitu nilai maksimum dan minimum suatu fungsi. Sebenarnya untuk nilai maksimum dan minimum suatu fungsi materinya mirip dengan nilai stasioner , hanya saja kita lebih spesifik membahas jenis maksimum dan minimumnya saja. Untuk memudahkan mempelajari materi ini, sebaiknya baca materi "turunan fungsi aljabar", "turunan fungsi trigonometri" dan "turunan kedua fungsi".

Langkah-langkah Menentukan Nilai maksimum dan minimum suatu fungsi
       Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum suatu fungsi $ y = f(x) $ , kita ikuti langkah-langkahnya seperti berikut :
i). Syarat stasioner : $ f^\prime (x) = 0 $ ,
ii). Tentukan jenis stasionernya (maksimum, belok, atau minimum) menggunakan turunan kedua,
iii). Menghitung nilai maksimum atau minimum yang diminta dengan substitusi nilai variabelnya ke fungsi awal.

Catatan :
Nilai maksimum dan minimum yang dimaksud untuk suatu fungsi adalah nilai maksimum dan minimum lokal, artinya hanya berlaku pada interval tertentu saja. Berikut gambar ilustrasinya.
Contoh :
1). Tentukan nilai maksimum dari fungsi $ f(x) = -x^2 + 4x + 3 $ ?
Penyelesaian :
*). Fungsi awal : $ f(x) = -x^2 + 4x + 3 $
$ f^\prime (x) = -2x + 4 \, $ dan $ f^{\prime \prime } (x) = -2 $
*). Menentukan nilai $ x \, $ dari syarat stasioner : $ f^\prime (x) = 0 $
$ f^\prime (x) = 0 \rightarrow -2x + 4 = 0 \rightarrow x = 2 $ .
*). Menentukan jenis stasionernya : gunakan turunan kedua.
untuk $ x = 4 \rightarrow f^{\prime \prime } (2) = -2 \, $ (negatif), jenisnya maksimum. Artinya nilai $ x = 2\, $ menyebabkan fungsinya maksimum.
*). Menentukan nilai maksimum saat $ x = 2 $ , substitusi ke fungsi awal
$ f_{maks} = f(2) = -(2)^2 + 4.2 + 3 = 7 $
Jadi, nilai maksimum fungsi $ f(x) = -x^2 + 4x + 3 \, $ adalah 7 pada saat $ x = 2 $ .

2). Tentukan nilai minimum fungsi $ f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 2x + 3 $ ?
Penyelesaian :
*). Fungsi awal : $ f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 2x + 3 $
$ f^\prime (x) = x^2 + x - 2 \, $ dan $ f^{\prime \prime } (x) = 2x + 1 $
*). Menentukan nilai $ x \, $ dari syarat stasioner : $ f^\prime (x) = 0 $
$ f^\prime (x) = 0 \rightarrow x^2 + x - 2 = 0 \rightarrow (x+2)(x-1) = 0 \rightarrow x = -2 \vee x = 1 $ .
*). Menentukan jenis stasionernya : gunakan turunan kedua.
untuk $ x = -2 \rightarrow f^{\prime \prime } (-2) = 2.(-2) + 1 = -3 \, $ (negatif), jenisnya maksimum. Artinya nilai $ x = - 2\, $ menyebabkan fungsinya maksimum.
untuk $ x = 1 \rightarrow f^{\prime \prime } (1) = 2.(1) + 1 = 3 \, $ (positif), jenisnya minimum. Artinya nilai $ x = 1\, $ menyebabkan fungsinya minimum.
*). Menentukan nilai minimum saat $ x = 1 $ , substitusi ke fungsi awal
$ f_{min} = f(1) = \frac{1}{3}.1^3 + \frac{1}{2}.1^2 - 2.1 + 3 = \frac{11}{6} $
Jadi, nilai maksimum fungsi $ f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 2x + 3 \, $ adalah $ \frac{11}{6} $ pada saat $ x = 1 $ .

3). Fungsi $ f(x) = \frac{1}{2}x - \sqrt{x - p } \, $ memiliki nilai maksimum $ \frac{5}{2} $. Tentukan nilai $ 2p - 5 $ ?
Penyelesaian :
*). Fungsi awal : $ f(x) = \frac{1}{2}x - \sqrt{x - p } $
$ f^\prime (x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2\sqrt{x-p}} \, $
*). Menentukan nilai $ x \, $ dari syarat stasioner : $ f^\prime (x) = 0 $
$ \begin{align} f^\prime (x) & = 0 \\ \frac{1}{2} - \frac{1}{2\sqrt{x-p}} & = 0 \\ \frac{1}{2\sqrt{x-p}} & = \frac{1}{2} \\ \sqrt{x-p} & = 1 \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ (\sqrt{x-p})^2 & = 1^2 \\ x-p & = 1 \\ x & = p+1 \end{align} $ .
Artinya fungsi $ f(x) \, $ maksimum pada saat $ x = p + 1 \, $ .
*). Menentuka nilai $ p \, $ dengan nilai maksimumnya $ \frac{5}{2} \, $ pada saat $ x = p + 1 $ . Artinya $ f_{maks} = \frac{5}{2} \rightarrow f(p+1) = \frac{5}{2} $ . Substitusi $ x = p + 1 \, $ ke fungsi awal diperoleh nilai maksimumnya :
$ \begin{align} f(x) & = \frac{1}{2}x - \sqrt{x - p } \\ f(p+1) & = \frac{5}{2} \\ \frac{1}{2}(p+1) - \sqrt{(p+1) - p } & = \frac{5}{2} \\ \frac{1}{2}(p+1) - \sqrt{1} & = \frac{5}{2} \\ \frac{1}{2}(p+1) - 1 & = \frac{5}{2} \\ \frac{1}{2}(p+1) & = \frac{5}{2} + 1 \\ \frac{1}{2}(p+1) & = \frac{7}{2} \, \, \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ p + 1 & = 7 \\ p & = 6 \end{align} $ .
Sehingga nilai $ p = 6 $ .
Nilai $ 2p - 5 = 2.6 - 5 = 12 - 5 = 7 $
Jadi, nilai $ 2p - 5 = 5 $ .

Nilai maksimum dan minimum suatu fungsi pada interval tertentu
       Nilai maksimum atau minimum fungsi $ y = f(x) \, $ pada interval $ a \leq x \leq b \, $ dapat diperoleh dengan cara :
i). Tentukan nilai fungsi pada batas interval yaitu $ f(a) \, $ dan $ f(b) $ .
ii). Menentukan nilai $ x \, $ yang ada pada interval $ a \leq x \leq b \, $ yang menyebabkan nilai maksimum atau minimum dengan syarat stasioner dan menentukan nilai fungsinya.
iii). Bandingkan nilai fungsi yang diperoleh dari (i) dan (ii), pilih sesuai yang diharapkan (nilai maksimum atau minimum).
Contoh :
4). Tentukan nilai minimum fungsi $ f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 2x + 3 \, $ pada interval $ 0 \leq x \leq 3$? Penyelesaian :
*). Soal ini sama dengan contoh soal nomor 2 di atas, nilai minimumnya pada saat $ x = 1 $ .
*). Menentukan nilai fungsi pada batas intervalnya yaitu $ f (0) \, $ dan $ f(3) $.
Untuk $ x = 0 \rightarrow f(0) = \frac{1}{3}.0^3 + \frac{1}{2}.0^2 - 2.0 + 3 = 3 $
Untuk $ x = 3 \rightarrow f(3) = \frac{1}{3}.3^3 + \frac{1}{2}.3^2 - 2.3 + 3 = \frac{21}{2} $
*). Dari syarat stasioner, fungsi $ f(x) \, $ minimum saat $ x = 1 \, $ yang ada pada interval $ 0 \leq x \leq 3 \, $ . Untuk $ x = 1 \rightarrow f(1) = \frac{1}{3}.1^3 + \frac{1}{2}.1^2 - 2.1 + 3 = \frac{11}{6} $
Dari haisil nilai fungsi di atas, nilai minimum fungsi $ f(x) \, $ adalah $ \frac{11}{6} $ .

Jika nilai $ x \, $ yang memenuhi syarat stasioner tida pada interval $ a \leq x \leq b \, $ , maka nilai fungsi untuk syarat stasioner ini tidak perlu di hitung.

5). Tentukan nilai minimum fungsi $ f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 2x + 3 \, $ pada interval $ -2 \leq x \leq 0$? Penyelesaian :
*). Soal ini sama dengan contoh soal nomor 2 di atas, nilai minimumnya pada saat $ x = 1 $ .
*). Menentukan nilai fungsi pada batas intervalnya yaitu $ f (-2) \, $ dan $ f(0) $.
Untuk $ x = 3 \rightarrow f(-2) = \frac{1}{3}.(-2)^3 + \frac{1}{2}.(-2)^2 - 2.(-2) + 3 = \frac{19}{3} $
Untuk $ x = 0 \rightarrow f(0) = \frac{1}{3}.0^3 + \frac{1}{2}.0^2 - 2.0 + 3 = 3 $
*). Dari syarat stasioner, fungsi $ f(x) \, $ minimum saat $ x = 1 \, $ yang tidak ada pada interval $ -2 \leq x \leq 0 \, $ . Artinya nilai fungsi untuk $ x = 1 \, $ tidak perlu kita hitung.
Dari haisil nilai fungsi di atas, nilai minimum fungsi $ f(x) \, $ adalah $ 3 $ .

Contoh nilai maksimum dan minimum fungsi trigonometri.
6). Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi $ f(x) = 3\sin x + 4 \cos x $?
Penyelesaian :
*). Fungsi awal : $ f(x) = 3\sin x + 4 \cos x $
$ f^\prime (x) = 3\cos x - 4\sin x \, $ dan $ f^{\prime \prime } (x) = -3\sin x - 4\cos x $
*). Menentukan nilai $ x \, $ dari syarat stasioner : $ f^\prime (x) = 0 $
$ \begin{align} f^\prime (x) & = 0 \\ 3\cos x - 4\sin x & = 0 \\ 3\cos x & = 4\sin x \\ \frac{\sin x }{\cos x } & = \frac{3}{4} \\ \tan x & = \frac{3}{4} \end{align} $ .
menentukan nilai $ \sin x \, $ dan $ \cos x \, $ dari $ \tan x = \frac{3}{4} $ .
Rumus dasar $ \tan x = \frac{depan}{samping} = \frac{3}{4} \, $ artinya pada segitiga siku-siku panjang depan sudutnya 3 dan sampingnya 4, sehingga dengan teorema pythagoras sisi miringnya adalah 5.
Nilai $ \sin x = \frac{depan}{miring} = \pm \frac{3}{5} \, $
Nilai $ \cos x = \frac{depan}{miring} = \pm \frac{4}{5} \, $
karena nilai tan positif bisa dikuasran I atau kuadran III, sehingga nilai sin dan cos juga bisa positif atau negatif.
Untuk lebih jelas, sialhkan baca materi "perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku".
*). Menentukan jenis stasionernya : gunakan turunan kedua.
turunan keduanya : $ f^{\prime \prime } (x) = -3\sin x - 4\cos x $
Nilai maksimum : Agar turunan keduanya bernilai negatif, maka nilai sin dan cos harus positif semua. artinya fungsi akan maksimum pada saat $ \sin x = \frac{3}{5} \, $ dan $ \cos x = \frac{4}{5} $.
Nilai minimum : Agar turunan keduanya bernilai positif, maka nilai sin dan cos harus negatif semua. artinya fungsi akan maksimum pada saat $ \sin x = - \frac{3}{5} \, $ dan $ \cos x = - \frac{4}{5} $.
*). Menentukan nilai maksimum dan minimum fungsi $ f(x) = 3\sin x + 4 \cos x $
Nilai maksimum :
$ f_{maks} = 3\sin x + 4 \cos x = 3. \frac{3}{5} + 4 . \frac{4}{5} = \frac{9}{5} + \frac{16}{5} = \frac{25}{5} = 5 $
Nilai minimum :
$ f_{maks} = 3\sin x + 4 \cos x = 3. (-\frac{3}{5}) + 4 . (-\frac{4}{5}) = -\frac{9}{5} - \frac{16}{5} = -\frac{25}{5} = -5 $
Jadi, nilai maksimum fungsi $ f(x) = 3\sin x + 4 \cos x \, $ adalah 5 dan nilai minimumnya adalah $ - 5 $ .

Catatan : Sebenarnya jika dari syarat stasionernya kita bisa menentukan nilai $ x \, $ , maka carilah nilai $ x \, $ dulu baru kita tentukan jenis stasionernya dengan substitusi besar sudutnya ($x$).

Menggambar Grafik Fungsi Menggunakan Turunan

         Blog Koma - Aplikasi turunan lain yang lebih menarik lagi adalah menggambar grafik fungsi, sehingga pada artikel kali ini kita akan membahas menggambar grafik fungsi menggunakan turunan baik fungsi aljabar maupun fungsi trigonometri. Untuk memudahkan mempelajari materi ini, sebaiknya kita pelajari dulu materi "turunan fungsi aljabar", "turunan fungsi trigonometri", serta "nilai stasionernya dan jenisnya".

Langkah - Langkah Menggambar Grafik Fungsi Menggunakan Turunan
       Berikut langkah-langkah mengambar grafik suatu fungsi menggunakan turunan :
i). Menentukan titik potong (tipot) dengan sumbu-sumbu koordinat (sumbu X dan sumbu Y).
Titik potong sumbu X, substitusi $ y = 0 $ .
Titik potong sumbu Y, substitusi $ x = 0 $ .

ii). Menentukan titik-titik stasioner dan jenisnya (titik balik minimum, titik balik maksimum, dan titik belok).

iii). Menentukan titik bantuan lain agar grafiknya lebih mudah sketsa, atau bisa juga secara umum menentukan nilai $ y $ untuk $ x $ besar positif dan untuk $ x $ besar negatif.
Contoh :
1). Gambarlah grafik kurva $ y = 3x^2 - x^3 $.
Penyelesaian :
i). Menentukan titik potong pada sumbu-sumbu :
*). Tipot sumbu X, substitusi $ y = 0 $
$ \begin{align} y = 0 \rightarrow y & = 3x^2 - x^3 \\ 0 & = 3x^2 - x^3 \\ 3x^2 - x^3 & = 0 \\ x^2 ( 3 - x) & = 0 \\ x = 0 \vee x & = 3 \end{align} $
Sehingga titik potong sumbu X adalah (0,0) dan (3,0).
*). Tipot sumbu Y, substitusi $ x = 0 $
$ y = 3x^2 - x^3 = 3.0^2 - 0^3 = 0 $
Sehingga titik potong sumbu Y adalah (0,0).

ii). Menentukan titik-titik stasioner,
Fungsi : $ y = 3x^2 - x^3 $
$ f^\prime (x) = 6x - 3x^2 \, $ dan $ f^{\prime \prime } (x) = 6 - 6x $ .
*). Syarat stasioner : $ f^\prime (x) = 0 $
$ \begin{align} f^\prime (x) & = 0 \\ 6x - 3x^2 & = 0 \\ 3x ( 2 - x) & = 0 \\ x = 0 \vee x & = 2 \end{align} $
*). Nilai stasionernya : substitusi ke fungsi awal.
Untuk $ x = 0 \, $ , nilai stasionernya $ f(0) = 3.0^2 - 0^3 = 0 $
titik stasionernya (0,0) .
Untuk $ x = 2 \, $ , nilai stasionernya $ f(2) = 3.2^2 - 2^3 = 4 $
titik stasionernya (2,4).
*). Menentukan jenis stasionernya, gunakan turunan kedua : $ f^{\prime \prime } (x) = 6 - 6x $
Untuk $ x = 0 \rightarrow f^{\prime \prime } (0) = 6 - 6.0 = 6 \, $ (positif) , jenisnya minimum.
Untuk $ x = 2 \rightarrow f^{\prime \prime } (2) = 6 - 6.2 = -6 \, $ (negatif) , jenisnya maksimum.
Artinya titik (0,0) adalah titik balik minimum dan titik (2,4) adalah titik balik maksimum.

iii). Berdasarkan fungsi $ y = 3x^2 - x^3 , \, $ kita substitusi beberapa nilai $ x \, $ yaitu :
Untuk $ x \, $ semakin besar, nilai $ y \, $ semakin besar negatif (ke bawah) dan untuk $ x \, $ semakin kecil, nilai $ y \, $ semakin besar positif (ke atas).

2). Gambarlah grafik kurva $ y = x^4 - 4x^3 $ .
Penyelesaian :
i). Menentukan titik potong pada sumbu-sumbu :
*). Tipot sumbu X, substitusi $ y = 0 $
$ \begin{align} y = 0 \rightarrow y & = x^4 - 4x^3 \\ 0 & = x^4 - 4x^3 \\ x^4 - 4x^3 & = 0 \\ x^3 ( x - 4 ) & = 0 \\ x = 0 \vee x & = 4 \end{align} $
Sehingga titik potong sumbu X adalah (0,0) dan (4,0).
*). Tipot sumbu Y, substitusi $ x = 0 $
$ y = x^4 - 4x^3 = 0^4 - 4.0^3 = 0 $
Sehingga titik potong sumbu Y adalah (0,0).

ii). Menentukan titik-titik stasioner,
Fungsi : $ y = x^4 - 4x^3 $
$ f^\prime (x) = 4x^3 - 12x^2 \, $ dan $ f^{\prime \prime } (x) = 12x^2 - 24x $ .
*). Syarat stasioner : $ f^\prime (x) = 0 $
$ \begin{align} f^\prime (x) & = 0 \\ 4x^3 - 12x^2 & = 0 \\ 4x^2 (x - 3) & = 0 \\ x = 0 \vee x & = 3 \end{align} $
*). Nilai stasionernya : substitusi ke fungsi awal.
Untuk $ x = 0 \, $ , nilai stasionernya $ f(0) = 0^4 - 4.0^3 = 0 $
titik stasionernya (0,0) .
Untuk $ x = 3 \, $ , nilai stasionernya $ f(2) = 3^4 - 4.3^3 = -27 $
titik stasionernya (3,-27).
*). Menentukan jenis stasionernya, gunakan turunan kedua : $ f^{\prime \prime } (x) = 12x^2 - 24x $
Untuk $ x = 0 \rightarrow f^{\prime \prime } (0) = 12.0^2 - 24.0 = 0 \, $ (nol) , jenisnya titik belok.
Untuk $ x = 3 \rightarrow f^{\prime \prime } (3) = 12.3^2 - 24.3 = 36 \, $ (positif) , jenisnya minimum.
Artinya titik (0,0) adalah titik belok dan titik (3,27) adalah titik balik minimum.

iii). Berdasarkan fungsi $ y = x^4 - 4x^3 , \, $ kita substitusi beberapa nilai $ x \, $ yaitu :
Untuk $ x \, $ semakin besar, nilai $ y \, $ semakin besar positif (ke atas) dan untuk $ x \, $ semakin kecil, nilai $ y \, $ semakin besar positif (ke atas).

3). Gambarlah grafik kurva $ y = \sin x \, $ untuk $ 0 \leq x \leq 360^\circ $ .
Penyelesaian :
i). Menentukan titik potong pada sumbu-sumbu :
*). Tipot sumbu X, substitusi $ y = 0 $
$ \begin{align} y = 0 \rightarrow y & = \sin x \\ 0 & = \sin x \\ \sin x & = 0 \\ x = 0 , \, x = 180^\circ = \pi \vee x & = 360^\circ = 2\pi \end{align} $
Sehingga titik potong sumbu X adalah $ (0,0), \, (180^\circ , 0), \, (360^\circ, 0) $ .
*). Tipot sumbu Y, substitusi $ x = 0 $
$ y = \sin x = \sin 0 = 0 $
Sehingga titik potong sumbu Y adalah (0,0).

ii). Menentukan titik-titik stasioner,
Fungsi : $ y = \sin x $
$ f^\prime (x) = \cos x \, $ dan $ f^{\prime \prime } (x) = -\sin x $ .
*). Syarat stasioner : $ f^\prime (x) = 0 $
$ \begin{align} f^\prime (x) & = 0 \\ \cos x & = 0 \\ x = 90^\circ = \frac{1}{2}\pi \vee x & = 270^\circ = \frac{3}{2}\pi \end{align} $
*). Nilai stasionernya : substitusi ke fungsi awal.
Untuk $ x = 90^\circ \, $ , nilai stasionernya $ f(90^\circ) = \sin 90^\circ = 1 $
titik stasionernya ($ 90^\circ , 1$) .
Untuk $ x = 270^\circ \, $ , nilai stasionernya $ f(270^\circ) = \sin 270^\circ = -1 $
titik stasionernya ($ 270^\circ , -1$).
*). Menentukan jenis stasionernya, gunakan turunan kedua : $ f^{\prime \prime } (x) = -\sin x $
Untuk $ x = 90^\circ \rightarrow f^{\prime \prime } (90^\circ) = - \sin 90^\circ = -1 \, $ (negatif) , jenisnya maksimum.
Untuk $ x = 270^\circ \rightarrow f^{\prime \prime } (270^\circ) = -\sin 270^\circ = 1 \, $ (positif) , jenisnya minimum.
Artinya titik ($ 90^\circ , 1$) adalah titik balik maksimum dan titik ($ 270^\circ , -1$) adalah titik balik minimum.

Berikut gambar grafik fungsi $ y = \sin x \, $ pada interval $ 0 \leq x \leq 360^\circ $ .

Nilai Stasioner Suatu Fungsi dan Jenisnya

         Blog Koma - Aplikasi lainnya dari turunan adalah untuk menentukan nilai stasioner suatu fungsi dan jenisnya. Setiap fungsi baik fungsi aljabar maupun fungsi trigonometri pasti memiliki yang namanya titik balik baik titik puncak maupun titik lembah yang sering disebut dengan titik balik maksimum dan titik balik minimum. Kumpulan semua titik balik dan titik belok tersebut disebut dengan titik stasioner.

Perhatikan grafik fungsi $ y = f(x) \, $ berikut ini,
         Dari grafik di atas, titik A, B, C, D, dan E disebut titik-titik stasioner dengan B dan D adalah titik balik minimum, A dan C adalah titik balik maksimum, serta titik E adalah titik belok. Pertanyaannya adalah bagaimanan cara menentukan semua titik-titik tersebut? Nah disinilah turunan berperan sangat penting dalam menentukan titik-titik stasioner tersebut. Untuk memudahkan mempelajari materi ini, sebaiknya kita pelajari dulu materi "turunan fungsi aljabar", "turunan fungsi trigonometri", dan "turunan kedua suatu fungsi".

Menentukan Titik Stasioner dan Nilai stasioner suatu fungsi
       Misalkan terdapat fungsi $ y = f(x) \, $ yang dapat diturunkan (diferentiable), untuk menentukan titik stasionernya kita harus menentukan nilai $ x \, $ terlebih dulu dengan cara menggunakan syarat stasioner yaitu :
Syarat Stasioner : $ f^\prime (x) = 0 \, $ (turunan pertama = 0).

       Dari syarat stasioner $ f^\prime (x) = 0 \, $ , akan kita peroleh nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan tersebut, anggap saja $ x = c \, $ yang memenuhi $ f^\prime (c) = 0 . \, $ Akan kita peroleh :
Titik ($c, f(c)$) disebut sebagai titik stasioner, dan
Nilai fungsi $ y = f(c) \, $ disebut sebagai Nilai stasionernya.

Catatan :
*). Banyaknya nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan $ f^\prime (x) = 0 \, $ bisa lebih dari satu, ini tergantung dari bentuk fungsinya.
*). Untuk menentukan jenis stasionernya, ada dua cara yaitu menggunakan turunan pertama atau menggunakan turunan kedua.
Contoh :
1). Tentukan titik dan nilai stasioner dari fungsi-fungsi berikut :
a). $ f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 8x + 1 $
b). $ f(x) = \sin (2x) \, $ untuk $ 0 \leq x \leq 360^\circ $
Penyelesaian :
a). Menentukan nilai $ x \, $ berdasarkan syarat stasioner :
Fungsi awal : $ f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 8x + 1 \rightarrow f^\prime (x) = x^2 - 2x - 8 $
Syarat stasioner : $ f^\prime (x) = 0 $
$ \begin{align} f^\prime (x) & = 0 \\ x^2 - 2x - 8 & = 0 \\ (x +2)(x-4) & = 0 \\ x = -2 \vee x & = 4 \end{align} $
*). Menentukan nilai stasioner dan titik stasionernya dengan substitusikan nilai $ x = -2 \, $ dan $ x = 4 \, $ ke fungsi awal, kita peroleh :
Untuk $ x = -2 \rightarrow f(-2) = \frac{1}{3}(-2)^3 - (-2)^2 - 8.(-2) + 1 = \frac{31}{3} $ .
Sehingga untuk $ x = -2 \, $ , nilai stasionernya $ \frac{31}{3} \, $ dan titik stasionernya $\left( -2, \frac{31}{3} \right)$ .
Untuk $ x = 4 \rightarrow f(4) = \frac{1}{3}(4)^3 - (4)^2 - 8.(4) + 1 = -\frac{77}{3} $ .
Sehingga untuk $ x = 4 \, $ , nilai stasionernya $ -\frac{77}{3} \, $ dan titik stasionernya $\left( 4, -\frac{77}{3} \right)$ .
Jadi, titik stasionernya adalah $\left( -2, \frac{31}{3} \right) \, $ dan $\left( 4, -\frac{77}{3} \right)$ .

b). Menentukan nilai $ x \, $ berdasarkan syarat stasioner :
Fungsi awal : $ f(x) = \sin (2x) \rightarrow f^\prime (x) = 2 \cos (2x) $
Syarat stasioner : $ f^\prime (x) = 0 $
$ \begin{align} f^\prime (x) & = 0 \\ 2 \cos (2x) & = 0 \\ \cos (2x) & = 0 \\ 2x & = 90^\circ \rightarrow x = 45^\circ \\ 2x & = 270^\circ \rightarrow x = 135^\circ \\ 2x & = 450^\circ \rightarrow x = 225^\circ \\ 2x & = 630^\circ \rightarrow x = 315^\circ \end{align} $
Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri, silahkan baca materinya lebih lanjut pada artikel "penyelesaian persamaan trigonometri".
*). Menentukan nilai stasioner dan titik stasionernya dengan substitusikan nilai $ x = \{ 45^\circ, 135^\circ, 225^\circ, 315^\circ \} $ ke fungsi awal, kita peroleh :
Untuk $ x = 45^\circ \rightarrow f(45^\circ) = \sin ( 2 \times 45^\circ ) = \sin 90^\circ = 1 $ .
Sehingga untuk $ x = 45^\circ \, $ , nilai stasionernya $ 1 \, $ dan titik stasionernya $\left( 45^\circ , 1 \right)$ .
Untuk $ x = 135^\circ \rightarrow f(135^\circ) = \sin ( 2 \times 135^\circ ) = \sin 270^\circ = -1 $ .
Sehingga untuk $ x = 135^\circ \, $ , nilai stasionernya $ -1 \, $ dan titik stasionernya $\left( 135^\circ , -1 \right)$ .
Untuk $ x = 225^\circ \rightarrow f(225^\circ) = \sin ( 2 \times 225^\circ ) = \sin 450^\circ = 1 $ .
Sehingga untuk $ x = 225^\circ \, $ , nilai stasionernya $ 1 \, $ dan titik stasionernya $\left( 225^\circ , 1 \right)$ .
Untuk $ x = 315^\circ \rightarrow f(315^\circ) = \sin ( 2 \times 315^\circ ) = \sin 630^\circ = -1 $ .
Sehingga untuk $ x = 315^\circ \, $ , nilai stasionernya $ -1 \, $ dan titik stasionernya $\left( 315^\circ , -1 \right)$ .
Jadi, titik stasionernya adalah $\{ \left( 45^\circ , 1 \right), \left( 135^\circ , -1 \right),\left( 225^\circ , 1 \right), \left( 315^\circ , -1 \right) \} $ .

Menentukan jenis stasioner menggunakan turunan pertama
       Misalkan fungsi $ y = f(x) \, $ dan $ x = c \, $ memenuhi syarat stasioner $ f^\prime (c) = 0 , \, $ artinya kita peroleh nilai stasionernya $ f(c) \, $ dan titik stasionernya ($c,f(c)$). Kita akan uji titik disebelah kiri ($x=a$) dan sebelah kanan ($x = b$) pada $ x = c \, $ yaitu $ a < c < b \, $ dengan cara substitusi titik yang mau diuji ke fungsi turunan pertamanya untuk menentukan jenis stasionernya. Ada 4 kemungkinan yang akan kita peroleh yaitu :
i). Jika nilai $ f^\prime (a) > 0 \, $ dan $ f^\prime (b) > 0 \, $ , maka jenis stasionernya adalah titik belok. Berikut garis bilangannya,

ii). Jika nilai $ f^\prime (a) > 0 \, $ dan $ f^\prime (b) < 0 \, $ , maka jenis stasionernya adalah maksimum (titik balik maksimum). Berikut garis bilangannya,

iii). Jika nilai $ f^\prime (a) < 0 \, $ dan $ f^\prime (b) > 0 \, $ , maka jenis stasionernya adalah minimum (titik balik minimum). Berikut garis bilangannya,

iii). Jika nilai $ f^\prime (a) < 0 \, $ dan $ f^\prime (b) < 0 \, $ , maka jenis stasionernya adalah titik belok. Berikut garis bilangannya,
Contoh :
2). Tentukan nilai stasioner dan jenisnya dari fungsi berikut $ f(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 6x $
Penyelesaian :
*). Fungsi awal : $ f(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 6x $
$ f^\prime (x) = x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) $
*). Menentukan nilai $ x \, $ dari syarat stasioner : $ f^\prime (x) = 0 $
$ \begin{align} f^\prime (x) & = 0 \\ x^2 - 5x + 6 & = 0 \\ (x-2)(x-3) & = 0 \\ x = 2 \vee x & = 3 \end{align} $
*). Menentukan nilai stasionernya,
substitusi ke fungsi awal : $ f(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 6x $
Untuk $ x = 2 \, $ nilai stasionernya $ f(2) = \frac{1}{3}.2^3 - \frac{5}{2}.2^2 + 6.2 = 4\frac{2}{3} $
sehingga titik stasionernya : $ (2,4\frac{2}{3}) $
Untuk $ x = 3 \, $ nilai stasionernya $ f(3) = \frac{1}{3}.3^3 - \frac{5}{2}.3^2 + 6.3 = 4\frac{1}{2} $
sehingga titik stasionernya : $ (3, 4\frac{1}{2}) $
*). Menentukan jenis stasionernya :
Kita peroleh nilai $ x = 2 \, $ dan $ x = 3 , \, $ akan kita uji titik disekitar 2 dan 3 dengan mensubstitusikannya ke turunan pertama yaitu $ f^\prime (x) = (x-2)(x-3) $ .
Untuk $ x = 0 \, $ disebelah kirinya 2,
$ x = 0 \rightarrow f^\prime (0) = (0-2)(0-3) = 6 \, $ (positif),
Untuk $ x = 2,5 \, $ diantara 2 dan 3,
$ x = 2,5 \rightarrow f^\prime (2,5) = (2,5-2)(2,5-3) = -0,25 \, $ (negatif),
Untuk $ x = 4 \, $ disebelah kanannya 3,
$ x = 4 \rightarrow f^\prime (4) = (4-2)(4-3) = 2 \, $ (positif),
Garis bilangannya :

Dari garis bilangan terlihat bahwa ,
untuk $ x = 2 \, $ nilai stasionernya adalah $ 4\frac{2}{3} \, $ jenisnya maksimum.
Sehingga titik stasioner $ (2,4\frac{2}{3}) \, $ jenisnya titik balik maksimum.

untuk $ x = 3 \, $ nilai stasionernya adalah $ 4\frac{1}{2} \, $ jenisnya minimum.
Sehingga titik stasioner $ (3,4\frac{1}{2}) \, $ jenisnya titik balik minimum.

Menentukan jenis stasioner menggunakan turunan Kedua
       Misalkan fungsi $ y = f(x) \, $ dan $ x = c \, $ memenuhi syarat stasioner $ f^\prime (c) = 0 , \, $ artinya kita peroleh nilai stasionernya $ f(c) \, $ dan titik stasionernya ($c,f(c)$). Untuk menentukan jenis stasionernya, kita akan menggunakan turunan kedua, artinya $ x = c \, $ kita substitusikan ke turunan kedua dengan 3 kemungkinan yaitu :

i). Jika $ f^{\prime \prime } (c) > 0 \, $ maka jenisnya minimum (grafik cekung ke atas).
ii). Jika $ f^{\prime \prime } (c) = 0 \, $ maka jenisnya belok (titik belok).
iii). Jika $ f^{\prime \prime } (c) < 0 \, $ maka jenisnya maksimum (grafik cekung ke bawah).
Catatan : perubahan kecekungan disebut titik belok.
Contoh :
3). Tentukan jenis stasioner dari fungsi pada soal nomor 2 di atas.
Penyelesaian :
Fungsi awal : $ f(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 6x $
$ f^\prime (x) = x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) $
$ f^{\prime \prime } (x) = 2x - 5 $
*). Dari perhitungan sebelumnya diperoleh $ x = 2 \, $ dan $ x = 3 $.
*). Cek turunan kedua untuk menentukan jenis stasionernya :
untuk $ x = 2 \rightarrow f^{\prime \prime } (2) = 2.2 - 5 = -1 < 0 \, $ (negatif), artinya pada saat $ x = 2 \, $ jenis stasionernya adalah maksimum.
untuk $ x = 3 \rightarrow f^{\prime \prime } (3) = 2.3 - 5 = 1 > 0 \, $ (positif), artinya pada saat $ x = 3 \, $ jenis stasionernya adalah minimum.
Jadi, jenis stasioner yang diperoleh sama dengan cara menggunakan turunan pertama pada contoh soal nomor 2.

4). Tentukan nilai stasioner dan jenisnya dari fungsi $ f(x) = \sin (2x) \, $ untuk $ 0 \leq x \leq 360^\circ $
Penyelesaian :
*). Soal contoh 4 ini sama dengan soal contoh 1 bagian b, artinya kita telah memperoleh nilai $ x \, $ yang memenuhi syarat stasioner yaitu : $ x = \{ 45^\circ, 135^\circ, 225^\circ, 315^\circ \} $
*). Menentukan turunan kedua :
fungsi awal : $ f(x) = \sin (2x) $
$ f^\prime (x) = 2 \cos 2x \, $ dan $ f^{\prime \prime } (x) = -4 \sin 2x $
*). Menentukan jenis stasionernya menggunakan turunan kedua : $ f^{\prime \prime } (x) = -4 \sin 2x $
Untuk $ x = 45^\circ \rightarrow f^{\prime \prime } (45^\circ) = -4 \sin 2 \times 45^\circ = -4 \sin 90^\circ = -4 \, $ (negatif), artinya pada saat $ x = 45^\circ \, $ jenis stasionernya adalah maksimum.
Untuk $ x = 135^\circ \rightarrow f^{\prime \prime } (135^\circ) = -4 \sin 2 \times 135^\circ = -4 \sin 270^\circ = 4 \, $ (positif), artinya pada saat $ x = 135^\circ \, $ jenis stasionernya adalah minimum.
Untuk $ x = 225^\circ \rightarrow f^{\prime \prime } (225^\circ) = -4 \sin 2 \times 225^\circ = -4 \sin 450^\circ = -4 \, $ (negatif), artinya pada saat $ x = 225^\circ \, $ jenis stasionernya adalah maksimum.
Untuk $ x = 315^\circ \rightarrow f^{\prime \prime } (315^\circ) = -4 \sin 2 \times 315^\circ = -4 \sin 630^\circ = 4 \, $ (positif), artinya pada saat $ x = 315^\circ \, $ jenis stasionernya adalah minimum.

5). Diketahui fungsi $ y = mx^3 + nx^2 $ dengan $ m $ dan $ n $ konstan, memiliki titik stasioner pada titik ($1, -1$). Tentukan nilai $ m $ dan $ n $.
Penyelesaian :
*). Fungsi awal : $ y = mx^3 + nx^2 $
$ f^\prime (x) = 3mx^2 + 2nx $
*). Titik ($1,-1$) adalah titik stasioner, artinya titik tersebut dilalui oleh grafik sehingga bisa kita substitusikan langsung ke fungsinya :
$ \begin{align} (x,y) = (1,-1) \rightarrow y & = mx^3 + nx^2 \\ -1 & = mx. 1^3 + n.1^2 \\ m + n & = -1 \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
*). Syarat stasioner : $ f^\prime (x) = 0 $
Karena titik ($1,-1$) adalah titik stasioner, maka untuk $ x = 1 \, $ (absisnya) pasti memenuhi syarat stasioner yaitu $ f^\prime (1) = 0 $
$ \begin{align} f^\prime (x) & = 3mx^2 + 2nx \\ f^\prime (1) & = 0 \\ 3m.1^2 + 2n.1 & = 0 \\ 3m + 2n & = 0 \, \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align} $
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{array}{c|c|cc } m + n = -1 & \times 2 & 2m + 2n = -2 & \\ 3m + 2n = 0 & \times 1 & 3m + 2n = 0 & - \\ \hline & & -n = -2 & \\ & & n = 2 & \end{array} $
Pers(i) : $ m + n = -1 \rightarrow m + (2) = -1 \rightarrow m = -3 $ .
Jadi, kita peroleh nilai $ m = -3 \, $ dan $ n = 2 $ .

6). Fungsi $ f(x) = ax^4 + x^2 + 3b \, $ memiliki titik belok ($1,-3$). Tentukan nilai $ 6a - 18 b $ ?
Penyelesaian :
*). Titik ($1,-3$) adalah titik belok, artinya titik tersebut dilalui oleh grafik fungsinya sehingga bisa kita substitusi ke fungsinya.
$ \begin{align} (x,y) = (1,-3) \rightarrow y & = ax^4 + x^2 + 3b \\ -3 & = a.1^4 + 1^2 + 3b \\ a + 3b & = -4 \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
*). Menentukan turunan kedua fungsi $ f(x) = ax^4 + x^2 + 3b $
$ f^\prime (x) = 4ax^3 + 2x \, $ dan $ f^{\prime \prime }(x) = 12ax^2 + 2 $
*). Syarat titik belok adalah $ f^{\prime \prime }(x) = 0 $
*). Titik ($1,-3$) adalah titik belok sehingga $ x = 1 \, $ (absisnya) memenuhi syarat titik belok yaitu $ f^{\prime \prime }(1) = 0 $
$ f^{\prime \prime }(1) = 0 \rightarrow 12a.1^2 + 2 = 0 \rightarrow a = - \frac{1}{6} $.
Pers(i) : $ a + 3b = -4 \rightarrow - \frac{1}{6} + 3b = -4 \rightarrow b = - \frac{23}{18} $
Jadi, nilai $ 6a - 18 b = 6(- \frac{1}{6}) - 18(- \frac{23}{18}) = - 1 + 23 = 22 $ .

7). Tentukan nilai stasioner dan jenisnya dari fungsi $ f(x) = 4x^5 - 5x^4 $ ?
Penyelesaian :
*). Fungsi awal : $ f(x) = 4x^5 - 5x^4 $
$ f^\prime (x) = 20x^4 - 20x^3 = 20x^3(x - 1) \, $ dan $ f^{\prime \prime } (x) = 80x^3 - 60x^2 $
*). Menentukan nilai $ x \, $ dari syarat stasioner : $ f^\prime (x) = 0 $
$ \begin{align} f^\prime (x) & = 0 \\ 20x^4 - 20x^3 & = 0 \\ 20x^3(x - 1) & = 0 \\ x = 0 \vee x & = 1 \end{align} $
*). Menentukan nilai stasionernya,
substitusi ke fungsi awal : $ f(x) = 4x^5 - 5x^4 $
Untuk $ x = 0 \, $ nilai stasionernya $ f(0) = 4.0^5 - 5.0^4 = 0 $
sehingga titik stasionernya : $ (0,0) $
Untuk $ x = 1 \, $ nilai stasionernya $ f(1) = 4.1^5 - 5.1^4 = -1 $
sehingga titik stasionernya : $ (1, -1) $
*). Menentukan jenis stasionernya menggunakan turunan kedua : $ f^{\prime \prime } (x) = 80x^3 - 60x^2 $
Untuk $ x = 0 \rightarrow f^{\prime \prime } (0) = 80.0^3 - 60.0^2 = 0 \, $ , artinya pada saat $ x = 0 \, $ jenis stasionernya adalah titik belok.
Untuk $ x = 1 \rightarrow f^{\prime \prime } (1) = 80.1^3 - 60.1^2 = 20 \, $ (positif) , artinya pada saat $ x = 1 \, $ jenis stasionernya adalah minimum.
Jadi, diperoleh titik stasioner (0,0) jenisnya titik belok dan titik stasioner (1,20) jenisnya titik balik minimum.

Kecepatan dan Percepatan Menggunakan Turunan

         Blog Koma - Pada materi sebelumnya kita mempelajari laju perubahan sesaat pada artikel "Penerapan Limit pada Laju Perubahan". Untuk melanjutkan pembahasan materi laju perubahan, pada artikel kali ini kita akan membahas Kecepatan dan Percepatan Menggunakan Turunan yang tentu ada kaitannya dengan laju perubahan juga. Khusus untuk percepatan, kita akan menggunakan konsep "turunan kedua". Namun jangan lupa juga membaca materi "turunan fungsi aljabar" ya, karena kita akan menurunkan bentuk fungsi aljabar pada materi ini.

Menentukan Kecepatan Menggunakan Turunan
       Jika $ s = f(t) \, $ menyatakan persamaan gerak dari suatu benda sepanjang garis lurus, dengan $ s \, $ adalah perpindahan atau jarak langsung benda dari titik awal pada waktu $ t $ . Fungsi $ f \, $ yang menggambarkan gerakan disebut fungsi posisi benda. Pada selang waktu dari $ t = c \, $ sampai dengan $ t = c + h \, $ , perubahan posisi adalah $ f(c+h) - f(c) \, $ seperti gambar berikut,

Kecepatan rata-rata pada selang waktu ini adalah
kecepatan rata-rata $ = \frac{\text{perpindahan}}{\text{waktu}} = \frac{f(c+h) - f(c) }{h} $

       Misalkan kita akan menghitung untuk selang waktu yang sangat kecil ($h \, $ mendekati 0), maka kita memperoleh yang namanya kecepatan sesaat untuk $ t = c $ ,
Kecepatan sesaat $ = v(c) = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(c+ h ) - f(c)}{h} $
yang tidak lain bentuk ini adalah turunan pertama pada fungsi $ s= f(t) \, $ yaitu $ f^\prime (c) \, $ jika nilai limitnya ada.

       Dapat disimpulkan bahwa kecepatan suatu fungsi $ s(t) = f(t) \, $ pada waktu $ t \, $ tertentu adalah : $ v(t) = s^\prime (t) \, $ atau $ v(t) = f^\prime (t) $

       Secara fisis, kecepatan sesaat gerak benda pada waktu $ t \, $ tertentu adalah $ f^\prime (t) \, $. Sedangkan laju perubahan sesaat benda didefinisikan sebagai nilai mutlak besarnya kecepatan sesaat, ditulis laju $ = |v(t)| = |f^\prime (x) | = |s^\prime (t)| $ . Kecepatan sesaat bisa bernilai positif atau negatif tergantung benda bergerak dalam arah positif atau arah negatif. Jika kecepatan sesaat nilainya nol, maka benda dalam keadaan diam.
Menentukan Percepatan Menggunakan Turunan
       Laju perubahan sesaat dari kecepatan disebut percepatan sesaat. Misalkan benda bergerak mengikuti fungsi gerak $ s = f(t), \, $ dengan kecepatan sesaat pada $ t \, $ tertentu adalah $ v \, $ dan percepatannya adalah $ a \, $ . Percepatan ($a$) adalah turunan pertama dari $ v \, $ terhadap $ t \, $ atau percepatan adalah turunan kedua dari $ s \, $ terhadap $ t $ .
Percepatannya : $ a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2 s}{dt^2} = v^\prime = s^{\prime \prime } $ .

       Dari definisi percepatan ini bisa kita simpulkan bahwa jika $ a > 0 \, $ maka $ v \, $ bertambah , jika $ a < 0 \, $ maka $ v \, $ berkurang , dan jika $ a = 0 \, $ maka $ v \, $ tak berubah.
Hubungan kelajuan, kecepatan, dan percepatan
       Laju benda pada $ t \, $ detik adalah $ |v| $, sehingga hubungan laju, kecepatan, dan percepatannya yaitu :
i). jika $ v \geq 0 \, $ dan $ a > 0 \, $ , maka laju bertambah,
ii). jika $ v \geq 0 \, $ dan $ a < 0 \, $ , maka laju berkurang,
iii). jika $ v \leq 0 \, $ dan $ a > 0 \, $ , maka laju berkurang,
iv). jika $ v \leq 0 \, $ dan $ a < 0 \, $ , maka laju bertambah.
Contoh :
1). Suatu benda bergerak sepanjang garis mendatar mengikuti persamaan :
$ s (t) = t^3 - 3t^2 + 5 \, $ , dengan jarak satuan meter dan $ t \, $ detik.
Tentukan :
a). Kecepatan dan percepatan dalam $ t $ ,
b). Kecepatan dan percepatan saat $ t = 3 \, $ detik ,
c). Kapankah benda tersebut berhenti atau diam.
Penyelesaian :
a). Menentukan kecepatan dan percepatan,
Fungsi : $ s (t) = t^3 - 3t^2 + 5 $
Kecepatan : $ v(t) = s^\prime (t) = 3t^2 - 6t $
Percepatan : $ a(t) = s^{\prime \prime } (t) = 6t - 6 $

b). Kecepatan dan percepatan saat $ t = 3 $ :
Kecepatan : $ v(t) = 3t^2 - 6t \rightarrow v(3) = 3.3^2 - 6.3 = 9 \, $
Sehingga kecepatannya adalah 9 m/detik.
Percepatan : $ a(t) = s^{\prime \prime } (t) = 6t - 6 \rightarrow a(3) = 6.3 - 6 = 12 $
Sehingga percepatannya adalah 12 m/detik$^2$.

c). Benda akan berhenti ketika kecepatannya nol,
$ v(t) = 0 \rightarrow 3t^2 - 6t = 0 \rightarrow 3t(t-2) = 0 \rightarrow t = 0 \vee t = 2 $
Jadi, benda berhenti atau diam pada saat $ t = 2 \, $ detik.

2). Sebuah bola dilemparkan vertikal ke atas dari tanah dengan kecepatan awal 80 m/detik. Jika arah positif diambil ke atas, persamaan gerak adalah $ s(t) = -16t^2 + 80t \, $ . Misalkan $ t $ menyatakan waktu sejak bola dilemparkan dinyatakan dalam detik, dan $ s $ jarak bola dari titik awal dinyatakan dalam meter pada saat $ t $ detik. Tentukan :
a). kecepatan dan percepatan sesaat bola setelah 2 detik,
b). waktu yang diperlukan bola untuk mencapai titik tertinggi,
c). waktu dan kecepatan yang diperlukan bola untuk menyentuh tanah kembali.
Penyelesaian :
*). Menentukan kecepatan dan percepatan dari fungsi : $ s(t) = -16t^2 + 80t $
Kecepatan : $ v(t) = s^\prime (t) = -32t + 80 $
Percepatan : $ a(t) = s^{\prime \prime } (t) = -32 $

a). kecepatan dan percepatan sesaat $ t = 2 $
Kecepatan : $ v(2) = -32.2 + 80 = 16 $
Percepatan : $ a(2) = -32 $
artinya setelah 2 detik bola naik dengan kecepatan sesaat 16 meter/detik dan percepatan -32 meter/detik$^2$.

b). Bola mencapai titik tertinggi ketika benda berhenti yaitu saat kecepatannya nol.
$ v(t) = 0 \rightarrow -32t + 80 = 0 \rightarrow t = \frac{80}{32} = 2,5 $
artinya bola mencapai titik tertinggi ketika $ t = 2,5 \, $ detik atau waktu yang diperlukan bola untuk mencapai titik tertinggi adalah 2,5 detik.

c). Bola akan kembali ke tanah pada saat $ s(t) = 0 $
$ s(t) = 0 \rightarrow -16t^2 + 80t = 0 \rightarrow 16t(-t + 5) = 0 \rightarrow t = 0 \vee t = 5 $
artinya bola mencapai tanah lagi setalah waktunya 5 detik.
Waktu yang dibutuhkan untuk mencapai tanah juga bisa dihitung dengan 2 kali dari waktu yang dibutuhkan untuk mencapai titik tertinggi, yaitu $ 2 \times 2,5 = 5 \, $ detik.

Berikut tabel waktu, jarak dan kecepatan bola dan gambar lintasan yang dilalui oleh bola :

3). Suatu benda bergerak sepanjang garis mendatar mengikuti persamaan $ s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 4 \, $ dengan $ s $ diukur dalam sentimeter dan $ t $ dalam detik. Tentukanlah :
a). Kecepatan dan percepatan dalam $ t $ ,
b). interval waktu saat benda bergerak ke kanan dan ke kiri serta tentukan perubahan kelajuannya,
c). kapan benda berbalik.
Penyelesaian :
a). Menentukan kecepatan dan percepatan dari fungsi : $ s(t) = -16t^2 + 80t $
Kecepatan : $ v(t) = s^\prime (t) = 3t^2 - 12t + 9 $
Percepatan : $ a(t) = s^{\prime \prime } (t) = 6t - 12 $

b). Benda diam ketika kecepatannya nol,
$ v(t) = 0 \rightarrow 3t^2 - 12t + 9 = 0 \rightarrow 3(t - 1)(t - 3) = 0 \rightarrow t = 1 \vee t = 3 $ .
artinya benda diam saat $ t = 1 \, $ dan $ t = 3 $ .
*). Benda bergerak ke kanan jika kecepatan ($v$) positif, dan benda bergerak ke kiri jika kecepatan ($v$) negatif.
*). Perubahan laju bergantung dari percepatan dan kecepatannya, laju akan tetap ketika percepatannya nol,
$ a(t) = 0 \rightarrow 6t - 12 = 0 \rightarrow t = 2 $ ,
artinya laju tetap pada saat $ t = 2 $ .
Untuk memudahkan menentukan arah benda dan perubahan lajunya, kita buat tabel berikut ini :
Dari tabel ini kita bisa amati bahwa :
Benda bergerak ke kanan pada interval : $ 0 < t < 1 \, $ atau $ t > 3 $
Benda bergerak ke kiri pada interval : $ 1 < t < 3 $

c). Dari tabel juga bisa kita amati perubahan arah benda yaitu saat $ t = 1 \, $ benda berbalik arah dari kanan ke kiri dan saat $ t = 3 \, $ benda berbalik arah dari kiri ke kanan. Untuk lebih jelasnya, perhatikan ilustrasi gambar berikut yang menggambarkan arah gerak benda.

Menentukan Turunan Kedua dan Turunan Lanjut

         Blog Koma - Untuk materi sebelumnya kita telah mempelajari "turunan fungsi aljabar" dan "turunan fungsi trigonometri", namun turunan yang kita cari adalah turunan pertama saja. Pada artikel kali ini kita akan membahas materi menentukan turunan kedua dan turunan lanjut dari sebuah fungsi. Turunan lanjut di sini maksudnya adalah turunan ketiga, turunan keempat, dan seterusnya.

Menentukan Turunan Kedua dan Turunan lanjutnya
       Kita telah mempelajari turunan pertama suatu fungsi $ y = f(x) \, $ yang dinotasikan $ \frac{dy}{dx} \, $ atau $ y^\prime \, $ atau $ \frac{df(x)}{dx} \, $ atau $ f^\prime (x) $.

       Turunan dari turunan pertama dari suatu fungsi dinamakan turunan kedua, yang dinotasikan :
$ \frac{d}{dx}\left( \frac{dy}{dx} \right) = \frac{d^2 y }{dx^2} \, $ atau ditulis $ y^{\prime \prime } $
$ \frac{d}{dx}\left( \frac{df(x)}{dx} \right) = \frac{d^2 f(x) }{dx^2} \, $ atau ditulis $ f^{\prime \prime } (x) $

Artinya turunan kedua dinotasikan :
$ \frac{d^2 y }{dx^2} \, $ atau $ y^{\prime \prime } \, $ atau $ \frac{d^2 f(x) }{dx^2} \, $ atau $ f^{\prime \prime } (x) $

       Dengan menurunkan lagi turunan kedua yang ada, maka kita peroleh turunan ketiga. Turunan ketiga kita turunkan lagi, kita akan peroleh turunan keempat, begitu seterusnya.
Untuk memudahkan dalam melakukan penurunan, silahkan baca juga rumus dasar "turunan fungsi aljabar" dan "turunan fungsi trigonometri".
Contoh :
1). Tentukan Turunan kedua dan ketiga dari fungsi :
a). $ y = x^4 - 2x^2 $
b). $ f(x) = 3\sqrt{x} $
c). $ y = \sin (2x+3) $
Penyelesaian :
a). Fungsi $ y = x^4 - 2x^2 $
*). Menentukan turunan pertamanya ($ y^\prime $) ,
$ y = x^4 - 2x^2 \rightarrow y^\prime = 4x^3 - 4x $
*). Menentukan turunan keduanya ($ y^{\prime \prime } $ ),
$ y^\prime = 4x^3 - 4x \rightarrow y^{\prime \prime } = 12x^2 - 4 $
*). Menentukan turunan ketiganya ($ y^{\prime \prime \prime } $),
$ y^{\prime \prime } = 12x^2 - 4 \rightarrow y^{\prime \prime \prime } = 24x $

b). Fungsi $ f(x) = 3\sqrt{x} $
*). Menentukan turunan pertamanya ($ f^\prime (x) $) ,
$ f(x) = 3\sqrt{x} = 3x^\frac{1}{2} \rightarrow f^\prime (x) = 3.\frac{1}{2} . x^{-\frac{1}{2}} = \frac{3}{2}. \frac{1}{x^\frac{1}{2}} = \frac{3}{2\sqrt{x}} $
*). Menentukan turunan keduanya ($ f^{\prime \prime } (x) $ ),
$ f^\prime (x) = \frac{3}{2} . x^{-\frac{1}{2}} \rightarrow f^{\prime \prime } (x) = \frac{3}{2} . (-\frac{1}{2}) . x^{-\frac{3}{2}} = - \frac{3}{4} . x^{-\frac{3}{2}} = - \frac{3}{4\sqrt{x^3} } $
*). Menentukan turunan ketiganya ($ f^{\prime \prime \prime } (x) $),
$ f^{\prime \prime } (x) = - \frac{3}{4} . x^{-\frac{3}{2}} \rightarrow f^{\prime \prime \prime } (x) = - \frac{3}{4} . -\frac{3}{2} . x^{-\frac{5}{2}} = \frac{9}{8 \sqrt{x^5} } $

c). Fungsi $ y = \sin (2x+3) $
*). Menentukan turunan pertamanya ($ y^\prime $) ,
$ y = \sin (2x+3) \rightarrow y^\prime = 2 \cos (2x+3) $
*). Menentukan turunan keduanya ($ y^{\prime \prime } $ ),
$ y^\prime = 2 \cos (2x+3) \rightarrow y^{\prime \prime } = -2.2 \sin (2x + 3) = -4 \sin (2x+3) $
*). Menentukan turunan ketiganya ($ y^{\prime \prime \prime } $),
$ y^{\prime \prime } = -4 \sin (2x+3) \rightarrow y^{\prime \prime \prime } = -4 . 2 \cos (2x+3) = -8\cos (2x+3) $

2). Tentukan nilai $ f^{\prime \prime } (1) \, $ dan $ f^{\prime \prime \prime } (2) \, $ dari fungsi $ y = x^4 - 2x^2 + x - 1 $ ?
Penyelesaian :
Fungsi $ f(x) = x^4 - 2x^2 + x - 1 $
*). Menentukan turunan pertamanya ($ f^\prime (x) $) ,
$ f(x) = x^4 - 2x^2 + x - 1 \rightarrow f^\prime (x) = 4x^3 - 4x + 1 $
*). Menentukan turunan keduanya ($ f^{\prime \prime } (x) $ ),
$ f^\prime (x) = 4x^3 - 4x + 1 \rightarrow f^{\prime \prime } (x) = 12x^2 - 4 $
Sehingga nilai $ f^{\prime \prime } (1) = 12.1^2 - 4 = 8 $
*). Menentukan turunan ketiganya ($ f^{\prime \prime \prime } (x) $),
$ f^{\prime \prime } (x) = 12x^2 - 4 \rightarrow f^{\prime \prime \prime } (x) = 24x $
Sehingga nilai $ f^{\prime \prime \prime } (2) = 24.2 = 48 $
Jadi, nilai $ f^{\prime \prime } (1) = 8 \, $ dan $ f^{\prime \prime \prime } (2) = 48 $

Catatan : Turunan kedua suatu fungsi dapat dipergunakan untuk menentukan jenis satasioner suatu fungsi dan biasanya digunakan untuk menentukan percepatan dari suatu fungsi jarak.

Fungsi Naik dan Fungsi Turun Menggunakan Turunan

         Blog Koma - Selain menentukan "persamaan garis singgung pada kurva", aplikasi lain turunan adalah menentukan interval fungsi naik dan fungsi turun yang akan kita pelajari pada artikel kali ini. Interval fungsi naik dan fungsi turun menggunakan turunan akan mudah kita pelajari jika kita sudah memahami materi "turunan fungsi aljabar" atau "turunan fungsi trigonometri".

Menentukan Interval Fungsi Naik dan Fungsi Turun Menggunakan Turunan
       Perhatikan grafik fungsi $ y = f(x) \, $ berikut,
Dari grafik di atas diperoleh interval naik dan turunnya,
Interval naik : $ x_1 < x < x_2 \, $ atau $ x > x_3 $ .
Interval turun : $ x < x_1 \, $ atau $ x_2 < x < x_3 $ .

       Dari garfik di atas dapat dijelaskan bahawa,
*). Fungsi naik pada interval $ a < x < b \, $ jika terdapat $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ dengan $ x_1 < x_2 \, $ pada interval $ a < x < b \, $ , maka berlaku $ f(x_1) < f(x_2) $ .
*). Fungsi turun pada interval $ a < x < b \, $ jika terdapat $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ dengan $ x_1 > x_2 \, $ pada interval $ a < x < b \, $ , maka berlaku $ f(x_1) > f(x_2) $ .

       Untuk menentukan interval naik atau turun suatu fungsi, dapat menggunakan konsep turunan, yaitu :
Fungsi Naik pada saat $ f^\prime (x) > 0 \, $
Fungsi Turun pada saat $ f^\prime (x) < 0 \, $

Catatan : dari penggunaan turunan untuk fungsi naik dan fungsi turun kita akan melibatkan pertidaksamaan, sehingga untuk memudahkan silahkan baca materi pertidaksamaan terlebih dahulu pada artikel "pertidaksamaan secara umum".
Contoh :
1). Tentukan interval-interval dari fungsi $ f(x) = x^2 - 4x $ agar fungsi:
a. naik,
b. turun.
Penyelesaian :
*). Menentukan turunan fungsi :
$ f(x) = x^2 - 4x \rightarrow f^\prime (x) = 2x - 4 $
*). Menentukan interval naik dan turun,
Interval fungsi naik, syaratnya : $ f^\prime (x) > 0 $
$ f^\prime (x) > 0 \rightarrow 2x - 4 > 0 \rightarrow 2x > 4 \rightarrow x > 2 $
Sehingga, fungsi $ f(x) = x^2 - 4x \, $ naik pada interval $ x > 2 $ .
Artinya tanpa menggunakan syarat interval turun, kita sudah tau bahwa selain interval naik maka pasti interval yang lainnya adalah turun.
Sehingga fungsinya turun pada interval : $ x < 2 $ .
Jadi, fungsi $ f(x) = x^2 - 4x \, $ naik pada interval $ x > 2 \, $ dan turun pada interval $ x < 2 $ .

2). Tentukan interval naik dan turun dari fungsi $ f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 $ ?
Penyelesaian :
*). Menentukan turunan fungsi :
$ f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 \rightarrow f^\prime (x) = 3x^2 - 12x + 9 $
*). Menentukan interval naik dan turun,
Fungsi naik, syaratnya : $ f^\prime (x) > 0 $
$ \begin{align} f^\prime (x) & > 0 \\ 3x^2 - 12x + 9 & > 0 \, \, \, \, \, \text{(bagi 3)} \\ x^2 - 4x + 3 & > 0 \\ (x - 1)(x - 3) & > 0 \\ x = 1 \vee x & = 3 \end{align} $
Menyelesaikan pertidaksamaan, buat garis bilangan :
dari garis bilangan di atas, yang diminta adalah $ > 0 \, $ artinya daerah yang positif,
sehingga fungsi naik pada interval : $ x < 1 \vee x > 3 $ .
Selain interval naik di atas, pasti untuk interval turun (bisa juga dilihat pada garis bilangan, tanda negatif artinya fungsi turun),
Sehingga fungsi turun pada interval : $ 1 < x < 3 $
Jadi, interval naik $ x < 1 \vee x > 3 \, $ dan turunnya $ 1 < x < 3 $ .
*). Gambar grafik fungsi $ f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 $

3). Tentukan nilai $ p \, $ pada fungsi $ y = \frac{1}{3} x^3 - x^2 + px - 5 \, $ agar fungsinya selalu naik ?
Penyelesaian :
*). Menentukan turunan fungsinya :
$ y = \frac{1}{3} x^3 - x^2 + px - 5 \rightarrow y^\prime = x^2 - 2x + p $
*). Syarat fungsi naik : $ y^\prime > 0 $
Sehingga : $ x^2 - 2x + p > 0 \, $ .....pert(i).
*). Agar pert(i) terpenuhi, maka bentuk $ x^2 - 2x + p \, $ nilainya selalu positif untuk semua nilai $ x \, $ yang terpenuhi jika berlaku definit positif. Materi definit positif bisa dibaca pada artikel "Ciri-ciri Grafik Fungsi Kuadrat (parabola)".
Syarat definit positif : $ a > 0 \, $ dan $ D < 0 \, $ dengan $ D = b^2 - 4ac $ .
*). Menyelesaikan syarat definit positif :
Bentuk $ x^2 - 2x + p \rightarrow a = 1, \, b = -2 , \, c= p $
Syarat pertama : $ a > 0 \rightarrow 1 > 0 \, $ (benar)
Syarat kedua : $ D < 0 \rightarrow b^2 - 4ac < 0 $
$ \begin{align} b^2 - 4ac & < 0 \\ (-2)^2 - 4.1.p & < 0 \\ 4 - 4p & < 0 \\ - 4p & < -4 \, \, \, \, \, \text{(bagi -4, tanda dibalik)} \\ p & > 1 \end{align} $
Jadi, nilai $ p \, $ agar fungsinya selalu naik adalah $ \{ p > 1 \} $ .