Tampilkan posting dengan label trigonometri. Tampilkan semua posting
Tampilkan posting dengan label trigonometri. Tampilkan semua posting

Selasa, 10 November 2015

Lingkaran Dalam dan Lingkaran Luar Segitiga

         Blog Koma - Penerapan lain trigonometri adalah pada lingkaran dan segitiga. Kali ini kita akan membahas materi Lingkaran Dalam dan Lingkaran Luar Segitiga. Namun sebelumnya, sebaiknya kita baca dulu materi aturan sinus pada artikel "Penerapan Trigonometri pada Segitiga : Aturan Sinus, Aturan Cosinus, Luas Segitiga".

Lingkaran Dalam Segitiga
       Lingkaran dalam segitiga maksudnya ada sebuah lingkaran yang dilukis di dalam segitiga yang mana lingkaran menyinggung ketiga sisi segitiganya. Berikut ilustrasi gambarnya.
Dari gambar di atas, diperoleh luas segitiga ABC :
       $ \begin{align} \text{Luas ABC } = r s \end{align} \, $ atau $ \, \begin{align} r = \frac{\text{Luas ABC }}{s} \end{align} $

dengan $ s = \frac{a+b+c}{2} $
Pembuktian Rumus luas segitiga lingkaran dalam :
*). Perhatikan gambar berikut.
Titik O adalah titik pusat lingkaran dengan jari-jari $ r $.
*). Menentukan luas segitiga ABC
Mislakan : $ s = \frac{a+b+c}{2} $
Luas segitiga = $ \frac{1}{2} \times \, $ alas $ \times \, $ tinggi.
$ \begin{align} L \, ABC & = L \, BOC + L \, AOC + L \, AOB \\ L \, ABC & = \frac{1}{2} a.r + \frac{1}{2} b.r + \frac{1}{2} a.r \\ & = \frac{1}{2} (a+b+c)r \\ & = r. \frac{a+b+c}{2} \\ L \, ABC & = r. s \end{align} $
Jadi, terbukti luas segitiganya : $ L \, ABC = rs $.

Contoh :
1). Diketahui lingkaran dalam segitiga ABC dengan panjang sisi-sisi segitiganya berturut-turut 4, 6, 8 . Tentukan jari-jari lingkaran dalamnya?
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai $ s \, $ dan luas segitiga.
$ s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{4 + 6 + 8}{2} = 9 $
Luas segitiga ABC dengan Rumus Heron.
$ L = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{9.(9-5)(9-6)(9-8)} = \sqrt{9.4.3.1} = 6\sqrt{3} $
*). Menentukan jari-jari segitiga dalamnya :
$ r = \frac{\text{Luas ABC }}{s} = \frac{6\sqrt{3}}{9} = \frac{2}{3}\sqrt{3} $

Lingkaran Luar Segitiga
Perhatikan gambar lingkaran luar segitiga berikut.
Dari gambar, luas segitiga lingkaran luar segitiga adalah :
       $ \begin{align} \text{Luas ABC } = \frac{abc}{4r} \end{align} \, $ atau $ \, \begin{align} r = \frac{abc}{4\times \text{Luas ABC }} \end{align} $

Dimana $ \begin{align} \text{Luas ABC } = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \end{align} $
dengan $ \begin{align} s = \frac{a+b+c}{2} \end{align} $
Pembuktian rumus luas segitiga lingkaran luar :
*). Luas segitiga ABC berdasarkan aturan sinus dan sudut A
$ \begin{align} \text{Luas ABC } = \frac{1}{2}bc \sin A \end{align} $
*). Sudut keliling lingkaran (sudut C) menghadap diameter, sehingga besar sudutnya $ 90^\circ \, $ .
*). Menentukan nilai sin A :
$ \sin A = \frac{de}{mi} \rightarrow \sin A = \frac{BC}{BA} \rightarrow \sin A = \frac{a}{2r} $
*). Substitusi bentuk $ \sin A = \frac{a}{2r} \, $ ke luas segitiga
$ \begin{align} \text{Luas ABC } & = \frac{1}{2}bc \sin A \\ \text{Luas ABC } & = \frac{1}{2}bc . \frac{a}{2r} \\ \text{Luas ABC } & = \frac{abc}{4r} \end{align} $
Jadi terbukti rumus luas segitiga lingkaran luar.

Contoh :
2). Tentukan jari-jari lingkaran luar segitiga ABC yang memiliki sisi-sisi 5, 6, 9 ?
Penyelesaian :
*). Misalkan $ a = 5, \, b = 6, \, c = 9 $
*). Menentukan nilai $ s $
$ \begin{align} s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{5+6+9}{2} = 10 \end{align} $
*). Menentukan luas segitiga ABC
$ \begin{align} \text{Luas ABC } & = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ & = \sqrt{10(10-5)(10-6)(10-9)} \\ & = \sqrt{10.5.4.1} \\ & = 10\sqrt{2} \end{align} $
*). Menentukan jari-jari lingkaran luar.
$ \begin{align} r & = \frac{abc}{4\times \text{Luas ABC }} \\ r & = \frac{5.6.9}{4\times 10\sqrt{2}} \\ r & = \frac{27}{4\sqrt{2}} \\ r & = \frac{27}{8} \sqrt{2} \end{align} $
Jadi, jari-jari lingkarannya adalah $ r = \frac{27}{8} \sqrt{2} $ .

3). Perhatikan gambar berikut!
Segitiga ABC memiliki panjang BC = 6, AB = 8, AC = 10 .
Tentukan perbandingan jari-jari lingkaran luar dan lingkaran dalam segitiga?
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai $ s $
$ \begin{align} s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{6+8+10}{2} = 12 \end{align} $
*). Menentukan luas segitiga ABC.
$ \begin{align} \text{Luas ABC } & = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ & = \sqrt{12(12-6)(12-8)(12-10)} \\ & = \sqrt{12.6.4.2} \\ & = 24 \end{align} $
*). Menentukan jari-jari lingkaran luar segitiga ($r_1$)
$ \begin{align} r & = \frac{abc}{4\times \text{Luas ABC }} \\ r_1 & = \frac{6.8.10}{4\times 24} \\ r_1 & = 5 \end{align} $
*). Menentukan jari-jari lingkaran dalam segitiga ($r_2$)
$ \begin{align} r & = \frac{\text{Luas ABC }}{s} \\ r_2 & = \frac{24}{12} \\ r_2 & = 2 \end{align} $
*). Menentukan perbandingan jari-jari lingkaran :
$ \begin{align} \frac{r_1}{r_2} = \frac{5}{2} \end{align} $
Jadi, perbandingan jari-jari lingkaran luar dan lingkaran dalam adalah 5 : 2.

Senin, 09 November 2015

Luas Segi Empat Tali Busur

         Blog Koma - Salah satu penerapan trigonometri adalah untuk menentukan luas segi empat tali busur yang akan dibahas pada artikel kali ini. Untuk memudahkan dalam mempelajarinya, sebaiknya kita baca dulu materi "Penerapan Trigonometri pada Segitiga : Aturan Sinus, Aturan Cosinus, Luas Segitiga", "Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Berelasi", dan "Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku".

Rumus Luas Segi Empat Tali Busur
       Bangun segi empat tali busur adalah sebuah bangun datar yang memiliki empat sisi dimana keempat sisinya ada pada sebuah lingkaran. Jumlah sudut-sudut yang berhadapan pada segi empat tali busur adalah $ 180^\circ $ . Untuk lebih jelas, perhatikan segi empat tali busur ABCD berikut.
Luas segi empat tali busur ABCD adalah :
   $ \begin{align} L = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \end{align} $
dengan $ s = \frac{a+b+c+d}{2} $
Pembuktian Rumus luas segi empat tali busurnya :
Misalkan panjang $ AB = a, \, BC = b, \, CD = c, \, AD = a $
*). Perhatikan sudut B dan D, jumlahnya $ 180^\circ $
$ B + D = 180^\circ \rightarrow D = 180^\circ - B $
Sehingga dengan sudut-sudut berelasi diperoleh :
$ \cos D = \cos (180^\circ - B) \rightarrow \cos D = - \cos B $
$ \sin D = \sin (180^\circ - B) \rightarrow \sin D = \sin B $
*). Aturan cosinus untuk menentukan panjang AC
Segitiga BAC, $ AC^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos B $
Segitiga DAC, $ AC^2 = c^2 + d^2 - 2cd \cos D \rightarrow AC^2 = c^2 + d^2 - 2cd (-\cos B) $
*). Panjang AC sama dari kedua segitiga BAC dan DAC
$ \begin{align} AC^2 & = AC^2 \\ a^2 + b^2 - 2ab \cos B & = c^2 + d^2 - 2cd (-\cos B) \\ a^2 + b^2 - 2ab \cos B & = c^2 + d^2 + 2cd \cos B \\ \cos B & = \frac{a^2 +b^2 - c^2 - d^2}{2(ab+cd)} \end{align} $
*). Bentuk pemfaktoran : $ X^2 - Y^2 = (X+Y)(X-Y) $
*). Identitas trigonometri : $ \sin ^2 B + \cos ^2 B = 1 $
Misalkan $ s = \frac{a+b+c+d}{2} $
$ \begin{align} \sin ^2 B & = 1 - \cos ^2 B \\ \sin ^2 B & = (1 + \cos B )(1 - \cos B ) \\ & = \left(1 + \frac{a^2 +b^2 - c^2 - d^2}{2(ab+cd)} \right)\left(1 - \frac{a^2 +b^2 - c^2 - d^2}{2(ab+cd)} \right) \\ & = \frac{a^2 + b^2 + 2ab - (c^2 + d^2 - 2cd)}{2(ab+cd)} . \frac{c^2 + d^2 + 2cd - (a^2 + b^2 - 2ab)}{2(ab+cd)} \\ & = \frac{[(a+b)^2 - (c-d)^2]}{2(ab+cd)} . \frac{[(c+d)^2 - (a-b)^2]}{2(ab+cd)} \\ & = \frac{(a+b+c-d)(a+b-c+d)}{2(ab+cd)} . \frac{(c+d+a-b)(c+d-a+b)}{2(ab+cd)} \\ & = \frac{4(s-d)(s-c)}{2(ab+cd)} . \frac{4(s-b)(s-a)}{2(ab+cd)} \\ \sin ^2 B & = \frac{4(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}{(ab+cd)^2} \\ \sin B & = \sqrt{\frac{4(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}{(ab+cd)^2} } \\ \sin B & = \frac{2}{(ab+cd)} \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \end{align} $
*). Menentukan luas segitiga :
$ \text{Luas BAC } = \frac{1}{2}ab\sin B $
$ \text{Luas DAC } = \frac{1}{2}cd\sin D = \frac{1}{2}cd\sin B $
*). Menentukan luas segi empat tali busur ABCD :
$ \begin{align} \text{Luas ABCD } & = \text{Luas BAC } + \text{Luas DAC } \\ & = \frac{1}{2}ab\sin B + \frac{1}{2}cd\sin B \\ & = \frac{1}{2}(ab+cd)\sin B \\ & = \frac{1}{2}(ab+cd). \frac{2}{(ab+cd)} \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \\ & = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \end{align} $
Jadi, terbukti luas segi empat tali busurnya.

Contoh :
Perhatikan gambar berikut. Titik A, B, C, dan D ada pada lingkaran L dengan panjang AB = 1, BC = 2, CD = 3 dan AD = 4.
Tentukan luas segi empat ABCD tersebut?
Penyelesaian :
Misalkan $ a = 1, \, b = 2, \, c = 3, \, d = 4 $
*). Menentukan nilai $ s $
$ s = \frac{a+b+c+d}{2} = \frac{1+2+3+4}{2} = 5 $
*). Menentukan luas segi empat tali busur ABCD :
$ \begin{align} L & = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \\ & = \sqrt{(5-1)(5-2)(5-3)(5-4)} \\ & = \sqrt{4.3.2.1} \\ & = 2\sqrt{6} \end{align} $
Jadi, luas segi empat tali busurnya adalah $ 2 \sqrt{6} $ .

Penerapan Trigonometri pada Segitiga : Aturan Sinus, Aturan Cosinus, Luas Segitiga

         Blog Koma - Salah satu penggunaan trigonometri adalah menghitung besarnya sudut pada segitiga, menghitung panjang sisi-sisi segitga, dan luas segitiga. Kali ini kita mempelajari materi Penerapan Trigonometri pada Segitiga : Aturan Sinus, Aturan Cosinus, Luas Segitiga. Prasyarat materi yang harus dikuasai sebelum mempelajari materi ini adalah "Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku", "Nilai Perbandingan Trigonometri di Berbagai Kuadran", dan "Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Berelasi".

Aturan Sinus
Perhatikan segitiga berikut!
Dari gambar di atas, berlaku aturan sinus yaitu :
  $ \begin{align} \frac{a}{\sin \angle A} = \frac{b}{\sin \angle B} = \frac{c}{\sin \angle C} \end{align} \, $ atau $ \, \begin{align} \frac{\sin \angle A }{a} = \frac{\sin \angle B}{b} = \frac{\sin \angle C}{c} \end{align} $

Pembuktian Rumus aturan sinus :
*). Dari gambar (1a),
Segitiga ADC, $ \sin A = \frac{CD}{AC} \rightarrow CD = AC \sin A \rightarrow CD_1 = b \sin A $
Segitiga BDC, $ \sin B = \frac{CD}{BC} \rightarrow CD = BC \sin B \rightarrow CD_2 = a \sin B $
Dari panjang CD,
diperoleh $ CD_1 = CD_2 \rightarrow b \sin A = a \sin B \rightarrow \frac{a}{\sin \angle A} = \frac{b}{\sin \angle B} $
persamaan (i) : $ \frac{a}{\sin \angle A} = \frac{b}{\sin \angle B} $

*). Dari gambar (1b),
Segitiga AEB, $ \sin A = \frac{EB}{AB} \rightarrow EB = AB \sin A \rightarrow EB_1 = c \sin A $
Segitiga CEB, $ \sin C = \frac{EB}{CB} \rightarrow EB = CB \sin C \rightarrow EB_2 = a \sin C $
Dari panjang EB,
diperoleh $ EB_1 = EB_2 \rightarrow c \sin A = a \sin C \rightarrow \frac{a}{\sin \angle A} = \frac{c}{\sin \angle C} $
persamaan (ii) : $ \frac{a}{\sin \angle A} = \frac{c}{\sin \angle C} $

Dari pers(i) : $ \frac{a}{\sin \angle A} = \frac{b}{\sin \angle B} $ dan pers(ii) : $ \frac{a}{\sin \angle A} = \frac{c}{\sin \angle C} $
Diperoleh : $ \frac{a}{\sin \angle A} = \frac{b}{\sin \angle B} = \frac{c}{\sin \angle C} $
Jadi, terbukti rumus aturan sinusnya.
Contoh :
1). Tentukan panjang AC pada segitiga berikut!
Penyelesaian :
*). Kita gunakan sudut A dan B untuk aturan sinusnya :
$ \begin{align} \frac{AC}{\sin B} & = \frac{BC}{\sin A} \\ \frac{AC}{\sin 60^\circ} & = \frac{4}{\sin 45^\circ} \\ \frac{AC}{\frac{1}{2}\sqrt{3}} & = \frac{4}{\frac{1}{2}\sqrt{2}} \\ \frac{AC}{\sqrt{3}} & = \frac{4}{\sqrt{2}} \\ AC & = \frac{4 \sqrt{3} }{\sqrt{2}} \\ AC & = \frac{4 \sqrt{3} }{\sqrt{2}} . \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\ AC & = \frac{4 \sqrt{6} }{2} \\ AC & = 2 \sqrt{6} \end{align} $
Jadi, panjang $ AC = 2 \sqrt{6} $ .

2). Tentukan panjang AC pada segitiga ABC berikut.
Penyelesaian :
*). Menentukan besarnya sudut $ y^\circ $ :
$ \begin{align} \frac{\sin C }{AB} & = \frac{\sin A}{BC} \\ \frac{\sin y^\circ }{8} & = \frac{\sin 45^\circ}{8\sqrt{2}} \\ \frac{\sin y^\circ }{1} & = \frac{\frac{1}{2} \sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\ \sin y^\circ & = \frac{1}{2} \\ y^\circ & = 30^\circ \end{align} $
*). Menentukan besarnya sudut $ x^\circ $
$ \begin{align} \text{jumlah sudut segitiga ABC } & = 180^\circ \\ A + B + C & = 180^\circ \\ 45^\circ + x^\circ + 30^\circ & = 180^\circ \\ x^\circ & = 105^\circ \end{align} $
*). Menentukan panjang AC dengan aturan sinus
$ \begin{align} \frac{AC}{\sin B } & = \frac{AB}{\sin C} \\ \frac{AC}{\sin 105^\circ } & = \frac{8}{\sin 30^\circ} \\ \frac{AC}{\sin 105^\circ } & = \frac{8}{\frac{1}{2}} \\ \frac{AC}{\sin 105^\circ } & = 16 \\ AC & = 16 \sin 105^\circ \, \, \, \, \text{(gunakan kalkulator)} \\ AC & = 16 \times 0,9659 \\ AC & = 15,4548 \end{align} $
Jadi, panjang AC = 15,4548 .

Aturan Cosinus
Perhatikan segitiga berikut!
Dari gambar di atas, berlaku aturan cosinus yaitu :
$ \begin{align} a^2 & = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \\ b^2 & = a^2 + c^2 - 2ac \cos B \\ c^2 & = a^2 + b^2 - 2ab \cos C \end{align} $

Pembuktian Rumus aturan Cosinus :
Panjang $ AD = x , \, $ maka panjang $ BD = c -x , \, $ dengan $ AB = c $.
*). Perhatikan segitiga ADC,
$ \cos A = \frac{AD}{AC} \rightarrow \cos A = \frac{x}{b} \rightarrow x = b \cos A \, \, $ ...pers(i)
Pythagoras : $ CD^2 = AC^2 - AD^2 \rightarrow CD^2 = b^2 - x^2 \, $ ....pers(ii)
*). Perhatikan segitiga BDC,
Pythagoras : $ CD^2 = BC^2 - BD^2 \rightarrow CD^2 = a^2 - (c-x)^2 \, $ ....pers(iii)
*). Pers (i) dan pers(ii), panjang CD sama :
$ \begin{align} CD^2 & = CD^2 \\ b^2 - x^2 & = a^2 - (c-x)^2 \\ b^2 - x^2 & = a^2 - (c^2 - 2cx + x^2) \\ b^2 - x^2 & = a^2 - c^2 + 2cx - x^2 \\ a^2 & = b^2 + c^2 - 2cx \, \, \, \, \, \text{[ substitusi pers(i) ]} \\ a^2 & = b^2 + c^2 - 2c. b \cos A \\ a^2 & = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \end{align} $
Diperoleh aturan cosinus pertama : $ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A $ .

Untuk pembuktian dua aturan cosinus lainnya, cara hampir sama dengan pembuktian aturan cosinus pertama di atas.
Contoh :
3). Tentukan panjang sisi BC pada segitiga berikut!
Penyelesaian :
Berdasarkan aturan cosinus sudut A :
$ \begin{align} BC^2 & = AC^2 + AB^2 - 2.AC.AB. \cos A \\ BC^2 & = 5^2 + 8^2 - 2.5.8. \cos 60^\circ \\ BC^2 & = 25 + 64 - 80. \frac{1}{2} \\ BC^2 & = 89 - 40 \\ BC^2 & = 49 \\ BC & = \sqrt{49} \\ BC & = 7 \end{align} $
Jadi, panjang BC = 7.

4). Tentukan panjang BD sari gambar berikut!
Penyelesaian :
*). Perhatikan segitiga ABC, menentukan BC dengan aturan sinus
$ \begin{align} \frac{BC}{\sin A} & = \frac{AB}{\sin C} \\ \frac{BC}{\sin 60^\circ} & = \frac{2\sqrt{6}}{\sin 45^\circ} \\ \frac{BC}{\frac{1}{2}\sqrt{3}} & = \frac{2\sqrt{6}}{\frac{1}{2}\sqrt{2}} \\ \frac{BC}{\sqrt{3}} & = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{2}} \\ BC & = \frac{2\sqrt{6} . \sqrt{3} }{\sqrt{2}} \\ BC & = \frac{2\sqrt{18} }{\sqrt{2}} \\ BC & = \frac{2 . 3\sqrt{2} }{\sqrt{2}} \\ BC & = 6 \end{align} $
Diperoleh BC = 6.
*). Perhatikan segitiga BCD, menentukan BD dengan aturan cosinus
$ \begin{align} BD^2 & = BC^2 + DC^2 - 2.BC.DC. \cos \angle BCD \\ BD^2 & = 6^2 + 7^2 - 2.6.7. \cos 60^\circ \\ BD^2 & = 36 + 49 - 2.6.7. \frac{1}{2} \\ BD^2 & = 36 + 49 - 42 \\ BD^2 & = 43 \\ BD & = \sqrt{43} \end{align} $
Jadi, panjang $ BD = \sqrt{43} $

5). Tentukan panjang sisi-sisi segitiga berikut!
Penyelesaian :
*). Aturan cosinus pada sudut P
$ \begin{align} QR^2 & = PR^2 + PQ^2 - 2.PR.PQ . \cos P \\ (2\sqrt{x+2})^2 & = (x-1)^2 + (x+1)^2 - 2.(x-1).(x+1) . \cos 60^\circ \\ 4(x+2) & = (x^2 -2x + 1) + (x^2+2x+1) - 2.(x^2 - 1) . \frac{1}{2} \\ 4x + 8 & = (2x^2+2) - (x^2 - 1) \\ x^2 -4x -5 & = 0 \\ (x+1)(x-5) & = 0 \\ x = -1 \vee x & = 5 \end{align} $
Karena panjang segitiga selalu positif, maka yang memenuhi adalah $ x = 5 $
Sehingga, panjang sisi-sisi segitiga adalah :
$ x-1, \, x+1, \, 2\sqrt{x+2} \rightarrow 4, \, 6, \, 2\sqrt{7} $
Jadi, sisi-sisi segitiga adalah $ 4, \, 6, \, $ dan $ \, 2\sqrt{7} $

Luas Segitiga dengan Fungsi Trigonometri
Perhatikan gambar segitiga ABC berikut,
Rumus Luas Segitiga yang melibatkan sudutnya adalah :
Luas segitiga ABC $ \, = \frac{1}{2}.b.c. \sin A $
Luas segitiga ABC $ \, = \frac{1}{2}.a.c. \sin B $
Luas segitiga ABC $ \, = \frac{1}{2}.a.b. \sin C $
Rumus luas di atas memberikan hasil yang sama, tergantung sudut yang diketahui.

Pembuktian Rumus Luas segitiga
Perhatikan segitiga ADC : $ \sin A = \frac{t}{b} \rightarrow t = b \sin A $
Luas segitiga ABC :
$ \begin{align} \text{ Luas segitiga ABC } & = \frac{1}{2} \times \text{ alas } \times \text{ tinggi} \\ & = \frac{1}{2} \times AB \times CD \\ & = \frac{1}{2} \times c \times t \\ & = \frac{1}{2} \times c \times b \sin A \\ & = \frac{1}{2} c b \sin A \end{align} $
Jadi terbukti rumus luas pertama, rumus luas segitiga berikutnya juga pembuktiannya mirip dengan di atas.
Contoh :
6). Tentukan luas segitiga ABC berikut!
Penyelesaian :
$ \begin{align} \text{ Luas ABC } = \frac{1}{2}AC.AB.\sin A = \frac{1}{2}.6.8 . \sin 30^\circ = \frac{1}{2}.6.8 . \frac{1}{2} = 12 \end{align} $
Jadi, luas segitiga ABC adalah 12 satuan luas.

Luas Segitiga Diketahui ketiga sisinya
Untuk menghitung luas segitiga yang diketahui ketiga sisinya, rumusnya disebut rumus Heron. Perhatikan segitiga berikut.
Luas segitiga ABC adalah $ \begin{align} L = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \end{align} $
dengan $ s = \frac{1}{2}(a+b+c) = \frac{1}{2} \times \text{ (keliling segitiga ABC)} $
Pembuktian Rumus Heron :
*). Pada segitiga ABC berlaku aturan Cosinus sudut A
$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \rightarrow \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2 }{2bc} \, $ ....pers(i)
*). Bentuk pemfaktoran : $ P^2 - Q^2 = (P+Q)(P-Q) $
*). Identitas Trigonometri : $ \sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 \rightarrow \sin ^2 A = 1 - \cos ^2 A $
*). Menentukan bentuk $ \sin A \, $ dari pers(i), pemfaktoran, dan identitas
Serta misalkan : $ s = \frac{1}{2}(a+b+c) $
$ \begin{align} \sin ^2 A & = 1 - \cos ^2 A \\ \sin ^2 A & = (1 - \cos A )(1 + \cos A ) \\ & = \left(1 - \frac{b^2 + c^2 - a^2 }{2bc} \right) \left(1 + \frac{b^2 + c^2 - a^2 }{2bc} \right) \\ & = \left( \frac{2bc - b^2 - c^2 + a^2 }{2bc} \right) \left( \frac{2bc + b^2 + c^2 - a^2 }{2bc} \right) \\ & = \left( \frac{-(b-c)^2 + a^2 }{2bc} \right) \left( \frac{(b+c)^2- a^2}{2bc} \right) \\ & = \left( \frac{ a^2 -(b-c)^2 }{2bc} \right) \left( \frac{(b+c)^2- a^2 }{2bc} \right) \\ & = \left( \frac{ (a-b+c)(a+b-c) }{2bc} \right) \left( \frac{(b+c-a)(b+c+a) }{2bc} \right) \\ & = \frac{ (a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)(b+c+a) }{4b^2c^2} \\ & = \frac{ (a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c) }{4b^2c^2} \times \frac{4}{4} \\ & = \frac{ 4(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c) }{2.2.2.2.b^2c^2} \\ & = \frac{4}{b^2c^2}. \left( \frac{a+b+c}{2} \right) \left( \frac{b+c-a}{2} \right) \left( \frac{a+c-b}{2} \right) \left( \frac{a+b-c}{2} \right) \\ & = \frac{4}{b^2c^2}. \left( \frac{a+b+c}{2} \right) \left( \frac{b+c+a - 2a}{2} \right) \left( \frac{a+c+b-2b}{2} \right) \left( \frac{a+b+c-2c}{2} \right) \\ & = \frac{4}{b^2c^2}. \left( \frac{a+b+c}{2} \right) \left( \frac{b+c+a}{2}-a \right) \left( \frac{a+c+b}{2} -b \right) \left( \frac{a+b+c}{2} -c \right) \\ \sin ^2 A & = \frac{4}{b^2c^2}. \left( s \right) \left( s-a \right) \left( s -b \right) \left( s -c \right) \\ \sin A & = \sqrt{ \frac{4}{b^2c^2}. \left( s \right) \left( s-a \right) \left( s -b \right) \left( s -c \right) } \\ \sin A & = \frac{2}{bc}\sqrt{ s (s-a)(s-b)(s-c) } \end{align} $
*). Luas segitiga ABC menggunakan sudut A :
$ \begin{align} L & = \frac{1}{2}.AB.AC. \sin A \\ & = \frac{1}{2}.c.b. \frac{2}{bc}\sqrt{ s (s-a)(s-b)(s-c) } \\ & = \sqrt{ s (s-a)(s-b)(s-c) } \end{align} $
Jadi, terbukti luas segitiganya.

Contoh :
7). Tentukan luas segitiga berikut!
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai $ s $ :
diketahui nilai $ a = 6, \, b = 4, \, c = 8 $
$ s = \frac{1}{2}(a+b+c) = \frac{1}{2}(6 + 4 + 8 ) = 9 $
*). Luas segitiga menggunakan rumus Heron.
$ \begin{align} L & = \sqrt{ s (s-a)(s-b)(s-c) } \\ L & = \sqrt{ 9. (9-6)(9-4)(9-8) } \\ L & = \sqrt{ 9. 3.5.1 } \\ L & = 3\sqrt{ 15 } \end{align} $
Jadi, luas segitiga ABC adalah $ 3\sqrt{ 15 } \, $ satuan luas.

Koordinat Kutub dan Koordinat Cartesius pada Trigonometri

         Blog Koma - Koordinat suatu titik dapat disajikan dalam bentuk koordinat kutub dan koordinat cartesius. Koordinat kutub sangat berguna salah satunya dalam ilmu astronomi. Koordinat kutub juga bisa digunakan untuk membuktikan rumus identitas trigonometri, serta rumus jumlah dan selisih sudut perbandingan trigonometri. Untuk memudahkan mempelajari materi koordinat kutub dan koordinat cartesius , sebaiknya kita pelajari dulu materi "Ukuran Sudut : Derajat, Radian, dan Putaran", "Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku", "Nilai Perbandingan Trigonometri di Berbagai Kuadran", dan "Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Berelasi".

Hubungan koordinat kutub dan koordinat cartesius
       Koordinat kutub merupakan koordinat yang ada pada cartesius yang terletak pada suatu lingkaran $ x^2 + y^2 = r^2 \, $ , sehingga koordinat kutub ditulis berdasarkan jari-jari lingkaran ($r$) dan sudut yang dibentuk terhadap sumbu X positif.
Misalkan koordinat cartesius titik A adalah ($x,y$), dan koordinat kutub titik A adalah ($r, \alpha$), hubungan kedua titik adalah :
                         $ x = r \cos \alpha , \, $ dan $ \, y = r \sin \alpha $ .

*). Berikut ilustrasi gambarnya

$\clubsuit $ Langkah-langkah mengubah koordinat menjadi koordinat cartesius :
Langsung gunakan hubungan : $ x = r \cos \alpha , \, $ dan $ \, y = r \sin \alpha $
$ \clubsuit $ Langkah-langkah mengubah koordinat cartesius menjadi koordinat kutub :
(i). Menentukan jari-jari ($r$) dengan pythagoras $ \, r^2 = x^2+y^2 $
(ii). Menentukan besar sudut dengan salah satu rumus :
$ \sin \alpha = \frac{y}{r} \, $ atau $ \cos \alpha = \frac{x}{r}, \, $ atau $ \tan \alpha = \frac{y}{x} $
(iii). Untuk kuadrannya, ada empat kemungkinan :
1. $ x \, $ positif dan $ y \, $ positif , ada di kuadran I,
2. $ x \, $ negatif dan $ y \, $ positif , ada di kuadran II,
3. $ x \, $ negatif dan $ y \, $ negatif , ada di kuadran III,
4. $ x \, $ positif dan $ y \, $ negatif , ada di kuadran IV
Contoh :
1). Nyatakan koordinat kutub titik A($8,30^\circ $) ke dalam koordinat cartesius!
Penyelesaian :
*). Diketahui titik $ A (r , \alpha ) = (8,30^\circ $
artinya $ r = 8 \, $ dan $ \alpha = 30^\circ $
*). Menentukan koordinat cartesiusnya :
$ x = r \cos \alpha = 8 \cos 30^\circ = 8 . \frac{1}{2}\sqrt{3} = 4\sqrt{3} $
$ y = r \sin \alpha = 8 \sin 30^\circ = 8 . \frac{1}{2} = 4 $
Jadi, koordinat cartesiusnya adalah $ A(4\sqrt{3}, 4) $

2). Nyatakan koordinat cartesisu berikut kedalam koordinat kutub :
a). titik B($ 3, 3\sqrt{3} $)
b). titik C($ -\sqrt{3}, 1$)
Penyelesaian :
a). titik B($ 3, 3\sqrt{3} $)
artinya $ x = 3 , \, $ dan $ \, y = 3\sqrt{3} $
*). Menentukan jari-jari ($r$) :
$ r = \sqrt{x^2 + y^2 } = \sqrt{3^2 + (3\sqrt{3})^2 } = \sqrt{9 + 27 } = \sqrt{36} = 6 $
*). Menentukan sudut dengan rumus : $ \cos \alpha = \frac{x}{r} $
$ \cos \alpha = \frac{x}{r} \rightarrow \cos \alpha = \frac{3}{6} \rightarrow \cos \alpha = \frac{1}{2} \rightarrow \alpha = 60^\circ $
Karena nilai $ x \, $ positif dan $ y \, $ positif, maka titik B ada di kuadran I dengan sudut $ 60^\circ $
Jadi, koordinat kutubnya adalah $ B (6, 60^\circ) $ .

b). titik C($ -\sqrt{3}, 1$)
artinya $ x = -\sqrt{3} , \, $ dan $ \, y = 1 $
*). Menentukan jari-jari ($r$) :
$ r = \sqrt{x^2 + y^2 } = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (1)^2 } = \sqrt{3 + 1 } = \sqrt{4} = 2 $
*). Menentukan sudut dengan rumus : $ \sin \alpha = \frac{y}{r} $
$ \sin \alpha = \frac{y}{r} \rightarrow \sin \alpha = \frac{1}{2} \rightarrow \alpha = 30^\circ $
Karena nilai $ x \, $ negatif dan $ y \, $ positif, maka titik C ada di kuadran II ,
Sehingga sudutnya : $ 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ $
Jadi, koordinat kutubnya adalah $ C (2, 150^\circ) $ .

Jarak dua titik koordinat kutub
       Untuk menghitung jarak dua titik koordinat kutub, caranya menggunakan jarak dua titik pada koordinat cartesius. Artinya kita harus mengubah dulu koordinat kutub menjadi koordinat cartesius. Untuk jarak dua titik koordinat cartesius, silahkan baca materi "Jarak Dua Titik dan Titik ke Garis".

Menentukan jarak titik A($r_1, \theta _1$) dan titik B($r_2, \theta _2$) ,
*). Koordinat cartesiusnya adalah :
$ A(r_1, \theta _1) \rightarrow x_1 = r_1 \cos \theta _1 , \, y_1 = r_1 \sin \theta _1 \rightarrow A(r_1 \cos \theta _1,r_1 \sin \theta _1) $
$ B(r_2, \theta _2) \rightarrow x_2 = r_2 \cos \theta _2 , \, y_2 = r_2 \sin \theta _2 \rightarrow A(r_2 \cos \theta _2,r_2 \sin \theta _2) $
*). Jarak titik A($x_1, y_1$) dan titik B($x_2,y_2$) :
$ \begin{align} \text{jarak } & = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 } \\ & = \sqrt{(r_2 \cos \theta _2- r_1 \cos \theta _1)^2 + (r_2 \sin \theta _2 - r_1 \sin \theta _1)^2 } \\ & = \sqrt{ r_1^2 + r_2^2 - 2r_1.r_2 . \cos ( \theta _2 - \theta _1) } \end{align} $
Sehingga jarak titik A($r_1, \theta _1$) dan titik B($r_2, \theta _2$) adalah
$ \begin{align} \text{jarak } = \sqrt{ r_1^2 + r_2^2 - 2r_1.r_2 . \cos ( \theta _2 - \theta _1) } \end{align} $
Contoh :
3). Tentukan jarak titik A($3,160^\circ $) dan titik B($4, 100^\circ$)!
Penyelesaian :
*). Diketahui titik-titik
$ A(r_1, \theta _1) = (3,160^\circ ) \, $ dan $ B(r_2, \theta _2) = (4, 100^\circ) $
*). Jarak kedua titik adalah :
$ \begin{align} \text{jarak } & = \sqrt{ r_1^2 + r_2^2 - 2r_1.r_2 . \cos ( \theta _2 - \theta _1) } \\ & = \sqrt{ 3^2 + 4^2 - 2.3.4. \cos ( 160^\circ - 100^\circ ) } \\ & = \sqrt{ 9 + 16 - 24. \cos 60^\circ } \\ & = \sqrt{ 25 - 24. \frac{1}{2} } \\ & = \sqrt{ 25 - 12 } \\ & = \sqrt{ 13 } \end{align} $
Jadi, jarak kedua titik adalah $ \sqrt{ 13 } \, $ satuan panjang.

Pembuktian rumus jarak dua titik koordinat kutub :
*). Gunakan beberapa persamaan :
identitas trigonometri : $ \sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 $
Rumus selisih sudut : $ \cos (A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B $
*). Pembuktian rumusnya :
$ \begin{align} \text{jarak } & = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 } \\ \text{jarak }^2 & = (x_2-x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 \\ \text{jarak }^2 & = (r_2 \cos \theta _2- r_1 \cos \theta _1)^2 + (r_2 \sin \theta _2 - r_1 \sin \theta _1)^2 \\ \text{jarak }^2 & = (r_2 ^2 \cos ^2 \theta _2 - 2r_1r_2 \cos \theta _2 \cos \theta _1 + r_1^2 \cos ^2 \theta _1) \\ & + (r_2 ^2 \sin ^2 \theta _2 - 2r_1r_2 \sin \theta _2 \sin \theta _1 + r_1^2 \sin ^2 \theta _1) \\ \text{jarak }^2 & = r_2 ^2 ( \sin ^2 \theta _2 + \cos ^2 \theta _2 ) + r_1 ^2 ( \sin ^2 \theta _1 + \cos ^2 \theta _1 ) \\ & - 2r_1r_2 (\cos \theta _2 \cos \theta _1 + \sin \theta _2 \sin \theta _1 ) \\ \text{jarak }^2 & = r_2 ^2 . ( 1 ) + r_1 ^2 . ( 1 ) - 2r_1r_2 (\cos ( \theta _2 - \theta _1 ) ) \\ \text{jarak }^2 & = r_1^2 + r_2^2 - 2r_1.r_2 . \cos ( \theta _2 - \theta _1) \\ \text{jarak } & = \sqrt{ r_1^2 + r_2^2 - 2r_1.r_2 . \cos ( \theta _2 - \theta _1) } \end{align} $
Jadi, jaraknya adalah $ \begin{align} \text{jarak } = \sqrt{ r_1^2 + r_2^2 - 2r_1.r_2 . \cos ( \theta _2 - \theta _1) } \end{align} $

Sabtu, 07 November 2015

Sudut Elevasi dan Depresi

         Blog Koma - Pada materi kali ini, kita akan membahas tentang Sudut Elevasi dan Depresi. Sudut elevasi dan depresi memiliki besar yang sama. Sebelum mempelajari materi ini, sebaiknya baca dulu materi "Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku", "Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Berelasi", dan "Ukuran Sudut : Derajat, Radian, dan Putaran".

Pengertian Sudut Elevasi dan Depresi
$\clubsuit $ Sudut elevasi adalah sudut yang dibentuk oleh arah horizontal dengan arah pandangan mata pengamat ke arah atas.
$ \spadesuit $ Sudut depresi adalah sudut yang dibentuk oleh arah horizontal dengan arah pandangan mata pengamat ke arah bawah.

Besarnya sudut elevasi dan depresi sama besar seperti gambar berikut,
Contoh :
1). Sebuah gedung yang tingginya 50 m dan terdapat sebuah bola di dekat gedung. Jika sudut depresi dari puncak gedung terhadap bola adalah $ 30^\circ , \, $ maka tentukan jarak bola ke dasar gedung?
Penyelesaian :
*). Ilustrasi gambar gedungnya
*). Menentukan jarak bola ke dasar gedung (nilai $x $ ).
Perhatikan segitiga ABC, yang ditanyakan nilai $ x \, $ yang merupakan sisi samping, dan diketahui sisi didepan sudut, sehingga kita menggunakan tan.
$ \begin{align} \tan \angle BAC & = \frac{de}{sa} = \frac{BC}{BA} \\ \tan 30^\circ & = \frac{50}{x} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & = \frac{50}{x} \\ x & = 50\sqrt{3} \end{align} $
Jadi, jarak bola ke dasar gedung adalah $ 50\sqrt{3} \, $ m .

2). Perhatikan gambar dibawah ini ,
Dua orang guru dengan tinggi badan yang sama yaitu 170 cm sedang berdiri memandang puncak tiang bendera di sekolahnya. Guru pertama berdiri tepat 10 m di depan guru kedua. Jika sudut elevasi guru pertama $ 60^\circ \, $ dan guru kedua $ 30^\circ \, $ maka dapatkah anda menghitung tinggi tiang bendera tersebut?
Penyelesaian :
*). Ilustrasi gambar
Misalkan panjang CD = BG = $ x $
*). Menentukan nilai $ x $
Segitiga ABG :
$ \tan 60^\circ = \frac{AB}{x} \rightarrow AB = x \tan 60^\circ \rightarrow AB = \sqrt{3} x $
Segitiga ABF , substitusi $ AB = \sqrt{3} x $
$ \begin{align} \tan 30^\circ & = \frac{AB}{BF} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & = \frac{\sqrt{3} x }{x + 10} \\ \sqrt{3} . \sqrt{3} x & = x + 10 \\ 3 x & = x + 10 \\ 2x & = 10 \\ x & = 5 \end{align} $
*). Menentukan tinggi tiang bendera (A)
$ AB = \sqrt{3} x = \sqrt{3} . 5 = 5\sqrt{3} $
Jadi, tinggi tiang bendera adalah $ 5 \sqrt{3} \, $ m .

Jumat, 06 November 2015

Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Berelasi

         Blog Koma - Materi berikut yang akan kita pelajari adalah Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Berelasi. Maksudnya sudut-sudut berelasi disini adalah hubungan nilai perbandingan trigonometri dengan besar sudut ada pada kuadran II, kuadran III, kuadran IV, dan sudut yang besarnya di atas $ 360^\circ $. Materi Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Berelasi ini sangat penting karena tidak semua sudut yang ada pada kuadran-kuadran nilai trigonometrinya kita hafalkan, akan tetapi kita cukup mengingat nilai trigonometri untuk sudut-sudut pada kuadran I. Baca juga materi yang berkaitan yaitu "Ukuran Sudut : Derajat, Radian, dan Putaran", "Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku", dan "Nilai Perbandingan Trigonometri di Berbagai Kuadran".

Nilai Perbandingan Trigonometri Sudut istimewa pada kuadran I
       Sudut-sudut istimewa yang ada pada kuadran I yang dimaksud adalah $ 0^\circ , \, 30^\circ, \, 45^\circ, \, 60^\circ, \, $ dan $ 90^\circ $.
Berikut tabel nilai perbandingan trigonometri untuk sin, cos, dan tan,
Penjelasan tabel di atas :
Nilai-nilai perbandingan trigonometrinya adalah ,
$ \sin 0^\circ = 0 , \sin 30^\circ = \frac{1}{2}, \sin 45^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{2}, \sin 60^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{3}, \sin 90^\circ = 1 $
$ \cos 0^\circ = 1 , \cos 30^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{3}, \cos 45^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{2}, \cos 60^\circ = \frac{1}{2}, \cos 90^\circ = 0 $
$ \tan 0^\circ = 0 , \tan 30^\circ = \frac{1}{3}\sqrt{3} , \tan 45^\circ = 1 , \tan 60^\circ = \sqrt{3}, \tan 90^\circ = \infty $
Contoh :
1). Tentukan nilai perbandingan trigonometri berikut,
a). $ \sin 30^\circ . \cos 45^\circ $
b). $ \frac{\tan 45^\circ . \cos 60^\circ - \sin 30^\circ . \cos 30^\circ}{\sin 60^\circ} $
Penyelesaian :
a). $ \begin{align} \sin 30^\circ . \cos 45^\circ = \frac{1}{2}. \frac{1}{2}\sqrt{2} = \frac{1}{4} \sqrt{2} \end{align} $
b). Nilainya,
$ \begin{align} \frac{\tan 45^\circ . \cos 60^\circ - \sin 30^\circ . \cos 30^\circ}{\sin 60^\circ} & = \frac{1.\frac{1}{2} - \frac{1}{2} .\frac{1}{2}\sqrt{3} }{\frac{1}{2}\sqrt{3}} \\ & = \frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\sqrt{3} }{\frac{1}{2}\sqrt{3}} \times \frac{4}{4} \\ & = \frac{2 - \sqrt{3} }{2\sqrt{3}} \\ & = \frac{2 - \sqrt{3} }{2\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\ & = \frac{2 \sqrt{3} - 3 }{2.3} \\ & = \frac{2 \sqrt{3} }{6} - \frac{ 3 }{6} \\ & = \frac{ \sqrt{3} }{3} - \frac{ 1 }{2} \\ & = \frac{ 1 }{3}\sqrt{3} - \frac{ 1 }{2} \end{align} $

Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Berelasi
       Sebelumnya sudah ditampilkan nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut pada kuadran I. Berikut kita pelajari hubungan sudut-sudut berelasi berbagai kuadran.
Perhatikan rumus hubungan setiap kuadran jika diketahui sudut $ \alpha \, $ pada kuadran I berikut.
Dari gambar di atas, kita peroleh hubungan kuadrannya :
Kuadran I :
$ \sin (90^\circ - \alpha ) = \cos \alpha , \, \cos (90^\circ - \alpha ) = \sin \alpha $
$ \tan (90^\circ - \alpha ) = \cot \alpha $

Kuadran II :
$ \sin (90^\circ + \alpha ) = \cos \alpha , \, \cos (90^\circ + \alpha ) = -\sin \alpha $
$ \tan (90^\circ + \alpha ) = -\cot \alpha $
$ \sin (180^\circ - \alpha ) = \sin \alpha , \, \cos (180^\circ - \alpha ) = -\cos \alpha $
$ \tan (180^\circ - \alpha ) = -\tan \alpha $

Kuadran III :
$ \sin (180^\circ + \alpha ) = -\sin \alpha , \, \cos (180^\circ + \alpha ) = -\cos \alpha $
$ \tan (180^\circ + \alpha ) = \tan \alpha $
$ \sin (270^\circ - \alpha ) = -\cos \alpha , \, \cos (270^\circ - \alpha ) = -\sin \alpha $
$ \tan (270^\circ - \alpha ) = \cot \alpha $

Kuadran IV :
$ \sin (270^\circ + \alpha ) = -\cos \alpha , \, \cos (270^\circ + \alpha ) = \sin \alpha $
$ \tan (270^\circ + \alpha ) = -\cot \alpha $
$ \sin (360^\circ - \alpha ) = -\sin \alpha , \, \cos (360^\circ - \alpha ) = \cos \alpha $
$ \tan (360^\circ - \alpha ) = -\tan \alpha $

Sudut lebih besar $ 360^\circ $ :
$ \sin (360^\circ + \alpha ) = \sin \alpha , \, \cos (360^\circ + \alpha ) = \cos \alpha $
$ \tan (360^\circ + \alpha ) = \tan \alpha $

$ \sin (n.360^\circ + \alpha ) = \sin \alpha , \, \cos (n.360^\circ + \alpha ) = \cos \alpha $
$ \tan (n.360^\circ + \alpha ) = \tan \alpha $
dengan $ n \, $ bilangan asli.

Catatan :
Dari hubungan semua relasi diatas, dapat disimpulkan :
*). Jika menggunakan ($ 90^\circ \pm \alpha $) atau ($ 270^\circ \pm \alpha $) , maka trigonometrinya berubah yaitu sin jadi cos, cos jadi sin, tan jadi cot, sec jadi csc, dan csc jadi sec. (menggunakan $ 90^\circ \, $ dan $ 270^\circ$).
*). Jika menggunakan ($ 180^\circ \pm \alpha $) atau ($ 360^\circ \pm \alpha $) , maka trigonometrinya tetap (tidak berubah). (menggunakan $ 180^\circ \, $ dan $ 360^\circ$).
Contoh :
2). Tentukan nilai perbandingan trigonometri dari :
a). $ \sin 120^\circ $
b). $ \cos 150^\circ $
c). $ \tan 135^\circ $
d). $ \tan 210^\circ $
e). $ \cos 210^\circ $
f). $ \sin 300^\circ $
g). $ \cos 330^\circ $
Penyelesaian :
a). Kuadran II : $ \sin 120^\circ \, $ ada dua cara :
Cara I : $ \sin 120^\circ = \sin (90^\circ + 30^\circ) = \cos 30^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{3} $
Cara II : $ \sin 120^\circ = \sin (180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{3} $

b). Kuadran II : $ \cos 150^\circ \, $ ada dua cara :
Cara I : $ \cos 150^\circ = \cos (90^\circ + 60^\circ) = -\sin 60^\circ = -\frac{1}{2}\sqrt{3} $
Cara II : $ \cos 150^\circ = \cos (180^\circ - 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{1}{2}\sqrt{3} $

c). Kuadran II : $ \tan 135^\circ \, $ ada dua cara :
Cara I : $ \tan 135^\circ = \tan (90^\circ + 45^\circ) = -\cot 45^\circ = - \frac{1}{\tan 45^\circ } = -\frac{1}{1} = -1 $
Cara II : $ \tan 135^\circ = \tan (180^\circ - 45^\circ) = -\tan 45^\circ = -1 $

d). Kuadran III : $ \tan 210^\circ \, $ ada dua cara :
Cara I : $ \tan 210^\circ = \tan (180^\circ + 30^\circ) = \tan 30^\circ = \frac{1}{3}\sqrt{3} $
Cara II : $ \tan 210^\circ = \tan (270^\circ - 60^\circ) = \cot 60^\circ = \frac{1}{\tan 60^\circ } = \frac{1}{ \sqrt{3} } = \frac{1}{3}\sqrt{3} $

e). Kuadran III : $ \tan 210^\circ \, $ ada dua cara :
Cara I : $ \cos 210^\circ = \cos (180^\circ + 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{1}{2}\sqrt{3} $
Cara II : $ \cos 210^\circ = \cos (270^\circ - 60^\circ) = -\sin 60^\circ = - \frac{1}{2}\sqrt{3} $

f). Kuadran IV : $ \tan 210^\circ \, $ ada dua cara :
Cara I : $ \sin 300^\circ = \sin (270^\circ + 30^\circ) = -\cos 30^\circ = - \frac{1}{2}\sqrt{3} $
Cara II : $ \sin 300^\circ = \sin (360^\circ - 60^\circ) = -\sin 60^\circ = - \frac{1}{2}\sqrt{3} $

g). Kuadran IV : $ \cos 330^\circ \, $ ada dua cara :
Cara I : $ \cos 330^\circ = \cos (270^\circ + 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{3} $
Cara II : $ \cos 330^\circ = \cos (360^\circ - 30^\circ) = \cos 30^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{3} $

3). Tentukan nilai perbandingan trigonometri dari
a). $ \sin 360^\circ $
b). $ \cos 420^\circ $
c). $ \tan 510^\circ $
d). $ \sin 1290^\circ $
Penyelesaian :
a). $ \sin 360^\circ = \sin (360^\circ + 0^\circ ) = \sin 0^\circ = 0 $
b). $ \cos 420^\circ = \cos (360^\circ + 60^\circ) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $
c). $ \tan 510^\circ = \tan (360^\circ + 150^\circ) = \tan 150^\circ = \tan (180^\circ - 30^\circ) = - \tan 30^\circ = \frac{1}{3}\sqrt{3} $
d). $ \sin 1290^\circ = \sin (3\times 360^\circ + 210^\circ) = \sin 210^\circ = \sin (180^\circ + 30^\circ) = -\sin 30^\circ = -\frac{1}{2} $

Catatan :
Untuk nilai negatif atau psositif, bergantung dari sudut awal pada soal, terletak pada kuadran berapa. Misalkan, nilai $ \cos 210^\circ \, $, sudut $ 210^\circ \, $ ada pada kuadran III sehingga nilai cos nya negatif, sehingga bentuk sederhananya ditambahkan negatif. perhatikan perhitungan berikut,
Cara I : $ \cos 210^\circ = \cos (180^\circ + 30^\circ) = \cos 30^\circ \, $ , bentuk sederhananya $ \cos 210^\circ = \cos 30^\circ \, $ , karena cos di kuadran III negatif, maka bentuk sederhananya diberi negatif.
$ \cos 210^\circ = - \cos 30^\circ = - \frac{1}{2}\sqrt{3} $ .

Cara II : $ \cos 210^\circ = \cos (270^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ \, $ , bentuk sederhananya $ \cos 210^\circ = \sin 60^\circ \, $ , karena cos di kuadran III negatif, maka bentuk sederhananya diberi negatif.
$ \cos 210^\circ = - \sin 60^\circ = - \frac{1}{2}\sqrt{3} $ .

Sudut Komplemen pada Kuadran I
       Sudut komplemen maksudnya sudut yang jumlahnya $ 90^\circ \, $ pada kuadran I. Berikut bentuk-bentuk perbandingan trigonometri sudut-sudut komplemen :
$ \sin \theta = \cos (90^\circ - \theta) $
$ \cos \theta = \sin (90^\circ - \theta) $
$ \tan \theta = \cot (90^\circ - \theta) $
$ \cot \theta = \tan (90^\circ - \theta) $
$ \sec \theta = \csc (90^\circ - \theta) $
$ \csc \theta = \sec (90^\circ - \theta) $

Pada sudut komplemen, terjadi perubahan trigonometri yaitu :
sin berubah menjadi cos (dan sebalikny)
tan berubah menjadi cot (dan sebalikny)
sec berubah menjadi csc (dan sebalikny)
Contoh :
4). Tentukan perbandingan trigonometri sudut komplemen dari bentuk berikut :
a). $ \sin 30^\circ $
b). $ \cot 60^\circ $
c). $ \cos 35^\circ $
Penyelesaian :
a). $ \sin 30^\circ = \cos ( 90^\circ - 30^\circ ) = \cos 60^\circ $
artinya nilai $ \sin 30^\circ \, $ sama dengan $ \cos 60^\circ $
dimana jumlah sudutnya : $ 30^\circ + 60^\circ = 90^\circ $
b). $ \cot 60^\circ = \tan ( 90^\circ - 60^\circ ) = \tan 30^\circ $
artinya nilai $ \cot 60^\circ \, $ sama dengan $ \tan 30^\circ $
dimana jumlah sudutnya : $ 60^\circ + 30^\circ = 90^\circ $
c). $ \cos 35^\circ = \sin ( 90^\circ - 35^\circ ) = \sin 55^\circ $
artinya nilai $ \cos 35^\circ \, $ sama dengan $ \sin 55^\circ $
dimana jumlah sudutnya : $ 35^\circ + 55^\circ = 90^\circ $

5). Tentukan nilai $ \sin ^2 25^\circ + \sin ^2 40^\circ + \sin ^2 50^\circ + \sin ^2 65^\circ $ ?
Penyelesaian :
*). Gunakan identitas trigonometri : $ \sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 $
*). Gunakan sudut komplemen :
$ \sin 25^\circ = \cos ( 90^\circ - 25^\circ ) = \cos 65^\circ $
Sehingga : $ \sin ^2 25^\circ = \cos ^2 65^\circ $
$ \sin 40^\circ = \cos ( 90^\circ - 40^\circ ) = \cos 50^\circ $
Sehingga : $ \sin ^2 40^\circ = \cos ^2 50^\circ $
*). Menentukan hasilnya :
$ \begin{align} & \sin ^2 25^\circ + \sin ^2 40^\circ + \sin ^2 50^\circ + \sin ^2 65^\circ \\ & = \cos ^2 65^\circ + \cos ^2 50^\circ + \sin ^2 50^\circ + \sin ^2 65^\circ \\ & = ( \cos ^2 65^\circ + \sin ^2 65^\circ) + ( \cos ^2 50^\circ + \sin ^2 50^\circ ) \\ & = ( 1 ) + ( 1 ) \\ & = 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin ^2 25^\circ + \sin ^2 40^\circ + \sin ^2 50^\circ + \sin ^2 65^\circ = 2 $ .

Nilai fungsi trigonometri untuk seudut negatif
       Berikut nilai fungsi trigonometri untuk sudut negatif :
$ \sin (- \alpha ) = - \sin \alpha $
$ \cos (- \alpha ) = \cos \alpha $
$ \tan (- \alpha ) = - \tan \alpha $
$ \sec (- \alpha ) = \sec \alpha $
$ \csc (- \alpha ) = - \csc \alpha $
$ \cot (- \alpha ) = - \cot \alpha $
Contoh :
Tentukan nilai fungsi trigonometri berikut :
a). $ \sin (- 30^\circ ) $
b). $ \cos (- 60^\circ ) $
c). $ \sin (- 210^\circ ) $
d). $ \cos (- 210^\circ ) $
Penyelesaian :
a). $ \sin (- 30^\circ ) = - \sin 30^\circ = - \frac{1}{2} $
b). $ \cos (- 60^\circ ) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $
c). $ \sin (- 210^\circ ) = - \sin 210^\circ = - \sin (180^\circ + 30^\circ) = -[-\sin 30^\circ] = \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $
d). $ \cos (- 210^\circ ) = \cos 210^\circ = \cos (180^\circ + 30^\circ) = -\cos 30^\circ = - \frac{1}{2}\sqrt{3} $

Nilai Perbandingan Trigonometri di Berbagai Kuadran

         Blog Koma - Jika ditinjau dari besarnya sudut, maka akan kita peroleh empat kuadran. Dari setiap kuadran yang ada, ternyata nilai perbandingan trigonometrinya berbeda tandanya (ada yang positif atau negatif). Pada kesempatan kali ini, kita akan membahas materi Nilai Perbandingan Trigonometri di Berbagai Kuadran. Untuk memudahkan mempelajarinya, sebaiknya pelajari dulu materi "Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku" dan "Ukuran Sudut : Derajat, Radian, dan Putaran".

Nilai Perbandingan Trigonometri di Berbagai Kuadran
       Secara umum untuk satu kali putaran lingkaran, kuadran dibagi menjadi empat yaitu :
Kuadran I : dengan sudut $ 0^\circ \, $ sampai $ \, 90^\circ \, $ atau $ 0 < x < \frac{\pi}{2} $
Kuadran II : dengan sudut $ 90^\circ \, $ sampai $ \, 180^\circ \, $ atau $ \frac{\pi}{2} < x < \pi $
Kuadran III : dengan sudut $ 180^\circ \, $ sampai $ \, 270^\circ \, $ atau $ \pi < x < \frac{3\pi}{2} $
Kuadran IV : dengan sudut $ 270^\circ \, $ sampai $ \, 360^\circ \, $ atau $ \frac{3\pi}{2} < x < 2\pi $
dengan nilai $ \pi = 180^\circ \, $ untuk sudut.

Nilai perbandingan trigonometrinya seperti gambar berikut ini.
Dari gambar di atas diperoleh ,
Kuadran I, semua positif (sin, cos, tan, sec, csc, cot)
Kuadran II, nilai sin positif (begitu juga csc)
Kuadran III, nilai tan positif (begitu juga cot)
Kuadran IV, nilai cos positif (begitu juga sec).

Untuk memudahkan mengingat, gunakan kata berikut :
Penjelasan isitilah di atas,perhatikan huruf warna biru :
Kata "semua" artinya pada kuadran I, semua positif,
Kata "sindikat" artinya pada kuadran II, sin positif,
Kata "tangan" artinya pada kuadran III, tan positif,
Kata "cosong" artinya pada kuadran IV, cos positif.
Contoh:
1). Diketahui titik A(-12,5) dan $ \angle XOA = \alpha $ . Tentukan nilai $ \sin \alpha, \, \cos \alpha , \, $ dan $ \tan \alpha $ !
Penyelesaian :
Dengan memperhatikan koordinat titik A(-12,5), sangat jelas bahwa titik tersebut terletak di kuadran kedua, karena $ x = -12 $, dan $y = 5$. Secara geometris, disajikan pada gambar berikut ini.
Karena $x = 12$ , dan $y = 5 $, dengan menggunakan teorema Phytagoras diperoleh sisi miring, $r = 13 $ .
*). Menentukan nilai trigonometrinya :
$ \begin{align} \sin \alpha & = \frac{de}{mi} = \frac{5}{13} \\ \cos \alpha & = \frac{sa}{mi} = \frac{-12}{13} = -\frac{12}{13} \\ \tan \alpha & = \frac{de}{sa} = \frac{5}{-12} = - \frac{5}{12} \end{align} $
Jadi, diperoleh $ \sin \alpha = \frac{5}{13} , \, \cos \alpha = -\frac{12}{13}, \, $ dan $ \tan \alpha = - \frac{5}{12} $

2). Diketahui nilai $ \cos \theta = \frac{3}{5} \, $ dengan $ \theta \, $ di kuadran empat. Tentukan nilai $ \sin \theta , \, $ dan nilai $ \tan \theta $?
Penyelesaian :
*). Untuk memudahkan, gunakan segitiga siku-siku.
nilai $ \cos \theta = \frac{3}{5} \rightarrow \frac{sa}{mi} = \frac{3}{5} , \, $ artinya sisi samping 3 dan sisi miring 5, sehingga dengan teorema pythagoras diperoleh sisi depannya 4.
*). Karena $ \theta \, $ di kuadran IV, maka nilai sin dan tan negatif.
$ \begin{align} \sin \theta & = \frac{de}{mi} = -\frac{4}{5} \\ \tan \theta & = \frac{de}{sa} = - \frac{4}{3} \end{align} $
Jadi, diperoleh $ \sin \theta = -\frac{4}{5} , \, $ dan $ \tan \theta = - \frac{4}{3} $

3). Untuk $ 180^\circ < \beta < 270^\circ \, $ dan nilai $ \sin \beta = x $ . Tentukan nilai $ \cos \beta \, $ dan $ \tan \beta $ ?
Penyelesaian :
*). Analisa nilai $ x \, $ , apakah nilai $ x \, $ positif atau negatif.
$ 180^\circ < \beta < 270^\circ \, $ , artinya $ \beta \, $ ada pada kuadran tiga, sehingga nilai sin negatif, nilai cos negatif, dan nilai tan positif. Karena nilai sin negatif, dari $ \sin \beta = x \, $ maka nilai $ x \, $ negatif ($ x < 0 $).
*). Menentukan panjang sisi-sisi segitiga siku-sikunya.
Bentuk : $ \sin \beta = x \rightarrow \sin \beta = \frac{x}{1} \rightarrow \frac{de}{mi} = \frac{x}{1} $
artinya sisi depan adalah $ x $ dan sisi miring adalah 1, dengan pythagoras diperoleh sisi samping $\sqrt{1-x^2} $ .
*). Menentukan nilai trigonometrinya,
$\clubsuit$ Nilai $ \begin{align} \cos \beta = \frac{sa}{mi} = \frac{\sqrt{1-x^2}}{1} = \sqrt{1-x^2} \end{align} $
Nilai cos negatif di kuadran III dan nilai $ \sqrt{1-x^2} \, $ positif. Agar nilai cos negatif , maka kita kalikan -1.
Sehingga nilai $ \cos \beta = - \sqrt{1-x^2} $

$\clubsuit$ Nilai $ \begin{align} \tan \beta = \frac{de}{sa} = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \end{align} $
Nilai tan positif di kuadran III dan nilai $ \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, $ negatif karena $ x \, $ negatif dan $ \sqrt{1-x^2} \, $ positif . Agar nilai tan positif , maka kita kalikan -1.
Sehingga nilai $ \tan \beta = - \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} $
Jadi, nilai $ \cos \beta = - \sqrt{1-x^2} , \, $ dan $ \tan \beta = - \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} $

Jenis-jenis Sudut Berdasarkan Ukuran Sudut dan Kuadrannya
Berdasarkan besarnya, sudut dibagi menjadi lima jenis, yaitu :
1). Sudut lancip: sudut antara $ 0^\circ \, $ sampai $ 90^\circ $ ($ 0^\circ < x < 90^\circ $)
2). Sudut siku-siku: sudut yang besarnya $ 90^\circ $ ($ x = 90^\circ $)
Sudut siku-siku dibentuk oleh dua garis yang tegak lurus.
3). Sudut tumpul: sudut antara $ 90^\circ \, $ sampai $ 180^\circ $ ($ 90^\circ < x < 180^\circ $)
4). Sudut lurus: sudut yang besarnya $ 180^\circ $ ($ x = 180^\circ $)
5). Sudut refleks: sudut antara $ 180^\circ \, $ sampai $ 360^\circ $ ($ 180^\circ < x < 360^\circ $)

Selasa, 03 November 2015

Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku

         Blog Koma - Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku merupakan salah satu cara dalam mendeskripsikan nilai perbandingan trigonometri. Perbandingan trigonometri ada beberapa jenis yaitu sin, cos, tan, secan (sec), cossec (csc), dan cotangen (cot). Karena perbandingan trigonometri melibatkan sudut-sudut, silahkan juga baca materi "Ukuran Sudut : Derajat, Radian, dan Putaran".

Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku
       Perhatikan segitiga siku-siku berikut,
Berikut Perbandingan Trigonometrinya :
*). $ \sin A = \frac{sisi depan}{sisi miring} = \frac{de}{mi} = \frac{BC}{BA} = \frac{a}{c} $
*). $ \cos A = \frac{sisi samping}{sisi miring} = \frac{sa}{mi} = \frac{CA}{BA} = \frac{b}{c} $
*). $ \tan A = \frac{sisi depan}{sisi samping} = \frac{de}{sa} = \frac{BC}{CA} = \frac{a}{b} $
*). $ \sec A = \frac{1}{\cos A} = \frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b} $
*). $ \csc A = \frac{1}{\sin A} = \frac{1}{\frac{a}{c}} = \frac{c}{a} $
*). $ \cot A = \frac{1}{\tan A} = \frac{1}{\frac{a}{b}} = \frac{b}{a} $
*). $ \tan A = \frac{a}{b} = \frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}} = \frac{\sin A }{\cos A } \rightarrow \tan A = \frac{\sin A }{\cos A } $
*). $ \cot A = \frac{1}{\tan A} = \frac{1}{\frac{\sin A }{\cos A }} = \frac{\cos A}{\sin A } \rightarrow \cot A = \frac{\cos A}{\sin A } $
Contoh :
1). Diberikan segitiga siku-siku ABC, siku-siku di B. Jika panjang sisi AB = 3 satuan, BC = 4 satuan, tentukanlah sin A, cos C, dan tan A. ?
Penyelesaian :
*). Deskripsi gambarnya,
Untuk segitiga di bawah ini, dengan Teorema Phytagoras diperoleh panjang sisi AC = 5 satuan.
*). Menentukan nilai perbandingan trigonometrinya
$ \begin{align} \sin A & = \frac{de}{mi} = \frac{BC}{CA} = \frac{4}{5} \\ \cos A & = \frac{sa}{mi} = \frac{AB}{CA} = \frac{3}{5} \\ \tan A & = \frac{de}{sa} = \frac{BC}{AB} = \frac{4}{3} \end{align} $

2). Di bawah ini diberikan tiga segitiga siku-siku, diketahui $ \cos \theta = \frac{3}{5} $ . Tentukanlah nilai $ x $. ?
Penyelesaian :
a). Dari gambar (a),
$ \begin{align} \cos \theta & = \frac{sa}{mi} \\ \cos \theta & = \frac{x}{8} \\ \frac{3}{5} & = \frac{x}{8} \\ x & = \frac{24}{5} \end{align} $

b). Menentukan nilai $ sin \theta $ pada segitiga gambar (b).
diketahui nilai $ \cos \theta = \frac{3}{5} = \frac{sa}{mi} , \, $ berdasarkan pythagoras, diperoleh nilai depannya yaitu 4, sehingga nilai $ \sin \theta = \frac{de}{mi} = \frac{4}{5} $
*). Menentukan nilai $ x $.
$ \begin{align} \sin \theta & = \frac{de}{mi} \\ \sin \theta & = \frac{x}{4} \\ \frac{4}{5} & = \frac{x}{4} \\ x & = \frac{16}{5} \end{align} $

3). Diketahui $ \sin x + \cos x = 3 \, $ dan $ \tan x = 1 $ , tentukanlah nilai $\sin x $ dan $ \cos x $!
Penyelesaian :
*). Bentuk : $ \tan x = 2 \rightarrow \frac{\sin x }{\cos x} = 2 \rightarrow \sin x = 2\cos x $
*). Substitusi $ \sin x = 2\cos x $ ke persamaan $ \sin x + \cos x = 3 $
$ \begin{align} \sin x = 2\cos x \rightarrow \sin x + \cos x & = 3 \\ 2\cos x + \cos x & = 3 \\ 3\cos x & = 3 \\ \cos x & = 1 \end{align} $
Sehingga nilai $ \sin x = 2\cos x = 2 . 1 = 2 $
Jadi, diperoleh nilai $ \sin x = 2 \, $ dan $ \cos x = 1 $

Identitas Trigonometri
       Perhatikan segitiga siku-siku berikut,
Perbandingan trigonometri yang berlaku adalah :
$ \sin A = \frac{y}{r}, \, \cos A = \frac{x}{r}, \, \tan A = \frac{y}{x}, $
$ \sec A = \frac{r}{x}, \, \csc A = \frac{r}{y}, \, \cot A = \frac{x}{y} $
Dari segitiga siku-siku di atas, berlaku teorema pythagoras, yaitu :
$ x^2 + y^2 = r^2 \, $ ...........pers(i)
*). pers(i) dibagi dengan $ r^2 $
$ \begin{align} x^2 + y^2 & = r^2 \\ \frac{x^2}{r^2} + \frac{y^2}{r^2} & = \frac{r^2}{r^2} \\ \left( \frac{x}{r} \right)^2 + \left( \frac{y}{r} \right)^2 & = 1 \\ \left( \cos A \right)^2 + \left( \sin A \right)^2 & = 1 \\ \cos ^2 A + \sin ^2 A & = 1 \end{align} $
Persamaan $ \cos ^2 A + \sin ^2 A = 1 \, $ inilah yang disebut sebagai identitas trigonometri.
**). pers(i) dibagi dengan $ x^2 $
$ \begin{align} x^2 + y^2 & = r^2 \\ \frac{x^2}{x^2} + \frac{y^2}{x^2} & = \frac{r^2}{x^2} \\ 1 + \left( \frac{y}{x} \right)^2 & = \left( \frac{r}{x} \right)^2 \\ 1 + \left( \tan A \right)^2 & = \left( \sec A \right)^2 \\ 1 + \tan ^2 A & = \sec ^2 A \end{align} $
**). pers(i) dibagi dengan $ y^2 $
$ \begin{align} x^2 + y^2 & = r^2 \\ \frac{x^2}{y^2} + \frac{y^2}{y^2} & = \frac{r^2}{y^2} \\ \left( \frac{x}{y} \right)^2 + 1 & = \left( \frac{r}{y} \right)^2 \\ \left( \cot A \right)^2 + 1 & = \left( \csc A \right)^2 \\ \cot ^2 A + 1 & = \csc ^2 A \end{align} $

Jadi, diperoleh kumpulan persamaan identitas trigonometri, yaitu :
$ \begin{align} \cos ^2 A + \sin ^2 A & = 1 \\ 1 + \tan ^2 A & = \sec ^2 A \\ \cot ^2 A + 1 & = \csc ^2 A \end{align} $
Contoh :
Jika diketahui nilai $ \sin A = x, \, $ tentukan nilai $ \cos A , \, \tan A, \, \sec A, \, $ dan $ \csc A , \, $ dimana sudut A adalah sudut lancip (semua nilai trigonometrinya positif).!
Penyelesaian :
Sebenarnya ada dua cara untuk menyelesaikan soal ini, yaitu dengan menggambar segitiganya atau dengan menggunakan persamaan identitas trigonometri.
Cara I : Menggunakan persamaan identitas trigonometri.
Persamaan identitas trigonometri dan diketahui nilai $ \sin A = x $
$ \begin{align} \cos ^2 A + \sin ^2 A & = 1 \\ \cos ^2 A + x^2 & = 1 \\ \cos ^2 A & = 1 - x^2 \\ \cos A & = \sqrt{1-x^2} \end{align} $
*). Sehingga nilai trigonometri yang lainnya :
$ \begin{align} \tan A & = \frac{\sin A }{\cos A} = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \\ \sec A & = \frac{1}{\cos A } = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ \csc A & = \frac{1}{\sin A } = \frac{1}{x} \\ \cot A & = \frac{\cos A}{\sin A } = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x} \end{align} $

Cara II : Menggunakan segitiga siku-siku :
*). Diketahui nilai $ \sin A = x \rightarrow \sin A = \frac{de}{mi} = \frac{x}{1} $
Artinya nilai sisi depan $ x \, $ dan sisi miring $ a \, $ , berdasarkan pythagoras diperoleh sisi sampingnya $ \sqrt{1-x^2} $ .
*). ilustrasi gambarnya :
*). Menentukan nilai trigonometrinya dari segitiga siku-siku
$ \begin{align} \cos A & = \frac{sa}{mi} = \frac{\sqrt{1-x^2}}{1} = \sqrt{1-x^2} \\ \tan A & = \frac{de }{sa} = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \\ \sec A & = \frac{1}{\cos A } = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ \csc A & = \frac{1}{\sin A } = \frac{1}{x} \\ \cot A & = \frac{sa}{de } = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x} \end{align} $

Senin, 02 November 2015

Ukuran Sudut : Derajat, Radian, dan Putaran

         Blog Koma - Ukuran Sudut merupakan besaran yang digunakan dalam pengukuran sudut. Dalam trigonometri , sudut merupakan hal yang sangat penting yang akan langsung berhubungan dengan nilai trigonometrinya (sin, cos, tan, sec, cossec, dan cot). Pada umumnya, ada dua ukuran yang digunakan untuk menentukan besar suatu sudut, yaitu derajat dan radian. Tanda "$\circ$" dan "rad" berturut-turut menyatakan simbol derajat dan radian. Singkatnya, satu putaran penuh = $360^\circ$ .
$1^\circ $ didefinisikan sebagai besar sudut yang dibentuk oleh $ \frac{1}{360} \, $ putaran penuh.
Satu radian diartikan sebagai ukuran sudut pusat $\alpha $ suatu lingkaran yang panjang busurnya sama dengan jari-jari.
      Hubungan satuan derajat dengan satuan radian, bahwa 1 putaran penuh sama dengan $ 2\pi , rad $. Seperti dinyatakan dalam definisi berikut

Hubungan nilai Derajat, Radian, dan Banyak Putaran
       Misalkan Dejarat kita simbolkan D, Radian kita simbolkan R, dan banyak putaran kita simbolkan P, maka hubungan Derajat, Radian, dan banyak Putaran (D, R, P), yaitu :

                     $ \begin{align} \frac{R}{D} = \frac{R}{P \times 360^\circ } = \frac{\pi}{180^\circ} \end{align} \, \, $ dan $ \, \, \begin{align} D = P \times 360^\circ \end{align} $

dimana, nilai $ \pi = 3,14 \, $ untuk radian dan $ \pi = 180^\circ \, $ untuk derajat.

       Persamaan di atas digunakan untuk menentukan nilai satuan yang lain jika nilai salah satuan diketahui, misalkan diketahui nilai derajat, akan ditanya nilai radian dan berapa putarannya.

Contoh :
1). Selesaikan bentuk berikut :
a). Tentukan besarnya radian dan banyak putaran jika diketahui besar sudutnya $ 150^\circ $
b). Tentukan besarnya derajat dan banyak putaran jika diketahui besar radiannya $ \frac{3}{2} \pi \, rad $
c). Tentukan besarnya derajat dan radian jika diketahui banyak putaran $ \frac{1}{3} \, $ putaran.
Penyelesaian :
a). $ 150^\circ = ... \, rad = \, ... \, $ putaran
Diketahui $ D = 150^\circ $
*). Menentukan nilai radian :
$ \begin{align} \frac{R}{D} & = \frac{\pi}{180^\circ} \\ \frac{R}{150^\circ} & = \frac{\pi}{180^\circ} \\ R & = \frac{\pi}{180^\circ} \times 150^\circ \, \, \, rad \\ R & = \frac{5}{6} \pi rad \end{align} $
*). Menentukan banyak putaran
$ \begin{align} D & = P \times 360^\circ \\ P & = \frac{D}{360^\circ} \, \, \, \text{putaran} \\ P & = \frac{150^\circ}{360^\circ} \, \, \, \text{putaran} \\ P & = \frac{5}{12} \, \, \, \text{putaran} \end{align} $
Jadi, diperoleh : $ 150^\circ = \frac{5}{6} \, rad = \, \frac{5}{12} \, $ putaran

b). $ \frac{3}{2} \pi \, rad = ... ^\circ = \, ... \, $ putaran
Diketahui $ R = \frac{3}{2} \pi \, rad $
*). Menentukan nilai derajat :
$ \begin{align} \frac{R}{D} & = \frac{\pi}{180^\circ} \\ \frac{\frac{3}{2} \pi }{D} & = \frac{\pi}{180^\circ} \\ D & = \frac{3}{2} \times 180^\circ \\ D & = 270^\circ \end{align} $
*). Menentukan banyak putaran
$ \begin{align} \frac{R}{P \times 360^\circ } & = \frac{\pi}{180^\circ} \\ \frac{\frac{3}{2} \pi }{P \times 360^\circ } & = \frac{\pi}{180^\circ} \\ \frac{\frac{3}{2} }{P \times 2 } & = \frac{1}{1} \\ P & = \frac{3}{4} \, \, \, \text{putaran} \end{align} $
Jadi, diperoleh : $ \frac{3}{2} \pi \, rad = 270 ^\circ = \, \frac{3}{4} \, $ putaran

c). $ \frac{1}{3} \, \, \, \text{putaran} = ... ^\circ = \, ... \, rad $
Diketahui $ P = \frac{1}{3} \, \, $ putaran
*). Menentukan nilai radian
$ \begin{align} \frac{R}{P \times 360^\circ } & = \frac{\pi}{180^\circ} \\ \frac{R}{P \times 2 } & = \frac{\pi}{1} \\ \frac{R}{\frac{1}{3} \times 2 } & = \pi \\ R & = \frac{2}{3}\pi \, rad \end{align} $
*). Menentukan nilai derajat
$ \begin{align} D & = P \times 360^\circ \\ D & = \frac{1}{3} \times 360^\circ \\ D & = 120^\circ \end{align} $
Jadi, diperoleh : $ \frac{1}{3} \, \, \, \text{putaran} = 120 ^\circ = \, \frac{2}{3}\pi \, rad $

2). Berapa radian sudut yang dibentuk jarum jam pada pukul 11.00?
Penyelesaian :
Sudut yang terbentuk pada pukul 11.00 adalah 30$^\circ \, \, (D = 30^\circ ) $
*). Menentukan nilai radian
$ \begin{align} \frac{R}{D} & = \frac{\pi}{180^\circ} \\ \frac{R}{30^\circ} & = \frac{\pi}{180^\circ} \\ R & = \frac{\pi}{180^\circ} \times 30^\circ \, \, \, rad \\ R & = \frac{1}{6} \pi \, rad \end{align} $
Jadi, besarnya radian yang terbentuka adalah $ \frac{1}{6} \pi \, rad $

3). Jika suatu alat pemancar berputar 60 putaran dalam setiap menit, maka tentukanlah banyak putaran dalam satu detik.?
Penyelesaian :
*). Diketahui
1 menit ada 60 putaran,
1 menit = 60 detik,
*). Menentukan putaran setiap detik :
$\begin{align} \frac{\text{putaran tiap detik}}{\text{putaran tiap menit} } & = \frac{1 \, \text{detik} }{1 \, \text{menit} } \\ \frac{\text{putaran tiap detik}}{\text{putaran tiap menit} } & = \frac{1 \, \text{detik} }{60 \, \text{detik} } \\ \frac{\text{putaran tiap detik}}{\text{60} \, \text{putaran} } & = \frac{1}{60} \\ \text{putaran tiap detik} & = \frac{1}{60} \times 60 \, \text{putaran} \\ \text{putaran tiap detik} & = 1 \, \text{putaran} \end{align} $
Jadi, tiap detik ada 1 putaran

Konsep Dasar Sudut
       Dalam kajian geometris, sudut didefinisikan sebagai hasil rotasi dari sisi awal (initial side) ke sisi akhir (terminal side). Selain itu, arah putaran memiliki makna dalam sudut. Suatu sudut bertanda "positif" jika arah putarannya berlawanan dengan arah putaran jarum jam, dan bertanda "negatif" jika arah putarannya searah dengan jarum jam. Arah putaran untuk membentuk sudut juga dapat diperhatikan pada posisi sisi akhir terhadap sisi awal. Untuk memudahkannya, mari kita cermati deskripsi berikut ini.

*). Sudut standar (baku) adalah sudut sisi awal suatu garis berimpit dengan sumbu X dan sisi terminalnya terletak pada salah satu kuadran pada koordinat kartesius itu.
*). Sudut pembatas kuadran adalah sudut sisi akhir berada pada salah satu sumbu pada koordinat tersebut, yaitu $0^\circ, 90^\circ , 180^\circ , 270^\circ \, $ dan $ 360^\circ $
*). Lambang atau simbol sudut lazimnya digunakan huruf Yunani, seperti, $\alpha $ (alpha), $\beta $ (betha), $\gamma $ (gamma), dan $\theta$ (tetha), dan juga digunakan huruf-huruf kapital, seperti A, B, C, dan D.
*). Sudut-sudut koterminal adalah dua sudut standar, memiliki sisi-sisi akhir (terminal side) yang berimpit . Jika sudut yang dihasilkan sebesar $ \alpha $ (sudut standar), maka sudut $ \beta $ disebut sebagai sudut koterminal, sehingga $ \alpha + \beta = 360^\circ $ .
Contoh :
1). Tentukan besar sudut koterminal dari sudut-sudut berikut :
a). $ A = 60^\circ $
b). $ B = 150^\circ $
C). $ C = 240^\circ $
Penyelesaian :
Misalkan sudut koterminalnya adalah sudut K,
*). Menentukan besarnya sudut K.
a). $ A = 60^\circ $
$ A + K = 360^\circ \rightarrow 60^\circ + K = 360^\circ \rightarrow K = 300^\circ $
b). $ B = 150^\circ $
$ B + K = 360^\circ \rightarrow 150^\circ + K = 360^\circ \rightarrow K = 210^\circ $
c). $ C = 240^\circ $
$ C + K = 360^\circ \rightarrow 240^\circ + K = 360^\circ \rightarrow K = 120^\circ $

2). Gambarkanlah sudut-sudut standar di bawah ini, dan tentukan posisi setiap sudut pada koordinat kartesius.
a) 60$^\circ$ b) -45$^\circ$ c) 120$^\circ$ d) 600$^\circ$
Penyelesaian :


Hubungan Derajat, Menit, dan Detik
       Berikut hubungan derajat, menit, dan detik.
*). $ 1^\circ = 1 \, $ jam
*). $ 1^\circ = 60^\prime = 60 \, $ menit
*). $ 1^\circ = 3600^{\prime \prime} = 3600 \, $ detik

Keterangan :
       $ ^\prime \, $ adalah simbol menit.
       $ ^{\prime \prime} \, $ adalah simbol detik.
Contoh :
1). Ubahlah bentuk derajat berikut dalam bentuk menit dan detik!
a). $ 62,4^\circ $
b). $ 29,23^\circ $
Penyelesaian :
a). $ 62,4^\circ = 62^\circ + 0,4(60^\prime) = 62^\circ + 24^\prime = 62^\circ 24^\prime $
b). $ 29,23^\circ $
$ \begin{align} 29,23^\circ & = 29^\circ + 0,23(60^\prime) = 29^\circ + 13,8^\prime \\ & = 29^\circ + 13^\prime + 0,8(60^{\prime \prime}) \\ & = 29^\circ + 13^\prime + 48^{\prime \prime} \\ & = 29^\circ 13^\prime 48^{\prime \prime} \end{align} $

2). Ubahlah bentuk berikut dalam derajat!
a). $ 78^\circ 30^\prime $
b). $ 58^\circ 22^\prime 16^{\prime \prime} $
Penyelesaian :
a). $ 78^\circ 30^\prime = 78^\circ + \frac{30^\circ}{60} = 78^\circ + 0,5^\circ = 78,5^\circ $
b). $ 58^\circ 22^\prime 16^{\prime \prime} = 58^\circ + \frac{22^\circ}{60} + \frac{16^\circ}{3600} = 58,37111...^\circ = 58,37^\circ $

3). Hitunglah operasi berikut!
a). $ 25^\circ 15^\prime + 62^\circ 56^\prime $
b). $ 35^\circ 55^\prime + 62^\circ 2^\prime 26^{\prime \prime} $
c). $ 63^\circ 55^\prime - 23^\circ 15^\prime $
d). $ 37^\circ 42^\prime - 20^\circ 31^\prime 26^{\prime \prime} $
e). $ 32^\circ 25^\prime - 21^\circ 35^\prime 14^{\prime \prime} $
Penyelesaian :
a). $ 25^\circ 15^\prime + 62^\circ 56^\prime $
$\begin{array}{cc} 25^\circ 15^\prime & \\ 62^\circ 56^\prime & + \\ \hline 87^\circ 71^\prime & \end{array} $
jadi, $ 25^\circ 15^\prime + 62^\circ 56^\prime = 87^\circ 71^\prime = 87^\circ + 60^\prime + 11^\prime = 87^\circ + 1^\circ + 11^\prime = 88^\circ 11^\prime $

b). $ 35^\circ 55^\prime + 62^\circ 2^\prime 26^{\prime \prime} $
$\begin{array}{cc} 35^\circ 55^\prime & \\ 62^\circ 2^\prime 26^{\prime \prime} & + \\ \hline 97^\circ 57^\prime 26^{\prime \prime} & \end{array} $
jadi, $ 35^\circ 55^\prime + 62^\circ 2^\prime 26^{\prime \prime} = 97^\circ 57^\prime 26^{\prime \prime} $

c). $ 63^\circ 55^\prime - 23^\circ 15^\prime $
$\begin{array}{cc} 63^\circ 55^\prime & \\ 23^\circ 15^\prime & - \\ \hline 40^\circ 40^\prime & \end{array} $
jadi, $ 63^\circ 55^\prime - 23^\circ 15^\prime = 40^\circ 40^\prime $

d). $ 37^\circ 42^\prime - 20^\circ 31^\prime 26^{\prime \prime} $
$\begin{array}{cccc} 37^\circ 42^\prime & \rightarrow & 37^\circ 41^\prime 60^{\prime \prime} & \\ 20^\circ 31^\prime 26^{\prime \prime} & \rightarrow & 20^\circ 31^\prime 26^{\prime \prime} & - \\ \hline & & 17^\circ 10^\prime 34^{\prime \prime} & & \end{array} $
jadi, $ 37^\circ 42^\prime - 20^\circ 31^\prime 26^{\prime \prime} = 17^\circ 10^\prime 34^{\prime \prime} $

e). $ 32^\circ 25^\prime - 21^\circ 35^\prime 14^{\prime \prime} $
$\begin{array}{cccccc} 32^\circ 25^\prime & \rightarrow & 32^\circ 24^\prime 60^{\prime \prime} & \rightarrow & 31^\circ 84^\prime 60^{\prime \prime} & \\ 21^\circ 35^\prime 14^{\prime \prime} & \rightarrow & 21^\circ 35^\prime 14^{\prime \prime} & \rightarrow & 21^\circ 35^\prime 14^{\prime \prime} & - \\ \hline & & & & 10^\circ 49^\prime 46^{\prime \prime} & \end{array} $
jadi, $ 32^\circ 25^\prime - 21^\circ 35^\prime 14^{\prime \prime} = 10^\circ 49^\prime 46^{\prime \prime} $