Tampilkan posting dengan label trigonometri. Tampilkan semua posting
Tampilkan posting dengan label trigonometri. Tampilkan semua posting

Sabtu, 11 Februari 2017

Penerapan Rumus Trigonometri pada Soal-soal Bagian 1

         Blog Koma - Setelah mempelajari materi "rumus jumlah dan selisih sudut pada trigonometri" dan materi "rumus hasil kali antara dua bentuk trigonometri" serta rumus trigonometri yang lainnya, pada artikel ini kita akan coba membahas tentang Penerapan Rumus Trigonometri pada Soal-soal Bagian 1. Soal-soal yang melibatkan rumus-rumus trigonometri ini biasanya kita jumpai pada soal UJian Nasional, soal seleksi masuk perguruan tinggi baik negeri maupun swasta seperti SBMPTN, UM UGM, SIMAK UI, dan lain-lainnya. Hal mendasar yang harus kita perhatikan adalah ketelitian baik dalam menggunakan rumusnya atau dalam melakukan penjabaran dan perhitungannya. Langsung saja kita pelajari beberapa contoh soal berikut ini.

1). Tentukan nilai dari bentuk $ \sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ $ ?

Penyelesaian :
Ada tiga cara yang akan kita sajikan dalam menyelesaikan soal nomor 1 :
Cara I :
*). Rumus Dasar yang kita gunakan adalah rumus perkalian fungsi trigonometri :
$ \sin A . \sin B = -\frac{1}{2} [ \cos (A+B) - \cos (A-B)] $
$ \sin A . \cos B = \frac{1}{2} [ \sin (A+B) + \sin (A-B)] $
$ \sin ( 180^\circ - A) = \sin A $
$ \sin 100^\circ = \sin ( 180^\circ - 80^\circ ) = \sin 80^\circ $
*). Menyelesaikan soal :
$ \begin{align} \sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ & = (\sin 20^\circ . \sin 40^\circ ) . \sin 80^\circ \\ & = (\sin 40^\circ . \sin 20^\circ ) . \sin 80^\circ \\ & = \left(-\frac{1}{2} [ \cos (40^\circ + 20^\circ) - \cos (40^\circ - 20^\circ)] \right) . \sin 80^\circ \\ & = \left(-\frac{1}{2} [ \cos 60^\circ - \cos 20^\circ ] \right) . \sin 80^\circ \\ & = \left(-\frac{1}{2} [ \frac{1}{2} - \cos 20^\circ ] \right) . \sin 80^\circ \\ & = \left( - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cos 20^\circ \right) . \sin 80^\circ \\ & = - \frac{1}{4}\sin 80^\circ + \frac{1}{2} \sin 80^\circ . \cos 20^\circ \\ & = - \frac{1}{4}\sin 80^\circ + \frac{1}{2} (\sin 80^\circ . \cos 20^\circ ) \\ & = - \frac{1}{4}\sin 80^\circ + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} [ \sin (80^\circ + 20^\circ ) + \sin (80^\circ - 20^\circ )] \\ & = - \frac{1}{4}\sin 80^\circ + \frac{1}{4} [ \sin 100^\circ + \sin 60^\circ ] \\ & = - \frac{1}{4}\sin 80^\circ + \frac{1}{4} [ \sin 80^\circ + \sin 60^\circ ] \\ & = - \frac{1}{4}\sin 80^\circ + \frac{1}{4} \sin 80^\circ + \frac{1}{4} \sin 60^\circ \\ & = \frac{1}{4} \sin 60^\circ \\ & = \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} \sqrt{3} \\ & = \frac{1}{8} \sqrt{3} \end{align} $
jadi, nilai $ \sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ = \frac{1}{8} \sqrt{3} . \, \heartsuit $.

Cara II :
*). Rumus Dasar yang kita gunakan adalah rumus perkalian fungsi trigonometri :
$ \sin A . \sin B = -\frac{1}{2} [ \cos (A+B) - \cos (A-B)] $
$ \cos A . \sin B = \frac{1}{2} [ \sin (A+B) - \sin (A-B)] $
*). Menyelesaikan soal :
$ \begin{align} \sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ & = \sin 20^\circ . (\sin 40^\circ . \sin 80^\circ ) \\ & = \sin 20^\circ . (\sin 80^\circ . \sin 40^\circ ) \\ & = \sin 20^\circ . \left( -\frac{1}{2} [ \cos (80^\circ + 40^\circ ) - \cos (80^\circ - 40^\circ )]\right) \\ & = \sin 20^\circ . \left( -\frac{1}{2} [ \cos 120^\circ - \cos 40^\circ ]\right) \\ & = \sin 20^\circ . \left( -\frac{1}{2} [ -\frac{1}{2} - \cos 40^\circ ]\right) \\ & = \sin 20^\circ . \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cos 40^\circ \right) \\ & = \frac{1}{4} \sin 20^\circ + \frac{1}{2} \cos 40^\circ \sin 20^\circ \\ & = \frac{1}{4} \sin 20^\circ + \frac{1}{2} ( \cos 40^\circ \sin 20^\circ ) \\ & = \frac{1}{4} \sin 20^\circ + \frac{1}{2} \times ( \frac{1}{2} [ \sin (40^\circ + 20^\circ ) - \sin ( 40^\circ - 20^\circ )] ) \\ & = \frac{1}{4} \sin 20^\circ + ( \frac{1}{4} [ \sin 60^\circ - \sin 20^\circ ] ) \\ & = \frac{1}{4} \sin 20^\circ + ( \frac{1}{4} [ \frac{1}{2}\sqrt{3} - \sin 20^\circ ] ) \\ & = \frac{1}{4} \sin 20^\circ + \frac{1}{8} \sqrt{3} - \frac{1}{4} \sin 20^\circ \\ & = \frac{1}{8} \sqrt{3} \end{align} $
jadi, nilai $ \sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ = \frac{1}{8} \sqrt{3} . \, \heartsuit $.

Cara III :
*). Rumus Dasar yang kita gunakan adalah rumus perkalian fungsi trigonometri :
$ \sin A . \sin B = -\frac{1}{2} [ \cos (A+B) - \cos (A-B)] $
$ \cos A . \sin B = \frac{1}{2} [ \sin (A+B) - \sin (A-B)] $
$ \sin ( 180^\circ - A) = \sin A $
$ \sin 140^\circ = \sin ( 180^\circ - 40^\circ ) = \sin 40^\circ $
*). Menyelesaikan soal :
$ \begin{align} \sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ & = \sin 40^\circ . (\sin 80^\circ . \sin 20^\circ ) \\ & = \sin 40^\circ . (\sin 80^\circ . \sin 20^\circ ) \\ & = \sin 40^\circ . \left( -\frac{1}{2} [ \cos (80^\circ + 20^\circ ) - \cos (80^\circ - 20^\circ )] \right) \\ & = \sin 40^\circ . \left( -\frac{1}{2} [ \cos 100^\circ - \cos 60^\circ ] \right) \\ & = \sin 40^\circ . \left( -\frac{1}{2} [ \cos 100^\circ - \frac{1}{2} ] \right) \\ & = \sin 40^\circ . \left( -\frac{1}{2} \cos 100^\circ + \frac{1}{4} \right) \\ & = -\frac{1}{2} \cos 100^\circ \sin 40^\circ + \frac{1}{4} \sin 40^\circ \\ & = -\frac{1}{2} (\cos 100^\circ \sin 40^\circ ) + \frac{1}{4} \sin 40^\circ \\ & = -\frac{1}{2} \times ( \frac{1}{2} [ \sin (100^\circ + 40^\circ ) - \sin (100^\circ - 40^\circ )] ) + \frac{1}{4} \sin 40^\circ \\ & = ( -\frac{1}{4} [ \sin 140^\circ - \sin 60^\circ ] ) + \frac{1}{4} \sin 40^\circ \\ & = ( -\frac{1}{4} [ \sin 140^\circ - \frac{1}{2}\sqrt{3} ] ) + \frac{1}{4} \sin 40^\circ \\ & = -\frac{1}{4} \sin 140^\circ + \frac{1}{8}\sqrt{3} + \frac{1}{4} \sin 40^\circ \\ & = -\frac{1}{4} \sin 40^\circ + \frac{1}{8}\sqrt{3} + \frac{1}{4} \sin 40^\circ \\ & = \frac{1}{8} \sqrt{3} \end{align} $
jadi, nilai $ \sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ = \frac{1}{8} \sqrt{3} . \, \heartsuit $.

2). Tentukan nilai dari bentuk $ \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ $ ?

Penyelesaian :
Ada empat cara yang akan kita sajikan dalam menyelesaikan soal nomor 2 :
Cara I :
*). Rumus Dasar yang kita gunakan adalah rumus perkalian fungsi trigonometri :
$ \cos A . \cos B = \frac{1}{2} [ \cos (A+B) + \cos (A-B)] $
$ \cos ( 180^\circ - A) = -\cos A $
$ \cos 100^\circ = \cos ( 180^\circ - 80^\circ ) = -\cos 80^\circ $
*). Menyelesaikan soal :
$ \begin{align} \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ & = (\cos 20^\circ \cos 40^\circ ) \cos 80^\circ \\ & = (\cos 40^\circ \cos 20^\circ ) \cos 80^\circ \\ & = \left( \frac{1}{2} [ \cos (40^\circ + 20^\circ ) + \cos (40^\circ - 20^\circ )] \right) \cos 80^\circ \\ & = \left( \frac{1}{2} [ \cos 60^\circ + \cos 20^\circ ] \right) \cos 80^\circ \\ & = \left( \frac{1}{2} [ \frac{1}{2} + \cos 20^\circ ] \right) \cos 80^\circ \\ & = \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cos 20^\circ \right) \cos 80^\circ \\ & = \frac{1}{4} \cos 80^\circ + \frac{1}{2} \cos 80^\circ \cos 20^\circ \\ & = \frac{1}{4} \cos 80^\circ + \frac{1}{2} ( \cos 80^\circ \cos 20^\circ ) \\ & = \frac{1}{4} \cos 80^\circ + \frac{1}{2} \times ( \frac{1}{2} [ \cos (80^\circ + 20^\circ ) + \cos (80^\circ - 20^\circ )] ) \\ & = \frac{1}{4} \cos 80^\circ + ( \frac{1}{4} [ \cos 100^\circ + \cos 60^\circ ] ) \\ & = \frac{1}{4} \cos 80^\circ + ( \frac{1}{4} [ -\cos 80^\circ + \frac{1}{2} ] ) \\ & = \frac{1}{4} \cos 80^\circ -\frac{1}{4} \cos 80^\circ + \frac{1}{8} \\ & = \frac{1}{8} \end{align} $
jadi, nilai $ \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ = \frac{1}{8} . \, \heartsuit $.

Cara II :
*). Rumus Dasar yang kita gunakan adalah rumus perkalian fungsi trigonometri :
$ \cos A . \cos B = \frac{1}{2} [ \cos (A+B) + \cos (A-B)] $
$ \cos ( 180^\circ - A) = -\cos A $
$ \cos 140^\circ = \cos ( 180^\circ - 40^\circ ) = -\cos 40^\circ $
*). Menyelesaikan soal :
$ \begin{align} \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ & = (\cos 80^\circ \cos 20^\circ ) \cos 40^\circ \\ & = (\cos 80^\circ \cos 20^\circ ) \cos 40^\circ \\ & = \left( \frac{1}{2} [ \cos (80^\circ + 20^\circ ) + \cos (80^\circ - 20^\circ )] \right) \cos 40^\circ \\ & = \left( \frac{1}{2} [ \cos 100^\circ + \cos 60^\circ ] \right) \cos 40^\circ \\ & = \left( \frac{1}{2} [ \cos 100^\circ + \frac{1}{2} ] \right) \cos 40^\circ \\ & = \left( \frac{1}{2} \cos 100^\circ + \frac{1}{4} \right) \cos 40^\circ \\ & = \frac{1}{4} \cos 40^\circ + \frac{1}{2} \cos 100^\circ \cos 40^\circ \\ & = \frac{1}{4} \cos 40^\circ + \frac{1}{2} ( \cos 100^\circ \cos 40^\circ ) \\ & = \frac{1}{4} \cos 40^\circ + \frac{1}{2} \times ( \frac{1}{2} [ \cos (100^\circ + 40^\circ ) + \cos (100^\circ - 40^\circ )] ) \\ & = \frac{1}{4} \cos 40^\circ + ( \frac{1}{4} [ \cos 140^\circ + \cos 60^\circ ] ) \\ & = \frac{1}{4} \cos 40^\circ + ( \frac{1}{4} [ -\cos 40^\circ + \frac{1}{2} ] ) \\ & = \frac{1}{4} \cos 40^\circ -\frac{1}{4} \cos 40^\circ + \frac{1}{8} \\ & = \frac{1}{8} \end{align} $
jadi, nilai $ \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ = \frac{1}{8} . \, \heartsuit $.

Cara III :
*). Rumus Dasar yang kita gunakan adalah rumus perkalian fungsi trigonometri :
$ \cos A . \cos B = \frac{1}{2} [ \cos (A+B) + \cos (A-B)] $
*). Menyelesaikan soal :
$ \begin{align} \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ & = (\cos 80^\circ \cos 40^\circ ) \cos 20^\circ \\ & = \left( \frac{1}{2} [ \cos (80^\circ + 40^\circ ) + \cos (80^\circ - 40^\circ )] \right) \cos 20^\circ \\ & = \left( \frac{1}{2} [ \cos 120^\circ + \cos 40^\circ ] \right) \cos 20^\circ \\ & = \left( \frac{1}{2} [ -\frac{1}{2} + \cos 40^\circ ] \right) \cos 20^\circ \\ & = \left( -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cos 40^\circ \right) \cos 20^\circ \\ & = - \frac{1}{4} \cos 20^\circ + \frac{1}{2} \cos 40^\circ \cos 20^\circ \\ & = - \frac{1}{4} \cos 20^\circ + \frac{1}{2} ( \cos 40^\circ \cos 20^\circ ) \\ & = - \frac{1}{4} \cos 20^\circ + \frac{1}{2} \times ( \frac{1}{2} [ \cos (40^\circ + 20^\circ ) + \cos (40^\circ - 20^\circ )] ) \\ & = - \frac{1}{4} \cos 20^\circ + ( \frac{1}{4} [ \cos 60^\circ + \cos 20^\circ ] ) \\ & = - \frac{1}{4} \cos 20^\circ + ( \frac{1}{4} [ \frac{1}{2} + \cos 20^\circ ] ) \\ & = - \frac{1}{4} \cos 20^\circ + \frac{1}{8} + \frac{1}{4} \cos 20^\circ \\ & = \frac{1}{8} \end{align} $
jadi, nilai $ \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ = \frac{1}{8} . \, \heartsuit $.

Cara IV :
*). Rumus Dasar yang kita gunakan adalah "Rumus Trigonometri untuk Sudut Ganda" :
$ \sin 2A = 2\sin A \cos A \rightarrow \sin A \cos A = \frac{1}{2} \sin 2A $
Rumus Lain :
$ \sin (180^\circ - A) = \sin A $
$ \sin 160^\circ = \sin (180^\circ - 20^\circ ) = \sin 20^\circ $
*). Menyelesaikan soal ,
Kita misalkan hasilnya $ P $ atau $ \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ = P $ :
$ \begin{align} P & = \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ \, \, \, \, \text{(kali } \sin 20^\circ ) \\ P . \sin 20^\circ & = \sin 20^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ \\ & = (\sin 20^\circ \cos 20^\circ ) \cos 40^\circ \cos 80^\circ \\ & = ( \frac{1}{2}\sin 40^\circ ) \cos 40^\circ \cos 80^\circ \\ & = \frac{1}{2}\sin 40^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ \\ & = \frac{1}{2} ( \sin 40^\circ \cos 40^\circ ) \cos 80^\circ \\ & = \frac{1}{2} \times ( \frac{1}{2} \sin 80^\circ ) \cos 80^\circ \\ & = \frac{1}{4} \sin 80^\circ \cos 80^\circ \\ & = \frac{1}{4} ( \sin 80^\circ \cos 80^\circ ) \\ & = \frac{1}{4} \times ( \frac{1}{2} \sin 160^\circ ) \\ P . \sin 20^\circ & = \frac{1}{8} \sin 20^\circ \, \, \, \, \text{(bagi } \sin 20^\circ ) \\ P & = \frac{1}{8} \end{align} $
jadi, nilai $ \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ = P = \frac{1}{8} . \, \heartsuit $.

3). Tentukan nilai dari $ \cos 40^\circ + \cos 80^\circ + \cos 160^\circ $ ?
(Soal UN Matematika IPA tahun 2007)

Penyelesaian :
Soal ini bisa diselesaikan dengan berbagai cara, diantaranya :
Cara I :
*). Rumus dasar yang digunakan :
$ \cos A + \cos B = 2\cos \frac{(A+B)}{2} \cos \frac{(A-B)}{2} $
$ \cos (180^\circ - A ) = - \cos A $
Nilai $ \cos 160^\circ = \cos (180^\circ - 20^\circ ) = - \cos 20^\circ $
*). Menyelesaikan soal :
$ \begin{align} \cos 40^\circ + \cos 80^\circ + \cos 160^\circ & = ( \cos 80^\circ + \cos 40^\circ ) + \cos 160^\circ \\ & = ( 2\cos \frac{(80^\circ + 40^\circ )}{2} \cos \frac{(80^\circ - 40^\circ )}{2} ) + \cos 160^\circ \\ & = ( 2\cos \frac{(120^\circ )}{2} \cos \frac{(40^\circ )}{2} ) + (- \cos 20^\circ ) \\ & = ( 2\cos 60^\circ \cos 20^\circ ) - \cos 20^\circ \\ & = 2 . \frac{1}{2} \cos 20^\circ - \cos 20^\circ \\ & = \cos 20^\circ - \cos 20^\circ \\ & = 0 \end{align} $
jadi, nilai $ \cos 40^\circ + \cos 80^\circ + \cos 160^\circ = 0 . \, \heartsuit $.

Cara II :
*). Rumus dasar yang digunakan :
$ \cos A + \cos B = 2\cos \frac{(A+B)}{2} \cos \frac{(A-B)}{2} $
*). Menyelesaikan soal :
$ \begin{align} \cos 40^\circ + \cos 80^\circ + \cos 160^\circ & = ( \cos 160^\circ + \cos 80^\circ ) + \cos 40^\circ \\ & = ( 2\cos \frac{(160^\circ + 80^\circ )}{2} \cos \frac{(160^\circ - 80^\circ )}{2} ) + \cos 40^\circ \\ & = ( 2\cos \frac{(240^\circ )}{2} \cos \frac{(80^\circ )}{2} ) + \cos 40^\circ \\ & = ( 2\cos 120^\circ \cos 40^\circ ) + \cos 40^\circ \\ & = 2 . -\frac{1}{2} \cos 40^\circ + \cos 40^\circ \\ & = - \cos 40^\circ + \cos 40^\circ \\ & = 0 \end{align} $
jadi, nilai $ \cos 40^\circ + \cos 80^\circ + \cos 160^\circ = 0 . \, \heartsuit $.

Cara III :
*). Rumus dasar yang digunakan :
$ \cos A + \cos B = 2\cos \frac{(A+B)}{2} \cos \frac{(A-B)}{2} $
*). Menyelesaikan soal :
$ \begin{align} \cos 40^\circ + \cos 80^\circ + \cos 160^\circ & = ( \cos 160^\circ + \cos 40^\circ ) + \cos 80^\circ \\ & = ( 2\cos \frac{(160^\circ + 40^\circ )}{2} \cos \frac{(160^\circ - 40^\circ )}{2} ) + \cos 80^\circ \\ & = ( 2\cos \frac{(200^\circ )}{2} \cos \frac{(120^\circ )}{2} ) + \cos 80^\circ \\ & = ( 2\cos 100^\circ \cos 60^\circ ) + \cos 80^\circ \\ & = 2 . \cos 100^\circ . \frac{1}{2} + \cos 80^\circ \\ & = \cos 100^\circ + \cos 80^\circ \\ & = 2\cos \frac{(100^\circ + 80^\circ )}{2} \cos \frac{(100^\circ - 80^\circ )}{2} \\ & = 2\cos \frac{180^\circ }{2} \cos \frac{20^\circ }{2} \\ & = 2\cos 90^\circ \cos 10^\circ \\ & = 2 \times 0 \times \cos 10^\circ \\ & = 0 \end{align} $
jadi, nilai $ \cos 40^\circ + \cos 80^\circ + \cos 160^\circ = 0 . \, \heartsuit $.

4). Tentukan nilai dari $ \csc 10^\circ - \sqrt{3} \sec 10^\circ $?
(soal SIMAK UI tahun 2013 Matematika IPA kode 133)

Penyelesaian :
*). Rumus dasar yang digunakan :
i). Sudut Rangkap :
$ \sin 2A = 2\sin A \cos A \rightarrow \sin A \cos A = \frac{1}{2} \sin 2A $.
ii). Selilisih sudut : $ \sin (A - B ) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $.
iii). Rumus lain :
$ \csc A = \frac{1}{\sin A} \, $ dan $ \sec A = \frac{1}{\cos A } $.
*). Menyelesaikan soal :
$ \begin{align} \csc 10^\circ - \sqrt{3} \sec 10^\circ & = \frac{1}{\sin 10^\circ } - \frac{\sqrt{3} }{\cos 10^\circ } \\ & = \frac{1}{\sin 10^\circ } - \frac{\sqrt{3} }{\cos 10^\circ } \\ & = \frac{\cos 10^\circ }{\sin 10^\circ \cos 10^\circ } - \frac{\sqrt{3} \sin 10^\circ }{\sin 10^\circ \cos 10^\circ } \\ & = \frac{\cos 10^\circ - \sqrt{3} \sin 10^\circ }{\sin 10^\circ \cos 10^\circ } \, \, \, \, \, \, \text{(modifikasi)} \\ & = \frac{ 2 \times ( \frac{1}{2} . \cos 10^\circ - \frac{1}{2} \sqrt{3} . \sin 10^\circ ) }{\sin 10^\circ \cos 10^\circ } \\ & = \frac{ 2 \times ( \sin 30^\circ . \cos 10^\circ - \cos 30^\circ . \sin 10^\circ ) }{\frac{1}{2} . \sin 2 \times 10^\circ } \\ & = \frac{ 2 \sin ( 30^\circ - 10^\circ ) }{\frac{1}{2} . \sin 20^\circ } \\ & = \frac{ 4 \sin ( 20^\circ ) }{ \sin 20^\circ } \\ & = 4 \end{align} $
Jadi, nilai dari $ \csc 10^\circ - \sqrt{3} \sec 10^\circ = 4 . \, \heartsuit $.

       Demikian pembahasan materi Penerapan Rumus Trigonometri pada Soal-soal Bagian 1 dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan trigonometri.

Selasa, 18 Oktober 2016

Pembahasan Soal Trigonometri 1

         Blog Koma - Pada artikel kali ini kita akan membahas Pembahasan Soal Trigonometri 1. Soal Trigonometri ada banyak sekali, dan tentu tidak bagi kita untuk menyelesaikan soal-soalnya karena begitu banyaknya rumus yang dilibatkan. Salah satu soal trigonometri yang akan kita bahas berikut ini. Tentu untuk memudahkan dalam mempelajarinya, teman-teman harus menguasai materi trigonometri diantaranya "perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku" yang didalamnya juga ada identitas trigonometri, dan "Rumus Trigonometri untuk Sudut Ganda ".

Soal Trigonometri 1
Diketahui nilai trigonometri $ \frac{\sin x}{\sin y} = 3 \, $ dan $ \, \frac{\cos x}{\cos y} =\frac{1}{2} $. Tentukan nilai dari $ \frac{\sin 2x}{\sin 2y} + \frac{\cos 2x }{\cos 2y} \, $ adalah ....

       Untuk menyelesaikan soal trigonometri 1 ini, kita akan menggunakan beberapa konsep trigonometri berikut ini.

Konsep Trigonometri yang digunakan
*). Perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku :
$ \sin A = \frac{de}{mi} \, $ dan $ \, \cos A = \frac{sa}{mi} $
*). Identitas trigonometri :
$ \sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 \, $ atau $ \, \cos ^2 A = 1 - \sin ^2 A $
*). Sudut Rangkap :
$ \sin 2A = 2\sin A \cos A $
$ \cos 2A = 1 - 2\sin ^2 A $

Pembahasannya :
*). Pertama kita tentukan nilai $ \frac{\sin 2x}{\sin 2y} $ :
Kalikan bentuk $ \frac{\sin x}{\sin y} = 3 \, $ dan $ \, \frac{\cos x}{\cos y} =\frac{1}{2} $
Dan gunakan : $ \sin 2x = 2\sin x \cos x \, $ dan $ \, \sin 2y = 2\sin y \cos y $
$\begin{align} \frac{\sin x}{\sin y} \times \frac{\cos x}{\cos y} & = 3 \times \frac{1}{2} \\ \frac{\sin x \cos x}{\sin y \cos y} & = \frac{3}{2} \\ \frac{2\sin x \cos x}{2\sin y \cos y} & = \frac{3}{2} \\ \frac{\sin 2 x }{\sin 2y } & = \frac{3}{2} \end{align} $

*). Menentukan bentuk $ \sin ^2 x \, $ dan $ \cos ^2 x $ :
$ \frac{\sin x}{\sin y} = 3 \rightarrow \sin x = 3\sin y \, $ atau
$ \sin x = \frac{3\sin y}{1} = \frac{de}{mi} $
Sehingga panjang sampingnya $(sa) $ :
$ sa = \sqrt{(mi)^2 - (de)^2} = \sqrt{1^2 - (3\sin y)^2} = \sqrt{1 - 9\sin ^2 y } $
gambar segitiganya :
Sehingga nilai $ \cos x $ :
$ \cos x = \frac{sa}{mi} = \frac{\sqrt{1 - 9\sin ^2 y }}{1} = \sqrt{1 - 9\sin ^2 y } $
Kita peroleh :
$ \sin x = 3\sin y \rightarrow \sin ^2 x = 9\sin ^2 y $
$ \cos x = \sqrt{1 - 9\sin ^2 y } \rightarrow \cos ^2 x = 1 - 9\sin ^2 y $

*). Menentukan nilai $ \sin ^2 y \, $ dan $ \sin ^2 x $ :
$ \begin{align} \frac{\cos x}{\cos y} & =\frac{1}{2} \\ \cos y & = 2 \cos x \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ \cos ^2 y & = 4 \cos ^2 x \\ \cos ^2 y & = 4 (1 - 9\sin ^2 y) \, \, \, \, \, \, \text{(identitas)} \\ 1 - \sin ^2 y & = 4 - 36\sin ^2 y \\ 35 \sin ^2 y & = 3 \\ \sin ^2 y & = \frac{3}{35} \end{align} $
Sehingga nilai $ \sin ^2 x $
$ \sin ^2 x = 9\sin ^2 y = 9 \times \frac{3}{35} = \frac{27}{35} $

*). Menentukan nilai $ \frac{\cos 2x }{\cos 2 y} \, $ dengan sudut rangkap :
$ \begin{align} \frac{\cos 2x }{\cos 2 y} & = \frac{1 - 2\sin ^2 x}{1 - 2\sin ^2 y} \\ & = \frac{1 - 2 \times \frac{27}{35} }{1 - 2 \times \frac{3}{35} } \\ & = \frac{1 - \frac{54}{35} }{1 - \frac{6}{35} } \\ & = \frac{1 - \frac{54}{35} }{1 - \frac{6}{35} } \times \frac{35}{35} \\ & = \frac{35 - 54 }{ 35 - 6 } \\ & = \frac{-9}{ 29} \end{align} $

*). Menentukan hasil akhir :
$ \begin{align} \frac{\sin 2x}{\sin 2y} + \frac{\cos 2x }{\cos 2y} & = \frac{3}{2} + \frac{-9}{ 29} \\ & = \frac{3 \times 29}{2 \times 29} + \frac{-9 \times 2}{ 29 \times 2 } \\ & = \frac{87}{58} + \frac{-18}{ 58 } \\ & = \frac{87 - 18}{58} \\ & = \frac{69}{58} \end{align} $

Jadi, nilai $ \begin{align} \frac{\sin 2x}{\sin 2y} + \frac{\cos 2x }{\cos 2y} = \frac{69}{58} \end{align} $ .

Catatan :
Sebenarnya untuk menentukan bentuk $\sin ^2 x \, $ dan $ \cos ^2 x \, $ bisa juga tanpa menggunakan perbandingan segitiga siku-siku seperti di atas, yaitu cukup menggunakan identitas trigonometri saja.
Diketahui : $ \sin x = 3\sin y \rightarrow \sin ^2 x = 9\sin ^2 y $
$ \cos ^2 x = 1 - \sin ^2 x = 1 - 9\sin ^2 y $
Bentuk $ \cos ^2 x = 1 - 9\sin ^2 y \, $ sama dengan hasil cara di atas sebelumnya, namun cara ini lebih sederhana.

         Demikian Pembahasan Soal Trigonometri 1. Jika teman-teman memiliki pertanyaan tentang trigonometri, silahkan share di blog koma ini, kita akan bahas bersama-sama. Terima kasih, semoga pembahasan soal trigonometri ini bermanfaat.

Senin, 16 November 2015

Grafik Fungsi Trigonometri

         Blog Koma - Fungsi trigonometri merupakan suatu fungsi yang melibatkan bentuk trigonometri, misalkan fungsi sinus, cosinus, tan, sec, csc, dan fungsi cotangen. Artikel kali ini kita akan membahas Grafik Fungsi Trigonometri, yang artinya penekanan ada pada grafiknya. Selain grafik, kita juga akan membahas nilai maksimum atau minimum suatu fungsi trigonometri dengan memanfaatkan bentuk grafik fungsi trigonometri masing-masing dan rumus-rumus dasar yang ada pada trigonometri.

Pengertian Fungsi Periodik
       Fungsi periodik adalah suatu fungsi yang grafiknya berulang secara terus-menerus dalam setiap periode tertentu. Suatu fungsi $ f(x) \, $ disebut fungsi periodik dengan periode $ p \, $ , jika memenuhi $ f(x + p ) = f(x) $.
Contoh :
1). Perhatikan grafik fungsi $ f(x) \, $ berikut.
a). Apakah fungsi $ f(x) \, $ merupakan fungsi periodik?
b). Jika $ f(x) \, $ merupakan fungsi periodik, tentukan periodenya?
Penyelesaian :
a). Pada gambar di atas, terlihat jelas bahwa fungsi $ f(x) \, $ adalah fungsi periodik karena grafiknya selalu berulang.
b). Perhatikan titik puncak A dan B, dimana titik puncak B adalah pengulangan kembali titik puncak A, ini artinya fungsi $ f(x) \, $ mengalami pengulangan setiap jaraknya sama dengan dari titik A ke titik B. Dimana jarak titik A dan B adalah 2, sehingga periode fungsi tersebut adalah 2, atau memenuhi $ f(x + 2 ) = f(x) $.

Grafik Baku fungsi trigonometri
       Fungsi trigonometri merupakan fungsi periodik. Grafi baku fungsi trigonometri merupakan grafik paling sederhana pada fungsi trigonometri, yaitu untuk fungsi $ f(x) = \sin x , \, f(x) = \cos x , \, $ dan $ f(x) = \tan x $. Salah satu hal penting yang harus kita ketahui dalam grafik fungsi trigonometri adalah periode dan amplitudo.
Periode adalah jarak terjadinya pengulangan grafik fungsi trigonometri dari titik acuan awal ke titik pengulangan yang pertama. Satu periode pada fungsi trigonometri khususnya fungsi $ y = \sin x \, $ dan $ \cos x \, $ biasanya terdiri dari satu lembah dan satu bukit.
Amplitudo adalah simpangan terjauh titik pada suatu grafik fungsi trigonometri terhadap garis horizontalnya (misalkan sumbu X).

Berikut grafik baku dari ketiga fungsi trigonometri :
*). Garfik fungsi $ y = \sin x $
*). Garfik fungsi $ y = \cos x $
*). Garfik fungsi $ y = \tan x $

Grafik Fungsi non standar (tidak baku) fungsi trigonometri
       Grafik fungsi non standar maksudnya adalah grafik fungsi trigonometri yang lebih kompleks. Bentuk fungsi yang lebih kompleks adalah :
*). $ f(x) = a \sin k(x \pm b) \pm c \, \rightarrow \text{ periode } = \frac{2\pi}{k} , \, \text{amplitudo } = |a| $
*). $ f(x) = a \cos k(x \pm b) \pm c \, \rightarrow \text{ periode } = \frac{2\pi}{k}, \, \text{amplitudo } = |a| $
*). $ f(x) = a \tan k(x \pm b) \pm c \, \rightarrow \text{ periode } = \frac{\pi}{k} $
dengan nilai $ \pi = 180^\circ $

Langkah-langkah dalam membuat grafik fungsi trigonometri yang lebih kompleks :
1). Gambar grafik baku fungsi $ f(x) = \sin x , \, f(x) = \cos x , \, $ dan $ f(x) = \tan x $ .

2). Gambar grafik fungsi $ f(x) = a\sin x , \, f(x) = a\cos x , \, $ dan $ f(x) = a\tan x $ , dengan mengubah amplitudonya menjadi sebesar $ a \, $ . Jika nilai $ a \, $ negatif, maka cerminkan grafik baku terhadap sumbu X.

3). Ubah periode fungsi sesuai rumus besar periode masing-masing sehingga diperoleh grafik fungsi $ f(x) = a\sin kx , \, f(x) = a\cos kx , \, $ dan $ f(x) = a\tan kx $

4). Gambar grafik fungsi $ f(x) = a\sin k(x \pm b) , \, f(x) = a\cos (x \pm b) , \, $ dan $ f(x) = a\tan (x \pm b) \, $ dengan cara menggeser grafik nomor 3 di atas sejauh $ b^\circ $. Jika tandanya positif ($ x + b$) maka geser kekiri sejauh $ b \, $ dan jika tandanya negatif ($ x - b$) maka geser kekana sejauh $ b $ .

5). Gambar grafik fungsi $ f(x) = a\sin k(x \pm b) \pm c , \, f(x) = a\cos (x \pm b) \pm c , \, $ dan $ f(x) = a\tan (x \pm b) \pm c \, $ dengan cara menggeser grafik nomor 4 di atas sejauh $ c \, $ . Jika tandanya positif ($ + c $ ) maka geser ke atas sejauh $ c \, $ dan jika tandanya negatif ($ - c $) maka geser ke bawah sejauh $ c $ .
Contoh :
2). Gambarlah grafik fungsi trigonometri $ f(x) = 2 \sin 2(x - 45^\circ ) $ ?
Penyelesaian :
Langkah-langkah menggambar grafiknya :
1). Gambar grafik baku fungsi $ f(x) = \sin x $
2). Gambar grafik fungsi $ f(x) = 2 \sin x \, $ dengan amplitudo $ a = 2 $
3). Gambar grafik fungsi $ f(x) = 2 \sin 2 x \, $ dengan periode : $ p = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{2} = \pi $
4). Gambar gafik fungsi $ f(x) = 2 \sin 2(x - 45^\circ ) \, $ dengan $ b = 45^\circ \, $ artinya grafik $ f(x) = 2 \sin 2 x \, $ digeser ke kanan karena bentuknya negatif sejauh $ 45^\circ $.
Ingat : $ \pi = 180^\circ $

3). Gambarlah grafik fungsi trigonometri $ f(x) = -3 \cos 2(x - 45^\circ ) + 1 $ ?
Penyelesaian :
Langkah-langkah menggambar grafiknya :
1). Gambar grafik baku fungsi $ f(x) = \cos x $
2). Gambar grafik fungsi $ f(x) = -3 \cos x \, $ dengan amplitudo $ a = -3 \, $ karena nilai amplitudonya negatif, maka grafik $ y = \cos x \, $ dicerminkan terhadap sumbu X.

3). Gambar grafik fungsi $ f(x) = -3 \cos 2 x \, $ dengan periode : $ p = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{2} = \pi $
4). Gambar gafik fungsi $ f(x) = -3 \cos 2(x - 45^\circ ) \, $ dengan $ b = 45^\circ \, $ artinya grafik $ f(x) = -3 \cos 2 x \, $ digeser ke kanan karena bentuknya negatif sejauh $ 45^\circ $ .
5). Gambar gafik fungsi $ f(x) = -3 \cos 2(x - 45^\circ ) + 1 \, $ dengan $ c = 1 \, $ artinya grafik $ f(x) = -3 \cos 2(x - 45^\circ ) \, $ di geser ke atas sejauh $ c = 1 \, $ satuan karena nilai $ c \, $ positif.
Ingat : $ \pi =180^\circ $

Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Trigonometri
       Untuk fungsi sin dan cos, cara menentukan nilai maksimum dan minimumnya adalah sama. Sementara untuk fungsi tan memiliki nilai maksimum tak hingga ($ \infty$)dan nilai minimum negatif tak hingga ($- \infty$). Sebenarnya untuk menentukan nilai maksimum dan minimum suatu fungsi trigonometri dapat menggunakan metode grafik, maksudnya kita gambar dulu grafiknya, titik puncak pada bukit adalah nilai maksimumnya dan titik terendah pada lembahnya adalah nilai minimum. Hanya saja akan butuh waktu yang lama jika kita harus menggambar grafiknya terlebih dahulu. Kali ini kita akan menentukan nilai maksimum dan minimumnya dengan rumus.

Misalkan fungsi $ f(x) = a\sin g(x) + c \, $ dan $ f(x) = a \cos g(x) + c \, $ ,
Nilai maksimum $ = |a| + c $
Nilai Minimum $ = -|a| + c $

Nilai maksimum dan minimumnya dapat digunakan untuk menentukan nilai amplitudonya. Amplitudo = $ \frac{1}{2} $ (nilai maksimum $ - \, $ nilai minimum )
Contoh :
4). Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi-fungsi trigonometri berikut:
a). $ f(x) = 3 \sin 2x + 5 $
b). $ f(x) = -2 \cos 3(x + 98^\circ ) - 7 $
c). $ f(x) = 5 \cos 3(x + 134^\circ ) $
Penyelesaian :
a). Bentuk $ f(x) = 3 \sin 2x + 5 \rightarrow a = 3, \, c = 5 $
Nilai maksimum $ = |a| + c = |3| + 5 = 3 + 5 = 8 $
Nilai Minimum $ = -|a| + c = -|3| + 5 = -3 + 5 = 2 $

b). Bentuk $ f(x) = -2 \cos 3(x + 98^\circ ) - 7 \rightarrow a = -2, \, c = -7 $
Nilai maksimum $ = |a| + c = |-2| + (-7) = 2 -7 = -5 $
Nilai Minimum $ = -|a| + c = -|-2| + (-7) = -2 - 7 = -9 $

c). Bentuk $ f(x) = 5 \cos 3(x + 134^\circ ) \rightarrow a = 5, \, c = 0 $
Nilai maksimum $ = |a| + c = |5| + 0 = 5 + 0 = 5 $
Nilai Minimum $ = -|a| + c = -|5| + 0 = -5 + 0 = -5 $

Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Trigonometri dalam bentuk fungsi kuadrat
       dari nilai maksimum fungsi trigonometri di atas, dapat disimpulkan rentang nilai $ \sin g(x) \, $ dan $ \cos g(x) \, $ adalah $ -1 \leq \sin g(x) \leq 1 \, $ dan $ -1 \leq \cos g(x) \leq 1 \, $ .
Misalkan ada bentuk fungsi kuadrat : $ f(x) = ax^2 + bx + c \, $ ,
Jika nilai $ a > 0 , \, $ maka diperoleh nilai minimum pada saat $ x = \frac{-b}{2a} $
Jika nilai $ a < 0 , \, $ maka diperoleh nilai maksimum pada saat $ x = \frac{-b}{2a} $

Pada fungsi trigonometri, bentuk $ f(x) = ax^2 + bx + c \, $ , variabel $ x \, $ diganti dengan sin, atau cos, atau tan (misal : $ f(x) = a\sin ^2 x + b \sin x + c $ ).

Nilai maksimum atau nilai minimum fungsi trigonometri bentuk fungsi kuadrat :
i). Menggunakan nilai maksimum atau minimum fungsi kuadrat ($ x = \frac{-b}{2a} $) .
Metode ini digunakan untuk kasus :
*). Pertanyaan sesuai nilai $ a \, $ ( jika $ a > 0 \, $ yang ditanya nilai minimum, jika $ a < 0 \, $ yang ditanya nilai maksimum), dan
*). Nilai sin dan cosnya ada pada interval $ -1 \leq \sin g(x) \leq 1 \, $ dan $ -1 \leq \cos g(x) \leq 1 \, $ .

ii). Menggunakan metode kuadrat sempurna. Metode ini digunakan jika tidak memenuhi kondisi i).
Bentuk Kuadrat sempurna :
$ x^2 + bx = (x+\frac{1}{2}b)^2 - (\frac{1}{2}b)^2 \, $ dan $ x^2 - bx = (x - \frac{1}{2}b)^2 - (\frac{1}{2}b)^2 \, $
artinya bentuk fungsi awal dan bentuk kuadrat sempurnanya tetap bernilai sama.
Contoh :
5). Tentukan nilai maksimum dari fungsi trigonometri $ f(x) = -\sin ^2 x + 2\sin x + 3 \, $ ?
Penyelesaian :
*). Fungsinya : $ f(x) = -\sin ^2 x + 2\sin x + 3 \rightarrow f(x) = -(\sin x ) ^2 + 2\sin x + 3 $
artinya nilai $ a = -1 , \, b = 2, \, c = 3 $
Karena nilai $ a < 0 \, $ maka yang ditanyakan adalah nilai maksimum, sesuai dengan syarat i).
*). Nilai $ \sin x = \frac{-b}{2a} = \frac{-2}{2.(-1)} = 1 $
Interval nilai sin memenuhi interval $ -1 \leq \sin g(x) \leq 1 $
Artinya fungsi $ f(x) = -\sin ^2 x + 2\sin x + 3 \, $ maksimum pada saat nilai $ \sin x = 1 $
*). Nilai maksimumnya : Substitusi nilai $ \sin x = 1 $
$ \begin{align} f_{maks} = -(\sin x ) ^2 + 2\sin x + 3 = -(1 ) ^2 + 2. 1 + 3 = -1 + 2 + 3 = 4 \end{align} $
Jadi, nilai maksimum fungsinya adalah 4.

6). Nilai minimum dari $ f(x) = \cos ^2 x - \sqrt{3} \cos x + \frac{3}{2} \, $ diperoleh pada saat $ x = .... $ ?
Penyelesaian :
*). Dari fungsi : $ f(x) = \cos ^2 x - \sqrt{3} \cos x + \frac{3}{2} \rightarrow a = -1, b = -\sqrt{3}, c = \frac{3}{2} $
Nilai $ a > 0 \, $ , artinya yang ditanyakan adalah nilai minimum, sesuai dengan pertanyaan dan sesuai dengan syart i).
*). Nilai $ \cos x = \frac{-b}{2a} = \frac{-(- \sqrt{3})}{2.1} = \frac{1}{2}\sqrt{3} $
Interval nilai cos memenuhi interval $ -1 \leq \cos g(x) \leq 1 $
Artinya fungsi $ f(x) = \cos ^2 x - \sqrt{3} \cos x + \frac{3}{2} \, $ minimum pada saat nilai $ \cos x = \frac{1}{2}\sqrt{3} $
*). Menentukan besar sudutnya.
$ \begin{align} \cos x = \frac{1}{2}\sqrt{3} \rightarrow x = 30^\circ \end{align} $
Jadi, nilai minimum fungsinya diperoleh pada saat $ x = 30^\circ $ .

7). Tentukan bentuk kuadrat sempurna dari :
a). $ f(x) = x^2 - 4x + 5 $
b). $ f(x) = 2x^2 + 6x - 2 $
c). $ f(x) = -x^2 + 8x + 3 $
d). $ f(x) = \sin ^2 x + 2 \sin x + 9 $
e). $ f(x) = 3\cos ^2 x - 6 \cos x - 1 $
Penyelesaian :
a). Bentuk $ f(x) = x^2 - 4x + 5 $
$ \begin{align} f(x) & = x^2 - 4x + 5 \\ & = (x - \frac{1}{2}. 4)^2 - (\frac{1}{2}.4)^2 + 5 \\ & = (x - 2)^2 - (2)^2 + 5 \\ & = (x - 2)^2 - 4 + 5 \\ f(x) & = (x - 2)^2 + 1 \end{align} $
b). Bentuk $ f(x) = 2x^2 + 6x - 2 $
$ \begin{align} f(x) & = 2x^2 + 6x - 2 \\ & = 2(x^2 + 3x ) - 2 \\ & = 2[(x + \frac{1}{2}.3)^2 - (\frac{1}{2}.3)^2 ] - 2 \\ & = 2[(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} ] - 2 \\ & = 2(x + \frac{3}{2})^2 - 2.\frac{9}{4} - 2 \\ & = 2(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{2} - 2 \\ & = 2(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{2} - \frac{4}{2} \\ f(x) & = 2(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{13}{2} \end{align} $
c). Bentuk $ f(x) = -x^2 + 8x + 3 $
$ \begin{align} f(x) & = -x^2 + 8x + 3 \\ & = -(x^2 - 8x ) + 3 \\ & = -[(x- \frac{1}{2}.8)^2 - (\frac{1}{2}.8)^2 ] + 3 \\ & = -[(x- 4)^2 - (4)^2 ] + 3 \\ & = -[(x- 4)^2 - 16 ] + 3 \\ & = -(x- 4)^2 + 16 + 3 \\ f(x) & = -(x- 4)^2 + 19 \end{align} $
d). Bentuk $ f(x) = \sin ^2 x + 2 \sin x + 9 $
$ \begin{align} f(x) & = \sin ^2 x + 2 \sin x + 9 \\ & = (\sin x + \frac{1}{2}.2)^2 - (\frac{1}{2}.2)^2 + 9 \\ & = (\sin x + 1)^2 - (1)^2 + 9 \\ f(x) & = (\sin x + 1)^2 + 8 \end{align} $
e). Bentuk $ f(x) = 3\cos ^2 x - 6 \cos x - 1 $
$ \begin{align} f(x) & = 3\cos ^2 x - 6 \cos x - 1 \\ & = 3[\cos ^2 x - 2 \cos x ]- 1 \\ & = 3[(\cos x - \frac{1}{2}.2)^2 - (\frac{1}{2}.2)^2 ]- 1 \\ & = 3[(\cos x - 1)^2 - (1)]- 1 \\ & = 3(\cos x - 1)^2 - 3- 1 \\ f(x) & = 3(\cos x - 1)^2 - 4 \end{align} $

8). Tentukan nilai maksimum dari fungsi $ f(x) = \sin ^2 x - 4 \sin x + 5 $ ?
Penyelesaian :
*). Fungsi : $ f(x) = \sin x - 4 \sin x + 5 \rightarrow a = 1 , b = -4 , c = 5 $
Nilai $ a > 0 \, $ , artinya nilai fungsi adalah minimum, tapi yang ditanyakan adalah nilai maksimum, sehingga tidak memenuhi syarat i).
*). Bentuk fungsi menjadi kuadrat sempurna.
$ \begin{align} f(x) & = \sin ^2 x - 4 \sin x + 5 \\ & = (\sin x - \frac{1}{2}.4 )^2 - ( \frac{1}{2}.4 )^2 + 5 \\ & = (\sin x - 2 )^2 - ( 2 )^2 + 5 \\ & = (\sin x - 2 )^2 - 4 + 5 \\ f(x) & = (\sin x - 2 )^2 + 1 \end{align} $
*). Bentuk $ \sin x - 2 \, $ :
Nilai maks = $ |1| - 2 = -1 \, $ dan nilai min = $ -|1| - 2 = -3 $
Artinya rentang nilai $ \sin x - 2 \, $ adalah : $ -3 \leq (\sin x - 2) \leq -1 $
Agar fungsi $ f(x) = (\sin x - 2 )^2 + 1 \, $ maksimum pada interval nilai $ -3 \leq (\sin x - 2) \leq -1 \, $ diperoleh pada saat nilai $ \sin x - 2 = - 3 $ .
*). Menentukan nilai maksimum fungsinya dengan nilai $ \sin x - 2 = -3 $
$ \begin{align} f(x) & = \sin ^2 x - 4 \sin x + 5 \\ f(x) & = (\sin x - 2 )^2 + 1 \\ & = ( -3 )^2 + 1 \\ & = 9 + 1 \\ f(x) & = 10 \end{align} $
Jadi, nilai maksimum fungsi $ f(x) = \sin ^2 x - 4 \sin x + 5 \, $ adalah 10.

Jumat, 13 November 2015

Pertidaksamaan Trigonometri

         Blog Koma - Pertidaksamaan Trigonometri merupakan pertidaksamaan yang memuat bentuk trigonometri seperti sin, cos, tan, sec, csc, dan cot. Yang namanya pertidaksamaan pasti akan memuat tanda ketaksamaan seperti $ >, \, \geq , \, \leq, \, $ dan $ < \, $ . Untuk memudahkan mempelajari materi pertidaksamaan trigonometri, kita harus menguasai dulu materi "penyelesaian persamaan trigonometri". Untuk bisa menyelesaikan bentuk pertidaksamaan trigonometri, maka kita harus mampu menyelesaiakan persamaan trigonometrinya dulu.

Penyelesaian Pertidaksamaan Trigonometri
       Secara garis besar, apapun jenis pertidaksamaannya, penyelesaiannya menggunakan langkah umum penyelesaian pertidaksamaan yang bisa kita baca pada materi "Pertidaksamaan secara Umum". Hanya saja kali ini pertidaksamaan yang melibatkan bentuk trigonometri yang tentu akan lebih sulit lagi.

Langkah-langkah penyelesaian pertidaksamaan trigonometri :
i). Tentukan besar sudut pembuat nolnya (akar-akarnya) dengan cara ubah semua tanda ketaksamaan menjadi persamaan ( = ), lalu sesesaikan persamaan yang terbentuk untuk mencari akar-akarnya.

ii). Semua akar-akarnya kita kita gambar pada garis bilangan dan tentukan tanda setiap daerah yang terbentuk ( + atau - ).

iii). Arsir daerah yang diminta (arsir positif kalau tanda ketaksamaannya lebih dari ( > ) atau arsir negatif kalau tanda ketaksamaannya kurang dari ( < ) ).

iv). Buat himpunan penyelesaiannya dari daerah arsiran yang terbentuk.
Contoh :
1). Tentukan himpunan penyelesaian (HP) pertidaksamaan trigonometri $ 2\sin x \leq 1 \, $ untuk interval $ 0 \leq x \leq 360^\circ $
Penyelesaian :
*). Menentukan akar-akar persamaannya
$ \begin{align} 2\sin x & \leq 1 \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ \sin x & \leq \frac{1}{2} \\ \sin x & = \frac{1}{2} \\ x & = \{ -210^\circ , \, 30^\circ , \, 150^\circ , \, 390^\circ \} \end{align} $
Nilai $ x \, $ yang kita ambil adalah yang mendekati interval yang diminta ($ 0 \leq x \leq 360^\circ $ ) .
*). Buat garis bilangan dan menentukan tandanya
Cek tanda ( + atau - ) : dengan uji titik ( dalam trigonometri adalah sudutnya) .
Daerah $ -210^\circ \leq x \leq 30^\circ \, $ kita pilih nilai $ x = 0^\circ $ , lalu kita uji ke pertidaksamaan :
$ 2\sin x \leq 1 \rightarrow 2\sin x - 1 \leq 0 $
$ x = 0^\circ \rightarrow 2\sin x - 1 = 2\sin 0^\circ - 1 = 2.0 -1 = -1 \, $ (hasilnya negatif).
Karena ketika $ x = 0^\circ \, $ kita uji dan nilainya negatif, maka daerah interval $ -210^\circ \leq x \leq 30^\circ \, $ bernilai negatif. Dan untuk daerah interval yang lainnya, tandanya selang-seling dengan patokan daerah interval $ -210^\circ \leq x \leq 30^\circ $ .
*). Daerah yang diarsir adalah daerah bertanda negatif karena yang diminta adalah kurang dari ( $ \leq $ ) .
*). Menentukan himpunan penyelesaian :
$ HP_1 = \{ -210^\circ \leq x \leq 30^\circ \vee 150^\circ \leq x \leq 390^\circ \} $
Tapi yang diminta adalah interval $ x \, $ yaitu : $ 0^\circ \leq x \leq 360^\circ $
Sehingga solusinya adalah irisan dari $ HP_1 $ dan syarat interval $ 0^\circ \leq x \leq 360^\circ $
$ HP = HP_1 \cup \{ 0^\circ \leq x \leq 360^\circ\} = \{ 0^\circ \leq x \leq 30^\circ \vee 150^\circ \leq x \leq 360^\circ \} $
irisan masksudnya himpunan yang memenuhi kedua himpunan, untuk lebih lengkapnya, silahkan baca materi irisan pada artikel "Pertidaksamaan secara Umum".
Jadi, solusinya adalah $ HP = \{ 0^\circ \leq x \leq 30^\circ \vee 150^\circ \leq x \leq 360^\circ \} $

2). Himpunan penyelesaian dari $ 2\cos ^2 x > 3\sin x + 3 \, $ pada interval $ 0 \leq x \leq 2\pi \, $ adalah ...?
Penyelesaian :
*). Gunakan identitas untuk menyamakan trigonometrinya yaitu :
$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 \rightarrow \cos ^2 x = 1 - \sin ^2 x $
*). Menentukan akar-akarnya :
$ \begin{align} 2\cos ^2 x & > 3\sin x + 3 \\ 2( 1 - \sin ^2 x ) & > 3\sin x + 3 \\ 2 - 2 \sin ^2 x & > 3\sin x + 3 \\ 2 \sin ^2 x + 3\sin x + 1 & > 0 \\ 2 \sin ^2 x + 3\sin x + 1 & = 0 \\ (2 \sin x + 1) ( \sin x + 1) & = 0 \\ (2 \sin x 1) = 0 \vee ( \sin x + 1) & = 0 \\ \sin x = - \frac{1}{2} \vee \sin x & = -1 \end{align} $
*). Disini kita langsung menentukan besar sudut yang memenuhi persamaan :
$ \sin x = - \frac{1}{2} \rightarrow x = -30^\circ = -\frac{\pi}{6} , \, x = 210^\circ = \frac{7\pi}{6} , \, x = 330^\circ = \frac{11\pi}{6} , \, x = 390^\circ = \frac{13\pi}{6}$
$ \sin x = - 1 \rightarrow x = 270^\circ = \frac{3\pi}{2} $
Akar-akar yang kita pilih yang berdekatan dengan interval $ 0 \leq x \leq 2\pi $
*). Menentukan garis bilangan, tanda , dan arsirannya.
Cek $ x = 0^\circ \rightarrow 2 \sin ^2 x + 3\sin x + 1 = 2 \sin ^2 0^\circ + 3\sin 0^\circ + 1 = 1 \, $ (positif) . Artinya daerah yang memuat $ x = 0^\circ \, $ bertanda positif, dan daerah lainnya selang seling tandanya.
Yang di arsir daerah bertanda positif karena permintaannya lebih dari ( > ).
*). Dari daerah yang diarsir dan interval $ 0 \leq x \leq 2\pi \, $ , maka solusinya adalah $ HP = \{0^\circ < x < \frac{7\pi}{6} \vee \frac{3\pi}{2} < x < \frac{11\pi}{6} \} $
Jadi, solusinya : $ HP = \{0^\circ < x < \frac{7\pi}{6} \vee \frac{3\pi}{2} < x < \frac{11\pi}{6} \} $

Kamis, 12 November 2015

Penyelesaian Persamaan Trigonometri

         Blog Koma - Materi yang akan kita pelajari kali ini adalah Penyelesaian Persamaan Trigonometri. Persamaan trigonometri merupakan suatu materi dalam bentuk persamaan yang melibatkan bentuk trigonometri. Penyelesaian dari persamaan trigonometri adalah besarnya sudut yang diperoleh dimana sudut tersebut memenuhi persamaan yang ada. Untuk memudahkan, silahkan juga baca materi "Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Berelasi", dan materi trigonometri lainnya.

Penyelesaian Persamaan Trigonometri untuk Sinus, Cosinus, dan Tan
       Berikut penyelesaian persamaan trigonometrinya :
$\clubsuit $ Persamaan Sinus : $ \sin f(x) = \sin \theta \, $ memiliki penyelesaian :
$ f(x) = \theta + k . 2 \pi \, $ dan $ \, f(x) = (180^\circ - \theta ) + k . 2 \pi $

$\clubsuit $ Persamaan Cosinus : $ \cos f(x) = \cos \theta \, $ memiliki penyelesaian :
$ f(x) = \theta + k . 2 \pi \, $ dan $ \, f(x) = - \theta + k . 2 \pi $

$\clubsuit $ Persamaan Tan : $ \tan f(x) = \tan \theta \, $ memiliki penyelesaian :
$ f(x) = \theta + k . \pi \, $

dengan nilai $ \pi = 180^\circ \, $ dan $ k \, $ adalah bilangan bulat.

Catatan :
*). Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri, persamaan harus kita ubah dulu seperti bentuk di atas.
*). Dari bentuk penyelesaian persamaan trigonometri di atas, dapat disimpulkan bahwa penyelesaiannya banyak sekali (tak hingga). Tapi tenang saja, biasanya solusinya hanya diminta dalam rentang atau interval tertentu saja. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini.
*). Jika bentuk persamaannya selain bentuk umum di atas, selesaikan dulu persamaannya sehingga diperoleh nilai salah satu trigonometri , misalkan nilai sin atau cos atau tan, kemudian gunakan penyelesaian di atas untuk menemukan solusi yang lainnya. Salah satu caranya adalah dengan memisalkan persamaan yang ada atau langsung difaktorkan.

Contoh :
1). Tentukan nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan trigonometri berikut untuk interval $ 0 \leq x \leq 360^\circ $
a). $ \sin 2 x - \frac{1}{2} = 0 $
b). $ \cos x - \frac{1}{2} \sqrt{3} = 0 $
c). $ \tan 3x + \sqrt{3} = 0 $
Penyelesaian :
a). Persamaannya : $ \sin 2 x - \frac{1}{2} = 0 $
*). Mengubah persamaan ,
$ \sin 2 x - \frac{1}{2} = 0 \rightarrow \sin 2x = \frac{1}{2} \rightarrow \sin 2x = \sin 30^\circ $
Artinya diperoleh : $ f(x) = 2x \, $ dan $ \theta = 30^\circ $
*). Menentukan penyelesaian sinus :
Pertama : $ f(x) = \theta + k . 2 \pi \rightarrow f(x) = \theta + k \times 360^\circ $
$ \begin{align} f(x) & = \theta + k \times 360^\circ \\ 2x & = 30^\circ + k \times 360^\circ \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ x & = 15^\circ + k \times 180^\circ \\ k = -1 \rightarrow x & = 15^\circ + (-1) \times 180^\circ \\ & = 15^\circ - 180^\circ \\ & = -165^\circ \, \, \, \, \text{(tidak memenuhi interval)} \\ k = 0 \rightarrow x & = 15^\circ + 0 \times 180^\circ \\ & = 15^\circ + 0 \\ & = 15^\circ \, \, \, \, \text{(memenuhi interval)} \\ k = 1 \rightarrow x & = 15^\circ + 1 \times 180^\circ \\ & = 15^\circ + 180^\circ \\ & = 195^\circ \, \, \, \, \text{(memenuhi interval)} \\ k = 2 \rightarrow x & = 15^\circ + 2 \times 180^\circ \\ & = 15^\circ + 360^\circ \\ & = 375^\circ \, \, \, \, \text{(tidak memenuhi interval)} \end{align} $
Solusi pertama diperoleh : $ \{ 15^\circ , \, 195^\circ \} $
Kedua : $ f(x) = (180^\circ - \theta ) + k . 2 \pi \rightarrow f(x) = (180^\circ - \theta ) + k \times 360^\circ $
$ \begin{align} f(x) & = (180^\circ - \theta ) + k \times 360^\circ \\ f(x) & = (180^\circ - 30^\circ ) + k \times 360^\circ \\ 2x & = 150^\circ + k \times 360^\circ \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ x & = 75^\circ + k \times 180^\circ \\ k = -1 \rightarrow x & = 75^\circ + (-1) \times 180^\circ \\ & = 75^\circ - 180^\circ \\ & = -105^\circ \, \, \, \, \text{(tidak memenuhi interval)} \\ k = 0 \rightarrow x & = 75^\circ + 0 \times 180^\circ \\ & = 75^\circ + 0 \\ & = 75^\circ \, \, \, \, \text{(memenuhi interval)} \\ k = 1 \rightarrow x & = 75^\circ + 1 \times 180^\circ \\ & = 75^\circ + 180^\circ \\ & = 255^\circ \, \, \, \, \text{(memenuhi interval)} \\ k = 2 \rightarrow x & = 75^\circ + 2 \times 180^\circ \\ & = 75^\circ + 360^\circ \\ & = 435^\circ \, \, \, \, \text{(tidak memenuhi interval)} \end{align} $
Solusi kedua diperoleh : $ \{ 75^\circ , \, 255^\circ \} $
Jadi, penyelesaian nilai $ x \, $ adalah $ \{ 15^\circ , \, 75^\circ, \, 195^\circ, \, 255^\circ \} $

b). Persamaannya : $ \cos x - \frac{1}{2} \sqrt{3} = 0 $
*). Mengubah persamaan ,
$ \cos x - \frac{1}{2} \sqrt{3} = 0 \rightarrow \cos x = \frac{1}{2} \sqrt{3} \rightarrow \cos x = \cos 30^\circ $
Artinya diperoleh : $ f(x) = x \, $ dan $ \theta = 30^\circ $
*). Menentukan penyelesaian cosinus :
Pertama : $ f(x) = \theta + k . 2 \pi \rightarrow f(x) = \theta + k \times 360^\circ $
$ \begin{align} f(x) & = \theta + k \times 360^\circ \\ x & = 30^\circ + k \times 360^\circ \\ k = -1 \rightarrow x & = 30^\circ + (-1) \times 360^\circ \\ & = 30^\circ - 360^\circ \\ & = -330^\circ \, \, \, \, \text{(tidak memenuhi interval)} \\ k = 0 \rightarrow x & = 30^\circ + 0 \times 360^\circ \\ & = 30^\circ + 0 \\ & = 30^\circ \, \, \, \, \text{(memenuhi interval)} \\ k = 1 \rightarrow x & = 30^\circ + 1 \times 360^\circ \\ & = 30^\circ + 360^\circ \\ & = 390^\circ \, \, \, \, \text{(tidak memenuhi interval)} \end{align} $
Solusi pertama diperoleh : $ \{ 30^\circ \} $
Kedua : $ f(x) = - \theta + k . 2 \pi \rightarrow f(x) = - \theta + k \times 360^\circ $
$ \begin{align} f(x) & = -\theta + k \times 360^\circ \\ x & = -30^\circ + k \times 360^\circ \\ k = -1 \rightarrow x & = -30^\circ + (-1) \times 360^\circ \\ & = -30^\circ - 360^\circ \\ & = -390^\circ \, \, \, \, \text{(tidak memenuhi interval)} \\ k = 0 \rightarrow x & = -30^\circ + 0 \times 360^\circ \\ & = -30^\circ + 0 \\ & = -30^\circ \, \, \, \, \text{(tidak memenuhi interval)} \\ k = 1 \rightarrow x & = -30^\circ + 1 \times 360^\circ \\ & = -30^\circ + 360^\circ \\ & = 330^\circ \, \, \, \, \text{(memenuhi interval)} \end{align} $
Solusi kedua diperoleh : $ \{ 330^\circ \} $
Jadi, penyelesaian nilai $ x \, $ adalah $ \{ 30^\circ , \, 330^\circ \} $

c). Persamaannya : $ \tan 3x + \sqrt{3} = 0 $
*). Mengubah persamaan ,
$ \tan 3x + \sqrt{3} = 0 \rightarrow \tan 3x = - \sqrt{3} \rightarrow \tan 3x = \tan 120^\circ $
Artinya diperoleh : $ f(x) = 3x \, $ dan $ \theta = 120^\circ $
*). Menentukan penyelesaian Tan :
Solusinya :$ f(x) = \theta + k . \pi \rightarrow f(x) = \theta + k \times 180^\circ $
$ \begin{align} f(x) & = \theta + k \times 180^\circ \\ 3x & = 120^\circ + k \times 180^\circ \, \, \, \, \, \text{(bagi 3)} \\ x & = 40^\circ + k \times 60^\circ \\ k = -1 \rightarrow x & = 40^\circ + (-1) \times 60^\circ \\ & = 40^\circ - 60^\circ \\ & = -20^\circ \, \, \, \, \text{(tidak memenuhi interval)} \\ k = 0 \rightarrow x & = 40^\circ + 0 \times 60^\circ \\ & = 40^\circ + 0 \\ & = 40^\circ \, \, \, \, \text{(memenuhi interval)} \\ k = 1 \rightarrow x & = 40^\circ + (1) \times 60^\circ \\ & = 40^\circ + 60^\circ \\ & = 100^\circ \, \, \, \, \text{(memenuhi interval)} \\ k = 2 \rightarrow x & = 40^\circ + 2 \times 60^\circ \\ & = 40^\circ + 120^\circ \\ & = 160^\circ \, \, \, \, \text{(memenuhi interval)} \\ k = 3 \rightarrow x & = 40^\circ + 3 \times 60^\circ \\ & = 40^\circ + 180^\circ \\ & = 220^\circ \, \, \, \, \text{(memenuhi interval)} \\ k = 4 \rightarrow x & = 40^\circ + 4 \times 60^\circ \\ & = 40^\circ + 240^\circ \\ & = 280^\circ \, \, \, \, \text{(memenuhi interval)} \\ k = 5 \rightarrow x & = 40^\circ + 5 \times 60^\circ \\ & = 40^\circ + 300^\circ \\ & = 340^\circ \, \, \, \, \text{(memenuhi interval)} \\ k = 6 \rightarrow x & = 40^\circ + 6 \times 60^\circ \\ & = 40^\circ + 360^\circ \\ & = 400^\circ \, \, \, \, \text{(tidak memenuhi interval)} \end{align} $
Jadi, nilai $ x \, $ adalah $ \{ 40^\circ , 100^\circ , 160^\circ , 220^\circ , 280^\circ , 340^\circ \} $

2). Himpunan semua peubah $ x \, $ dalam selang $ 0 \leq x \leq 2\pi \, $ yang memenuhi $ 2\cos ^2 x = 3\sin x + 3 $ ?
Penyelesaian :
*). Bentuk persamaannya tidak umum, sehingga harus diselesaikan dulu.
*). Gunakan identitas untuk menyamakan trigonometrinya yaitu :
$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 \rightarrow \cos ^2 x = 1 - \sin ^2 x $
*). Menentukan nilai sin dengan memfaktorkan :
$ \begin{align} 2\cos ^2 x & = 3\sin x + 3 \\ 2( 1 - \sin ^2 x ) & = 3\sin x + 3 \\ 2 - 2 \sin ^2 x & = 3\sin x + 3 \\ 2 \sin ^2 x + 3\sin x + 1 & = 0 \\ (2 \sin x + 1) ( \sin x + 1) & = 0 \\ (2 \sin x 1) = 0 \vee ( \sin x + 1) & = 0 \\ \sin x = - \frac{1}{2} \vee \sin x & = -1 \end{align} $
*). Disini kita langsung menentukan besar sudut yang memenuhi persamaan :
$ \sin x = - \frac{1}{2} \rightarrow x = 210^\circ = \frac{7\pi}{6} , \, x = 330^\circ = \frac{11\pi}{6} $
$ \sin x = - 1 \rightarrow x = 270^\circ = \frac{3\pi}{2} $
Jadi, nilai $ x \, $ yang memenuhi adalah $ \{ \frac{7\pi}{6} , \, \frac{7\pi}{6} , \, \frac{11\pi}{6} \} $

Mengubah bentuk $ a \sin f(x) + b \cos f(x) $
       Bentuk $ a \sin f(x) + b \cos f(x) \, $ dapat diubah menjadi bentuk :

$ a \sin f(x) + b \cos f(x) = k \cos \left( f(x) - \theta \right) $

dengan : $ k = \sqrt{a^2 + b^2 } \, $ dan $ \tan \theta = \frac{\text{koefisien } \sin }{ \text{koefisien } \cos } = \frac{a}{b} $
dan syaratnya adalah kedua sudut sinus dan cosinus.

Contoh :
3). Ubahlah bentuk berikut menjadi bentuk sederhanan :
a). $ \sin x + \sqrt{3} \cos x $
b). $ 2\sqrt{3} \sin (5x) - 2 \cos (5x ) $
Penyelesaian :
a). Bentuk $ \sin x + \sqrt{3} \cos x = k \cos ( x - \theta ) $
artinya : $ a = 1 \, $ dan $ b = \sqrt{3} $
sehingga nilai : $ k = \sqrt{a^2 + b^2 } = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2 } = \sqrt{1 + 3} = 2 $
Sudutnya : $ \tan \theta = \frac{a}{b} \rightarrow \tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}} \rightarrow \theta = 30 ^\circ $
Diperoleh bentuk sederhananya :
$ \sin x + \sqrt{3} \cos x = k \cos ( x - \theta ) \rightarrow \sin x + \sqrt{3} \cos x = 2 \cos ( x - 30 ^\circ ) $
Jadi, bentuk sederhana dari $ \sin x + \sqrt{3} \cos x \, $ adalah $ 2 \cos ( x - 30 ^\circ ) $

b). Bentuk $ 2\sqrt{3} \sin (5x) - 2 \cos (5x ) = k \cos ( 5x - \theta ) $
artinya : $ a = 2\sqrt{3} \, $ dan $ b = - 2 $
sehingga nilai : $ k = \sqrt{a^2 + b^2 } = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + (- 2)^2 } = \sqrt{12 + 4} = 4 $
Sudutnya : $ \tan \theta = \frac{a}{b} \rightarrow \tan \theta = \frac{ 2\sqrt{3}}{- 2} = -\sqrt{3} \rightarrow \theta = 120 ^\circ $
Diperoleh bentuk sederhananya :
$ 2\sqrt{3} \sin (5x) - 2 \cos (5x ) = k \cos ( 5x - \theta ) \rightarrow 2\sqrt{3} \sin (5x) - 2 \cos (5x ) = 4 \cos ( 5x - 120 ^\circ ) $
Jadi, bentuk sederhana dari $ 2\sqrt{3} \sin (5x) - 2 \cos (5x ) \, $ adalah $ 4 \cos ( 5x - 120 ^\circ ) $

4). Tentukan nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan $ \sin x - \cos x = 1 \, $ untuk $ x \, $ pada interval $ 0 \leq x \leq 360^\circ $ ?
Penyelesaian :
*). Menyederhanakan bentuk ruas kiri dari persamaan : $ \sin x - \cos x = 1 $
$ \sin x - \cos x = k \cos (x - \theta ) , \, $ artinya $ a = 1 \, $ dan $ b = -1 $
Nilai $ k = \sqrt{a^2 + b^2 } = \sqrt{1^2 + (-1)^2 } = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} $
Sudutnya : $ \tan \theta = \frac{a}{b} \rightarrow \tan \theta = \frac{ 1}{- 1} = -1 \rightarrow \theta = 135 ^\circ $
Diperoleh bentuk sederhananya :
$ \sin x - \cos x = k \cos (x - \theta ) \rightarrow \sin x - \cos x = \sqrt{2} \cos (x - 135 ^\circ ) $
*). Persamaannya menjadi : $ \sin x - \cos x = 1 \rightarrow \sqrt{2} \cos (x - 135 ^\circ ) = 1 $
*). Menyelesaikan pertidaksamaan :
$ \sqrt{2} \cos (x - 135 ^\circ ) = 1 \rightarrow \cos (x - 135 ^\circ ) = \frac{1}{\sqrt{2}} \rightarrow \cos (x - 135 ^\circ ) = \cos 45^\circ $
Artinya : $ f(x) = x - 135 ^\circ \, $ dan $ \theta = 45^\circ $
*). Menentukan penyelesaian cosinus :
Pertama : $ f(x) = \theta + k . 2 \pi \rightarrow f(x) = \theta + k \times 360^\circ $
$ \begin{align} f(x) & = \theta + k \times 360^\circ \\ x - 135 ^\circ & = 45^\circ + k \times 360^\circ \\ x & = 180^\circ + k \times 360^\circ \\ k = -1 \rightarrow x & = 180^\circ + (-1) \times 360^\circ \\ & = 180^\circ - 360^\circ \\ & = -180^\circ \, \, \, \, \text{(tidak memenuhi interval)} \\ k = 0 \rightarrow x & = 180^\circ + 0 \times 360^\circ \\ & = 180^\circ + 0 \\ & = 180^\circ \, \, \, \, \text{(memenuhi interval)} \\ k = 1 \rightarrow x & = 180^\circ + 1 \times 360^\circ \\ & = 180^\circ + 360^\circ \\ & = 540^\circ \, \, \, \, \text{(tidak memenuhi interval)} \end{align} $
Solusi pertama diperoleh : $ \{ 180^\circ \} $
Kedua : $ f(x) = - \theta + k . 2 \pi \rightarrow f(x) = - \theta + k \times 360^\circ $
$ \begin{align} f(x) & = -\theta + k \times 360^\circ \\ x - 135 ^\circ & = -45^\circ + k \times 360^\circ \\ x & = 90^\circ + k \times 360^\circ \\ k = -1 \rightarrow x & = 90^\circ + (-1) \times 360^\circ \\ & = 90^\circ - 360^\circ \\ & = -270^\circ \, \, \, \, \text{(tidak memenuhi interval)} \\ k = 0 \rightarrow x & = 90^\circ + 0 \times 360^\circ \\ & = 90^\circ + 0 \\ & = 90^\circ \, \, \, \, \text{(memenuhi interval)} \\ k = 1 \rightarrow x & = 90^\circ + 1 \times 360^\circ \\ & = 90^\circ + 360^\circ \\ & = 550^\circ \, \, \, \, \text{(tidak memenuhi interval)} \end{align} $
Solusi kedua diperoleh : $ \{ 90^\circ \} $
Jadi, penyelesaian nilai $ x \, $ adalah $ \{ 90^\circ , \, 180^\circ \} $

Soal-soal Latihan Pembuktian Trigonometri

         Blog Koma - Setelah meguasai rumus-rumus trigonometri, seperti "rumus jumlah dan selisih dua sudut", "rumus trigonometri sudut ganda", "rumus trigonometri perkalian, penjumlahan, dan pengurangan" dan rumus identitas trigonometri pada materi "perbandingan trigonometri segitiga siku-siku", serta materi "sudut-sudut berelasi". Kali ini kita akan coba untuk melatih dalam membuktikan rumus-rumus trigonometri yang diberikan pada artikel Soal-soal Latihan Pembuktian Trigonometri .
         Soal-soal latihan pembuktian trigonometri ini bertujuan agar kita lebih memperdalam materi trigonometri. Pembuktian yang diminta biasanya bentuk ruas kiri harus sama dengan ruas kanan suatu persamaan trigonometri. Tentu pembuktian bentuk trigonometri akan sangat sulit bagi kita karena akan melibatkan banyak rumus-rumus trigonometri yang kita gunakan. Cobalah untuk membuktikan bentuk atau soal yang paling sederhana dulu, baru kita buktikan bentuk yang lebih kompleks lagi. Saran kami, bersabarlah dalam melakukan pembuktian karena tidak cukup menggunakan satu rumus, atapi harus lebih dan itupun terkadang belum bisa ketemu pembuktiannya. Jadi, kuncinya sabar dan lebih telaten dalam menyelesaikan pembuktiannya.

Berikut kumpulan soal-soal pembuktian trigonometri :
1). Buktikan : $ \begin{align} \frac{1 - \cos 2 A}{1 - \cos ^2 A} = 2 \end{align} $
Hint : Gunakan identitas dan sudut ganda.

2). Buktikan : $ \begin{align} \frac{\cos 3A - \cos 5A}{\sin 3A + \sin 5A} = \tan A \end{align} $
Hint : Gunakan rumus penjumlahan dan pengurangan trigonometri

3). Buktikan : $ \begin{align} \frac{\sin A - \sin B}{\sin A + \sin B} = \frac{\tan \frac{1}{2} (A-B) }{\tan \frac{1}{2} (A+B)} \end{align} $
Hint : Gunakan rumus penjumlahan dan pengurangan trigonometri dan $ \, \tan A = \frac{\sin A }{\cos A } $

4). Buktikan : $ \begin{align} \frac{\sin 3A + \sin A}{\cos 3A + \cos A} = \tan 2 A \end{align} $
Hint : Gunakan rumus penjumlahan dan pengurangan trigonometri dan $ \, \tan A = \frac{\sin A }{\cos A } $

5). Buktikan : $ \begin{align} \frac{\sin A + \sin 3A}{\cos A - \cos 3A} = \cot A \end{align} $
Hint : Gunakan rumus penjumlahan dan pengurangan trigonometri dan $ \, \cot A = \frac{\cos A }{\sin A } $

6). Buktikan : $ \begin{align} \frac{\sin A + \sin B}{\cos A - \cos B} = \cot \frac{B-A}{2} \end{align} $
Hint : Gunakan rumus penjumlahan dan pengurangan trigonometri dan $ \, \cot A = \frac{\cos A }{\sin A } $

7). Buktikan : $ \begin{align} \frac{1 + \cot ^2 A}{2 \cot A} = \csc 2 A \end{align} $
Hint : Gunakan identitas trigonometri dan $ \, \csc A = \frac{1 }{\sin A } $

8). Buktikan : $ \begin{align} \frac{\sec A - 1}{\sec A + 1} = \tan ^2 \frac{A}{2} \end{align} $
Hint : Gunakan $ \, \tan \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{1-\cos A}{1 + \cos A}} \, $ dan $ \sec A = \frac{1}{\cos A } $

9). Buktikan : $ \begin{align} \frac{\sin 2 A}{\sin A} = \frac{1 + \cos 2 A}{\cos A } \end{align} $
Hint : Gunakan sudut ganda sinus dan cosinus

10). Buktikan : $ \begin{align} \frac{ \cos (x + y) + \cos (x-y) }{ \sin (x + y) + \sin (x-y)} = \cot x \end{align} $
Hint : Gunakan rumus jumlah dan selisih trigonometri

11). Jika $ x + y = 45^\circ , \, $ maka buktikan $ \begin{align} (1 + \tan x)(1+ \tan y) = 2 . \end{align} $
Hint : gunakan $ \tan (x + y ) = \frac{\tan x + \tan y }{1 - \tan x \tan y } \, $ dan persamaan dikalikan.

12). Diketahui $ a + b + c = \pi , \, $ maka tunjukkan bahwa $ \begin{align} \tan a + \tan b + \tan c = \tan a . \tan b . \tan c \end{align} $
Hint : gunakan $ a + b = \pi - c \, $ dengan $ \pi = 180^\circ \, $ dan $ \tan (a + b ) = \tan (180^\circ - c) $

13). Buktikan $ \begin{align} (2\cos A -1) (2\cos A + 1) = 2\cos 2A + 1 \end{align} $
Hint : gunakan sudut ganda cosinus , $ \cos 2A = 2\cos ^2 A - 1 $

14). Buktikan $ \begin{align} \cot (a+b) + \cot (a - b) = \frac{\sin 2 a}{\cos ^2 b - \cos ^2 a} \end{align} $
Hint : gunakan rumus jumlah dan selisih trigonometri dan $ \cot A = \frac{\cos A }{\sin A } $

15). Buktikan $ \begin{align} \cot (a+b) + \cot (a - b) = \frac{\sin 2 a}{\cos ^2 b - \cos ^2 a} \end{align} $
Hint : gunakan rumus jumlah dan selisih trigonometri dan $ \cot A = \frac{\cos A }{\sin A } $

16). Jika $ a + b + c = 90^\circ , \, $ maka buktikan $ \begin{align} \tan a \tan b + \tan b \tan c + \tan c \tan a = 1 \end{align} $
Hint : gunakan jumlah sudut dan $ \tan (a + b ) = \tan (90^\circ - c ) $

17). Diketahui A, B, dan C adalah sudut-sudut pada segitiga ABC. Buktikan persamaan-persaman berikut.
a). $ \begin{align} \cot A \cot B + \cot B \cot C + \cot C \cot A = 1 \end{align} $
b). $ \begin{align} \tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2} + \tan \frac{C}{2} \tan \frac{A}{2} = 1 \end{align} $
c). $ \begin{align} \sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4 \sin A \sin B \sin C \end{align} $
d). $ \begin{align} \cos 2A + \cos 2B + \cos 2C = -1- 4 \cos A \cos B \cos C \end{align} $
e). $ \begin{align} \sin ^2A + \sin ^2B + \sin ^2C = 2 + 2\cos A \cos B \cos C \end{align} $
f). $ \begin{align} \cos ^2A + \cos ^2B + \cos ^2C + 2\cos A \cos B \cos C = 1 \end{align} $

18). Buktikan $ \begin{align} (4\cos ^2 9^\circ -3 )(4\cos ^2 27^\circ - 3 ) = \tan 9^\circ \end{align} $
Hint : gunakan rumus $ \cos 3x = 4\cos ^3 x - 3 \cos x \rightarrow 4 \cos ^2 x - 3 = \frac{\cos 3x }{\cos x } \, $ dan sudut komplemen.

         Bagaimana dengan kumpulan Soal-soal Latihan Pembuktian Trigonometri di atas, semoga bisa menambah wawasan dalam memahami materi trigonometri. Selamat mengerjakan ya, soal-soalnya sebagai bahan latihan. ^_^ .

Rumus Perkalian, Penjumlahan, dan Pengurangan Trigonometri

         Blog Koma - Materi Rumus Perkalian, Penjumlahan, dan Pengurangan Trigonometri merupakan kelanjutan dari materi "Rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut". Silahkan juga baca materi "Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Berelasi". Rumus Perkalian, Penjumlahan, dan Pengurangan Trigonometri ini biasanya akan banyak kita gunakan pada materi integral dan limit. Jadi, harus kita ingat rumus-rumus ini karena akan sangat berguna untuk materi lainnya dalam matematika.

Rumus Perkalian Trigonometri untuk Sinus dan Cosinus
       Misalkan diketahui dua sudut yaitu A dan B, berikut rumus perkalian antara sinus dan cosinus pada sudut A dan B :
$ \begin{align} \sin A \cos B & = \frac{1}{2}[ \sin (A+B) + \sin (A- B) ] \\ \cos A \sin B & = \frac{1}{2}[ \sin (A+B) - \sin (A- B) ] \\ \cos A \cos B & = \frac{1}{2}[ \cos (A+B) + \cos (A- B) ] \\ \sin A \sin B & = - \frac{1}{2}[ \cos (A+B) - \cos (A- B) ] \end{align} $
Pembuktian Rumus Perkalian trigonometri untuk sinus dan cosinus :
*). Kita menggunakan rumus jumlah dan selisih sudut, yaitu :
$ \begin{align} \sin (A + B) & = \sin A \cos B + \cos A \sin B \\ \sin (A - B) & = \sin A \cos B - \cos A \sin B \\ \cos (A+B) & = \cos A \cos B - \sin A \sin B \\ \cos (A-B) & = \cos A \cos B + \sin A \sin B \\ \end{align} $

$\clubsuit $ Pembuktian Rumus : $ \sin A \cos B = \frac{1}{2}[ \sin (A+B) + \sin (A- B) ] $
$ \begin{array}{cc} \sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B & \\ \sin (A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B & + \\ \hline \sin (A + B) + \sin (A - B ) = 2 \sin A \cos B & \end{array} $
Sehingg terbukti : $ \sin A \cos B = \frac{1}{2}[ \sin (A + B) + \sin (A - B ) ] $

$\clubsuit $ Pembuktian Rumus : $ \cos A \sin B = \frac{1}{2}[ \sin (A+B) - \sin (A- B) ] $
$ \begin{array}{cc} \sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B & \\ \sin (A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B & - \\ \hline \sin (A + B) - \sin (A - B ) = 2 \cos A \sin B & \end{array} $
Sehingg terbukti : $ \cos A \sin B = \frac{1}{2}[ \sin (A+B) - \sin (A- B) ] $

$\clubsuit $ Pembuktian Rumus : $ \cos A \cos B = \frac{1}{2}[ \cos (A+B) + \cos (A- B) ] $
$ \begin{array}{cc} \cos (A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B & \\ \cos (A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B & + \\ \hline \cos (A + B) + \cos (A - B ) = 2 \cos A \cos B & \end{array} $
Sehingg terbukti : $ \cos A \cos B = \frac{1}{2}[ \cos (A+B) + \cos (A- B) ] $

$\clubsuit $ Pembuktian Rumus : $ \sin A \sin B = -\frac{1}{2}[ \cos (A+B) - \cos (A- B) ] $
$ \begin{array}{cc} \cos (A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B & \\ \cos (A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B & - \\ \hline \cos (A + B) - \cos (A - B ) = -2 \sin A \sin B & \end{array} $
Sehingg terbukti : $ \sin A \sin B = -\frac{1}{2}[ \cos (A+B) - \cos (A- B) ] $

Contoh :
1). Tentukan nilai dari trigonometri berikut :
a). $ \sin 75^\circ \cos 15^\circ $
b). $ \cos 67\frac{1}{2}^\circ \sin 22\frac{1}{2}^\circ $
c). $ \cos 105^\circ \cos 15^\circ $
d). $ \sin 127\frac{1}{2}^\circ \sin 97\frac{1}{2}^\circ $
Penyelesaian :
a). Gunakan rumus : $ \sin A \cos B = \frac{1}{2}[ \sin (A+B) + \sin (A- B) ] $
dengan besar sudut $ A = 75^\circ \, $ dan $ B = 15^\circ $
$ \begin{align} \sin A \cos B & = \frac{1}{2}[ \sin (A+B) + \sin (A- B) ] \\ \sin 75^\circ \cos 15^\circ & = \frac{1}{2}[ \sin (75^\circ +15^\circ ) + \sin (75^\circ - 15^\circ ) ] \\ & = \frac{1}{2}[ \sin (90^\circ ) + \sin (60^\circ ) ] \\ & = \frac{1}{2}[ 1 + \frac{1}{2}\sqrt{3} ] \\ & = \frac{1}{4}( 2 + \sqrt{3} ) \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin 75^\circ \cos 15^\circ = \frac{1}{4}( 2 + \sqrt{3} ) $

b). Gunakan rumus : $ \cos A \sin B = \frac{1}{2}[ \sin (A+B) - \sin (A- B) ] $
dengan besar sudut $ A = 67\frac{1}{2}^\circ \, $ dan $ B = 22\frac{1}{2}^\circ $
$ \begin{align} \cos A \sin B & = \frac{1}{2}[ \sin (A+B) - \sin (A- B) ] \\ \cos 67\frac{1}{2}^\circ \sin 22\frac{1}{2}^\circ & = \frac{1}{2}[ \sin ( 67\frac{1}{2}^\circ + 22\frac{1}{2}^\circ ) - \sin (67\frac{1}{2}^\circ - 22\frac{1}{2}^\circ) ] \\ & = \frac{1}{2}[ \sin ( 90^\circ ) - \sin (45^\circ) ] \\ & = \frac{1}{2}[ 1 - \frac{1}{2} \sqrt{2} ] \\ & = \frac{1}{4}( 2 - \sqrt{2} ) \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos 67\frac{1}{2}^\circ \sin 22\frac{1}{2}^\circ = \frac{1}{4}( 2 - \sqrt{2} ) $

c). Gunakan rumus : $ \cos A \cos B = \frac{1}{2}[ \cos (A+B) + \cos (A- B) ] $
dengan besar sudut $ A = 105^\circ \, $ dan $ B = 15^\circ $
$ \begin{align} \cos A \cos B & = \frac{1}{2}[ \cos (A+B) + \cos (A- B) ] \\ \cos 105^\circ \cos 15^\circ & = \frac{1}{2}[ \cos (105^\circ + 15^\circ ) + \cos (105^\circ - 15^\circ ) ] \\ & = \frac{1}{2}[ \cos (120^\circ ) + \cos (90^\circ ) ] \\ & = \frac{1}{2}[ - \cos (60^\circ ) + 0 ] \\ & = \frac{1}{2}[ - \frac{1}{2} + 0 ] \\ & = - \frac{1}{4} \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos 105^\circ \cos 15^\circ = - \frac{1}{4} $

d). Gunakan rumus : $ \sin A \sin B = -\frac{1}{2}[ \cos (A+B) - \cos (A- B) ] $
dengan besar sudut $ A = 127\frac{1}{2}^\circ \, $ dan $ B = 97\frac{1}{2}^\circ $
$ \begin{align} \sin A \sin B & = -\frac{1}{2}[ \cos (A+B) - \cos (A- B) ] \\ \sin 127\frac{1}{2}^\circ \sin 97\frac{1}{2}^\circ & = -\frac{1}{2}[ \cos (127\frac{1}{2}^\circ + 97\frac{1}{2}^\circ) - \cos (127\frac{1}{2}^\circ - 97\frac{1}{2}^\circ ) ] \\ & = -\frac{1}{2}[ \cos (225^\circ) - \cos (30^\circ ) ] \\ & = -\frac{1}{2}[ \cos (180^\circ + 45^\circ) - \cos (30^\circ ) ] \\ & = -\frac{1}{2}[ -\cos (45^\circ) - \cos (30^\circ ) ] \\ & = -\frac{1}{2}[ -\frac{1}{2}\sqrt{2} - \frac{1}{2}\sqrt{3} ] \\ & = \frac{1}{4} ( \sqrt{2} + \sqrt{3} ) \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin 127\frac{1}{2}^\circ \sin 97\frac{1}{2}^\circ = \frac{1}{4} ( \sqrt{2} + \sqrt{3} ) $

Rumus Trigonometri Penjumlahan dan Pengurangan
       Misalkan diketahui dua sudut P dan Q, berlaku rumus penjumlahan dan pengurangannya :
$ \begin{align} \sin P + \sin Q & = 2 \sin \frac{1}{2}(P+Q) \cos \frac{1}{2}(P-Q) \\ \sin P - \sin Q & = 2 \cos \frac{1}{2}(P+Q) \sin \frac{1}{2}(P-Q) \\ \cos P + \cos Q & = 2 \cos \frac{1}{2}(P+Q) \cos \frac{1}{2}(P-Q) \\ \cos P - \cos Q & = -2 \sin \frac{1}{2}(P+Q) \sin \frac{1}{2}(P-Q) \\ \tan P + \tan Q & = \frac{2\sin(P+Q)}{\cos (P+Q) + \cos (P-Q) } \\ \tan P - \tan Q & = \frac{2\sin(P-Q)}{\cos (P+Q) + \cos (P-Q) } \end{align} $
Pembuktian rumus penjumlahan dan pengurangan trigonometri :
*). Kita menggunakan rumus perkalian trigonometri sebelumnya.
*). Misalkan $ A + B = P \, $ dan $ A - B = Q $ , maka dengan eliminasi kedua persamaan kita peroleh : $ A = \frac{1}{2}(P+Q) \, $ dan $ A = \frac{1}{2}(P-Q) $
*). Substitusi bentuk permisalan di atas ke persamaan yang digunakan.

$\spadesuit $ Pembuktian Rumus : $ \sin P + \sin Q = 2 \sin \frac{1}{2}(P+Q) \cos \frac{1}{2}(P-Q) $
$ \begin{align} \sin A \cos B & = \frac{1}{2}[ \sin (A+B) + \sin (A- B) ] \\ \sin \frac{1}{2}(P+Q) \cos \frac{1}{2}(P-Q) & = \frac{1}{2}[ \sin P + \sin Q ] \\ 2\sin \frac{1}{2}(P+Q) \cos \frac{1}{2}(P-Q) & = \sin P + \sin Q \end{align} $
Sehingga tebukti rumus $ \sin P + \sin Q = 2 \sin \frac{1}{2}(P+Q) \cos \frac{1}{2}(P-Q) $

$\spadesuit $ Pembuktian Rumus : $ \sin P - \sin Q = 2 \cos \frac{1}{2}(P+Q) \sin \frac{1}{2}(P-Q) $
$ \begin{align} \cos A \sin B & = \frac{1}{2}[ \sin (A+B) - \sin (A- B) ] \\ \cos \frac{1}{2}(P+Q) \sin \frac{1}{2}(P - Q) & = \frac{1}{2}[ \sin P - \sin Q ] \\ 2 \cos \frac{1}{2}(P+Q) \sin \frac{1}{2}(P - Q) & = \sin P - \sin Q \end{align} $
Sehingga tebukti rumus $ \sin P - \sin Q = 2 \cos \frac{1}{2}(P+Q) \sin \frac{1}{2}(P-Q) $

$\spadesuit $ Pembuktian Rumus : $ \cos P + \cos Q = 2 \cos \frac{1}{2}(P+Q) \cos \frac{1}{2}(P-Q) $
$ \begin{align} \cos A \cos B & = \frac{1}{2}[ \cos (A+B) + \cos (A- B) ] \\ \cos \frac{1}{2}(P+Q) \cos \frac{1}{2}(P-Q) & = \frac{1}{2}[ \cos P + \cos Q ] \\ 2\cos \frac{1}{2}(P+Q) \cos \frac{1}{2}(P-Q) & = \cos P + \cos Q \end{align} $
Sehingga tebukti rumus $ \cos P + \cos Q = 2 \cos \frac{1}{2}(P+Q) \cos \frac{1}{2}(P-Q) $

$\spadesuit $ Pembuktian Rumus : $ \cos P - \cos Q = -2 \sin \frac{1}{2}(P+Q) \sin \frac{1}{2}(P-Q) $
$ \begin{align} \sin A \sin B & = -\frac{1}{2}[ \cos (A+B) - \cos (A- B) ] \\ \sin \frac{1}{2}(P+Q) \sin \frac{1}{2}(P-Q) & = -\frac{1}{2}[ \cos P - \cos Q ] \\ -2\sin \frac{1}{2}(P+Q) \sin \frac{1}{2}(P-Q) & = \cos P - \cos Q \end{align} $
Sehingga tebukti rumus $ \cos P - \cos Q = -2 \sin \frac{1}{2}(P+Q) \sin \frac{1}{2}(P-Q) $

$\spadesuit $ Pembuktian Rumus : $ \tan P + \tan Q = \frac{2\sin(P+Q)}{\cos (P+Q) + \cos (P-Q) } $
*). Gunakan rumus :
$ \sin (P+Q) = \sin P\cos Q + \cos P \sin Q \, $ dan $ 2 \cos P \cos Q = \cos (P+Q) + \cos (P-Q) $
$ \begin{align} \tan P + \tan Q & = \frac{\sin P}{\cos P} + \frac{\sin Q}{\cos Q} \\ & = \frac{\sin P\cos Q}{\cos P \cos Q} + \frac{\cos P \sin Q }{\cos P \cos Q} \\ & = \frac{\sin P\cos Q + \cos P \sin Q }{\cos P \cos Q} \\ & = \frac{\sin (P+Q) }{\cos P \cos Q} \\ & = \frac{2\sin (P+Q) }{2\cos P \cos Q} \\ & = \frac{2\sin (P+Q) }{\cos (P+Q) + \cos (P-Q)} \end{align} $
Sehingga tebukti rumus $ \tan P + \tan Q = \frac{2\sin(P+Q)}{\cos (P+Q) + \cos (P-Q) } $

$\spadesuit $ Pembuktian Rumus : $ \tan P - \tan Q = \frac{2\sin(P-Q)}{\cos (P+Q) + \cos (P-Q) } $
*). Gunakan rumus :
$ \sin (P-Q) = \sin P\cos Q - \cos P \sin Q \, $ dan $ 2 \cos P \cos Q = \cos (P+Q) + \cos (P-Q) $
$ \begin{align} \tan P - \tan Q & = \frac{\sin P}{\cos P} - \frac{\sin Q}{\cos Q} \\ & = \frac{\sin P\cos Q}{\cos P \cos Q} - \frac{\cos P \sin Q }{\cos P \cos Q} \\ & = \frac{\sin P\cos Q - \cos P \sin Q }{\cos P \cos Q} \\ & = \frac{\sin (P-Q) }{\cos P \cos Q} \\ & = \frac{2\sin (P-Q) }{2\cos P \cos Q} \\ & = \frac{2\sin (P-Q) }{\cos (P+Q) + \cos (P-Q)} \end{align} $
Sehingga tebukti rumus $ \tan P + \tan Q = \frac{2\sin(P-Q)}{\cos (P+Q) + \cos (P-Q) } $

Contoh :
2). Tentukan nilai dari :
a). $ \sin 105^\circ + \sin 15 ^\circ $
b). $ \sin 105^\circ - \sin 15 ^\circ $
c). $ \cos 105^\circ + \cos 15 ^\circ $
d). $ \tan 105^\circ + \tan 15 ^\circ $
Penyelesaian :
a). Nilai $ \sin 105^\circ + \sin 15 ^\circ $
$\begin{align} \sin P + \sin Q & = 2 \sin \frac{1}{2}(P+Q) \cos \frac{1}{2}(P-Q) \\ \sin 105^\circ + \sin 15 ^\circ & = 2 \sin \frac{1}{2}(105^\circ+ 15 ^\circ) \cos \frac{1}{2}(105^\circ-15 ^\circ) \\ & = 2 \sin (60 ^\circ) \cos (45 ^\circ) \\ & = 2 .\frac{1}{2}\sqrt{3} . \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{6} \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin 105^\circ + \sin 15 ^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{6} $

b). Nilai $ \sin 105^\circ - \sin 15 ^\circ $
$\begin{align} \sin P - \sin Q & = 2 \cos \frac{1}{2}(P+Q) \sin \frac{1}{2}(P-Q) \\ \sin 105^\circ - \sin 15 ^\circ & = 2 \cos \frac{1}{2}(105^\circ+ 15 ^\circ) \sin \frac{1}{2}(105^\circ-15 ^\circ) \\ & = 2 \cos (60 ^\circ) \sin (45 ^\circ) \\ & = 2 .\frac{1}{2} . \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{2} \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin 105^\circ - \sin 15 ^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{2} $

c). Nilai $ \cos 105^\circ + \cos 15 ^\circ $
$\begin{align} \cos P + \cos Q & = 2 \cos \frac{1}{2}(P+Q) \cos \frac{1}{2}(P-Q) \\ \cos 105^\circ + \cos 15 ^\circ & = 2 \cos \frac{1}{2}(105^\circ+ 15 ^\circ) \cos \frac{1}{2}(105^\circ-15 ^\circ) \\ & = 2 \cos (60 ^\circ) \cos (45 ^\circ) \\ & = 2 .\frac{1}{2} . \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{2} \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos 105^\circ + \cos 15 ^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{2} $

d). Nilai $ \tan 105^\circ + \tan 15 ^\circ $
$\begin{align} \tan P + \tan Q & = \frac{2\sin(P+Q)}{\cos (P+Q) + \cos (P-Q) } \\ \tan 105^\circ + \tan 15 ^\circ & = \frac{2\sin(105^\circ +15 ^\circ )}{\cos (105^\circ + 15 ^\circ ) + \cos (105^\circ - 15 ^\circ) } \\ & = \frac{2\sin(120^\circ )}{\cos (120 ^\circ ) + \cos (90 ^\circ) } \\ & = \frac{2\sin(180^\circ - 60^\circ )}{\cos (180^\circ - 60^\circ ) + \cos (90 ^\circ) } \\ & = \frac{2\sin( 60^\circ )}{ - \cos (60^\circ ) + \cos (90 ^\circ) } \\ & = \frac{2 . \frac{1}{2} \sqrt{3} }{ - \frac{1}{2} + 0 } \\ & = \frac{\sqrt{3} }{ - \frac{1}{2} } \\ & = -2\sqrt{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ \tan 105^\circ + \tan 15 ^\circ = -2\sqrt{3} $

3). Tentukan nilai dari :
a). $ \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 60^\circ \cos 80^\circ $
b). $ \sin 84^\circ \tan 42 ^\circ + \cos 84^\circ $
Penyelesaian :
a). Misalkan nilai $ \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 60^\circ \cos 80^\circ = x $
artinya kita mencari nilai $ x \, $ .
*). Gunakan sudut rangkap sinus : $ \sin 2A = 2\sin A \cos A $
Kedua ruas dikalikan $ 2\sin 20^\circ \, $ dan rumus $ 2\sin A \cos A = \sin 2A $
$ \begin{align} x & = \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 60^\circ \cos 80^\circ \\ 2\sin 20^\circ. x & = 2\sin 20^\circ . \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 60^\circ \cos 80^\circ \\ 2\sin 20^\circ. x & = (2\sin 20^\circ \cos 20^\circ ) \cos 40^\circ \cos 60^\circ \cos 80^\circ \\ 2\sin 20^\circ. x & = (\sin 2 \times 20^\circ ) \cos 40^\circ \cos 60^\circ \cos 80^\circ \\ 2\sin 20^\circ. x & = (\sin 40^\circ ) \cos 40^\circ \cos 60^\circ \cos 80^\circ \\ 2\sin 20^\circ. x & = \frac{1}{2}(2 \sin 40^\circ \cos 40^\circ ) \cos 60^\circ \cos 80^\circ \\ 2\sin 20^\circ. x & = \frac{1}{2}( \sin 2 \times 40^\circ ) \cos 60^\circ \cos 80^\circ \\ 2\sin 20^\circ. x & = \frac{1}{2}( \sin 80^\circ ) \cos 60^\circ \cos 80^\circ \\ 2\sin 20^\circ. x & = \frac{1}{2}. \frac{1}{2}( 2\sin 80^\circ \cos 80^\circ ) \cos 60^\circ \\ 2\sin 20^\circ. x & = \frac{1}{4}( \sin 2 \times 80^\circ ) \cos 60^\circ \\ 2\sin 20^\circ. x & = \frac{1}{4}( \sin 160^\circ ) \cos 60^\circ \\ 2\sin 20^\circ. x & = \frac{1}{4} \sin (180^\circ - 20^\circ ) \cos 60^\circ \\ 2\sin 20^\circ. x & = \frac{1}{4} \sin ( 20^\circ ) . \frac{1}{2} \\ 2\sin 20^\circ. x & = \frac{1}{8} \sin ( 20^\circ ) \\ x & = \frac{ \frac{1}{8} \sin ( 20^\circ ) }{ 2\sin 20^\circ} \\ x & = \frac{1}{16} \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 60^\circ \cos 80^\circ = \frac{1}{16} $

b). Nilai $ \sin 84^\circ \tan 42 ^\circ + \cos 84^\circ $
*). Gunakan : $ \sin 2 A = 2\sin A \cos A \, $ dan $ \tan A = \frac{\sin A}{\cos A } $
serta $ \cos 2A = 1 - 2\sin ^2 A $
*). Menenylesaikan soal :
$ \begin{align} \sin 84^\circ \tan 42 ^\circ + \cos 84^\circ & = \sin 2 \times 42^\circ \tan 42 ^\circ + \cos 2 \times 42^\circ \\ & = 2\sin 42^\circ \cos 42^\circ . \frac{\sin 42 ^\circ}{\cos 42 ^\circ} + (1 - 2\sin ^2 42^\circ ) \\ & = 2\sin ^2 42^\circ + (1 - 2\sin ^2 42^\circ ) \\ & = 1 \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin 84^\circ \tan 42 ^\circ + \cos 84^\circ = 1 $ .

4). Tentukan jumlah $ n \, $ suku pertama dari deret
$ \sin a + \sin (a + b) + \sin (a+2b) + \sin (a + 3b) + ... + \sin (a + (n-1)b) $
Pnyelesaian :
*). Soal ini adalah jumlah deret dengan suku-suku berbentuk trigonometri.
*). Jumlah $ n \, $ suku pertama ($ s_n$) maksudnya :
$ s_n = \sin a + \sin (a + b) + \sin (a+2b) + \sin (a + 3b) + ... + \sin (a + (n-1)b) $
*). Kita gunakan rumus :
$ \sin A \sin B = -\frac{\cos (A+B) - \cos (A - B)} \, $ atau $ 2\sin A \sin B = \cos (A- B) - \cos (A + B ) $
*). Semua suku kita kalilikan dengan $ 2 \sin \frac{b}{2} \, $ , kemudian dijumlahkan semua.
$ \begin{array}{cccccc} 2\sin a \sin \frac{b}{2} & = & \cos (a - \frac{b}{2} ) & - & \cos ( a + \frac{b}{2} ) & \\ 2\sin (a + b) \sin \frac{b}{2} & = & \cos (a + \frac{b}{2} ) & - & \cos ( a + \frac{3b}{2} ) & \\ 2\sin (a + 2b) \sin \frac{b}{2} & = & \cos (a + \frac{3b}{2} ) & - & \cos ( a + \frac{5b}{2} ) & \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & \\ 2\sin (a + (n-1)b) \sin \frac{b}{2} & = & \cos (a + (n - \frac{3}{2})b ) & - & \cos ( a + (n - \frac{1}{2})b ) & + \\ \hline \\ 2 \sin \frac{b}{2} s_n & = & \cos (a - \frac{b}{2} ) & - & \cos ( a + (n - \frac{1}{2})b ) & \end{array} $
*). Gunakan rumus : $ \cos A - \cos B = -2 \sin \frac{1}{2}(A + B) \sin \frac{1}{2}(A-B) $
$ \begin{align} 2 \sin \frac{b}{2} s_n & = \cos (a - \frac{b}{2} ) - \cos ( a + (n - \frac{1}{2})b ) \\ & = -2 \sin \frac{1}{2} \left( (a - \frac{b}{2} ) + ( a + (n - \frac{1}{2})b ) \right) \sin \frac{1}{2} \left( (a - \frac{b}{2} ) - ( a + (n - \frac{1}{2})b ) \right) \\ 2 \sin \frac{b}{2} s_n & = 2 \sin \left( a + \frac{n-1}{2} b \right) \sin \left( \frac{n}{2} b \right) \\ \sin \frac{b}{2} s_n & = \sin \left( a + \frac{n-1}{2} b \right) \sin \left( \frac{n}{2} b \right) \\ s_n & = \frac{ \sin \left( a + \frac{n-1}{2} b \right) \sin \left( \frac{n}{2} b \right) }{\sin \frac{b}{2}} \end{align} $
Jadi, jumlah $ n \, $ suku pertamanya adalah : $ \begin{align} s _ n = \frac{ \sin \left( a + \frac{n-1}{2} b \right) \sin \left( \frac{n}{2} b \right) }{\sin \frac{b}{2}} \end{align} $

Rabu, 11 November 2015

Rumus Trigonometri untuk Sudut Ganda

         Blog Koma - Pada artikel kali ini kita akan mempelajari materi Rumus Trigonometri untuk Sudut Ganda. Sudut ganda yang dimaksud adalah $ 2\alpha \, $ dan juga bentuk $ \frac{1}{2} \alpha $ . Untuk memudahkan mempelajari materi ini, sebaik baca juga materi "Rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut".

Rumus Trigonometri Sudut Ganda untuk $ \sin 2\alpha , \, \cos 2\alpha , \, \tan 2\alpha $
       Berikut rumus-rumus trigonometri sudut ganda :
$ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $
$ \cos 2\alpha = \cos ^2 \alpha - \sin ^2 \alpha $
$ \cos 2\alpha = 2\cos ^2 \alpha - 1 $
$ \cos 2\alpha = 1 - 2\sin ^2 \alpha $
$ \tan 2\alpha = \frac{2\tan \alpha }{1 - \tan ^2 \alpha } $
Pembuktian rumus trigonometri sudut ganda :
$\clubsuit $ Rumus $ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $
*). Ingat rumus sinus jumlah sudut : $ \sin (A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $
$ \begin{align} \sin 2\alpha & = \sin ( \alpha + \alpha ) \\ & = \sin \alpha \cos \alpha + \cos \alpha \sin \alpha \\ & = 2 \sin \alpha \cos \alpha \end{align} $
Sehingga terbukti : $ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $

$ \clubsuit $ Rumus : $ \cos 2\alpha = \cos ^2 \alpha - \sin ^2 \alpha $
*). Ingat rumus $ \cos (A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B $
$ \begin{align} \cos 2\alpha & = \cos (\alpha + \alpha ) \\ & = \cos \alpha \cos \alpha - \sin \alpha \sin \alpha \\ & = \cos ^2 \alpha - \sin ^2 \alpha \end{align} $
Sehingga terbukti : $ \cos 2\alpha = \cos ^2 \alpha - \sin ^2 \alpha $

$ \clubsuit $ Rumus : $ \cos 2\alpha = 2\cos ^2 \alpha - 1 $
*). Ingat rumus identitas : $ \sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 \rightarrow \sin ^2 A = 1 - \cos ^2 A $
$ \begin{align} \cos 2\alpha & = \cos ^2 \alpha - \sin ^2 \alpha \\ & = \cos ^2 \alpha - (1 - \cos ^2 \alpha ) \\ & = 2\cos ^2 \alpha - 1 \end{align} $
Sehingga terbukti : $ \cos 2\alpha = 2\cos ^2 \alpha - 1 $

$ \clubsuit $ Rumus : $ \cos 2\alpha = 1 - 2\sin ^2 \alpha $
*). Ingat rumus identitas : $ \sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 \rightarrow \cos ^2 A = 1 - \sin ^2 A $
$ \begin{align} \cos 2\alpha & = \cos ^2 \alpha - \sin ^2 \alpha \\ & = ( 1 - \sin ^2 \alpha ) - \sin ^2 \alpha \\ & = 1 - 2\sin ^2 \alpha \end{align} $
Sehingga terbukti : $ \cos 2\alpha = 1 - 2\sin ^2 \alpha $

$ \clubsuit $ Rumus : $ \tan 2\alpha = \frac{2\tan \alpha }{1 - \tan ^2 \alpha } $
*). Ingat rumus : $ \tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} $
$ \begin{align} \tan 2\alpha & = \tan ( \alpha + \alpha ) \\ & = \frac{\tan \alpha + \tan \alpha }{1 - \tan \alpha \tan \alpha } \\ & = \frac{2\tan \alpha }{1 - \tan ^2 \alpha } \end{align} $
Sehingga terbukti : $ \tan 2\alpha = \frac{2\tan \alpha }{1 - \tan ^2 \alpha } $

Contoh :
1). Diketahui nilai $ \sin A = - \frac{3}{5} \, $ dengan A di kuadran III. Tentukan nilai $ \sin 2A, \, \cos 2A, \, $ dan $ \tan 2A $ ?
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai $ \cos A, \, $ dan $ \tan A $
diketahui $ \sin A = - \frac{3}{5} \rightarrow \sin A = - \frac{3}{5} = \frac{de}{mi} $
artinya sisi depan adalah 3 dan sisi miring adalah 5, berdasarkan pythagoras diperoleh sisi sampingnya adalah 4.
Sehingga, nilai $ \cos A = \frac{sa}{mi} = - \frac{4}{5} \, $ dan $ \tan A = \frac{de}{sa} = \frac{3}{4} $
Catatan : di kuadran III, nilai sin negatif, nilai cos negatif, dan nilai Tan positif.
*). Menentukan hasilnya ,
$ \begin{align} \sin 2A & = 2 \sin A \cos A \\ & = 2 . (- \frac{3}{5}) . (- \frac{4}{5} ) \\ & = \frac{24}{25} \\ \cos 2A & = 2 \cos ^2 A - 1 \\ & = 2. ( - \frac{4}{5} )^2 - 1 \\ & = 2. \frac{16}{25} - 1 \\ & = \frac{32}{25} - \frac{25}{25} \\ & = \frac{7}{25} \\ \tan 2A & = \frac{2\tan A}{1 - \tan ^2 A} \\ & = \frac{2. \frac{3}{4} }{1 -( \frac{3}{4} )^2 } \\ & = \frac{ \frac{6}{4} }{1 - \frac{9}{16} } \\ & = \frac{ \frac{6}{4} }{1 - \frac{9}{16} } . \frac{16}{16} \\ & = \frac{ 24}{16 - 9 } \\ & = \frac{ 24}{7 } \end{align} $
Jadi, diperoleh : $ \sin 2A = \frac{24}{25} , \, \cos 2A = \frac{7}{25}, \, $ dan $ \tan 2A = \frac{ 24}{7 } $

Rumus Trigonometri untuk $ \sin \frac{1}{2} A , \, \cos \frac{1}{2} A, \, $ dan $ \tan \frac{1}{2} A $
       Berikut rumus dasarnya untuk sudut $ \frac{1}{2}A $
$ \begin{align} \sin \frac{1}{2} A & = \sqrt{\frac{1- \cos A}{2}} \\ \cos \frac{1}{2} A & = \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}} \\ \tan \frac{1}{2} A & = \sqrt{\frac{1 - \cos A}{1 + \cos A}} = \frac{\sin A}{1+ \cos A} = \frac{1- \cos A}{\sin A } \end{align} $
Pembuktian Rumus sudut $ \frac{1}{2} A $ :
Misalkan $ 2\alpha = A \rightarrow \alpha = \frac{1}{2} A $
Substitusi bentuk permisalan di atas ke persamaan yan digunakan.
$\spadesuit $ Rumus : $ \sin \frac{1}{2} A = \sqrt{\frac{1- \cos A}{2}} $
*). gunakan rumus : $ \cos 2 \alpha = 1 - 2\sin ^2 \alpha $
$ \begin{align} \cos 2 \alpha & = 1 - 2\sin ^2 \alpha \\ \cos A & = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} A \\ 2\sin ^2 \frac{1}{2} A & = 1 - \cos A \\ \sin ^2 \frac{1}{2} A & = \frac{1 - \cos A}{2} \\ \sin \frac{1}{2} A & = \sqrt{\frac{1 - \cos A}{2} } \end{align} $
Sehingga terbukti : $ \sin \frac{1}{2} A = \sqrt{\frac{1- \cos A}{2}} $

$\spadesuit $ Rumus : $ \cos \frac{1}{2} A = \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}} $
*). gunakan rumus : $ \cos 2 \alpha = 2\cos ^2 \alpha - 1 $
$ \begin{align} \cos 2 \alpha & = 2\cos ^2 \alpha - 1 \\ \cos A & = 2\cos ^2 \frac{1}{2}A - 1 \\ 2\cos ^2 \frac{1}{2}A & = 1 + \cos A \\ \cos ^2 \frac{1}{2}A & = \frac{1 + \cos A}{2} \\ \cos \frac{1}{2}A & = \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2} } \end{align} $
Sehingga terbukti : $ \cos \frac{1}{2} A = \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}} $

$\spadesuit $ Rumus : $ \tan \frac{1}{2} A = \sqrt{\frac{1 - \cos A}{1 + \cos A}} = \frac{\sin A}{1+ \cos A} = \frac{1- \cos A}{\sin A } $
*). gunakan rumus : $ \tan \frac{1}{2}A = \frac{\sin \frac{1}{2}A }{\cos \frac{1}{2}A } , \, \sin \frac{1}{2} A = \sqrt{\frac{1- \cos A}{2}} , \, \cos \frac{1}{2} A = \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}} $
*). Rumus Pertama :
$ \begin{align} \tan \frac{1}{2} A & = \frac{\sin \frac{1}{2}A }{\cos \frac{1}{2}A } \\ & = \frac{ \sqrt{\frac{1- \cos A}{2}} }{ \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}} } \\ \tan \frac{1}{2}A & = \sqrt{ \frac{1- \cos A}{1 + \cos A} } \\ \end{align} $
*). Rumus kedua :
$ \begin{align} \tan \frac{1}{2}A & = \sqrt{ \frac{1- \cos A}{1 + \cos A} } \\ \tan \frac{1}{2}A & = \sqrt{ \frac{1- \cos A}{1 + \cos A} \times \frac{1 + \cos A}{1 + \cos A} } \\ & = \sqrt{ \frac{1- \cos ^2 A}{(1 + \cos A)^2} } \\ & = \sqrt{ \frac{\sin ^2 A }{(1 + \cos A)^2} } \\ & = \frac{\sin A}{1+ \cos A} \\ \end{align} $
*). Rumus ketiga :
$ \begin{align} \tan \frac{1}{2}A & = \sqrt{\frac{1- \cos A}{1 + \cos A} } \\ \tan \frac{1}{2}A & = \sqrt{\frac{1- \cos A}{1 + \cos A} \times \frac{1 - \cos A}{1 - \cos A} } \\ & = \sqrt{\frac{(1- \cos A)^2}{1 - \cos ^2 A} } \\ & = \sqrt{\frac{(1- \cos A)^2}{\sin ^2 A } } \\ & = \frac{1- \cos A}{\sin A } \end{align} $
Sehingga terbukti : $ \tan \frac{1}{2} A = \sqrt{\frac{1 - \cos A}{1 + \cos A}} = \frac{\sin A}{1+ \cos A} = \frac{1- \cos A}{\sin A } $

Contoh :
2). Hitunglah nilai dari :
a). $ \sin 15^\circ $
b). $ \cos 67,5^\circ $
c). $ \tan 22,5^\circ $
Penyelesaian :
a). $ \frac{1}{2}A = 15^\circ \rightarrow A = 30^\circ $
$ \begin{align} \sin \frac{1}{2} A & = \sqrt{\frac{1 - \cos A}{2} } \\ \sin 15^\circ & = \sqrt{\frac{1 - \cos 30^\circ}{2} } \\ & = \sqrt{\frac{1 - \frac{1}{2} \sqrt{3} }{2} } \\ & = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3} }{4} } \\ & = \frac{1}{2} \sqrt{2 - \sqrt{3} } \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin 15^\circ = \frac{1}{2} \sqrt{2 - \sqrt{3} } $

b). $ \frac{1}{2}A = 67,5^\circ \rightarrow A = 135^\circ $
nilai $ \cos 135^\circ = \cos ( 180^\circ - 45^\circ ) = -\cos 45^\circ = -\frac{1}{2} \sqrt{2} $
Lihat materi " Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Berelasi "
$ \begin{align} \cos \frac{1}{2} A & = \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2} } \\ \cos 67,5^\circ & = \sqrt{\frac{1 + \cos 135^\circ}{2} } \\ & = \sqrt{\frac{1 + (-\frac{1}{2} \sqrt{2} )}{2} } \\ & = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2} }{4} } \\ & = \frac{1}{2} \sqrt{2 - \sqrt{2} } \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos 67,5^\circ = \frac{1}{2} \sqrt{2 - \sqrt{2} } $

c). $ \frac{1}{2}A = 22,5^\circ \rightarrow A = 45^\circ $
$ \begin{align} \tan \frac{1}{2} A & = \frac{\sin A}{1+ \cos A} \\ \tan 22,5^\circ & = \frac{\sin 45^\circ}{1+ \cos 45^\circ} \\ & = \frac{\frac{1}{2} \sqrt{2} }{1+ \frac{1}{2} \sqrt{2} } \\ & = \frac{ \sqrt{2} }{2+ \sqrt{2} } \\ & = \frac{ \sqrt{2} }{2+ \sqrt{2} } \times \frac{2 - \sqrt{2} }{2 - \sqrt{2} } \\ & = \frac{ 2\sqrt{2} - 2 }{4 - 2} \\ & = \frac{ 2\sqrt{2} - 2 }{2} \\ & = \sqrt{2} - 1 \end{align} $
Jadi, nilai $ \tan 22,5^\circ = \sqrt{2} - 1 $

Rumus Trigonometri Sudut rangkap tiga untuk $ \sin 3\alpha , \, \cos 3\alpha , \, \tan 3\alpha $
       Berikut rumus-rumus trigonometri sudut rangkap tiga :
$ \sin 3\alpha = 3 \sin \alpha - 4\sin ^3 \alpha $
$ \cos 3\alpha = 4\cos ^3 \alpha - 3\cos \alpha $
$ \tan 3 \alpha = \frac{3\tan \alpha - \tan ^3 \alpha}{1 - 3 \tan ^2 \alpha } $

Untuk pembuktiannya, coba sendiri dengan cara :
$ \sin 3 \alpha = \sin (2\alpha + \alpha ) $
$ \cos 3 \alpha = \cos (2\alpha + \alpha ) $
$ \tan 3 \alpha = \tan (2\alpha + \alpha ) $